Ułamki egipskie

Ułamki Egipskie
Autor:
Anna Sosnowska
Historia
Informacje o poziomie matematyki w staroŜ
staroŜytnym Egipcie są
są bardzo ubogie. O stanie wiedzy z tamtego okresu
świadczą
wiadczą głównie zabytki architektury egipskiej. Najdawniejsze matematyczne teksty pisane zachował
zachowały się
się
mniej wię
więcej z począ
początku drugiego tysią
tysiąclecia p.n.e. To, Ŝe zachował
zachowało się
się tak niewiele egipskich tekstó
tekstów
matematycznych zwią
związane jest prawdopodobnie ze sposobem ich zapisywania. Teksty matematyczne
matematyczne
pisane był
były na kruchym papirusie, czasem na skó
skórze. Do naszych czasó
czasów przetrwał
przetrwały tylko teksty zł
złoŜone w
piramidach. Babiloń
Babilońskie teksty był
były pisane na glinianych tabliczkach. Dzię
Dzięki temu zachował
zachowało się
się wiele
matematycznych tekstó
tekstów babiloń
babilońskich pisanych pismem klinowym. Matematyka pozwalał
pozwalała na
dokonywanie obliczeń
obliczeń potrzebnych do prac budowlanych, do poboru podatkó
podatków, mierzenia pó
pól i obję
objętoś
tości
tam i zbiornikó
zbiorników zboŜ
zboŜa, zamiany miar wagi i obję
objętoś
tości na inne jednostki. Uwaga uczonych był
była
skoncentrowana nie na metodach, lecz na obliczeniach. Po licznych obserwacjach zauwaŜ
zauwaŜono , Ŝe
cyfrom i liczbom przyporzą
przyporządkowano znaki lub symbole graficzne jak pał
pałeczka czy zwinię
zwinięty liść
liść palmy.
Przy zapisywaniu liczb hieroglify oznaczają
oznaczające jednoś
jedności , dziesią
dziesiątki , setki itd. pisano tyle razy, ile był
było w
danej liczbie jednoś
jedności w odpowiednich rzę
rzędach , przy czym rzę
rzędy pisano w porzą
porządku odwrotnym do
naszego (staroŜ
(staroŜytni Egipcjanie pisali od prawej do lewej ).
Podobnie jak w przypadku liczb naturalnych , nie potrafimy jednoznacznie
jednoznacznie odpowiedzieć
odpowiedzieć na pytanie – kiedy
odkryto uł
ułamki. Dorysowanie owalu nad hieroglifem, był
było chyba jednak począ
początkiem uł
ułamkó
amków . Z całą
całą
pewnoś
pewnością
cią wiadomo , Ŝe najwcześ
najwcześniej poznanymi spoś
spośród wszystkich uł
ułamkó
amków są
są poł
połowa i ćwierć
wierć.
Egipcjanie do zapisywania tych uł
ułamkó
amków stosowali znaki indywidualne :
Sposó
Sposób zapisywania pozostał
pozostałych uł
ułamkó
amków egipskich był
był bardzo prosty. Jedynkę
Jedynkę w liczniku zapisywano za
pomocą
pomocą owalu, a liczbę
liczbę w mianowniku przedstawiano sposobem podobnym do rzymskiego systemu
systemu zapisu
liczb. Analizują
Analizując poniŜ
poniŜsze przykł
przykłady bardzo łatwo zauwaŜ
zauwaŜyć zasady ich tworzenia.
W papirusie Rhinda zapisano wartość liczby w postaci:
π = 3 + 1/13 + 1/17 + 1/173
W dokumencie tym znalazły się takŜe rozkłady takich ułamków jak :
4/5 = 1/2 + 1/5 + 1/10
1/3 = 1/6 + 1/6
1/2 = 1/6 + 1/6 + 1/6
1 = 1/2 + 1/3 + 1/6
2/3 = 1/2 + 1/6
3/4=1/2+1/4
6/7=1/2+1/3+1/42
Oprócz ułamków z jedynką w liczniku , Egipcjanie uŜywali ułamka 2/3, który był wyjątkiem ułamka
egipskiego.
KAśDĄ LICZBĘ WYMIERNĄ MOśNA PRZEDSTAWIĆ JAKO
SUMĄ RÓśNYCH UŁAMKÓW EGIPSKICH.
W połowie zeszłego stulecia w ruinach staroŜytnych Teb
znaleziono drogocenny papirus zwany „PAPIRUSEM
RHINDA”, który zawierał 84 zadania. Jedną z najbardziej
interesujących części dokumentu była część zawierająca
informacje o ułamkach. Egipcjanie, ze względu na łatwość
zapisywania, uŜywali ułamków prostych. Kiedy w swych
obliczeniach posługiwali się ułamkami, zawsze zakładali, Ŝe
licznik jest równy jedności, natomiast mianownik ulega
zmianie (tzw. ułamki alikwotne ). W ten sposób
dysponowali faktycznie wszystkimi liczbami wymiernymi.
NaleŜy jednak zaznaczyć, Ŝe najwaŜniejszym zagadnieniem,
do którego sprowadza się prawie cała arytmetyka egipska,
było dąŜenie do rozkładu ułamków na sumę róŜnych
ułamków alikwotnych o licznikach równych jedności czyli
tzw. ułamków egipskich.
A zaczęło się od podzielenia chleba…
Metoda zalecana do dzielenia chleba między kilka osób zapisana
w papirusie np. 5 bochenków między 6 osób to
przedstawienie 5/6 jako 1/2 +1/3. Innymi słowy,
5 = 6(1/2 + 1/3) = 6(1/2) + 6(1/3). W myśl tej metody naleŜy
kaŜdy z 6(1/2) = 3 bochenków podzielić na dwie równe
części i kaŜdy z 6(1/3) = 2 bochenków na trzy równe części .
W rezultacie mamy 6 połówek i 6 trzecich bochenka. KaŜda
z sześciu osób otrzyma 1/2 i 1/3 bochenka.
Jeśli dzielimy 5 bochenków między 6 osób, to kaŜdy otrzyma 5/6
bochenka . Do podzielenia kaŜdego z nich na 6 równych
części potrzeba 6-1 = 5 cięć, zatem w sumie 25 cięć.
Za pomocą ułamków egipskich musimy podzielić trzy bochenki
na dwie równe części (1 cięcie kaŜdy) i dwa bochenki na
trzy równe części (2 cięcia kaŜdy) .Ostatecznie otrzymujemy
3 + 4 = 7 cięć.
Jaka jest najmniejsza liczba
elementów sumy??
Zilustrujmy ten algorytm na przykładzie ułamka p/q=4/5.
Tutaj q nie jest podzielne przez p, więc 4/5 nie jest ułamkiem jednostkowym i
||4/5|| > 1. Sprawdźmy, czy teŜ || 4/5|| < 2. Według powyŜszego algorytmu,
wartość q1 musi spełniać nierówność 5/4≤ q1 ≤2 *5/4, tj. 1,25 ≤ q1 ≤2,5.
Znajduje się tu tylko jedna liczba całkowita spełniająca obie nierówności
q1=2. Musimy zastosować algorytm A1 w celu sprawdzenia czy teŜ
róŜnica p/q -1/q1=4/5 - 1/2=3/10 ma || r ||≤ 1.Ta róŜnica nie jest ułamkiem
jednostkowym, więc ||p/q-1/q1|| > 1 , stąd ||p/q|| > 2. Teraz sprawdźmy,
czy teŜ || 4/5|| < 3. Według powyŜszego algorytmu wartość q1 musi
spełniać nierówność 5/4≤ q1 ≤3·5/4 ,tj. 1,25 ≤q1≤3,75. Znajdują się tu
dwie liczby całkowite spełniające obie nierówności, q1=2 i q1=3. NaleŜy
zastosować algorytm A2 dla róŜnicy p/q-1/q1. Dla q1=2 róŜnica równa się
4/5 − 1/2 = 3/10. Według algorytmu A2, musimy wybrać liczbę całkowita
q’1, dla której 10/3 ≤ q’1 ≤ 2 ·10/3, musimy równieŜ rozwaŜyć q’1=4, q’1
=5 i q’1=6. JuŜ dla q’1 =4, róŜnica 3/10 − 1/4 = 1/20 jest ułamkiem
jednostkowym, więc ||3/10|| = 2, gdzie 3/10 = 1/4 + 1/20. PoniewaŜ
3/10=4/5-1/2, wnioskujemy, Ŝe ||4/5||=3, gdzie 4/5=1/2+1/4+1/20.
UWAGA:
To nie jest jedyna moŜliwa reprezentacja ułamka 4/5 jako suma trzech
ułamków: dla q’1=5 otrzymujemy równieŜ 4/5 = 1/2 + 1/5 + 1/10.
Egipcjanie nie dopuszczają identycznych części ułamków w ich
reprezentacji. Jako wynik np. zamiast 2/13 = 1/13+1/13, oni uŜywali
reprezentacji 2/13 = 1/8 + 1/52 + 1/104. Z punktu widzenia najmniejszej
liczby cięć, ta reprezentacja nie ma sensu, zatem ułamki Egipskie nie
zawsze dawały optymalną reprezentację daną w Papirusie Rhinda.
Leonardo Pisano Fibonacci w roku 1202 znalazł sposób na znajdowanie liczby wymiernej w
postaci sumy ułamków Egipskich. Nie był to jednak algorytm uŜyty przez w papirusie. Ten
rozszyfrowano dopiero w roku 1999r. (po 4000 lat!). Formalny dowód na to, Ŝe kaŜdy
ułamek da się tak przedstawić znaleziony został dopiero w roku 1880r. Algorytm
Fibonacciego zawsze daje rozwiązanie, lecz nie zawsze jest to rozwiązanie najprostsze.
Próbowano tym sposobem przedstawić prosty ułamek 3/179. Wymaga to znalezienia 19
ułamków egipskich,
z których ostatni ma mianownik będący liczbą o prawie 500000 cyfrach dziesiętnych. Jest to
najprawdopodobniej największy ułamek egipski,
jaki kiedykolwiek był przez człowieka oglądany.
Okazuje się, Ŝe
3/179 = 1/63+1/1611+1/3759 = 1/63+1/1253+1/11277 =
= 1/171+1/209+1/285+1/895+1/1611+1/1969+1/2685
Istnieje teŜ wiele problemów dotyczących ułamków egipskich, a nierozwiązanych do tej
pory. Na przykład nie udało się rozstrzygnąć, czy kaŜdy ułamek postaci 4/n moŜna
przedstawić jako sumę trzech ułamków egipskich. Problem ten jest zupełnie powaŜny i nosi
nawet swoją nazwę: problem Erdosa-Straussa. Pokazano dotąd, Ŝe jest to prawda dla liczb
naturalnych mniejszych od 1014 .
Podsumowanie
1. Ułamki Egipskie ułatwiały wbrew pozorom dzielenie.
Powiedzmy, Ŝe chcemy 5 ciasteczkami obdzielić 8 osób. Dziś zapewne
podzielilibyśmy kaŜde ciastko na 8 części i kaŜdemu dali o 5 takich małych
kawałków. Ile by przy tym było okruszków! Taki sposób podziału jest logiczną
konsekwencją zapisu 5/8.
StaroŜytny Egipcjanin ułamek ten zapisałby (zgodnie z papirusem) jako 1/2 +1/8,
a zatem podzieliłby on 4 ciasteczka na połowy a jedno tylko na 8 kawałków i
kaŜdemu dałby oczywiście jedną połówkę i jeszcze jedną ósmą część. Proste,
efektywne i okruszków mniej.
2. Ułamki Egipskie ułatwiały porównywanie ułamków.
Co jest większe 3/4, czy 4/5? My sprowadzilibyśmy oba ułamki do wspólnego
mianownika i porównali liczniki. Dla Egipcjan 3/4 to pół i ćwierć, a 4/5 to pół,
ćwierć i jeszcze 1/5. Oczywiste jest to który ułamek jest większy i od razu wiadomo
o ile.
Literatura
http://www.u.lodz.pl/~wibig/hieronim
http://ux1.math.us.edu.pl/prace/liczba
http://pozioma_16.webpark.pl
Notatka Olga Kosheleva and Vladik
Kreinovich
http://www.wikipedia.pl
Dziękuję za uwagę ☺
Najmniejsza liczba elementów sumy
OZNACZENIE
Dla kaŜdej dodatniej liczby wymiernej r = p/q oznaczmy przez || r || najmniejszą moŜliwą
sumę
p1 +. . . +pk spośród wszystkich reprezentacji typu (l). Przy tym oznaczeniu najmniejsza
moŜliwa liczba cięć na osobę jest równa || r || - r .
TWIERDZENIE
1. Dla kaŜdej dodatniej liczby wymiernej, || r || ≥ r.
2. Dla kaŜdego n naturalnego, || n || = n.
3. Dla kaŜdej dodatniej liczby wymiernej r i kaŜdej naturalnej liczby n
|| r/n || ≤ || r || .
4. Dla kaŜdych dodatnich liczb wymiernych r i r’
|| r + r’ || ≤ || r || + || r’|| oraz || r — r’|| ≤ || r || — || r’|| .
DOWÓD
ad. 1 PoniewaŜ || r || - r jest średnią liczbą cięć tj. nieujemną liczbą, mamy || r || ≥ r.
ad. 2 Dla całkowitych n nie potrzebujemy Ŝadnych cięć , więc || n || - n = 0 oraz || n || = n.
ad. 3 Niech r = p1/ q1 + . . . + pk/ qk będzie reprezentacją odpowiadającą || r ||, tj.
reprezentacją dla której
|| r ||= p1 + . . . + pk . Wtedy:
r/n = p1/(n · q1) + ... + pk/(n · qk).
Dla tej reprezentacji r/n suma liczników jest równa || r ||. Zatem najmniejsza
moŜliwa suma liczników || r/n || w reprezentacji r/n nie moŜe przekroczyć || r ||.
ad. 4 Jeśli r = p1/q1 +... + pk/qk oraz r' = p'1/q'1 +... +p'k /q'k są reprezentacjami
odpowiednio || r || i || r’||, tj. reprezentacjami dla których || r || = p1 + . . . + pk oraz
|| r’ ||= p’1+ . . . +p’k , zatem dla sumy tych reprezentacji mamy
r + r’ = p1/q1 + ... + pk/qk + p’1/q’1 + ... + p’k/q’k ,
gdzie p1 + ... + pk + p’1 + ... + p'k = || r || + || r’||.
Zatem najmniejsza moŜliwa suma || r+r’|| liczników w reprezentacji r + r’ nie moŜe
przekroczyć || r || + || r’||. Podobnie dla iloczynu:
r · r’ = (p1/q1 + ... + pk/qk) ·(p’1/q’1 + ... + p’k/q’k) =
suma jest równa:
∑ ( pi· pj ' ) = ∑ pi * ∑ pj ' = || r || ·*|| r’|| ,
i, j
i
więc || r*r’|| ≤ || r || * ||r’|| .
j