Ułamki egipskie

Ułamki egipskie
Matematyczne Wypracowania
UŁAMKI EGIPSKIE
Wieskubi
Tak podstawowe pojęcia matematyczne, jak liczba czy najprostsze - figury geometryczne, powstały na długo
przed pojawieniem się tekstów matematycznych. Najdawniejsze matematyczne teksty pisane, znane obecnie,
zachowały się mniej więcej z początku drugiego tysiąclecia p.n.e. Na ten okres przypada rozkwit dwóch
wielkich cywilizacji starożytnego Wschodu – Egiptu i Babilonu.
Starożytny Egipt (IV tysiąclecie p.n.e. – 641 n. e.), to kraj o bardzo wyraźne wytyczonych granicach. Tworzyła
je wysychająca Sahara na zachodzie, Morze Śródziemne i Morze Czerwone prawie odcinały go z północy i
wschodu, skalisty Punt, czyli pogranicze Sudanu i Etiopii, stanowiły granicę południową.
Takie położenie geograficzne sprawiało, że był on mniej narażony na najazdy. Wylewający po dziś dzień
mulisty Nil, który odnawiał płodność gleby, umożliwiał wysoki poziom i rozwój rolnictwa na tamtych terenach.
W związku z tym, życie w starożytnym Egipcie przede wszystkim skupiało się tuż nad brzegami rzeki.
Występowało tam największe, w owych czasach, nagromadzenie ludności. Dlatego więc organizacja państwowa
była w Egipcie bardziej potrzebna niż gdziekolwiek indziej.
Na czele państwa stał król (faraon) – „bóg o władzy absolutnej” (według religii starożytnego Egiptu). Państwo
rządzone było przy pomocy urzędników, zaś ziemię uprawiali chłopi.
Silni władcy prowadzili zwycięskie wojny. Kraj rozwijał się w pokoju. Ludność, zorganizowana w
kilkudziesięcioosobowe brygady, nie mające stałego miejsca pobytu, całkowicie dyspozycyjna, pozwalała na
podejmowanie przez państwo nawet niesłychanie ambitnych przedsięwzięć. Prowadzono duże roboty publiczne,
jak na przykład budowa piramid w Gizie i Sakkara, dające w czasie wylewów Nilu zatrudnienie licznym
robotnikom. Najbardziej znanymi budowami jest budowa piramidy Dżesera (pierwsza), która powstała około
roku –2650 oraz największej piramidy Cheopsa, wybudowanej niecałe sto lat później.
Wyprawy na Synaj i do Libii powodowały, że rosła liczba rzemieślników i kupców. Rozwijały się różne
dziedziny nauki: matematyka, a szczególnie geometria i miernictwo, astronomia (w związku z potrzebą
określenia pór wylewów Nilu, kreślenia map nieba), medycyna (chirurgia i ziołolecznictwo), technika i
mechanika (budownictwo, irygacja) oraz literatura.
Historię Starego Państwa znamy jedynie w zarysie. Gdzieniegdzie można też znaleźć informacje na temat
powstawania i rozwoju różnych dziedzin nauki.
Jeśli chodzi o matematykę Wczesnego i Starego Państwa, to nie wiemy prawie nic. Zachowały się tylko
liczbowe zapisy, a nawet rysunki na kamiennych płytach i ścianach. Większa część tekstów matematycznych,
które zachowały się w zabytkach starożytnego Egiptu, pisana była na papirusie (papierze wyrabianym z łodygi
rośliny o tej samej nazwie). Nasze podstawowe informacje o staroegipskiej matematyce odnoszą się do jednego
okresu i nie jesteśmy w stanie pokazać, jak w dawnej cywilizacji rozwijała się ona w ciągu swych dziejów.
Mimo to naukowcom udało się zagłębić w tajnikach egipskich liczb. Sposób przydzielania ziemi do obróbki
brygadom świadczy o wprowadzeniu tam pojęcia gabarytu. Oznacza to, że wzór (pole podstawy x wysokość) był
uznany za dobry zarówno dla prostokąta jak i trójkąta.
Wynalazek pisma ideograficznego (każdemu pojęciu odpowiada hieroglif – obrazek, rzeźbiony święty znak) dał
początek w starożytnym Egipcie piśmiennictwu. Pismo ideograficzne wykluczało nawet namiastki systemu
pozycyjnego.
Nie warto byłoby się zajmować pismem egipskim, jako bardziej prymitywnym od babilońskiego, gdyby nie fakt,
że miało ono konsekwencje w rozwoju arytmetyki. Dorysowanie na przykład znaku owalu (rot-część) obok, lub
nad hieroglifem oznaczającym liczbę, powodowało, że należało go odczytać jako odwrotność.
Tak na przykład hieroglif:
należało odczytywać jako 1/20. Innymi słowy, owal nad hieroglifem oznacza to samo, co dziś wykładnik –1.
Hieroglif:
należało odczytywać jako 1/12. Nie należy przy tym uważać dwu pałeczek za jednostki towarzyszące znakowi
dziesiątki. Hieroglif jest niepodzielny i użycie akurat w tym znaku dwu pałeczek jest przypadkiem.
Egipcjanie ryli lub rzeźbili swoje znaki dłutem i młotkiem na kamiennych pomnikach lub rysowali je na
odłamkach skał, na skorupach garnków lub na liściach papirusu, za pomocą trzciny ze zgniecionym końcem,
umoczonej w barwiącej materii.
Starożytni Egipcjanie znali i stosowali wielkie liczby. Egipski system numeracji pozwalał wyrażać liczby
przekraczające milion. Istniały specjalne hieroglify do oznaczania jedności i kolejnych potęg dziesiątki, aż do
siódmej włącznie.
W bardzo starym mieście Hierakonpolis, na lewym brzegu Nilu, około 100 km od pierwszej katarakty,
znaleziono buławę z kilkoma napisami. Jest to jedno z najstarszych znanych świadectw archeologicznych
hieroglificznego pisma i numeracji egipskiej. Buława należał do Narmera, króla, który zjednoczył Dolny i Górny
Egipt około roku 2900 p.n.e. Oprócz imienia Narmera, napisanego fonetycznie, na głowie buławy wypisane są
liczby odpowiadające ilości sztuk bydła (rogatego) i ilości jeńców, rzekomo przywiezionych przez władcę z jego
zwycięskich wypraw. Te obliczenia, zapewne wysnute z fantazji, na chwałę króla Narmera, odczytuje się w ten
sposób: 400 000 byków (bydła rogatego), 422 000 kóz, 120 000 jeńców.
Warto dodać, że podobny jak na buławie zapis umieszczony został również na pomniku, wystawionym dla
uczczenia zwycięstwa wojsk egipskich nad nieprzyjacielem.
Jak już wspomniano, Egipski system zapisywania liczb oparty był na liczbie 10, która stanowiła podstawę. Do
oznaczania kolejnych potęg liczby 10 aż do potęgi 7 włącznie istniały specjalne znaki.
10.000.000 1.000.000 100.000 10.000 1.000 100 10 1
Sn HH Hfnw Dba xA St mDw Wa
Cyfra 1 mogła być symbolem graficznym pałeczki, tyczki do mierzenia, niegdyś używanej jako jedność.
Kreskami takimi oznaczano liczby od 1 do 9.
Znak 10 – będący prawdopodobnie symbolem pęta do krępowania krów, przypominał podkowę lub odwrócone
duże U. Cyfra 10 mogła powstać również z rysunku sznurka, którego niegdyś używano do wiązania tych
pałeczek w wiązki po 10 lub krępowania krów. Pisownia egipska mogła potem ten rysunek przedstawić w
kształcie odwróconego dużego „U”.
Znak dla 100 przedstawiał zwinięty liść palmy, zwiniętą linię do odmierzania pól, spiralę, albo jak niektórzy
twierdzą laskę kapłańską.
Znak dla 1000 przedstawiał kwiat (pęd) lotosu, symbol Nilu, któremu Egipt zawdzięcza swe istnienie. Warto
wspomnieć, że dawniej znak ten oznaczał „bardzo dużo”.
Znakiem 10 000 jest wskazujący palec, a 100 000 – żaba. Liczba 100 000 była czymś tak wielkim, jak ilość żab
w błotach Nilu po jego wylewach.
Znak 1 000 000 przedstawia postać człowieka w stanie ekstazy, z podniesionymi rękoma. Jest to
najprawdopodobniej obraz boga (Hek) podtrzymującego sklepienie niebieskie, symbol „nieskończoności”, lub
„wszystkiego”.
Liczbę 10 000 000 oznaczano podkreślając koło, słońce.
Oto przykłady zapisu cyfr:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
100 1000 10000 100000 1000000 1000000
Przy zapisywaniu liczb hieroglify oznaczające jedności, dziesiątki, setki itd. Pisano tyle razy, ile było w danej
liczbie jedności w odpowiednich rzędach, przy czym rzędy pisano w porządku odwrotnym do naszego
(starożytni Egipcjanie pisali od prawej ręki do lewej).
Liczby, miary i wagi, którymi posługiwali się starożytni Egipcjanie:
Podobnie jak w przypadku liczb naturalnych, nie potrafimy jednoznacznie odpowiedzieć na pytanie - kiedy
odkryto ułamki? Dorysowywanie owalu nad hieroglifem, było chyba jednak początkiem ułamków. Z całą
pewnością wiadomo, że najwcześniej poznanymi spośród wszystkich ułamków są połowa i ćwierć. Świadczyć o
tym może odkrycie, którego dokonała, na terenie Górnego Egiptu (dzisiejszy Luxor), pewna europejska
ekspedycja naukowa w połowie zeszłego stulecia. W ruinach starożytnych Teb, miasta będącego swego czasu
stolicą Egiptu, znaleziono drogocenny papirus. Papirus ten, zwany „papirusem Rhinda” (od nazwiska oficera
angielskiego, który nabył go na własność w 1858r.), o wymiarach 5,25 m X 33 cm, zawierający 84 zdania, w
1877 roku wydano w tłumaczeniu drukiem.
Zaczyna się on od słów:
„?Przepis do osiągnięcia poznania wszelkich rzeczy ciemnych... wszelkich tajemnic, które są zawarte w
przedmiotach. Ułożona była ta księga w roku 33, Mesori dnia... za króla Górnego i Dolnego Egiptu RA-A-US
życie dającego, według wzoru starych pism, które wygotowane były za czasów króla (RA-EN-M-A’T). Oto
pisarz Ahmes pisał kopię tę”.
Ten przeszło 5-m długości i około 30 cm szerokości, zapisany czarnym i czerwonym tuszem (tzw. hieratyką, tj.
pismem stosowanym w życiu codziennym na papirusach) dokument uznany został za najstarszy dokument
matematyczny świata. „Sposoby do poznania wszelkich tajemnic”, o których pisał Ahmes, zawierały wiele
bardzo ciekawych informacji o matematyce egipskiej. Dzisiaj powiedzielibyśmy, że papirus Rhinda zawierał
pewien usystematyzowany materiał w formie wykładu z matematyki. Zadania są w nim sklasyfikowane nie
według metod (na przykład, zadania na proporcje, równania liniowe itd.), lecz według tematów.
Dla nas najbardziej interesująca jest część dokumentu, zajmująca się ułamkami, które nieraz sprawiają tyle
kłopotu uczniom szkoły podstawowej, a znane były już w starożytnym Egipcie na kilka tysięcy lat przed naszą
erą.
licznik
mianownik
Egipcjanie, ze względu na łatwość zapisywania, używali jedynie ułamków prostych (tak nazywa się odwrotność
liczb naturalnych). Pozostałe ułamki przedstawiali jako sumy różnych, koniecznie prostych ułamków.
Największą trudność sprawiał przypadek dzielenia z resztą.
Kiedy Egipcjanie w swych obliczeniach posługiwali się ułamkami, zawsze zakładali, że licznik jest równy
jedności, natomiast mianownik ulega zmianie (tak zwane ułamki alikwotne). W ten sposób dysponowali
faktycznie wszystkimi liczbami wymiernymi (liczba wymierna jest sumą liczby całkowitej i skończonej liczby
różnych ułamków prostych).
Należy jednak zaznaczyć, że najważniejszym zagadnieniem, do którego sprowadzała się niemal cała arytmetyka
egipska, było dążenie do rozkładu ułamków na sumę różnych ułamków alikwotnych o licznikach równych
jedności.
Bardziej złożone ułamki Egipcjanie wyrażali, zatem jako sumę ułamków z jedynką w liczniku. Tak na przykład
ułamki złożone przedstawiano jako:
311
--- = --- + ---424
511
--- = --- + ----12 3 12
3111
--- = --- + ---- + ---7 4 7 28
4111
--- = --- + ---- + ---5 2 5 10
W technice rachunkowej starożytnego Egiptu powstał teoretyczno-liczbowy problem rozkładu ułamków na sumę
ułamków alikwotnych. Zadanie to nie mające jednoznacznego rozwiązania, Egipcjanie rozwiązali empirycznie,
w kilku etapach. Sprowadzało się ono do ułożenia tablicy kanonicznych (ogólnie przyjętych porządków)
rozkładów dla ułamków 2/n, ponieważ przy dzieleniu podstawowym działaniem było podwajanie. Od takiej
właśnie tablicy zaczyna się wspomniany już papirus Rhinda.
Rozkłady od n=3 do n=101 kryją, jak milczący sfinks, tajemnicę drogi, na której je otrzymano. Nad
rozwiązaniem tej egipskiej zagadki pracowało wielu uczonych. Idąc śladami wywodów B.L. Van der Waerdena
pisarze musieli poznać na pamięć najprostsze rozkłady, które występowały na każdym kroku. W tekstach
stosowano je bez osobnych wyjaśnień:
111
--- + --- = ---663
1111
--- + --- + ----- = --6662
112
--- + --- = ---333
111
--- + --- = ---362
111
--- + --- + ---- = 1
236
Są to wszystko najprostsze ułamki, a działania na nich były równie dobrze znane jak działania na liczbach
całkowitych. Stąd za pomocą prostych kombinacji mogli oni wyprowadzić następujące zależności:
211
--- = --- + ---326
1121
--- + --- = ---- +--2336
211
--- + --- = ---- + 1
326
Jak świadczą zadania zawarte w skórzanym zwoju, przechowywanym w Londynie i pochodzącym w
przybliżeniu z XVIII-XIX wieku p.n.e., wyrażenia dzieli się przez 2, 3, 4 i otrzymuje się następną serię
rozkładów.
Bardzo ważny jest wzór:
211
--- = --- + ---326
Od niego zaczyna się faktycznie tworzenie tablicy rozkładów kanonicznych z podwajaniem ułamków:
1111211
--- + --- = ---- + --- (to samo co --- = --- + --- )
3326326
1111
--- + --- = ---- +----- (podzielono przez 3)
9 9 6 18
1111
---- + --- = ---- + ----- (podzielono przez 5) , itd.
15 15 10 30
Ta część tablicy, jak jednogłośnie uznają wszyscy badacze, jest najstarsza. Pozostaje zgłębić rzecz
najważniejszą: ogólny przypadek rozkładu ułamka na ułamki proste.
Okazuje się, że trzeba po prostu podzielić 2 przez n. Dla nas taki wniosek jest bardzo prosty, zaś dla
staroegipskiego rachmistrza był to genialny domysł.
Tak właśnie postępował rachmistrz w swej tablicy poczynając od n=11. Przy tym dzielenie przez 5, 9, 11, 17,
23, 29 wykonywano za pomocą wielu ułamków zaczynających się od ciągu 2/3, gdzie 2/3 było ułamkiem
naturalnym, tradycyjnym. Dzielenie przez 7, 13 wykonywano za pomocą ułamków zaczynających się od ciągu
2.
Podobnie jak współcześnie, Egipcjanie posługiwali się do zapisu ułamków tymi samymi znakami
hieroglificznymi, co do wyrażania liczb naturalnych.
Jak już wspomniano wcześniej, celem odróżnienia zwykłej liczby od ułamka, nad lub obok zapisu określającego
wartość mianownika umieszczano hieroglif – obrazek .
Dzielenie m : n Egipcjanie czasem przedstawiali jako mnożenie liczby razy odwrotność liczby.
Ułamek 1/3 w zapisie hieroglificznym wyglądał na przykład następująco:
Natomiast ułamek 1/30 następująco:
Oprócz ułamków z jedynką w liczniku, Egipcjanie używali ułamka 2/3, który stanowił wyjątek. Posiadał on
własny znak hieroglificzny postaci:
Pojawienie się ułamków alikwotnych jest wielce charakterystyczne dla początkowego rozwoju pojęcia liczby w
starożytnej cywilizacji. Ułamki alikwotne typu 1/n są pierwszymi ułamkami algorytmicznymi. Dalszym etapem
rozwoju liczby wymiernej było wprowadzenie do użytku tych części jako m liczb całkowitych, tzn. interpretacja
ułamka m/n jako liczby całkowitej mianowanej. W matematyce staroegipskiej rozwój nie poszedł jednak dalej
poza te ułamki podstawowe, zwane ułamkami egipskimi.
Oprócz przedstawionego zapisu w starożytnym Egipcie funkcjonował jeszcze jeden system. Oparty był on na
potężnym znaku oka boga-sokoła Horusa (według mitologii pociętego przez Seta), symbolizującym ochronę
oraz życie.
Znak oka boga-sokoła Horusa tworzył całość składającą się z sześciu części. W całości przedstawiany był za
pomocą jednego znaku hieroglificznego:
System oparty na przedstawionym znaku nazwany został systemem ułamkowym „Oko Horusa”. Stosowany był
przez starożytnych Egipcjan w receptach oraz przy odmierzaniu gruntów i zboża. Każdy z elementów symbolu
reprezentował inną wartość ułamkową. Dla uzyskania ułamka dodawano do siebie odpowiednie fragmenty
symbolu.
Wartości ułamkowe poszczególnych elementów „Oka Horusa”:
1/8
1/4
1/2 1/16
1/64 1/32
Ułamki te w sumie dają tylko
63
-----64
Zamiana dowolnego ułamka na sumę ułamków prostych, którą nazywamy dzisiaj rozkładem, odbywała się
poprzez stosowanie odpowiedniego algorytmu. Po oddzieleniu części całkowitej należało odejmować
największy spośród mniejszych ułamków prostych. Przy tej operacji licznik reszty maleje, a więc operacja ma
skończoną wartość.
Oto przykład zastosowania opisanego algorytmu rozkładu na ułamki proste:
9 1 27 - 19 8
--- - --- = ---------- = ---19 3 57 57
8 1 64 - 57 7
--- - --- = --------- = -----57 8 456 456
7 1 462 - 456 6 1
----- - ---- = ------------ = ---------- = -------456 66 30 096 30 096 5016
czyli
91111
--- = --- + --- + ----- + ------19 3 8 66 5 016 .
Warto zauważyć, że rozkład na ułamki proste nie jest jednoznaczny. Świadczy o tym choćby równość:
111
--- = --- + --236.
Egipcjanie posiadali tablice rozkładów liczb 2/n na ułamki proste, a dla ułamka 2/3 przyporządkowany był, jak
już wspomniano, oddzielny hieroglif. Arytmetyka, przy tak określanych ułamkach była rzeczą niesłychanie
pracochłonną. Z papirusu Ahmesa odczytać można na przykład zadanie stawiane ówczesnym uczniom:
Podziel 100 bochenków pomiędzy 5 osób tak, by ich przydziały tworzyły ciąg arytmetyczny i żeby 1/7 liczby
bochenków chleba otrzymanych przez pierwszych trzech była równa liczbie bochenków chleba otrzymanych
przez ostatnich dwóch.
Nawet dzisiejszymi metodami rozwiązanie będzie żmudne. Należy pochylić czoło nad pracowitością
ówczesnych uczniów.
Matematyka w starożytnym Egipcie stanowiła zespół wiadomości, jeszcze nie rozczłonkowanych na arytmetykę,
geometrię, algebrę, i była przede wszystkim zbiorem przepisów na liczbowe rozwiązanie najprostszych zadań
arytmetycznych, algebraicznych i geometrycznych. Problemy, z jakimi stykali się egipscy pisarze, były
przeważnie praktyczne. Wiele rozwiązań znajdowano drogą prób, po omacku. Nic, więc dziwnego, że były one
niezręczne i wymagały przezwyciężenia większych trudności, które przy innym może sposobie może nie
występowałyby. Przykładem są tu działania na ułamkach.
Matematyka starożytnego Egiptu, ułamki egipskie miały wpływ na dalsze losy nauki. Sami Grecy opowiadali
przecież, że wiele podstawowych wiadomości nabyli w czasie pobytu w Egipcie. Zgodnie z opinią większości
uczonych stwierdzić dzisiaj możemy, że geometria odkryta została w Egipcie, a początek swój miała w
mierzeniu pól, zaś rozwój ułamków sięga swymi korzeniami do ułamków egipskich.
Literatura:
1. Marek Kordos Wykłady z historii matematyki, WsiP Warszawa 1994.
2. Georges Ifrah Dzieje Liczby, czyli historia wielkiego wynalazku, Zakład Narodowy im.
Ossolińskich, Warszawa 1990.
3. Paul Johnson Cywilizacja Starożytnego Egiptu, Wydawnictwo 69, Warszawa 1997.
4. Asger Aaboe Matematyka w starożytności, PWN 1968.
5. Historia Matematyki pod red. A.P. Juszkiewicza