Wykład 15 i 16

Wykład
Całkowanie funkcji wymiernych
a n x n  a n 1 x n 1  ...  a1 x  a0
 bk x k  bk 1 x k 1  ...  b1 x  b0 dx
Z ułamka wymiernego niewłaściwego (takiego, gdzie stopień wielomianu w liczniku jest
wyższy niż stopień wielomianu w mianowniku czyli n>k) można wyłączyć „cześć całkowitą”
czyli wielomian – łatwy do scałkowania. Wystarczy więc zająć się scałkowaniem ułamków
właściwych, tzn. takich, których stopień licznika jest mniejszy niż stopień mianownika.
Wśród nich rozpatrujemy tzw. ułamki proste: będą to ułamki następujących typów:
I.
A
xa
II.
A
x  a k
III.
Mx  N
x  px  q
przy czym trójmian w mianowniku nie posiada pierwiastków,
2
czyli p 2  4q  0
IV
x
Mx  N
2
 px  q

k
mianownik jest także nierozkładalny na czynniki liniowe
Ułamki pierwszego i drugiego typu można łatwo scałkować, wykorzystując podane wcześniej
wzory.
Zanim poznamy sposoby całkowania ułamków typu III i IV, obliczmy następującą całkę:
a
2
1
dx  
 x2
t ( x) 
x
a
1
1 dx
1
1
1
dx 
 
  2 dt 
2
2
1
a a x
x
1 a t 1
dt  dx
a 2 ( 2  1)
a
a
a
 
Przechodzimy do scałkowania ułamka III rodzaju
x 2  px  q 
p 
p2 
p2



x


q

gdzie
q

0


2  
4 
4

2
1
2
2
2
2
p2
p 
p2  
p  
p 2  
p

   x    q 
  x    a 2 gdzie a   q 
 x     q 
4
2 
4  
2  
4  
2

Mx  N
 x 2  px  q dx  
M  x  p  p   N
2
2

dx 
2
 x  p   a 2
2

Mt  ( N  1 Mp )
2

dt =
t 2  a2
M
2tdt
Mp
dt
dt  ( N 
) 2

2
2

2 t a
2
t  a2
Pozostał do scałkowania ułamek IV rodzaju.
 x
Mx  N
2
 px  q
M
2
 t
M
2
 t
 t
2tdt
2
a
2
 a2
dt
2
 a2

k

dt  ( N 

dt 
k



2 k
2tdt
dx 
k
Mp
dt
)
2
2
t  a2


k
Mt  ( N  1 Mp )
2
dt =
2
2 k
t a


*
 Jk
Aby obliczyć tę ostatnią całkę należy zastosować wzór redukcyjny:
J k 1 
1
x
2k  1 1
 2


Jk 1
2
2 k
2k a 2
2ka ( x  a )
Twierdzenie 1
Każdy ułamek właściwy
P( x)
można przedstawić w postaci skończonej liczby ułamków
Q ( x)
prostych.
1
Wyprowadzenie tego wzoru można odnaleźć w podręczniku Fichtenholza.
2
Przykład 1
dx
 2 x  3x
2

Przykład 2
x
2
2 x  20
dx 
 8 x  25
3
Całka oznaczona
Niech na przedziale <a,b> będzie określona funkcja f(x). Spróbujmy wyznaczyć pole trapezu
krzywoliniowego wyznaczonego przez odcinek ab, odcinki prostych x=a x=b oraz wykres
funkcji f.
Utwórzmy ciąg podziałów przedziału <a,b> na n części punktami
a = x0 < x1 < …< xn = b dla n = 1, 2, 3, …..
Pole każdego z powstałych prostokątów wyraża się wzorem:
pi  f ( xi 1 )xi gdzie xi  xi  xi 1
Stąd przybliżenie trapezu pola otrzymujemy z wzoru:
n
P   f ( xi 1 )xi , gdzie xi  xi  xi 1
i 1
Zaś pole P otrzymujemy jako granicę P  lim
n  
n
 f (x
i 1
i 1
)xi .
Zajmiemy się bliżej tą granicą, a przede wszystkim precyzyjnym określeniem warunków
podziału.
Niech na przedziale <a,b> będzie określona funkcja ograniczona f(x). Dokonajmy różnych
podziałów P1, P2, …..,Pm, ……… przedziału <a,b> na części.
Niech w podziale Pm uczestniczy nm-1 liczb a = x0 < x1 < …< xn = b
Długość przedziału cząstkowego oznaczmy przez xi  xi  xi 1 . Niech  m oznacza
największą z liczb xi w podziale Pm
m
Definicja 1
Ciąg podziałów Pn  nazywamy normalnym, jeżeli lim  m  0
m 
Niech c i będzie dowolnym punktem przedziału  xi 1 , xi 
nm
Utwórzmy sumę S m   f (ci )xi
i 1
4
Definicja 2
Jeżeli ciąg S m  przy m   jest zbieżny do tej samej skończonej granicy przy każdym
normalnym ciągu podziałów Pn  niezależnie od wyboru punktów c i , to funkcję f nazywamy
funkcją całkowalną na przedziale <a, b> zaś granicę tę nazywamy całką oznaczoną funkcji f
w granicach od a do b i oznaczamy symbolem
b
 f ( x)dx
a
Opracowanie dr Elżbieta Badach
na podstawie:
G.M. Fichtenholz : Rachunek różniczkowy i całkowy, PWN Warszawa 1985
5