Całki pierwsze

RRZ, ćw. 21, 27.05.2014
grupa 1.
1/2
ẋ = f (t, x)
(1)
Całki pierwsze
Definicja 1. Rozważmy równanie
z prawa˛ strona˛ ciagł
˛ a,˛ określona˛ na otwartym zbiorze Q ⊂ ’m+1 . Funkcj˛e U(t, x) określona˛ na pewnym otwartym zbiorze Q0 ⊂ Q nazywamy całka˛ pierwsza˛ równania (1), jeżeli jest stała na każdej
krzywej całkowej tego równania.
Jeżeli U(t, x) jest klasy C 1 , to warunek stałości na krzywych całkowych przyjmuje postać
m
m
∂U X ∂U
∂U X ∂U
d
U(t, x(t)) =
+
ẋi =
+
fi (t, x) = 0.
dt
∂t
∂x
∂t
∂x
i
i
i=1
i=1
W przypadku równań autonomicznych poziomice krzywych całkowych zawieraja˛ trajektorie układu.
W przypadku równań autonomicznych w ’2 znalezienie całek pierwszych sprowadza si˛e do scałkowania równania skalarnego. Majac
˛ dany układ
ẋ1 = f1 (x1 , x2 ),
ẋ2 = f2 (x1 , x2 ).
Możemy go przekształcić do równania w postaci różniczek
f2 dx1 − f1 dx2 = 0.
Rozwiazywanie
˛
równań w postaci różniczki zupełnej prowadzi do znalezienia całki pierwszej.
Zad 1. Sprawdź, czy funkcja ϕ = x1 x2 e−t jest całka˛ pierwsza˛ układu równań
ẋ1 = x12 x2−1
Zad 2. Sprawdź, czy funkcja ϕ =
x1 −x2
t−x1
ẋ2 = x2 − x1
jest całka˛ pierwsza˛ układu
ẋ1 =
t + x2
x1 + x2
ẋ2 =
t + x1
x1 + x2
Klasyczny model drapieżca-ofiara (zwany także modelem Lotki-Volterry) ma postać
V̇ = rV − a V P,
Ṗ = −bP + γa V P,
(2)
gdzie V(t) i P(t) opisuja,˛ odpowiednio, zag˛eszczenie ofiary i drapieżcy; r opisuje tempo rozrodczości
populacji ofiar, 1/b to średni czas życia drapieżcy, a — współczynnik sukcesu polowania drapieżcy
zaś γ opisuje w jaka˛ cz˛eść upolowanej ofiary drapieżnik przeznacza na reprodukcj˛e.
Zad 3. Wykazać, że poprzez odpowiednie skalowanie układ (2) można sprowadzić do nast˛epujacego
˛
układu równań
ẋ = x − xy,
ẏ = −αy + xy.
Znaleźć to skalowanie i wyznaczyć wartość stałej α w zależności od r, a, b i γ.
Zad 4. (a) Wykazać, że jeśli x(0) > 0 oraz y(0) > 0, to rozwiazania
˛
układu (3) sa˛ dodatnie.
(3)
RRZ, ćw. 21, 27.05.2014
grupa 1.
2/2
(b) Znaleźć całk˛e pierwsza˛ układu (3).
(c) Udowodnić, że orbity układu równań (3) znajdujace
˛ si˛e w pierwszej ćwiartce układu współrz˛ednych sa˛ orbitami zamkni˛etymi.
Znalezienie całki/całek pierwszych może pomóc obniżyć rzad
˛ równania. Jeśli mamy układ równań
dxi
= fi (x1 , x2 , . . . , xn ),
dt
i = 1, 2, . . . , n
(?)
i znamy k liniowo niezależnych (rzad
˛ macierzy ∂Ui /∂x j ma rzad
˛ k) całek pierwszych
U1 (x1 , . . . , xn ) = c1 , . . . , Uk (x1 , . . . , xn ) = cn ,
to zwykle możemy wyrazić k zmiennych przez pozostałe
x1 = ϕ1 (xk+1 , . . . , xn ), . . . , xk = ϕk (xk+1 , . . . , xn ).
Wstawiajac
˛ te zmienne do układu (?) otrzymujemy układ n − k równań.
Ruch planet wokół słońca
W uproszczeniu ograniczymy si˛e do ruchu ciała o bardzo małej masie m (planety) wokół ciała o dużej
masie M (słońca). Przyjmiemy, że słońce jest ulokowane w środku układu współrz˛ednych. Ciała te
oddziałuja˛ na siebie siła˛ przyciagania
˛
grawitacyjnego
F(x) = −G
mM x
.
|x|3
Zatem zgodnie z prawem Newtona ruch jest opisany równaniem
x
ẍ = −k 3 , k = GM.
|x|
(4)
Równanie (4) ma rzad
˛ 6 (ruch odbywa si˛e w przestrzeni, czyli x ∈ ’3 , a równanie jest rz˛edu 2).
Zad 5. Znaleźć 4 całki pierwsze równania (4).
Zad 6. Wywnioskować, że ruch planety odbywa si˛e zawsze w płaszczyźnie wyznaczonej przez wektory x(0) = α0 i ẋ(0) = α1 .
Zad 7. Wprowadzajac
˛ współrz˛edne biegunowe w płaszczyźnie wyznaczonej przez wektory α0 i α1
zredukować układ (4) do układu dwóch równań
Zad 8. Wykazać pierwsze prawo Keplera: Planeta porusza si˛e wokół Słońca po krzywej płaskiej ze
, gdzie A to pole zakreślone przez planet˛e jak na
stala˛ pr˛edkościa˛ polowa.˛ Pr˛edkość polowa to dA
dt
rysunku:
x2
r
A
θ
0
x1
Zad 9. Udowodnić drugie prawo Keplera: Planeta porusza si˛e wokół Słońca po elipsie a słońce
znajduje si˛e w jednym z ognisk tej elipsy.