1 Postulaty mechaniki kwantowej

Postulaty mechaniki kwantowej
Skrypt
1
Postulaty mechaniki kwantowej
1.1
Postulat Pierwszy
• Stan układu kwantowomechanicznego opisuje funkcja falowa Ψ(r1 , r2 , ..., rN , t)
zwana także funkcją stanu taka, że kwadrat jej modułu: |Ψ|2 = Ψ∗ Ψ pomnożony przez element objętości dτ określa prawdopodobieństwo, że w chwili t
cząstka znajduje się w elemencie objętoęci dτ .
dW (r1 , r2 , ...; t) = |Ψ(r1 , r2 , ...; t)|2 dτ = ρ(r1 , r2 , ...; t)dτ
(1)
gdzie:
Ψ(r, t) to funkcja falowa, najczęsciej zespolona, zależna od położenia cząstki i czasu
Ψ∗ (r, t) to funkcja falowa sprzężona do Ψ. Jeżeli funkcja Ψ jest funkcją
rzeczywistą, to |Ψ|2 = Ψ∗ Ψ = Ψ2 .
ρ oznacza gęstość prawdopodobieństwa ρ =
dW
dτ
ri to współrzędne (x,y,z) i-tej cząstki
dτ = dV1 dV2 · · · dVN (dla jednej cząstki dτ = dV1 , a dla trzech cząstek
dτ = dV1 dV2 dV3
Funkcje używane w mechanice kwantowej to funkcje porządne (klasy Q ang. quantum), czyli takie które spełniają warunki:
– jednoznaczne (jednemu argumentowi odpowiada jedna wartość)
– całkowalne w kwadracie
– ciągłe
Normalizacja funkcji falowej
Funkcja jest unormowana gdy:
Z
|Ψ(r1 , r2 , ..., t)|2 dτ = 1
(2)
Całkujemy po całej dostępnej dla cząstki przestrzeni (normalizujemy do 1).Tak
więc dla modelu jednowymiarowego warunek unormowania funkcji falowej
możemy zapisać tak:
Z
|Ψ(x, t)|2 dV = 1
(3)
1
Postulaty mechaniki kwantowej
Skrypt
1.1 Postulat Pierwszy
Całkowite prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w przestrzeni jednowymiarowej jest równe jedności. Ale co zrobić, jeżeli to prawdopodobieństwo
nie jest równe 1? Czyli:
Z
|Ψ(r1 , r2 , ..., t)|2 dτ = A
Odpowiedź: Należy unormować funkcję falową, czyli znaleźć stałą normalizacyjną.
1
Ψ= √ Ψ
A
W jaki sposób wyznacza się stałą normalizacyjną?
Przykład Wyznacz stałą normalizacyjną i podaj postać funkcji unormowanej:
Ψ = N exp(imx) dla x ∈ [0, 2π]
Opis sposobu rozwiązania zadania krok po kroku:
1. Zaczynamy od napisania warunku unormowania podanej funkcji falowej:
Z 2π
|N eimx |2 dx = 1
(4)
0
2. Pamiętając definicję kwadratu modułu funkcji falowej (|Ψ|2 = Ψ∗ Ψ):
|N eimx |2 = (N eimx )∗ N eimx =
oraz, że funkcja sprzężona do Ψ różni sie znakiem części urojonej, (N eimx )∗ =
N e−imx , a stała normalizacyjna N jest z definicji rzeczywista:
= N 2 e0
3. Podstawiamy powyższy wynik do równania:
Z 2π
N 2 e0 dx = 1
0
4. Wyciągamy stałą normlizacyjną N przed znak całki:
N
2
Z 2π
e0 dx = 1
0
N2
Z 2π
0
2
1dx = 1
Postulaty mechaniki kwantowej
Skrypt
1.2 Postulat drugi
5. Obliczamy N 2 :
1
N 2 = R 2π
0 1dx
6. Obliczamy N :
N = qR
1
2π
0
1dx
Odp. 1.2 Postać funkcji unormowanej:
√
2
Ψ = √ exp(imx) dla x ∈ [0, 2π]
2 π
Na koniec można sprawdźmy, czy otrzymany wynik jest poprawny. Podstawiając stała normalizacyjną N do warunku unormowania funkcji falowej (4), oraz po
rozwiązaniu tej całki, powinniśmy otrzymać wartość 1.
1.2
Postulat drugi
Każdej wielkości mechanicznej zapisanej jako funkcja f współrzędnych i pędów,
f (r1 , r2 , ..., p1 , p2 , ...) przypisujemy operator kwantowomechanicznyF̂ zgodnie z następującymi regułami (Jordan):
Operatorowi składowej x (y, z) pędu przyporządkowyjemy odpowiednio wyrażenia:
∂
∂xi
∂
pyi → −i~
∂yi
∂
pzi → −i~
∂zi
pxi → −i~
(5)
(6)
(7)
Operatorem położenia cząstki x̂ jest operator mnożenia funkcji przez x (analogicznie ŷ, ẑ):
xi → xi ·
yi → yi ·
zi → zi ·
3
(8)
(9)
(10)
Postulaty mechaniki kwantowej
Skrypt
1.2 Postulat drugi
Definicja operatorów, liniowości i hermitowskości
• Czym różni się operator od funkcji?
Funkcja: x −→ y – przyporządkowuje wartości zmiennej niezależnej (liczbie) wartość zmiennej zależnej (liczbę)
Operator: f (x) −→ g(x) – przyporządkowuje funkcji funkcję:
F̂ f (x) = g(x)
(11)
W wyniku działania operatora F̂ na funkcję f (x) otrzymujemy inną funkcję
g(x)
Operatorem jest np.:
– operator różniczkowania względem x: F̂ f (x) =
∂
f (x)
∂x
– operator mnożenia funkcji np. przez 5: F̂ f (x) = 5·f (x)
• Operatory w mechanice kwantowej muszą być liniowe.
Operator F̂ jest liniowy, jeżeli dla dowolnych funkcji porządnych f i g spełnione są jednocześnie warunki:
F̂ (f + g) = F̂ f + F̂ g
(12)
F̂ (cf ) = cF̂ f
(13)
gdzie c - dowolna stała (najczęściej zespolona)
• Operatory w mechanice kwantowej są hermitowskie.
Operator jest hermitowski jeżeli dla dowolnych dwóch funkcji klasy Q (f, g)
spełniony jest warunek:
Z
f ∗ F̂ gdτ =
Przykład Sprawdź, czy operator
Rozwiązanie:
d
dx
Z
g(F̂ f )∗ dτ
(14)
jest operatorem hermitowskim
1. Zaczynamy od napisania warunku hermitowskości operatorów:
Z
f ∗ F̂ gdτ =
4
Z
g(F̂ f )∗ dτ
(15)
Postulaty mechaniki kwantowej
Skrypt
1.2 Postulat drugi
2. Podstawiamy w miejsce operatora F̂ , operator
Z ∞
f ∗ (x)
−∞
d
:
dx
Z ∞
d
d
g(x)dx =
g(x)
f (x)
dx
dx
−∞
∗
dx
(16)
3. Rozpisujemy lewą stronę równania:
L=
Z ∞
f ∗ (x)
−∞
(całkowanie przez części
0
d
g(x)dx =
dx
0
uv = uv − vu ):
R
R
+∞
0
d ∗
u = f ∗ (x)
u = dx
f (x)
= 0
d
v = dx g(x) v = g(x)
=−

=
−∞
−∞
Z ∞
+∞ Z ∞
∗

−i~ f (x)g(x) −
g(x)
−∞
d ∗
f (x)dx
dx
4. Rozpisujemy prawą stronę równania (17):
!∗
Z ∞
d
g(x)
P =
f (x)
dx
−∞
• pamiętając, że
d
dx
∗
=
dx =
d
:
dx
=
Z ∞
g(x)
−∞
d ∗
f (x)dx
dx
5. Sprawdzamy, czy L - lewa strona równania = P - prawej stronie równania:
L = −
Z ∞
g(x)
−∞
P =
Z ∞
g(x)
−∞
d ∗
f (x)dx
dx
d ∗
f (x)dx
dx
L 6= P
Odp. NIE. Podany operator nie jest operatorem hermitowskim.
• Działania na operatorach:
a. suma: (F̂ + Ĝ)f = F̂ f + Ĝf
b. iloczyn: F̂ Ĝf = F̂ (Ĝf )
c. potęga: F̂ 2 f = F̂ (F̂ f )
d. odwrotność: F̂ = Ĝ−1 → F̂ Ĝf = f
5

d
g(x) f ∗ (x)dx =
dx
−∞
Postulaty mechaniki kwantowej
Skrypt
1.2 Postulat drugi
Konstrukcja operatorów
Znając drugi postulat mechaniki kwantowej można konstruować operatory innych
zmiennych dynamicznych (znając ich wyrażenie klasyczne) zastępując te zmienne
odpowiednimi operatorami.
Aby np. zapisać operator energii kinetycznej elektronu należy:
1. Podać wyrażenie klasyczne:
T =
1 2
p~ 2
=
px + p2y + p2z
2m
2m
2. Zastąpić zmienne dynamiczne (p2x , p2y , p2z ) odpowiednimi operatorami (pamiętając, że (−i)(−i) = i2 = −1):
∂
∂2
∂
(−i~)
= −~2 2
∂x
∂x
∂ x
∂
∂
∂2
= p̂y p̂y = (−i~)
(−i~)
= −~2 2
∂y
∂y
∂ y
∂
∂
∂2
(−i~)
= −~2 2
= p̂z p̂z = (−i~)
∂z
∂z
∂ z !
2
2
∂
∂2
∂
= p̂2x + p̂2y + p̂2z = −~2
+
+
= −~2 ∇2
∂ 2x ∂ 2y ∂ 2z
p̂2x = p̂x p̂x = (−i~)
p̂2y
p̂2z
p̂2
1 2
~2
T̂ =
p̂x + p̂2y + p̂2z = −
2m
2m
∂2
∂2
∂2
+
+
∂x2 ∂y 2 ∂z 2
!
=−
~2 2
∇
2m
Bardzo ważnym operatorem jest operator energii całkowitej - hamiltonian. Jest
sumą energii całkowitej i potencjalnej:
Ĥ = T̂ + V̂
(17)
dla jednego wymiaru:
Ĥ = −
~ d2
+ V (x)
2m dx2
Komutatory
• Iloczyn operatorów.
F̂ Ĝf = F̂ Ĝf
6
(18)
Postulaty mechaniki kwantowej
Skrypt
1.2 Postulat drugi
W przypadku iloczynu dwóch operatorów (F̂ i Ĝ) ważna jest kolejność działania tych operatorów. Na ogół iloczyn ten jest nieprzemienny: najpierw
operator Ĝ działa na funkcję f (czyli ten operator który stoi najbliżej funkcji f , po lewej stronie tej funkcji), a dopiero na wynik tego działania działa
kolejny operator F̂ , Tak więc:
F̂ Ĝ 6= ĜF̂
Przykład
Wyznacz wynik działania operatora Sˆ1 = F̂ Ĝ oraz Sˆ2 = ĜF̂ na funkcję f (x)
d
, Ĝ = x
jeżeli: F̂ = dx
d
d
(xf (x)) = 1f (x) + x f (x)
Sˆ1 f (x) = F̂ Ĝf (x) =
dx
dx
d
Sˆ2 f (x) = ĜF̂ f (x) = x f (x)
dx
Ŝ1 f (x) − Sˆ2 f (x) = 1f (x) 6= 0
W przykładzie tym widać, że iloczyn operatorów nie jest przemienny. O takich operatorach mówi się, że nie komutują ze sobą. W przeciwnym przypadku - czyli, gdy iloczyn operatorów jest przemienny, operatory komutują
ze sobą.
• Komutatorem operatorów F̂ i Ĝ nazywa się operator K̂, który wyraża różnicę
iloczynów F̂ Ĝ i ĜF̂ :
h
(
i df
K̂ = F̂ , Ĝ = F̂ Ĝ − ĜF̂
= 0 wtedy operatory komutują ze sobą
6= 0 wtedy operatory nie komutują ze sobą
Operatory są przemienne: F̂ Ĝ = ĜF̂ (czyli komutują ze sobą), jeżeli:
h
i
K̂ = F̂ , Ĝ = F̂ Ĝ − ĜF̂ = 0
• Własności komutatorów
h
i
h
i
h
Â, B̂ + Ĉ = Â, B̂ + Â, Ĉ
i
(19)
h
i
h
i
h
i
(20)
h
i
h
i
h
i
(21)
i
h
ÂB̂, Ĉ = Â B̂, Ĉ + Â, Ĉ B̂
Â, B̂ Ĉ = B̂ Â, Ĉ + Â, B̂ Ĉ
h
h
Â, aB̂ = a Â, B̂
i
h
i
aÂ, aB̂ = a2 Â, B̂
7
(22)
i
(23)
Postulaty mechaniki kwantowej
Skrypt
1.3 Postulat trzeci
1.3
Postulat trzeci
Zmiana funkcji falowej Ψ w czasie jest opisana równaniem Schrödingera zawierającym czas:
∂Ψ
(24)
ĤΨ = i~
∂t
Ĥ Ψ̃ = i~
∂ Ψ̃
∂t
(25)
E
Ψ̃(r1 , r2 , ..., t) = Ψ(r1 , r2 , ..., rN )e−i ~ t
(26)
E jest energią całkowitą układu.
Niezależna od czasu wersja równania Schrödingera:
ĤΨ = EΨ
(27)
jest zadadnieniem własnym hamiltonianu, gdzie:
- Ψ jest funkcją falową stanu stacjonarnego,
- E jest energią tego stanu.
Stany stacjonarne:
- hamiltonian nie zależy od czasu lub (równoważnie)
- gęstość prawdopodobieństwa nie zależy od czasu
1.4
Postulat czwarty
Ogólnie równanie własne operatora F̂ zapiszemy w postaci:
F̂ Φi = fi Φi
(28)
fi - wartość własna
Φi - funkcja własna.
(operator) działa na (funkcję własną) = (wartość własna) (ta sama funkcja
własna)
Wynikiem pomiaru wielkości F̂ może być tylko jedna z wartości własnych
operatora F̂ . Jeżeli Φi jest funkcją stanu układu to zmienna F̂ ma w tym
stanie dokładnie wartość fi .
8
Postulaty mechaniki kwantowej
Skrypt
1.4 Postulat czwarty
Jednoczesna mierzalność wielkości fizycznych:
Kiedy dwie wielkości fizyczne (obserwable), którym odpowiadają operatory F̂ i Ĝ
sa równocześnie dokładnie mierzalne?
Z postulatu IV wynika, że ostro można określić wartość wielkości F , gdy funkcja
stanu Ψ jest funkcją własną operatora F̂ . Zatem jeśli dwie wielkości F i G mają
być równocześnie ostro mierzalne to funkcja Ψ winna być funkcją własną obu operatorów F̂ i Ĝ.
Równanie Schrödingera:
ĤΨ = EΨ
jest równaniem własnym hamiltonianu. W równianiu tym wartością własną jest
energia (E), a funkcja Ψ to funkcja własna operatora Hamiltona. Wartości własne
operatorów hermitowskich (a takim jest operator Hamiltona) są rzeczywiste.
Przykłady
d
?
1. Sprawdź, czy funkcja eax jest funkcją własną operatora dx
Rozwiązanie:
Działamy operatorem na funkcję i sprawdzamy, czy wynik jest iloczynem stałego czynnika i wyjściowej funkcji, pamiętając, że równanie własne można
zapisać: operator * funkcja = (wartość własna) * (ta sama funkcja)
d ax
e =
dx
teraz musimy zadziałać operatorem na funkcję, czyli policzyć pochodną z podanej funkcji:
= aeax
Odp. TAK. Funkcja eax jest funkcją własną operatora
tego operatora wynosi a.
2
d
,
dx
2. Sprawdź, czy funkcja eax jest funkcją własną operatora
Rozwiązanie:
a wartość własna
d
?
dx
d ax2
2
e = 2axeax
dx
2
d
Odp. NIE. W wyniku działania operatora dx
na funkcję eax otrzymujemy
tę samą funkcję, ale jest ona mnożona przez inną funkcję x (i przez czynnik
stały 2a).
9
Postulaty mechaniki kwantowej
Skrypt
1.5 Postulat piąty
1.5
Postulat piąty
O wartości średniej
Znając funkcję falową możemy wyznaczyć wartości spodziewane różnych wielkości
fizycznych. Wartość spodziewana (średnia) f¯ wielkości mechanicznej F , której
odpowiada operator F̂ dana jest wyrażeniem:
f¯ =
Z
Ψ∗ F̂ Ψdτ
(29)
(zakładamy, że funkcja falowa Ψ jest unormowana)
Wynika pośrednio z zasady superpozycji. Jeżeli prawdopodobieństwo udziału funkcji Φi w funkcji opisującej stan układu, czyli prawdopodobieństwo wystąpienia
wielkości fi wynosi |ci |2 to średnia wartość wielkości F, zgodnie z zasadami statystyki wynosi:
X
f¯ =
|ci |2 fi
i
W oparciu o postulat V obliczymy wartość średnią tego operatora:
f¯ =
Z
Ψ∗ F̂ Ψdτ =
X
c∗i cj
i,j
Z
Φ∗i F̂ Φj dτ =
X
i
10
c∗i ci fi