Matura 2016 PP III kombinatoryka i rachunek

III ETAP: „Pomoc w przygotowaniu uczniów kończących szkołę ponadgimnazjalną do matury z matematyki w 2016 roku”
STATYSTYKA – zakres podstawowy
1. (CKE 215) Średnia arytmetyczna zestawu danych 2, 4, 7, 8, 9 jest taka sama, jak średnia
arytmetyczna zestawu danych 2, 4, 7, 8, 9, x. Wynika stąd, że:
A.
𝑥=0
B.
𝑥=3
C.
𝑥=5
D.
𝑥=6
2. (CKE 2014) Mediana zestawu danych 2,12, a, 10, 5, 3 jest równa 7. Wówczas:
A.
𝑎=9
B.
𝑎=7
𝑎=6
C.
D.
𝑎=4
3. Mediana zestawu liczb 3, 1, 3, 6, 11, 2, x, 8 jest równa 4. Wówczas średnia arytmetyczna tego
zestawu liczb jest równa:
A.
5
B.
39
8
C.
19
4
9
2
D.
4. Mediana danych przedstawionych w tabeli liczebności jest równa:
wartość
liczebność
A.
0
B.
0,5
0
5
1
2
2
1
3
1
C. 1
D. 5
5. Dla zbioru 𝐴 = {−1,0, 1} odchyleniem standardowym jest liczba:
A.
2
3
B.
√6
3
C.
√2
3
D. 0
6. Średnia arytmetyczna zestawu danych 3, 5, 4, 5, 6, 10, 12, x, 6 jest równa
dominanta tego zestawu to:
A.
5
B.
6
C. są dwie: 5 oraz 6
19
3
. Wynika stąd, że
D. nie ma dominanty
7. (CKE 2015) Zestaw danych: x1 , x2 , x3 ,..., xn ma średnią arytmetyczną a i odchylenie standardowe s.
x a
x  a x2  a x3  a
,
,
,..., n
Wykaż, że zestaw danych: 1
ma średnią arytmetyczną 0.
s
s
s
s
8. (CKE 2015) Adam otrzymał z trzech kolejnych klasówek następujące oceny: 6, 4, 4. Oblicz, jaką
ocenę otrzymał Adam z czwartej klasówki, jeżeli odchylenie standardowe otrzymanych ocen jest
11
równe
.
16
9. Uczeń otrzymał pięć ocen: 5, 3, 6, 𝑥, 3. Średnia arytmetyczna tych ocen jest równa 4. Oblicz 𝑥 i
medianę tych pięciu ocen.
10. Kwadrat odchylenia standardowego danych: 3, 𝑥 jest równy 1. Oblicz 𝑥.
11. Wyniki sprawdzianu z matematyki są przedstawione na diagramie słupkowym.
Opracowanie: Andrzej Gregorczyk, Joanna Kozubal, Ryszard Samek
Strona 1
III ETAP: „Pomoc w przygotowaniu uczniów kończących szkołę ponadgimnazjalną do matury z matematyki w 2016 roku”
a) oblicz średnią ocen ze sprawdzianu
b) wyznacz medianę danych przedstawionych na diagramie
12. Średnia arytmetyczna cen sześciu akcji na giełdzie jest równa 500 zł. Za pięć z tych akcji zapłacono
2300 zł. Jaka jest cena szóstej akcji .
13. Oblicz średnią i odchylenie standardowe temperatury mierzonej w stopniach Celsjusza:
-1, 0, 3, 0, 4, 2, -1.
14. Wagi urodzeniowe sześciu noworodków urodzonych jednego dnia na oddziale pewnego szpitala były
równe: 3500g, 3100g, 2850g, 3300g, 3550g,4700g. Oblicz średnią wagę noworodków oraz
odchylenie standardowe.
15. Na podstawie poniższych informacji uzasadnij, że √64𝑝2 + 𝑞 2 jest liczbą wymierną.
Liczba 6,5
Waga
2
9
p
Liczba
średnia ważona:8
Waga
9
q
0,1 0,3
średnia ważona: 7,5
16. W ciągu kolejnych siedmiu dni rajdu rowerowego przebyto trasy długości: 26 km, 34 km, 40 km,
44 km, 45 km, 37 km, 26 km. Oblicz średnią długość trasy przebytej jednego dnia oraz odchylenie
standardowe.
27. Podaj przykład pięciu liczb, których mediana jest:
a) większa od ich średniej arytmetycznej
b) mniejsza od ich średniej arytmetycznej
Opracowanie: Andrzej Gregorczyk, Joanna Kozubal, Ryszard Samek
Strona 2
III ETAP: „Pomoc w przygotowaniu uczniów kończących szkołę ponadgimnazjalną do matury z matematyki w 2016 roku”
KOMBINATORYKA – zakres podstawowy
1. (CKE) Ile jest liczb naturalnych trzycyfrowych, w których co najmniej jedna cyfra jest
dziewiątką?
2. (CKE) Ile jest wszystkich sposobów na jakie Ala i Bartek mogą usiąść w kinie na dwóch spośród
pięciu wolnych miejsc?
3. (CKE) Ile jest liczb naturalnych czterocyfrowych, w których zapisie pierwsza cyfra jest parzysta,
a pozostałe są nieparzyste?
4. (CKE) Ile jest liczb naturalnych czterocyfrowych, w których zapisie nie występuje zero, jest
dokładnie jedna cyfra 7 i dokładnie jedna cyfra parzysta ?
5. (CKE) Oblicz ile jest wszystkich liczb siedmiocyfrowych zapisanych wyłącznie za pomocą
cyfr 1, 2, 3 wiedząc, że cyfry mogą się powtarzać
6. (CKE) Oblicz ile jest wszystkich liczb siedmiocyfrowych w zapisie których nie występuje zero
i na dokładnie dwóch miejscach stoją cyfry parzyste.
7. (CKE) Oblicz ile jest wszystkich liczb ośmiocyfrowych, których iloczyn cyfr jest równy 24.
8. (CKE) Oblicz ile jest wszystkich liczb stucyfrowych o sumie cyfr równej 5, w zapisie których
występują tylko cyfry 0,1,3,5.
9. Ze zbioru cyfr {1,2,3,4,5,6,7,8,9} losujemy kolejno bez zwracania trzy cyfry, a następnie
układamy je w kolejności losowania w liczbę trzycyfrową. Ile w ten sposób można utworzyć
liczb nieparzystych? Ile liczb podzielnych przez 5? Ile liczb większych od 450?
10. Z tali 52 kart losujemy cztery karty. Ile jest możliwych wyników losowania, jeśli wśród czterech
kart mają być:
a) dwie figury i dwie blotki
b) trzy blotki i jeden król (blotka to karta, która nie jest figurą tzn. 2, 3, 4,…, 9, 10)
c) co najmniej jedna figura
11. W klasie jest 10 chłopców i 7 dziewcząt. Wybieramy cztery osoby. Ile jest możliwych sposobów
wyboru tych osób, tak by wśród nich:
a) były same dziewczęta
b) połowę stanowiły dziewczęta
c) był co najmniej jeden chłopiec.
12. Z klasy liczącej 12 chłopców i 8 dziewcząt wybrano losowo 3-osobową delegację. Ile jest takich
delegacji w skład których weszła 1 dziewczyna i 2 chłopców? Ile jest takich delegacji, w których
jest co najmniej co najmniej 1 chłopak?
13. W kwiaciarni znajduje się trzy rodzaje kwiatów. Ile można ułożyć z nich bukietów składających
się z siedmiu kwiatów?
Opracowanie: Andrzej Gregorczyk, Joanna Kozubal, Ryszard Samek
Strona 3
III ETAP: „Pomoc w przygotowaniu uczniów kończących szkołę ponadgimnazjalną do matury z matematyki w 2016 roku”
14. Agata chce rozmieścić 4 sweterki w szafce, w której jest 6 szuflad. Na ile sposobów może to
zrobić? Ile jest takich sposobów jeśli każdy sweter znajduje się w innej szufladzie?
15. Na ile sposobów można spośród 10 osób wybrać komisję 3 osobową oraz jej przewodniczącego?
16. Ile jest liczb pięciocyfrowych, które nie zmieniają się, gdy są czytane od końca?
17. Na ile sposobów można ustawić w kolejce 5 dziewcząt i 5 chłopców, przy założeniu, ze
dziewczęta stoją przed chłopcami?
18. Na ile sposobów można rozmieścić 6 osób w trzech różnych pokojach dwuosobowych ?
19. Spośród 5 małżeństw wybieramy 4 –osobową komisję. Na ile sposobów można to zrobić, jeżeli
współmałżonkowie nie mogą wchodzić w skład komisji?
20. Na przyjęcie przyszła pewna ilość osób, przy czym każdy witał się z każdym. Ile było osób na
przyjęciu jeśli nastąpiło 45 powitań?
21. Na płaszczyźnie narysowano n punktów, z których dowolne trzy nie są współliniowe. Ile
punktów narysowano, jeśli wyznaczyły one 36 prostych?
22. Dane są dwie proste równoległe na jednej z nich znajduje się 4 punkty a na drugiej 5 punktów.
Ile różnych trójkątów można narysować tak, aby ich wierzchołkami były te punkty? Ile jest
takich czworokątów, aby ich wierzchołkami były te punkty ?
23. Ile różnych słów (mających sens lub nie) można ułożyć, przestawiając litery słowa korektorka?
24. W szafie znajduje się 12 par butów. Na ile sposobów można wyciągnąć z szafy 5 butów, tak aby
wśród nich była przynajmniej jedna para?
25. Korzystając z rysunku obok oblicz:
a) Ile jest najkrótszych dróg z wierzchołka A
do wierzchołka B ?
b) Ile różnych kwadratów jest na poniższym
rysunku , których wierzchołkami są punkty
przecięcia linii kwadratu 66 ?
c) Ile różnych prostokątów jest na poniższym
rysunku , których wierzchołkami są punkty
przecięcia linii kwadratu 66, a boki są
równoległe do tych linii?
Opracowanie: Andrzej Gregorczyk, Joanna Kozubal, Ryszard Samek
Strona 4
III ETAP: „Pomoc w przygotowaniu uczniów kończących szkołę ponadgimnazjalną do matury z matematyki w 2016 roku”
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA – zakres podstawowy
1.
(CKE 2015) W każdym z trzech pojemników znajduje się para kul, z których jedna jest czerwona, a
druga – niebieska. Z każdego pojemnika losujemy jedną kulę. Niech p oznacza prawdopodobieństwo
zdarzenia polegającego na tym, że dokładnie dwie z trzech wylosowanych kul będą czerwone.
Wtedy:
1
A. p = 4
B.
3
p=8
C.
1
p=2
D.
2
p=3
2. (CKE 2014) Jeżeli A jest zdarzeniem losowym, a A′- zdarzeniem przeciwnym do zdarzenia A oraz
zachodzi równość P(A) = 2P(A′) , to
A. P(A) =
2
3
B.
P(A) =
1
2
C.
P(A) =
1
3
D.
P(A) =
1
6
3. Rzucamy trzy razy monetą. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że wypadnie dokładnie jeden orzeł i
reszka wypadnie za pierwszym razem?
A.
2
3
B.
1
4
C.
3
8
D.
5
8
4. Ze zbioru liczb naturalnych dodatnich nie większych od 30 losujemy jedną liczbę. Jakie jest
prawdopodobieństwo tego, że wylosujemy liczbę pierwszą?
A.
2
30
B.
12
30
C.
8
30
D.
10
30
5. Wojtek zapomniał ostatnią cyfrę swojego czterocyfrowego kodu dostępu do dziennika
elektronicznego. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że wybierając tę cyfrę losowo, za pierwszym
razem uzyska dostęp do dziennika?
A.
1
9
B.
1
2
C. 0,1
D. 1
6. Do windy zatrzymującej się na pięciu piętrach wsiadły 4 osoby. Jakie jest prawdopodobieństwo tego,
że wszyscy wysiądą na ty samym piętrze?
A.
1
45
B.
1
55
C.
1
54
D.
1
44
7. (CKE 2015)Wśród 115 osób przeprowadzono badania ankietowe, związane z zakupami w pewnym
kiosku. W poniższej tabeli przedstawiono informacje o tym, ile osób kupiło bilety tramwajowe
ulgowe oraz ile osób kupiło bilety tramwajowe normalne.
Rodzaj kupionych
Liczba osób
biletów
ulgowe
76
normalne
41
Uwaga! 27 osób spośród ankietowanych kupiło oba rodzaje biletów.
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że osoba losowo wybrana spośród
ankietowanych nie kupiła żadnego biletu. Wynik przedstaw w formie nieskracalnego ułamka.
Opracowanie: Andrzej Gregorczyk, Joanna Kozubal, Ryszard Samek
Strona 5
III ETAP: „Pomoc w przygotowaniu uczniów kończących szkołę ponadgimnazjalną do matury z matematyki w 2016 roku”
8. (CKE 2014) Ze zbioru liczb {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem.
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A, polegającego na wylosowaniu liczb, z których pierwsza
jest większa od drugiej o 4 lub 6.
9. Prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego do zdarzenia A jest czterokrotnie większe od
prawdopodobieństwa zdarzenia A. Oblicz prawdopodobieństwo tego zdarzenia.
10. Dane są dwie proste równoległe k i l. Na prostek k wybrano 3 różne punkty, a na prostej l dwa różne
punkty. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że losując dowolne 3 punkty otrzymamy trójkąt o
wierzchołkach w tych punktach.
11. Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych losujemy liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo
zdarzenia polegającego na wylosowaniu liczby nieparzystej i podzielnej przez 7.
12. Z odcinków o długościach należących do zbioru {2 , 3 , 4 ,5, 6, 7} wylosowano trzy różne.
Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że z wybranych odcinków można zbudować trójkąt?
13. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że losowo wybrany punkt spośród punktów o współrzędnych
(x , y), gdzie x ∈ {−1, 0, 1, 2, 3} i y ∈ {−2, −1,0,1} należy do prostej o równaniu y = −x + 1.
14. Spośród wierzchołków sześcianu o krawędzi 1 losowo wybrano dwa wierzchołki. Oblicz
prawdopodobieństwo zdarzenia A – długość odcinka o wylosowanych odcinkach wynosi √3 .
15. Ze zbioru liczb {1, 2, 3, 4, 5, 6} losujemy dwa razy po jednej liczbie bez zwracania. Oblicz
prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na wylosowaniu takich dwóch liczb, że suma
pierwszej i podwojonej drugiej liczby jest liczba parzystą.
16. Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia,
że suma wyrzuconych oczek będzie podzielna przez 3.
17. Ze zbioru liczb {−2, −1, 0, 1, 2} losujemy kolejno bez zwracania liczbę 𝑎 i następnie liczbę 𝑏
i zapisujemy wzór funkcji 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że otrzymamy
wzór funkcji:
a) malejącej
b) stałej,
c) której wykres przecina oś y poniżej początku układu współrzędnych
18. Wiedząc, że 𝑃(𝐴) oznacza prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 ⊂ Ω oraz 4 ∙ 𝑃(𝐴) − 𝑃(𝐴′ ) = 1.
Oblicz 𝑃(𝐴)
19. Pewne doświadczenie polega na jednoczesnym rzucie moneta i sześcienną kostką do gry. Oblicz
prawdopodobieństwo tego, że wypadnie orzeł i liczba oczek większa od 4.
20. Rzucamy sześcienną kostką do gry. Jeżeli wypadnie liczba oczek będąca liczbą pierwszą to losujemy
jedną kulę z pudełka zielonego, a w przeciwnym przypadku losujemy kulę z pudełka czerwonego. W
pudełku zielonym jest 5 kul czarnych i 2 kule białe, a w pudełku czerwonym są 4 kule czarne i 3
kule białe. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej.
Opracowanie: Andrzej Gregorczyk, Joanna Kozubal, Ryszard Samek
Strona 6