Dla odległości większych niż promień kuli, natężenie pola i

5.6 Podsumowanie wiadomości o polu elektrycznym
Na poprzednich wykładach poznaliśmy następujące
informacje dotyczące pola elektrycznego:
1. Cyrkulacja pola
2. Rotacja pola , definicja pola bezwirowego, pola o
zerowej rotacji
3. Twierdzenie Stokes’a, podjące związek pomiędzy
całką
po konturze, a całką powierzchniową,
4. Definicja gradientu pola,
5. Istnienie dla pola elektrycznego, które jest bezwirowe
potencjału skalarnego, którego gradient jest równy
natężeniu pola elektrycznego.
Reinhard Kulessa
1
6. Dywergencję funkcji wektorowej,
7. Prawo Gaussa, również w postaci różniczkowej
8. Twierdzenie Gaussa podające związek pomiędzy całką
powierzchniową a objętościową ,
9. Definicja potencjału skalarnego pola ,
10. Równania Poissona i Laplace’a pozwalające wyliczyć
potencjał pola,
Rozważmy pole elektryczne, dla którego gęstość ładunku
=0. Wtedy dla potencjału spełnione jest równanie
Poissona z =0, czyli równanie Laplace’a, V=0 .
Jednoznaczne znalezienie potencjału wymaga dodatkowo
podania warunków brzegowych, inaczej zawsze można by
podać rozwiązanie V0.
Reinhard Kulessa
2
Wykład 3
5.6.1 Linie sił pola elektrycznego
Pamiętamy, że we wzorze (5.1) określiliśmy natężenie pola
elektrycznego przy pomocy ładunku próbnego q0, którego
wielkość dążyła do zera. Robiliśmy to po to, aby uniknąć
wpływu ładunku próbnego na pole elektryczne.
Pochodzące od ładunku Q natężenie pola elektrycznego
w punkcie o współrzędnych r jest zdefiniowane przez
równanie:
 
Q 
E (r )  k 3 r
r
(5.3)
Wprowadzenie nowego ładunku, spowoduje zmianę pola
przez zmianę położenia pierwotnych ładunków.
Reinhard Kulessa
3
Tym nowym polem musimy posłużyć się przy liczeniu siły
działającej na nowy ładunek.
Pole elektryczne jest lokalną własnością każdego punktu
układu.
Znajomość pola w jakimś obszarze pozwala przewidzieć
zachowanie się dowolnych ładunków w tym obszarze, przy
czym znajomość źródeł pola jest nam niepotrzebna.
Z drugiej strony dokładne wyznaczenie w każdym punkcie
wartości pola, pozwala podać wartości i położenia ładunków
stanowiących źródła pola.
Jednym ze sposobów graficznego przedstawienia pola
elektrycznego jest wyrysowanie linii pola. Są to linie,
które w każdym punkcie są styczne do kierunku pola. Po
nich poruszałby się nie zakłócający pola dodatni ładunek
próbny.
Pola pochodzące od pojedynczych ładunków przedstawione
są na następnym rysunku.
4
Linie sił
natężenia pola
dla
ładunków
pojedynczych.
Linie sił natężenia
pola dla dwóch
ładunków o
przeciwnych znakach.
Układ taki nazywamy
dipolem.
Reinhard Kulessa
5
Linie sił natężenia pola
dla dwóch równych
ładunków dodatnich
Dla dwóch równych
ujemnych
ładunków zwrot
linii sił będzie
przeciwny.
Należy podkreślić, że liczba linii natężenia pola
elektrycznego przypadających na jednostkę powierzchni
informuje nas o wielkości natężenia pola elektrycznego.
Porównanie linii sił pola elektrycznego dla dwóch
jednakowych, oraz dwóch przeciwnych ładunków
przedstawione jest następnych rysunkach.
Reinhard Kulessa
6
E=0
W połowie linii łączącej dwa jednakowe ładunki o
jednakowych znakach natężenie pola elektrycznego jest
równe zero.
Reinhard Kulessa
7
-
+
Reinhard Kulessa
8
Linie ekwipotencjalne
Reinhard Kulessa
9
Linie ekwipotencjalne + natężenie różnicowanie kolorem
Reinhard Kulessa
10
Wektory natężenia pola elektrycznego dla dwóch ujemnych
konturów
Reinhard Kulessa
11
Kontury ekwipotencjalne
Reinhard Kulessa
12
Kontury ekwipotencjalne+ efekt kolorów
Reinhard Kulessa
13
5.6.2 Linie ekwipotencjalne
Potencjał najlepiej jest przedstawić w postaci linii lub
powierzchni ekwipotencjalnych,
V(x,y,z)  const
Można je łatwo znaleźć z zależności
.

E   grad V
.
Linie sił pola elektrycznego są prostopadłe do linii lub
powierzchni ekwipotencjalnych.
Na linii ekwipotencjalnej V = const, czyli dV = 0.
Reinhard Kulessa
14
Rozmieszczenie linii natężenia pola elektrycznego
względem linii ekwipotencjalnych dla dwóch różnego
znaku ładunków, przedstawia poniższy rysunek.
Reinhard Kulessa
15
Przedstawiona tu prosta
animacja pokazuje, że okręgi
współśrodkowe z ładunkiem są
liniami ekwipotencjalnymi.
Z faktu, że natężenie pola elektrycznego E jest prostopadłe
do powierzchni ekwipotencjalnych wynika, że
powierzchnie przewodników są powierzchniami
ekwipotencjonalnymi.
Reinhard Kulessa
16
5.7 Natężenie i potencjał pola dla zadanych
rozkładów ładunków
5.7.1 Przewodząca kula naładowana ładunkiem Q
Q
 
2
4r
E=0
V=const
R
  const
r
dA
Zgodnie z prawem Gaussa
E


Q
2
 E  dA  E 4r 
A
Reinhard Kulessa
0
17
Natężenie pola elektrycznego w odległości r od kuli
przewodzącej o promieniu R i gęstości powierzchniowej
ładunku równej  jest równe,

E
  R 
r
r
3
3
40 r
0 r
Q
2
(5.17)
W oparciu o zależność pomiędzy natężeniem pola
elektrycznego a potencjałem (r. (5.11a) ), V (r )    E  dr
r

otrzymamy na potencjał na zewnątrz oraz wewnątrz
naładowanej przewodzącej kuli następujące wyrażenia:
V 
Q
40


r
dr
Q

2
r
40 r
Reinhard Kulessa
rR
(5.18a)
18
V 


R
 
 

E  dr   E  dr 
r R
Q
40 R
R
(5.18b)
 const
Reinhard Kulessa
rR
19
5.7.2 Pole elektryczne na „ostrzach”
Doświadczenie uczy nas, że natężenie pola elektrycznego jest
najsilniejsze w pobliżu ostrzy, czy nierówności powierzchni.
Przedstawiony kształt
możemy przybliżyć przez
dwie przewodzące kule o
różnych promieniach,
połączone przewodnikiem.
Otrzymujemy więc przewodnik o
wspólnym jednakowym potencjale
V.
Reinhard Kulessa
20
R1
V1 
R2
Q1
40 R1
Potencjały kul o promieniach
R1 i R2 przed połączeniem
wynoszą odpowiednio V1 i V2.
=
V2 
Q2
40 R2
Po wyrównaniu się potencjałów na obydwu kulach
mamy
Q1 Q2 . Wiemy również, że

R1
R2
Reinhard Kulessa
21
E1
E2
Q1
2
R1
1


Q2
2
2
R2
W oparciu o te równania możemy napisać:
E1 R2  1


E 2 R1  2
(5.19)
Stwierdzamy więc że, rozkład ładunku na powierzchniach
zakrzywionych jest taki, że pole E jest odwrotnie
proporcjonalne do promienia krzywizny powierzchni.
Reinhard Kulessa
22
5.7.3 Pole elektryczne i potencjał pochodzące od
jednorodnie naładowanej nieprzewodzącej kuli
W celu wyznaczenia natężenia
posłużymy się prawem Gaussa.
E
dA
r
A
r’
R
A’
dA’
=const
23
E
dA
r
A
r’
R
 
E (r ) 
A’
dA’
Zgodnie z równaniem (5.17)
wyrażenia na natężenie pola i
potencjał w odległości r>R od
środka naładowanej
nieprzewodzącej kuli są
następujące:
=const
V (r) 
Q
40 r
3

r
(5.19a)
Q
40 r
Powierzchnia sferyczna o promieniu r’ wewnątrz kuli
obejmuje tylko część ładunku Q(r’).
Reinhard Kulessa
24
'3
3


4
Q
R
r
'3
Q( r ' )    r ' 
4
/
3

r
 Q R  3
3
3
4 / 3R
R
Wobec tego zgodnie z prawem Gaussa:
'
'3
 '
2
Q
(
r
)
Q
(
R
)
r
'
E

d
A

E

4

r


3
A


R

0
0
A
 '
Q R   '
E (r ) 
r
3
40 R
r ’<R
(5.20)
Widzimy więc, że we wnętrzu kuli natężenie pola
wzrasta liniowo wraz z odległością od środka kuli
Reinhard Kulessa
25
Dla odległości większych niż promień kuli, natężenie pola i
potencjał jest takie jak we wzorze (5.19a)
Na odległości r<R od środka jednorodnie naładowanej kuli
potencjał przyjmuje następującą wartość: (proszę obliczyć).
2

3Q
r
V (r ) 
(1  2 )
80 R
3R
(5.21)
E(r)
Rysunek obok przedstawia
zależność natężenia w zależności
od odległości od środka
jednorodnie naładowanej
nieprzewodzącej kuli.
Q
40 R 3
R
Reinhard Kulessa
r
26
5.7.4 Dipol elektryczny
Policzymy potencjał i natężenie pola elektrycznego
pochodzącego od dipola elektrycznego, czyli układu dwóch
jednakowych ładunków o przeciwnych znakach znajdujących
się w pewnej odległości od siebie.
P
P
Potencjał w punkcie P
liczymy zgodnie z zasadą

superpozycji.

r
r

r

-Q
+Q
L
Reinhard Kulessa
27

V (r ) 
1
Q
1 Q


40 r 40 r

r
r  r

40 r  r
q
Dla dużych r zachodzi r+ || r || ri wtedy możemy napisać

r

r

-Q
+Q
L
r  r  L cos 
r  r  r
Na potencjał w punkcie P otrzymujemy wyrażenie;
Reinhard Kulessa
28

V (r ) 
Wyrażenie
cos 
 2  L Q
40 r
1


L Q  P
(5.22)
nazywamy momentem dipolowym.
Otrzymujemy więc:
 

1
Pr
V (r ) 
 3
40 r
(5.23)
Widzimy więc, że potencjał dipola maleje jak 1/r2, podczas
gdy potencjał ładunku punktowego maleje jak 1/r.
Reinhard Kulessa
29
W oparciu o znany potencjał policzmy natężenie pola
elektrycznego pochodzące od dipola. Ponieważ mamy
symetrię wokół osi x, możemy wykonać obliczenia we
współrzędnych biegunowych
 na płaszczyźnie.
y
E
E
Gradient we współrzędnych
biegunowych ma składowe:
Er

r

P
x
Reinhard Kulessa
  1  
  ir
i
r
r 
Mamy więc

E   grad V
30
Czyli,
2 P cos 
Er 

40
r3
1



E  Er i r  E i 
P  sin 
E 

40
r3
1
Korzystając z zależności pomiędzy wersorami układów
kartezjańskiego i biegunowego:



i r  cos  i  sin  j



i    sin  i  cos  j
Reinhard Kulessa
31



1 P
2
E
[(
3
cos
  1) i  (3 cos  sin  ) j ]
3
40 r
Składowe równoległa (x) i prostopadła (y) natężenia
pola elektrycznego pochodzącego od dipola są
następujące:
P 3 cos 2   1
Ex 
40
r3
P 3 cos  sin 
Ey 
40
r3
Reinhard Kulessa
(5.24)
32
Linie sił natężenia pola elektrycznego dipola, oraz linie
ekwipotencjalne są przedstawione na poniższym
rysunku.
Reinhard Kulessa
33
5.7.5 Jednorodnie naładowany dysk
Wyliczymy potencjał i natężenie pola elektrycznego na
osi jednorodnie naładowanego dysku,
który podzielimy na pierścienie o
promieniu y i szerokości dy
1
2 2
(y 2  x )
R
y
x
P
dy
Na pojedynczym pierścieniu
znajduje się ładunek dq. Potencjał pochodzący od żółtego
pierścienia w punkcie P wynosi:
Reinhard Kulessa
34
dV 
dq
40 y 2  x 2
Całkowity potencjał uzyskamy całkując po wszystkich
pierścieniach
R
1
dq
V
40 0 y 2  x 2
Ładunek dq zawarty w pierścieniu wynosi
dq =  2 y dy.
Na całkowity potencjał w punkcie P uzyskamy:
Reinhard Kulessa
35
 2 R
y dy
V 
2
2
4 0 
y x
0
R

2
2

y x 0
2 0




R 2  x 2   x
2 0


Pole elektryczne ma składową tylko w kierunku x. Mamy
więc
dV
E  Ex  
dx
Reinhard Kulessa
36
Po zróżniczkowaniu otrzymamy na wartość natężenie
pola elektrycznego w punkcie P na osi dysku wartość:
1

  Q  2
2 2


E 
R  x   x 
2 

x  20 R 

x


1
1
2
2
2 2
20 R 
R  x 

Q
Reinhard Kulessa




37
5.8 Rozkład potencjału dla zadanego ładunku
na multipole (momenty multipolowe)
z
P
r

d

y
x
Aby obliczyć potencjał w punkcie P
pochodzący od zadanego rozkładu ładunku
w objętości  stosujemy wzór (5.10).
Reinhard Kulessa
38

V (r ) 

 ( ) d




40
r 
1
(5.10)
W ten sposób wyrażony potencjał, który jest funkcją
wyrażenia

1 r  ξ możemy rozłożyć w szereg Taylora.
Przypomnienie!
Jeśli mamy jakąś ogólną funkcję f(1 ,  2 ,  3 ) to rozwinięcie

tej funkcji w szereg Taylora wokół   0 wygląda
następująco:
Reinhard Kulessa
39
 f (0,0,0)
1 3  2 f (0,0,0)
f (1 ,  2 ,  3 )  f (0,0,0)  
 i  
  i j     
 i
2! i , j 1  i  j
i 1
3
 
Rozwijając w szereg Taylora funkcję 1 r  ξ ;
1
1
   [( x   ) 2  ( x   ) 2  ( x   ) 2 ]1 2
r 
1
1
2
2
3
3
Policzenie odpowiednich pochodnych cząstkowych
pozostawiam Państwu.
Na następnej stronie przedstawione są otrzymane wyrażenia na
pochodne cząstkowe.
Reinhard Kulessa
40
1

r
xi
 3
r
f ( 0,0,0)
f
 i

 0
 f
 i  j
3 xi x j  r  ij
i.t.d.
2
2


 0
r5
A więc dla r> możemy potencjał V(r) przedstawić
następująco:
Reinhard Kulessa
41
2
3



xi i 1 (3xi x j  r  ij )
1
V ( r )    ( )    3  
 i j   d
5

2! i , j
r
 r i 1 r

Równanie to możemy napisać w następującej postaci:
(5.25)
 
2
 Q r  P 1 (3xi x j  r  ij )
V (r )   3  
 ( )i j  d    
5

r r
2 ! ij
r

Potencjał
monopola
Potencjał
dipola
Potencjał
kwadrupola
Widzimy więc, że momentem monopolowym jest całkowity
ładunek układu Q. Jest to wielkość skalarna.
Reinhard Kulessa
42
Składowe wektora momentu dipolowego są następujące:

P
   ( )d ,    ( )d ,   ( )d 


1
2

3
Powyższe jest uogólnieniem wprowadzonego
poprzednio
momentu dipolowego dwóch ładunków +Q i -Q.
Trzeci człon (3cz) w wyrażeniu (5.25) możemy
przekształcić do następującej postaci:
Wskazówka: korzystamy z tożsamości:

1
 i j  3 i j   2 ij   2 ij
3
Reinhard Kulessa

43
2
(
3
x
x

r
 ij )
1
i j
3cz  
Qij
5
6 ij
r
W wyrażeniu tym zdefiniowaliśmy tensor momentu
kwadrupolowego Qij,, który w układzie kartezjańskim ma
następującą postać:
Qij    ( )( 3 i j    ij ) d
2

Reinhard Kulessa
(5.26)
44
 
2
 Q r  P 1 Qij (3xi x j  r  ij )
V (r )   3  
 
5
r
r
6 ij
r
(5.27)
Przedyskutujmy uzyskane wyrażenie:
• kolejne składniki maleją ze wzrostem r coraz szybciej
wyraz monopolowy  1/r
wyraz dipolowy
 1/r2
wyraz kwadrupolowy 1/r3
• tensor momentu kwadrupolowego zdefiniowany w r.(5.26
ma tylko pięć niezależnych składników. Wynika to z tego,
Qij=Qjj , oraz z faktu, że Qii=0.
• Ponieważ V(r) jest skalarem, każdy z momentów jest
odpowiednio mnożony przez wielkość zależną od r tak, aby
uzyskać skalar.
Reinhard Kulessa
45