Układy równan liniowych
advertisement
Układy równań liniowych Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 1. wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2015 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 1/1 Podstawowy podrecznik ˛ T. Koźniewski Wykłady z algebry liniowej Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 2/1 Równanie liniowe z n niewiadomymi a1 x1 + a2 x2 + · · · + an xn = b Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 3/1 Równanie liniowe z n niewiadomymi a1 x1 + a2 x2 + · · · + an xn = b a1 , a2 , . . . , an – współczynniki, b – wyraz wolny Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 3/1 Równanie liniowe z n niewiadomymi a1 x1 + a2 x2 + · · · + an xn = b a1 , a2 , . . . , an – współczynniki, b – wyraz wolny Układ m równań z n niewiadomymi (zmiennymi) a11 x1 + a12 x2 + · · · a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + · · · a2n xn = b2 U: .. .. .. .. .. . . . . . am1 x1 + am2 x2 + · · · amn xn = bm Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 3/1 Układ jest jednorodny – jeśli wszystkie wyrazy wolne sa˛ 0 tzn. jest postaci a11 x1 + a12 x2 + · · · a1n xn = 0 a21 x1 + a22 x2 + · · · a2n xn = 0 .. .. .. .. .. . . . . . am1 x1 + am2 x2 + · · · amn xn = 0 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 4/1 n-elementowy ciag ˛ liczb s1 , s2 , . . . , sn nazwiemy rozwiazaniem ˛ układu równań liniowych U, jeśli po zastapieniu ˛ nimi kolejno zmiennych x1 , x2 , . . . , xn otrzymujemy ze wszystkich równanań równości prawdziwe. Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 5/1 n-elementowy ciag ˛ liczb s1 , s2 , . . . , sn nazwiemy rozwiazaniem ˛ układu równań liniowych U, jeśli po zastapieniu ˛ nimi kolejno zmiennych x1 , x2 , . . . , xn otrzymujemy ze wszystkich równanań równości prawdziwe. Uwaga: Układ jednorodny ma zawsze rozwiazanie, ˛ jest nim ciag ˛ złożony z zer, tzn. s1 = s2 = · · · = sn = 0. Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 5/1 n-elementowy ciag ˛ liczb s1 , s2 , . . . , sn nazwiemy rozwiazaniem ˛ układu równań liniowych U, jeśli po zastapieniu ˛ nimi kolejno zmiennych x1 , x2 , . . . , xn otrzymujemy ze wszystkich równanań równości prawdziwe. Uwaga: Układ jednorodny ma zawsze rozwiazanie, ˛ jest nim ciag ˛ złożony z zer, tzn. s1 = s2 = · · · = sn = 0. Układ nazwiemy sprzecznym jeśli nie ma rozwiaza ˛ ń (tzn. zbiór rozwiaza ˛ ń jest pusty) Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 5/1 n-elementowy ciag ˛ liczb s1 , s2 , . . . , sn nazwiemy rozwiazaniem ˛ układu równań liniowych U, jeśli po zastapieniu ˛ nimi kolejno zmiennych x1 , x2 , . . . , xn otrzymujemy ze wszystkich równanań równości prawdziwe. Uwaga: Układ jednorodny ma zawsze rozwiazanie, ˛ jest nim ciag ˛ złożony z zer, tzn. s1 = s2 = · · · = sn = 0. Układ nazwiemy sprzecznym jeśli nie ma rozwiaza ˛ ń (tzn. zbiór rozwiaza ˛ ń jest pusty) Dwa układy nazwiemy równoważnymi jeśli maja˛ te same zbiory rozwiaza ˛ ń Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 5/1 Operacje na równaniach liniowych i ich układach Równania liniowe można mnożyć przez liczbe˛ tzn. iloczynem równania a1 x1 + a2 x2 + · · · + an xn = b przez liczbe˛ d jest równanie a10 x1 + a20 x2 + · · · + an0 xn = b0 , w którym ai0 = dai , dla i = 1, 2, . . . , n oraz b0 = db Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 6/1 Operacje na równaniach liniowych i ich układach Równania liniowe można mnożyć przez liczbe˛ tzn. iloczynem równania a1 x1 + a2 x2 + · · · + an xn = b przez liczbe˛ d jest równanie a10 x1 + a20 x2 + · · · + an0 xn = b0 , w którym ai0 = dai , dla i = 1, 2, . . . , n oraz b0 = db oraz dodawać do siebie Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 6/1 Operacje na równaniach liniowych i ich układach Równania liniowe można mnożyć przez liczbe˛ tzn. iloczynem równania a1 x1 + a2 x2 + · · · + an xn = b przez liczbe˛ d jest równanie a10 x1 + a20 x2 + · · · + an0 xn = b0 , w którym ai0 = dai , dla i = 1, 2, . . . , n oraz b0 = db oraz dodawać do siebie Suma równań a1 x1 + a2 x2 + · · · + an xn = b oraz a10 x1 + a20 x2 + · · · + an0 xn = b0 to równanie a100 x1 + a200 x2 + · · · + an00 xn = b00 , w którym ai00 = ai + ai0 ,dla i = 1, 2, . . . , n oraz b00 = b + b0 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 6/1 Twierdzenie Nastepuj ˛ ace ˛ operacje prowadza˛ do układu równoważnego z danym: Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 7/1 Twierdzenie Nastepuj ˛ ace ˛ operacje prowadza˛ do układu równoważnego z danym: 1 Dodanie do równania innego równania układu pomnożonego przez liczbe˛ Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 7/1 Twierdzenie Nastepuj ˛ ace ˛ operacje prowadza˛ do układu równoważnego z danym: 1 Dodanie do równania innego równania układu pomnożonego przez liczbe˛ 2 Zamiana dwóch równań miejscami Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 7/1 Twierdzenie Nastepuj ˛ ace ˛ operacje prowadza˛ do układu równoważnego z danym: 1 Dodanie do równania innego równania układu pomnożonego przez liczbe˛ 2 Zamiana dwóch równań miejscami 3 pomnożenie jednego z równań przez niezerowa˛ liczbe˛ Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 7/1 Twierdzenie Nastepuj ˛ ace ˛ operacje prowadza˛ do układu równoważnego z danym: 1 Dodanie do równania innego równania układu pomnożonego przez liczbe˛ 2 Zamiana dwóch równań miejscami 3 pomnożenie jednego z równań przez niezerowa˛ liczbe˛ Rozwiazaniem ˛ ogólnym układu równań liniowych U nazywamy równoważny jemu układ U 0 postaci: xj1 = c11 x1 + · · · + c1n xn + d1 .. .. 0 .. .. U : . . . . xjk = ck 1 x1 + · · · ckn xn + dk przy czym cij = 0, dla j = j1 , . . . , jk (tzn. zmienne xj1 , . . . , xjk nie wystepuj ˛ a˛ po prawej stronie – nazywamy je zmiennymi zależnymi, pozostałe niezależnymi , badź ˛ parametrami). Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 7/1 Macierze Macierza˛ m × n ( czyli o m wierszach i n kolumnach) o wyrazach ze zbioru X nazywamy tablice˛ d11 d12 · · · d1n d21 d22 · · · d2n D= . .. .. .. .. . . . dm1 dm2 · · · Mirosław Sobolewski (UW) dmn Warszawa, wrzesień 2015 8/1 Macierze Macierza˛ m × n ( czyli o m wierszach i n kolumnach) o wyrazach ze zbioru X nazywamy tablice˛ d11 d12 · · · d1n d21 d22 · · · d2n D= . .. .. .. .. . . . dm1 dm2 · · · dmn Piszemy także D = [dij ], gdzie dij (dla 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n) należa˛ do zbioru X Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 8/1 Macierze Macierza˛ m × n ( czyli o m wierszach i n kolumnach) o wyrazach ze zbioru X nazywamy tablice˛ d11 d12 · · · d1n d21 d22 · · · d2n D= . .. .. .. .. . . . dm1 dm2 · · · dmn Piszemy także D = [dij ], gdzie dij (dla 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n) należa˛ do zbioru X Rz˛edy poziome nazywamy wierszami, zaś pionowe – kolumnami Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 8/1 Macierz układu równań liniowych Układowi a11 x1 + a12 x2 + · · · a21 x1 + a22 x2 + · · · U: .. .. .. . . . am1 x1 + am2 x2 + · · · Mirosław Sobolewski (UW) a1n xn a2n xn .. . = b1 = b2 .. . amn xn = bm Warszawa, wrzesień 2015 9/1 Macierz układu równań liniowych Układowi a11 x1 + a12 x2 + · · · a21 x1 + a22 x2 + · · · U: .. .. .. . . . am1 x1 + am2 x2 + · · · a1n xn a2n xn .. . = b1 = b2 .. . amn xn = bm Przypisujemy macierz liczbowa˛ m × (n + 1) a11 a12 · · · a1n b1 a21 a22 · · · a2n b2 .. .. .. .. .. . . . . . am1 am2 · · · amn bm nazywana˛ macierza˛ układu U. Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 9/1 Macierz m × n ··· ··· .. . a1n a2n .. . am1 am2 · · · amn a11 a21 .. . a12 d22 .. . nazywamy macierza˛ współczynników U. Ostatniakolumna macierzy układu U to kolumna wyrazów b1 b2 wolnych . .. bm Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 10 / 1 Upraszczanie macierzy Rozpatrujemy nastepuj ˛ ace ˛ elementarne operacje na wierszach: Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 11 / 1 Upraszczanie macierzy Rozpatrujemy nastepuj ˛ ace ˛ elementarne operacje na wierszach: 1 Dodanie do wiersza wi = [wi1 , wi2 , . . . , win ] innego wiersza wj = [wj1 , wj2 , . . . , wjn ] pomnożonego przez liczbe˛ c Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 11 / 1 Upraszczanie macierzy Rozpatrujemy nastepuj ˛ ace ˛ elementarne operacje na wierszach: 1 Dodanie do wiersza wi = [wi1 , wi2 , . . . , win ] innego wiersza wj = [wj1 , wj2 , . . . , wjn ] pomnożonego przez liczbe˛ c tzn. wiersz wi zastepujemy ˛ wierszem 0 wi = [wi1 + cwj1 , wi2 + cwj2 , . . . , win + cwjn ] Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 11 / 1 Upraszczanie macierzy Rozpatrujemy nastepuj ˛ ace ˛ elementarne operacje na wierszach: 1 Dodanie do wiersza wi = [wi1 , wi2 , . . . , win ] innego wiersza wj = [wj1 , wj2 , . . . , wjn ] pomnożonego przez liczbe˛ c tzn. wiersz wi zastepujemy ˛ wierszem 0 wi = [wi1 + cwj1 , wi2 + cwj2 , . . . , win + cwjn ] 2 Zamiana dwóch wierszy miejscami Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 11 / 1 Upraszczanie macierzy Rozpatrujemy nastepuj ˛ ace ˛ elementarne operacje na wierszach: 1 Dodanie do wiersza wi = [wi1 , wi2 , . . . , win ] innego wiersza wj = [wj1 , wj2 , . . . , wjn ] pomnożonego przez liczbe˛ c tzn. wiersz wi zastepujemy ˛ wierszem 0 wi = [wi1 + cwj1 , wi2 + cwj2 , . . . , win + cwjn ] 2 Zamiana dwóch wierszy miejscami 3 Pomnożenie wiersza wi przez niezerowa˛ liczbe˛ d Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 11 / 1 Upraszczanie macierzy Rozpatrujemy nastepuj ˛ ace ˛ elementarne operacje na wierszach: 1 Dodanie do wiersza wi = [wi1 , wi2 , . . . , win ] innego wiersza wj = [wj1 , wj2 , . . . , wjn ] pomnożonego przez liczbe˛ c tzn. wiersz wi zastepujemy ˛ wierszem 0 wi = [wi1 + cwj1 , wi2 + cwj2 , . . . , win + cwjn ] 2 Zamiana dwóch wierszy miejscami 3 Pomnożenie wiersza wi przez niezerowa˛ liczbe˛ d tzn. zastepujemy ˛ wi przez wi 00 = [dwi1 , dwi2 , . . . , dwin ] Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 11 / 1 Upraszczanie macierzy Rozpatrujemy nastepuj ˛ ace ˛ elementarne operacje na wierszach: 1 Dodanie do wiersza wi = [wi1 , wi2 , . . . , win ] innego wiersza wj = [wj1 , wj2 , . . . , wjn ] pomnożonego przez liczbe˛ c tzn. wiersz wi zastepujemy ˛ wierszem 0 wi = [wi1 + cwj1 , wi2 + cwj2 , . . . , win + cwjn ] 2 Zamiana dwóch wierszy miejscami 3 Pomnożenie wiersza wi przez niezerowa˛ liczbe˛ d tzn. zastepujemy ˛ wi przez wi 00 = [dwi1 , dwi2 , . . . , dwin ] Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 11 / 1 Upraszczanie macierzy Rozpatrujemy nastepuj ˛ ace ˛ elementarne operacje na wierszach: 1 Dodanie do wiersza wi = [wi1 , wi2 , . . . , win ] innego wiersza wj = [wj1 , wj2 , . . . , wjn ] pomnożonego przez liczbe˛ c tzn. wiersz wi zastepujemy ˛ wierszem 0 wi = [wi1 + cwj1 , wi2 + cwj2 , . . . , win + cwjn ] 2 Zamiana dwóch wierszy miejscami 3 Pomnożenie wiersza wi przez niezerowa˛ liczbe˛ d tzn. zastepujemy ˛ wi przez wi 00 = [dwi1 , dwi2 , . . . , dwin ] 0 0 0 1 0 0 1 4 0 0 Przykład Rozważmy macierz: 0 0 0 0 3 . Po zastosowaniu 0 2 8 0 0 do niej kolejno operacji w1 ↔ w2 , w4 − 2w1 , 13 w3 otrzymamy macierz 0 1 4 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 11 / 1 Elementem wiodacym ˛ wiersza nazwiemy jego pierwszy niezerowy element. Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 12 / 1 Elementem wiodacym ˛ wiersza nazwiemy jego pierwszy niezerowy element. Macierz liczbowa jest w postaci schodkowej jeśli Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 12 / 1 Elementem wiodacym ˛ wiersza nazwiemy jego pierwszy niezerowy element. Macierz liczbowa jest w postaci schodkowej jeśli Wszystkie wiersze zerowe sa˛ poniżej niezerowych (o ile istnieja) ˛ Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 12 / 1 Elementem wiodacym ˛ wiersza nazwiemy jego pierwszy niezerowy element. Macierz liczbowa jest w postaci schodkowej jeśli Wszystkie wiersze zerowe sa˛ poniżej niezerowych (o ile istnieja) ˛ Elementy wiodace ˛ kolejnych wierszy niezerowych znajduja˛ sie˛ w kolumnach o coraz wyższych numerach Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 12 / 1 Przykład 0 0 0 0 Mirosław Sobolewski (UW) 2 0 0 0 4 0 0 0 0 1 0 0 1 2 4 0 Warszawa, wrzesień 2015 13 / 1 Przykład 0 0 0 0 2 0 0 0 4 0 0 0 0 1 0 0 1 2 4 0 Macierz jest w zredukowanej postaci schodkowej jeśli jest w postaci schodkowej, wszystkie elementy wiodace ˛ wierszy sa równe 1 oraz w kolumnach, w których stoja˛ sa˛ poza nimi same zera. Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 13 / 1 Przykład 0 0 0 0 2 0 0 0 4 0 0 0 0 1 0 0 1 2 4 0 Macierz jest w zredukowanej postaci schodkowej jeśli jest w postaci schodkowej, wszystkie elementy wiodace ˛ wierszy sa równe 1 oraz w kolumnach, w których stoja˛ sa˛ poza nimi same zera. Przykład 0 1 4 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 13 / 1 Twierdzenie Każda˛ macierz liczbowa˛ można za pomoca˛ elementarnych operacji na wierszach sprowadzić do(zredukowanej) postaci schodkowej Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 14 / 1 Twierdzenie Każda˛ macierz liczbowa˛ można za pomoca˛ elementarnych operacji na wierszach sprowadzić do(zredukowanej) postaci schodkowej Metoda rozwiazywania ˛ układów równań liniowych Sprowadzić macierz układu do (zredukowanej) postaci schodkowej. Jeśli element wiodacy ˛ ostatniego niezerowego wiersza pojawi sie˛ w ostatniej kolumnie (wyrazów wolnych) to układ jest sprzeczny. W przeciwnym przypadku wybrać jako zmienne zależne te, w których kolumnach stoja˛ elementy wiodace, ˛ zaś pozostałe jako parametry i odczytać rozwiazanie ˛ ogólne. Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 14 / 1 Twierdzenie Każda˛ macierz liczbowa˛ można za pomoca˛ elementarnych operacji na wierszach sprowadzić do(zredukowanej) postaci schodkowej Metoda rozwiazywania ˛ układów równań liniowych Sprowadzić macierz układu do (zredukowanej) postaci schodkowej. Jeśli element wiodacy ˛ ostatniego niezerowego wiersza pojawi sie˛ w ostatniej kolumnie (wyrazów wolnych) to układ jest sprzeczny. W przeciwnym przypadku wybrać jako zmienne zależne te, w których kolumnach stoja˛ elementy wiodace, ˛ zaś pozostałe jako parametry i odczytać rozwiazanie ˛ ogólne. Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 14 / 1 Przykład Rozważmy układ U: x1 + x2 + 2x3 − 2x4 = 1 2x1 + 2x2 + 5x3 + x4 = 4 1 1 2 −2 1 Macierza˛ tego układu jest . Operacja˛ w2 − 2w1 2 2 5 1 4 1 1 2 −2 1 sprowadzamy ja˛ do postaci schodkowej M = . 0 0 1 5 2 Widzimy, że układ jest niesprzeczny i, że jako zmienne zależne można przyjać ˛ x1 i x3 natomiast x2 i x4 jako parametry. Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 15 / 1 Przykład (cd) Macierz M przeprowadzamy operacja˛ w1 −2w2 do postaci schodkowej 1 1 0 −12 −3 zredukowanej M 0 = , z której spisujemy układ 0 0 1 5 2 U 0 równoważny U x1 + x2 − 12x4 = −3 0 U : x3 + 5x4 =2 przekształcamy go do rozwiazania ˛ ogólnego x1 = −3 − x2 + 12x4 x3 = 2 − 5x4 Każde rozwiazanie ˛ układu U można zapisać w postaci (−3 − x2 + 12x4 , x2 , 2 − 5x4 , x4 ), gdzie x2 , x4 ∈ R Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 16 / 1
