Bez tytułu slajdu

DYNAMIKA
•Zasady dynamiki
•Układy inercjalne, zasada bezwładności, zasada
względności
•Definicje wielkości dynamicznych
•Zasady zachowania pędu i momentu pędu
•Układy nieinercjalne
•Praca
•Siły zachowawcze
•Energia potencjalna i kinetyczna
•Zasada zachowania energii
ZASADY DYNAMIKI
I. Ciało, na które nie działają żadne siły zewnętrzne, lub
działające siły się równoważą, pozostaje w spoczynku
lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym
II. Przyspieszenie ciała jest proporcjonalne do
przyłożonej siły
 

d
p
F  ma
F
dt


  
dL d  

M  I
 r  p   M  r  F
dt dt
III. Względem każdego działania (akcji) siły istnieje
równe co do wartości i przeciwnie zwrócone
przeciwdziałanie (reakcja) siły.
UKŁADY INERCJALNE, ZASADA BEZWŁADNOŚCI
Układ odniesienia, w którym spełniona jest I zasada dynamiki, nazywa się
układem inercjalnym
Zasada bezwładności
(równoważne sformułowanie I zasady dynamiki)
Istnieje przynajmniej jeden układ inercjalny
Wniosek: istnieje nieskończenie wiele układów inercjalnych, poruszających
się względem siebie ruchem jednostajnym prostoliniowym.
ZASADA WZGLĘDNOŚCI (GALILEUSZA)
Transformacja siły



 
a  a  a0   2 r   2  v 
 


 
  0, a0  0  a  a  F  F 
Wniosek: siła jest niezmiennicza względem
transformacji Galileusza (tj.jest jednakowa
we wszystkich układach inercjalnych). Jest
to szczególny przypadek zasady
względności Galileusza.
We wszystkich inercjalnych układach odniesienia, w tych
samych warunkach, zjawiska mechaniczne przebiegają
jednakowo.
N
Masa bezwładna
Masa bezwładna jest miarą
bezwładności ciała, tzn.
oporu, jaki ciało stawia sile,
zmieniającej stan jego
ruchu
M   mi
i 1
   r     x, y, z  

dm   r dV    x, y, z dxdydz
M     x, y, z dxdydz
V
Środek masy
1

rCM   xCM , yCM , zCM  
M
N

m
r
 ii
i 1
1 N
1 N
xCM 
mi xi , , zCM 
mi zi


M i 1
M i 1
r  1 rdm  1
dxdydz



x
,
y
,
z
r
CM
M V
M 
V
xCM
1

M
1
V xdm  M
  x, y, z xdxdydz,
V
Pęd
Dla punktu materialnego
p  mv
Dla układu punktów materialnych
N
N
i 1
i 1
p   p i   mi vi
rCM
1

M
drCM
1


m
r

v



i i
CM
dt
M
i 1
N
dri
1 N 
mi

mi vi


dt M i 1
i 1


p  MvCM
N
II zasada dynamiki dla ruchu postępowego
 dp
F
,
dt

 d
d
v

m  const  F  mv   m
 ma
dt
dt
F jest wypadkową sił zewnętrznych (wypadkowa sił wewnętrznych,
działających między częściami składowymi układu, wynosi zero, gdyż znoszą
się one na mocy III zasady dynamiki)
Moment bezwładności
Dla punktu materialnego, leżącego w
odległości r od osi obrotu
I  mr 2
Dla bryły sztywnej
N
I   mi ri 2
i 1

I   r 2 dm   r 2  r dV
V

V

I   x 2  y 2  z 2   x, y, z dxdydz
V
Moment siły
Dla punktu materialnego, leżącego w
odległości r od nieruchomej osi obrotu, na
który działa siła F
  
M rF
Dla bryły sztywnej


 
M i  ri  F  ri mi ai sin  i k 



2 ai sin  i
 mi ri
k  I ik  I i
ri
przyspieszenie kątowe
N

 N

M   M i    I i I
i 1
i 1
Moment pędu
Dla punktu materialnego o pędzie p, leżącego
w odległości r od nieruchomej osi obrotu
  
Lrp
Dla bryły sztywnej

  
Li  ri  pi  ri mi vi sin  i k 



2 vi sin  i
 mi ri
k  I ik  I i
ri
prędkość kątowa
 N   N

L   Li    I i  I
i 1
i 1
II zasada dynamiki dla ruchu obrotowego



 dL
dL
d
 
I
 I  M  M 
dt
dt
dt
ZASADY ZACHOWANIA (1)
Zasada zachowania pędu

dp 
F 0
 F  0  p  const
dt
Zasada zachowania momentu pędu



dL 
M 0
 M  0  L  const
dt
Przykład: precesja bąka
Ruch precesyjny: ruch wirowy osi symetrii
obracającej się bryły sztywnej wokół kierunku
pola grawitacyjnego
L - moment pędu bryły sztywnej w ruchu
obrotowym wokół osi symetrii
I - moment bezwładności bryły sztywnej w
ruchu obrotowym wokół osi symetrii
 - prędkość kątowa bryły sztywnej w ruchu
obrotowym wokół osi symetrii
p - prędkość kątowa precesji
m - masa bryły, g - przyspieszenie ziemskie,
R - siła reakcji podłoża

 p    L  I

M R  0 oś obrotu przechodzi
przez punkt podparcia

dL  
dL

 M  r  mg 
 mgr sin 
dt
dt
dL
d
dL  L sin  d 
 L sin 
dt
dt
d
L sin 
 mgr sin 
dt
d mgr mgr
p 


dt
L
I
Przykład: ruch ciał o zmiennej masie
w
v
v+w
v=v(t) - prędkość rakiety
m=m(t) - masa rakiety
mg=mg(t) - masa spalonego paliwa (= masie wyrzuconych gazów wylotowych)
w - prędkość strumienia gazów wylotowych względem rakiety
m= -dm/dt - szybkość zmiany masy rakiety; m > 0; m= dmg/dt
F - siła zewnętrzna
pęd gazów
p(t) - pęd układu w chwili t
wylotowych
pęd rakiety
p(t+dt) = p(t)+dp - pęd układu w chwili t+dt
w chwili t+dt
w chwili t+dt


p (t )  m(t )v (t )







p (t  dt )  p (t )  dp  m(t )  dmv (t )  dv   dmg v (t )  w


dmg  dm; dm dv  m(t )dv 





dp  m(t )dv  dmg w  m(t )dv  dmw : dt

dp 
dv  dm równanie Mieszczerskiego
 F  m(t )
w
dt
dt
dt
UKŁADY NIEINERCJALNE
Układ odniesienia, w którym nie jest spełniona I zasada dynamiki, nazywa się
układem nieinercjalnym (np. poruszający się z przyspieszeniem względem
dowolnego układu inercjalnego)
W układach nieinercjalnych nie jest również spełniona II zasada dynamiki,
ponieważ występują w nich siły pozorne, których nie można przypisać
oddziaływaniu określonych ciał



 
a   a  a0   2 r   2  v 



 
ma   ma  ma  m 2 r   2m  v 
0
siła bezwładności
(siła d’Alemberta)
siła odśrodkowa

 


F   F  Fbezw  Fodsr  FC
siła Coriolisa
Przykład: siła Coriolisa

FC  2mv     2m  v
Przykłady:
• Odchylenie pasatów (wiatrów wiejących od
zwrotnika ku równikowi) w prawo na półkuli
północnej i w lewo na półkuli południowej
względem kierunku ruchu
•Wschodnie odchylenie ciał swobodnie
spadających
•Pomiar ruchu wirowego Ziemi: wahadło
Foucaulta
PRACA
Fi
dri
F1
1
i
b
 
 
dWi  Fi  dri  dW  F  dr
b
b
a
a
  
W   dWi   dW   F r   dr
i
dr1
a
SIŁY ZACHOWAWCZE
Jeżeli praca wykonana przez siłę przy przemieszczaniu ciała po dowolnej
drodze zamkniętej wynosi zero, taką siłę nazywamy zachowawczą.
Wniosek: w polu siły zachowawczej praca nie zależy od drogi, tylko od punktu
początkowego i końcowego
ENERGIA
Energia potencjalna: praca wykonana przeciwko sile zachowawczej i
zmagazynowana w ciele
Przykład: energia potencjalna w jednorodym polu sił ciężkości
x
 
dW  F  dr  mgdx
F
g
F=-P
r
dr
dx
x
W   mgdx  mgx  E p
x
0
Wartość pracy nie zależy od drogi,
tylko od różnicy wysokości h
m
P=mg
dW=F•dr = mgdx
F  mg  
dE p
dx
Ogólnie dla przypadku jednowymiarowego
E p  E p  x   F ( x)  
dE p
dx
Energia kinetyczna: praca wykonana przez siłę zachowawczą jest równa
zmianie energii kinetycznej
b

  b   b dv dr
dr 
W   F  dr   ma  dr   m  dt m   dv
dt dt
dt
a
a
a
a
b
v
  mv
W  m  v  dv 
2
v0
2 v
v0
mv2 mv02


 Ek  Ek , 0
2
2
mv2
Ek 
2
Energia całkowita mechaniczna
E  Ek  E p
ZASADY ZACHOWANIA (2)
Zasada zachowania energii mechanicznej: w polu siły zachowawczej
całkowita energia mechaniczna pozostaje stała
E  Ek  E p  const