Prawo indukcji elektromagnetycznej
advertisement
Prawo indukcji elektromagnetycznej Tekst jest wolnym tłumaczeniem plików guide10.pdf i guide11.pdf kursu dostępnego na stronie http://web.mit.edu/8.02t/www/802TEAL3D/visualizations/coursenotes/index.htm Wszystkie rysunki i animacje zaczerpnięto ze strony http://web.mit.edu/8.02t/www/802TEAL3D/visualizations/faraday/index.htm Dotychczas rozpatrywaliśmy stacjonarne pola elektryczne (zwane elektrostatycznymi) i magnetyczne (zwane magnetostatycznymi), które wytwarzane były nieruchomymi ładunkami lub stałym prądem elektrycznym. Czy jest możliwe wytworzenie pola elektrycznego za pomocą pola magnetycznego? Zjawisko generowania pola elektrycznego przez pole magnetyczne wykrył Michael Faraday w 1831 r., które zwane jest dzisiaj indukcją elektromagnetyczną. Poniżej przedstawiamy ilustrację tego zjawiska 1 Faraday pokazał doświadczalnie, że prąd w obwodzie zamkniętym (patrz rys.) nie popłynie, jeśli magnes sztabkowy pozostaje nieruchomy względem pętli (patrz rys. środkowy). Wychylenie się wskazówki galwanometru (miernika natężenia prądu elektrycznego w pętli) zależy od tego, czy magnes zbliża się czy też oddala się od pętli (patrz rys. górny i dolny). Eksperyment Faradaya wskazuje na to, że pętla przewodnika zachowuje się jak źródło prądu (EMF=SEM). Wartośd SEM zależy od tego w jakim tempie zmienia się w czasie magnetyczny strumieo przenikający przez pętlę (obejmowany pętlą). Strumieo magnetyczny Rozpatrzmy stałe pole przenikające przez powierzchnię , co pokazuje rys. poniżej Niech wektor powierzchni będzie dany , gdzie wersor jest prostopadły do . Strumieo magnetyczny pola jednorodnego przez tę powierzchnię wynosi Jeśli pole nie jest jednorodne, to W SI jednostką strumienia jest weber (Wb): 1 Wb=1T 1m2. 2 Prawo indukcji elektromagnetycznej Faradaya Indukowana siła elektromotoryczna równa gdzie pętlę. w pętli przewodnika jest jest strumieniem magnetycznym przenikającym przez Jeśli przewodnikiem jest solenoid o N zwojach, to gdzie odnosi się do jednego zwoju cewki. Ze względu na wzór Faradaya wynika, że z prawa Zatem SEM może byd indukowana w następujący sposób: (a) Zmienia się w czasie pole magnetyczne 3 b) Zmienia się w czasie wektor (c) Zmienia się w czasie kąt Znakomity film przedstawiający jasno i dobitnie zjawisko indukcji elektromagnetycznej jest dostępny na stronie http://web.mit.edu/8.02t/www/802TEAL3D/visualizations/faraday/inductance/inductance.htm 4 Na stronie http://web.mit.edu/8.02t/www/802TEAL3D/visualizations/faraday/inductance/inductance.htm są dostępne dwie animacje tego samego zjawiska Kierunek SEM określa reguła Lenza (reguła przekory) Indukowany prąd elektryczny generuje pole magnetyczne przeciwdziała zmianie strumienia magnetycznego, który wyindukował ten prąd. W celu ilustracji działania tej reguły rozpatrzmy pętlę przewodnika umieszczoną w polu magnetycznym. Postępujemy w następujący sposób: 1. Określamy dodatni kierunek wektora powierzchni . 2. Zakładamy, że pole magnetyczne jest jednorodne i wyznaczamy wartośd iloczynu skalarnego . Pozwala to nam określid znak strumienia magnetycznego . 3. Obliczamy szybkośd (tempo) zmian w czasie , czyli pochodnej . Są możliwe trzy przypadki 4. Wyznaczamy kierunek przepływu indukowanego prądu stosując regułę prawej dłoni. 5 Kierujemy kciuk prawej dłoni zgodnie z kierunkiem i zwrotem wektora . a) Indukowany prąd ma kierunek przepływu wskazywany przez palce prawej dłoni, jeśli b) Indukowany prąd ma kierunek przepływu przeciwny do wskazywanego przez palce prawej dłoni, jeśli 6 Kolejny rysunek reprezentuje 4 możliwe scenariusze pola magnetycznego zmieniającego się w czasie. Pokazuje on także zastosowanie reguły Lentza w celu wyznaczenia kierunku przepływu prądu indukowanego. Podsumowaniem wyników jest poniższa tabela 7 Rozważmy konkretną sytuację przedstawioną na kolejnym rysunku Biegun płn magnesu sztabkowego zbliża się do pętli przewodnika. Linie sił pola magnetycznego skierowane są w dół. Wektor pola pętli kierujemy w górę. Zatem . W miarę zbliżania się magnesu do pętli rośnie pole magnetyczne, więc . Ale pochodna powierzchni oraz , bo zwroty wektorów pola są przeciwne. Wnioskujemy stąd, że Ze względu na wypowiedziana wcześniej regułę Lenza prąd płynie w kierunku (patrz rys.) wskazanym regułą prawej dłoni, której kciuk jest skierowany w górę. Inny sposób wyznaczenia kierunku płynącego prądu polega na bezpośrednim wykorzystaniu reguły Lenza. Jeśli indukowany prąd ma przeszkadzad przyczynie, która go wywołuje, to między magnesem i pętlą powinniśmy obserwowad siłę odpychania. Jest to możliwe o ile pętla będzie się zachowywała jak magnes, którego biegun płn jest na górze. Jest to możliwe pod warunkiem, że prąd płynie we wskazanym na rys. kierunku. Ważna uwaga: Jeśli przyjąd, że kciuk prawej dłoni wskazuje kierunek od bieguna płd do płn, tzn. u jego podstawy znajduje się biegun płd a przy koocu (tzn. 8 w okolicach paznokcia) umownie znajduje się biegun płn, to palce prawej dłoni wskazują przepływ prądu indukowanego. Stosując tę umowę stwierdzamy, że prąd płynie we wskazanym na rysunku kierunku. Przeciwny kierunek przepływu prądu oznaczałby, że nad pętlą znajduje się biegun płd, a więc sztabka jest przyciągana przez pętlę, co przeczy zasadzie przekory Lenza. Odmienna sytuacja dotyczy przypadku oddalania się magnesu od pętli. Tym razem magnes powinien byd przyciągany przez pętlę. Jest to możliwe pod warunkiem, że indukowany prąd zmieni kierunek. Wtedy górna częśd pętli działa jak biegun płd. SEM przewodnika poruszającego się w polu magnetycznym (SEM wytwarzana przez siłę Lorentza) Rozpatrzmy prostoliniowy przewodnik o długości poruszający się w polu magnetycznym, jak pokazuje to rysunek Ładunki dodatnie obecne w przewodniku doznają działania siły Lorentza , która popycha je w górę. Ładunki ujemne pozostają w dolnej części przewodnika. W wyniku tego generowane jest pole elektryczne o natężeniu wewnątrz przewodnika, które oddziaływuje siłą na ładunki dodatnie. W stanie równowagi , tj. . Implikuje to różnicę potencjałów między koocami przewodnika równą . 9 Tę siłę elektromotoryczną W przypadku ogólnym nazywamy SEM ruchomego przewodnika. ruchomego przewodnika wynosi , gdzie jest różniczkowym elementem długości przewodnika. SEM prostokątnej ramki o rosnącej powierzchni Rozpatrzmy teraz ramkę (zamknięty obwód elektryczny) zbudowana z przewodnika umieszczoną w zewnętrznym polu magnetycznym, której jeden z boków jest ruchomy; patrz rysunek Pole magnetyczne jest skierowane za rysunek (kartkę) . Pionowa poprzeczka o długości ślizga się bez tarcia z prędkością . Pozioma górna i dolna szyna ramki są połączone opornikiem . Do ruchomej poprzeczki jest przyłożona siła zewnętrzna , która podtrzymuje jej ruch w prawo z prędkością . Strumieo pola magnetycznego obejmowany ramką wynosi . 10 Z prawa Faradaya możemy policzyd , tj. indukowaną SEM . Indukowany prąd elektryczny ma natężenie . Kierunek płynącego prądu jest przeciwny do ruchu wskazówek zegara, co jest zgodne z regułą Lenza. Siła magnetyczna działająca na przewodnik z prądem poruszający się w prawo wynosi i jest skierowana przeciwnie do siły zewnętrznej prędkości . Zatem oraz wektora . Moc tej siły jest równa . 11 Strategia rozwiązywania zadao z wykorzystaniem prawa Faradaya i reguły Lenza W celu wyznaczenia indukowanej SEM oraz kierunku indukowanego prądu postępujemy w sposób następujący: 1. Dla zamkniętej pętli leżącej w płaszczyźnie o polu powierzchni określamy wektor pola . Kierujemy kciuk prawej dłoni zgodnie ze zwrotem wektora . Wyznaczamy strumieo pola magnetycznego przez powierzchnię . następnie znak . 2. Wyznaczamy tempo zmian strumienia magnetycznego Określamy znak Określamy . . 3. Znak indukowanej SEM jest równy . 4. Kierunek płynącego prądu indukowanego jest określony przez regułę Lenza. 12 Niepotencjalnośd indukowanego pola elektrycznego Różnica potencjałów między dwoma punktami wynosi B w polu elektrycznym . Przypomnijmy, że dla pola potencjalnego (zachowawczego) Prawo Faradaya pokazuje, że zmienne pole magnetyczne indukuje pole elektryczne wymuszające ruch nośników prądu w zamkniętej pętli! Dlatego możemy zapisad Oznacza to, pole elektryczne wytwarzane w zjawisku indukcji elektromagnetycznej nie jest potencjalne. Należy odróżniad pole elektryczne zachowawcze od niezachowawczego. W tym celu rozpatrzmy pole magnetyczne skierowane za kartkę papieru, które wypełnia obszar objętości walca. Przekrój płaszczyzną prostopadłą przedstawia rysunek Załóżmy, że pole elektryczne rośnie, tj. . Spróbujmy wyznaczyd pole elektryczne indukowane tym zmiennym w czasie polem magnetycznym. 13 Układ ma symetrię cylindryczną, więc pętlę Ampere’a wybieramy jako okrąg o promieniu . Symetria zagadnienia pozwala twierdzid, że wektor w każdym punkcie tej pętli ma tę samą długośd. Zgodnie z regułą Lenza zwrot wektora natężenia indukowanego pola elektrycznego jest skierowany tak, że wywoływany przez to pole przepływ ładunków powinien przeciwstawiad się zmianom strumienia magnetycznego zewnętrznego pola. Wektor pola jest skierowany w górę, pole magnetyczne rośnie , więc strumieo magnetyczny pola zewnętrznego jest ujemny i skierowany za kartkę. Dlatego w celu przeciwdziałania zmianom tego magnetycznego pola zewnętrznego indukowane pole elektryczne powinno cyrkulowad w sposób pokazany na rysunku, tj. przeciwnie do ruchu wskazówek zegara (patrz rysunek). Można sobie wyobrażad, że prąd ten płynie po pętli kołowej przewodnika obejmującego walec (patrz rysunek). Reguła prawej dłoni zastosowana do naszego przypadku (gdy jej palce wskazują kierunek zgodny z kierunkiem ) pokazuje zwrot indukowanego pola magnetycznego skierowanego w górę (kciuk prawej dłoni jest skierowany w górę; w cewce jednozwojowej linie sił pola magnetycznego biegną od bieguna płd. do płn., w naszym przypadku z za kartki; oznacza to, że biegun płn. jest nad a płd. pod kartką). Teraz wyznaczymy wartośd Rozpatrzmy najpierw przypadek Ze wzoru podanego na poprzedniej stronie 14 Podobnie postępujemy dla Poniższy rysunek przedstawia wykres 15 GENERATORY Jednym z najpowszechniejszych zastosowao prawa Faradaya są generatory prądu elektrycznego (wytwarzają prąd elektryczny konwertując energię mechaniczna na elektryczną) i silniki elektryczne (zamieniają energię elektryczną na mechaniczną). Rys. po lewej stronie przedstawia generator/prądnice prądu elektrycznego. Złożony on jest z zwojów/pętli przewodnika wirującego ze stałą prędkością kątową w jednorodnym stałym polu magnetycznym. Strumieo magnetyczny obejmowany zwojami zmienia się w czasie, co indukuje SEM. Z rys. po prawej stronie możemy wyznaczyd wartośd strumienia magnetycznego przenikającego przez pojedynczy zwój o polu powierzchni . Szybkośd/tempo jego zmian w czasie . Wobec tego Po podłączeniu generatora do opornika o oporze natężeniu Prąd jest zmienny o amplitudzie . 16 popłynie w nim prąd o Moc chwilowa tego prądu jest równa Moment siły działającej na pojedynczy zwój . Zatem mechaniczna moc dostarczana do pojedynczego zwoju Magnetyczny moment dipolowy cewki generatora , co pozwala nam wyznaczyd moc mechaniczną dostarczaną do generatora która jest równa mocy prądu elektrycznego. 17 Prądy wirowe Jeśli w polu magnetycznym zamiast przewodnika będziemy przemieszczali przewodnik masywny (np. blok miedzi, patrz rysunek), to w jego wnętrzu zostanie wyidukowany cyrkulujący prądy zwany prądem wirowym. Prądy wirowe indukują pola magnetyczne, które przeciwstawiają się ruchowi bryły metalu, co ilustruje rysunek. W bryle przewodnika wydziela się ciepło Lenza o mocy równej . W celu zmniejszenia strat skleja się płaskie warstwy przewodników za pomocą materiałów dielektrycznych lub wycina się warstwy materiału z litego przewodnika; patrz rysunki. Prądy wirowe mają zastosowanie do wygaszania drgao i hamowania pojazdów spalinowych, pociągów i tramwajów. 18 Podsumowanie 1. Strumieo magnetyczny przenikający przez powierzchnię jest równy 2. Prawo Faradaya mówi, że indukowana SEM w solenoidzie jest . równa 3. Kierunek indukowanego prądu określa reguła Lenza: Indukowany prąd elektryczny generuje pole magnetyczne przeciwdziała zmianie strumienia magnetycznego, który wyindukował ten prąd. 4. SEM przewodnika poruszającego się w polu magnetycznym (SEM wytwarzana przez siłę Lorentza) wynosi 5. Indukowana SEM w stacjonarnym przewodniku odpowiada niepotencjalnemu polu elektrycznemu 19 Indukowana SEM i układ odniesienia SEM indukowana w przewodniku poruszającym się w polu magnetycznym wynosi Natomiast SEM stacjonarnej pętli umieszczonej w zewnętrznym zmiennym polu magnetycznym jest równa Stan spoczynku (brak ruchu) lub ruchu zależy od układu odniesienia. Rozpatrzmy sytuację, w której magnes sztabkowy zbliża się do zamkniętej pętli przewodnika. Nieruchomy obserwator O związany ze spoczywającą pętlą obserwuje magnes zbliżający się do pętli. Indukowane w pętli pole elektryczne powoduje w niej ruch ładunków elektrycznych. Siła ta jest równa . Z punktu widzenia obserwatora O ładunki spoczywają, więc nie działa na nie siła Lorentza. Z drugiej strony obserwator O’ związany z magnesem widzi zbliżające się , do niego ładunki elektryczne. Więc działa na nie siła Lorentza . Ponieważ jedno i to która powoduje pojawienie się samo zjawisko jest obserwowane z dwóch różnych układów odniesienia, to , co implikuje kolejną równośd 20 Indukcyjnośd i energia pola magnetycznego Załóżmy, że dwie cewki są położone blisko siebie, jak na rysunku. Pierwsza cewka ma liczbę zwojów płynie w niej prąd o natężeniu a pole magnetyczne ma wektor indukcji . Ponieważ cewki są blisko siebie, to pole magnetyczne cewki 1 wnika do cewki 2. Oznaczmy przez strumieo pola magnetycznego cewki 1 przenikającego cewkę 2. Jeśli prąd będzie zmieniał się w czasie, to wyidukuje się w cewce 2 SEM o wartości . Tempo/szybkośd zmiany w czasie strumienia magnetycznego jest proporcjonalna do szybkości zamiany prądu w cewce 1, tj. gdzie współczynnik indukcyjności cewki 1 względem 2 jest równy 21 cewki 2 Równośd tę otrzymujemy z przedostatniego wzoru po przepisaniu go w następującej postaci . Pokażemy dalej, że zależy od charakterystyk geometrycznych cewek. W układzie SI jednostką współczynnika indukcyjności jest henr 1 henr = 1 H = 1 T m2/A. W pełni analogiczny sposób możemy analizowad sytuację fizyczną przedstawioną na rys. Teraz w cewce 2 o liczbie zwojów płynie prąd o natężeniu a pole magnetyczne ma wektor indukcji . Ponieważ cewki są blisko siebie, to pole magnetyczne cewki 2 wnika do cewki 1. Oznaczmy przez strumieo pola magnetycznego cewki 2 przenikającego cewkę 1. Jeśli prąd będzie zmieniał się w czasie, to wyidukuje się w cewce 1 SEM o wartości . Tempo/szybkośd zmiany w czasie strumienia magnetycznego jest proporcjonalna do szybkości zamiany prądu w cewce 2, tj. 22 cewki 1 gdzie współczynnik indukcyjności cewki 2 względem 1 jest równy Wartośd zależy od charakterystyk geometrycznych cewek. Ostatnią równośd otrzymujemy zauważając, że Ze względu na symetrycznośd obu rozpatrzonych zagadnieo zachodzi związek 23 Przykład. Rozpatrzmy dwie pętle współśrodkowe z prądami, co ilustruje rys. Ile wynosi współczynnik indukcji wzajemnej, jeśli ? Wartośd wektora indukcji w środku większej pętli jest równa Uwzględniając warunek wewnętrzną pętle . możemy wyznaczyd strumieo przenikający przez Wobec tego Wyznaczona wartośd współczynnika indukcyjności wzajemnej zależy tylko od charakterystyk geometrycznych pętli. 24 Samoindukcyjnośd Ponownie rozważad będziemy cewkę o liczbie zwojów , w której płynie prąd o natężeniu w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. Załóżmy, że wartośd natężenia zmienia się w czasie. Wtedy w zgodzie z prawem Faradaya w cewce jest indukowana SEM, tj. prąd przeciwstawiający się prądowi pierwotnemu . Indukowany prąd będzie płynął zgodnie z ruchem wskazówek zegara, gdy ; będzie płynął niezgodnie z ruchem wskazówek zegara, gdy Opisane tutaj zjawisko to nosi nazwę samoindukcji. Prąd indukowany w ten sposób nazywamy prądem samoindukcji, a SEM siłą elektromotoryczną samoindukcji i oznaczamy symbolem Spróbujmy policzyd współczynnik samoindukcji dowolnego przewodnika z prądem. Z prawa Faradaya otrzymujemy , co można zapisad w postaci Prowadzi to do związku 25 Samoindukcyjnośd solenoidu Policzmy wartośd cewki o zwojach, długości z prądem Pole magnetyczne wewnątrz solenoidu gdzie Strumieo magnetyczny przenikający przez cewkę . Zatem współczynnik samoindukcji cewki Ponownie widzimy, że także współczynnik samoindukcji zależy od charakterystyk geometrycznych i jest niezależny od prądu . 26 Współczynnik indukcji wzajemnej cewek Długa cewka o dł. , polu powierzchni poprzecznej , zawierająca zwojów jest otoczona inną zewnętrzną cewką (patrz rys.) z zwojami. Policzymy wartośd dla tego układu zakładając, że strumieo magnetyczny cewki wewnętrznej przenika zwoje cewki zewnętrznej Strumieo magnetyczny przenikający przez jeden zwój cewki zewnętrznej wynosi Zatem współczynnik indukcji wzajemnej cewek Ponownie widzimy, że także współczynnik samoindukcji zależy od charakterystyk geometrycznych i jest niezależny od prądu . Zauważmy, że współczynniki samoindukcji cewek wynoszą , Zatem . W ogólnym , przypadku współczynnikiem sprzężenia między cewkami. 27 gdzie jest Energia pola magnetycznego Cewka umieszczona w obwodzie elektrycznym przeciwstawia się jakimkolwiek zmianom prądu płynącego przez nią. Wynika stąd, że aby prąd popłynął prze cewkę trzeba pokonad „jej opory”, tj. wykonad nad nią pracę. Z twierdzenia o pracy i energii wnosimy, że w cewce jest magazynowana energia. Tym razem jest to energia pola magnetycznego. Postaramy się wyznaczyd wartośd tej energii. Moc zewnętrznego źródła prądu o SEM równej podłączonego do cewki wynosi Jeśli cewka tylko jest podłączona do zewnętrznego źródła, to . Zauważmy, że jeśli , to , co oznacza, że zewnętrzna siła wykonuje pracę nad cewką, do której jest transferowana/przekazywana energia. Wtedy energia wewnętrzna cewki rośnie. Jeśli , to , co oznacza, że cewka oddaje energię otoczeniu, a energia wewnętrzna cewki maleje. Całkowita praca wykonana przez zewnętrzną SEM w celu zwiększenia prądu w cewce od zera do wartości jest równa . Uzasadnienie zastosowanego sposobu obliczania pracy. Ze wzoru wynika, że Zatem wartośd magnetycznej energii zgromadzonej w cewce wynosi . Cewka odgrywa w obwodach elektrycznych podobną rolę do kondensatora, którym zgromadzona energia pola elektrycznego wynosi Zauważmy istotną różnicę między opornikiem i cewką. Energia elektryczna prądu płynącego w oporniku jest „tracona” bezpowrotnie, tj. wydziela się w nim pod postacią energii cieplnej. W cewce energia jest do niej dostarczana i w niej magazynowana o ile . Energia ta jest w cewce magazynowana; nie jest więc tracona. Może byd oddana otoczeniu, gdy 28 Energia pola magnetycznego cewki(solenoidu) Cewka o długości , promieniu zawiera zwojów. Płynie przez nią prąd . Ile energii magnetycznej jest zgromadzonej w cewce? Przypomnijmy, że oraz więc to Ponieważ Stąd gęstośd energii pola magnetycznego w objętości solenoidu . Przypomnijmy, że gęstośd energii pola elektrycznego . Przegląd animacji 1. Kreacja i anihilacja pola magnetycznego – na stronie http://web.mit.edu/8.02t/www/802TEAL3D/visualizations/faraday/SolenoidUp/SolenoidUp.htm dostępna jest animacja ilustrująca powstawanie/kreowanie pola magnetycznego przez 5 zwojów cewki, w których płyną dodatnie ładunki niezgodnie z ruchem wskazówek zegara. Ruch tych ładunków jest widoczny 29 w uzwojeniach cewki. Pole magnetyczne w objętości obejmowanej pętlami oraz na zewnątrz rośnie w chwilach czasu, gdy rośnie prąd elektryczny płynący w uzwojeniach. Linie pola magnetycznego wewnątrz uzwojeo są prawie równoległe do osi 5-zwojowej cewki. Podczas wzrostu natężenia prądu w uzwojeniach indukowana jest SEM samoindukcji przeciwstawiająca się zewnętrznym źródłom prądu wymuszających ruch dodatnich ładunków prądu. SEM samoindukcji jest skierowana przeciwnie do zewnętrznej SEM. Zwraca uwagę emitowanie, w przestrzeo otaczająca układ, pola magnetycznego i jego energii w tych odcinkach czasu, w których rośnie prąd, tj. gdy ładunki dodatnie są przyspieszane (układ działa wówczas jak antena nadawcza). Od chwili, gdy prądy płynące w uzwojeniach nie rosną, pole magnetyczne stabilizuje się; linie pola magnetycznego nie zmieniają swoich kształtów. 2. Kreacja i anihilacja pola magnetycznego – na stronie http://web.mit.edu/8.02t/www/802TEAL3D/visualizations/faraday/SolenoidDown/SolenoidDown.htm dostępna jest animacja ilustrująca anihilowanie/znikanie pola magnetycznego między 5 zwojami cewki, w których płyną dodatnie ładunki niezgodnie z ruchem wskazówek zegara. Ruch tych ładunków, widoczny w uzwojeniach cewki, jest stopniowo spowalniany. Pole magnetyczne w objętości obejmowanej pętlami oraz na zewnątrz powoli maleje. Podczas zmniejszania natężenia prądu w uzwojeniach indukowana jest SEM samoindukcji przeciwstawiająca się zewnętrznym źródłom prądu wymuszających ruch dodatnich ładunków prądu. Tym razem SEM samoindukcji dąży do podtrzymania prądu i jest skierowana zgodnie z zewnętrzną SEM. Zwraca uwagę emitowanie, w przestrzeo otaczająca układ, pola magnetycznego i jego energii w tych odcinkach czasu, w których 30 rośnie prąd, tj. gdy ładunki dodatnie są przyspieszane (układ działa wówczas jak antena nadawcza). Od chwili, gdy prądy płynące w uzwojeniach nie rosną, pole magnetyczne stabilizuje się; linie pola magnetycznego nie zmieniają swoich kształtów. 3. Magnes sztabkowy i idealna pętla przewodnika (opór zerowy) – na stronie http://web.mit.edu/8.02t/www/802TEAL3D/visualizations/faraday/FallingRing/FallingRing.htm dostępna jest animacja ilustrująca działanie prawa Faradaya. Lekka pętla przewodnika z oporem równym zeru porusza się ruchem drgającym nad osią magnesu sztabkowego. Indukowana SEM powoduje wirowy ruch ładunków elektrycznych w pętli (prądy wirowe), który wytwarza pole magnetyczne skierowane przeciwnie do pola magnesu sztabkowego. Pętla i magnes odpychają się. W rezultacie spadek pionowy pętli jest zaburzany i hamowany. Następnie przewodnik wznosi się do położenia początkowego. Pętla może nawet lewitowad w polu magnetycznym i grawitacyjnym. Film ten pokazuje konwersję energii grawitacyjnej w energię kinetyczną oraz energię zgromadzoną w polu magnetycznym. Zbliżanie się do siebie linii pola magnetycznego, tj. ich kompresowanie się (zagęszczanie się), obserwowane w obszarze między pętlą i magnesem stałym wskazuje na przekazywania oddziaływao i energii między pętlą i magnesem. W najniższym położeniu potencjalna energia grawitacyjna i energia kinetyczna przyjmują najmniejsze wartości; początkowa wartośd potencjalnej energii grawitacyjnej (ma ją pętla w najwyższym, tj. początkowym położeniu) jest zgromadzona w energii pola magnetycznego, do którego została przetransferowana dzięki oddziaływaniom magnetycznym. Natomiast w najwyższym położeniu potencjalna energia grawitacyjna jest największa 31 (liczona względem punktu zatrzymania się pętli spadającej w dół) a energia kinetyczna przyjmuje ponownie najmniejszą, tj. zerową wartośd. Przy czym pętla odzyskała początkową energię grawitacyjną w wyniku oddziaływao magnetycznych, tj. energia pola magnetycznego została przekonwertowana na grawitacyjną energię potencjalną. Na stronie http://web.mit.edu/8.02t/www/802TEAL3D/visualizations/faraday/FallingRingEquator/FallingRingEquator.htm znajduje się animacja przedstawiająca lekką pętlę o zerowym oporze, która wykonuje ruch drgający pod magnesem trwałym. Na stronie http://web.mit.edu/8.02t/www/802TEAL3D/visualizations/faraday/FallingRingSuperAboveOut/FallingRingSuperAboveOut.htm znajduje się animacja przedstawiająca masywną pętlę o zerowym oporze, która porusza się na osi magnesu trwałego. 32 4. Magnes sztabkowy i pętla przewodnika (opór niezerowy) – na stronie http://web.mit.edu/8.02t/www/802TEAL3D/visualizations/faraday/FallingRingResistive/FallingRingRes dostępna jest animacja ilustrująca także działanie prawa Faradaya. Pętla przewodnika z oporem niezerowym porusza się, jak w poprzednim przypadku, nad osią magnesu sztabkowego. Indukowana SEM wywoduje w pętli prądy wirowe, które wytwarza pole magnetyczne skierowane przeciwnie do pola magnesu sztabkowego. Pętla i magnes odpychają się. W rezultacie spadek pionowy pętli jest zaburzany i hamowany. Ze względu na dyssypację/rozpraszanie energii pętla balansuje nad magnesem w dół i w górę po czym mija magnes i opada ostatecznie w dół pod wpływem siły grawitacyjnej. Tym razem przy mijaniu magnesu prądy wirowe zmieniają kierunek i będąc poniżej magnesu pętla jest przyciągana przez magnes. Na stronie http://web.mit.edu/8.02t/www/802TEAL3D/visualizations/faraday/FallingRingEquator/FallingRingEquator.htm znajduje się animacja przedstawiająca podwieszoną pod stałym magnesem pętlę, która wykonuje ruch drgający. 33 Natomiast na stronie http://web.mit.edu/8.02t/www/802TEAL3D/visualizations/faraday/FallingMagnetEquator/FallingMagnetEquator.htm znajdują się animacje przedstawiające podwieszony pod pętlą stały magnes, który wykonuje ruch drgający. 34 5. Lewitujący magnes trwały – animacje ze strony http://web.mit.edu/8.02t/www/802TEAL3D/visualizations/faraday/FallingMagnetSuperAbove/FallingMagnetSuperAbove.htm 35 6. Spadający magnes przez pętlę z zerowym oporem – animacje dostępne na stronie http://web.mit.edu/8.02t/www/802TEAL3D/visualizations/faraday/FallingMagnetResistive/FallingMagnetResistive.htm 36 7. Spadający magnes przez pętlę z niezerowym oporem – animacje dostępne na stronie http://web.mit.edu/8.02t/www/802TEAL3D/visualizations/faraday/FallingMagnetResistive/FallingMagnetResistive.htm 37 8. Spadająca cewka w polu magnesu sztabkowego – applet na stronie http://web.mit.edu/8.02t/www/802TEAL3D/visualizations/faraday/fallingcoilapp/fallingcoilapp.htm 9. Prawo Faradaya cześd I – applet na stronie http://web.mit.edu/8.02t/www/802TEAL3D/visualizations/faraday/faradayapp/faradayapp.htm 38 10.Prawo Faradaya cześd II – applet na stronie http://web.mit.edu/8.02t/www/802TEAL3D/visualizations/faraday/faradayapp02/faradayapp02.htm 11. Spadający magnes przez niemagnetyczna pętlę z niezerowym oporem – applet dostępny na stronie http://web.mit.edu/8.02t/www/802TEAL3D/visualizations/faraday/fallingmagnetapp/fallingmagnetapp.htm 39 12.Magnes lewitujący nad nadprzewodnikiem – film dostępny na stronie http://web.mit.edu/8.02t/www/802TEAL3D/visualizations/faraday/superconductor/superconductor.htm 40 Obwody elektryczne w zewnętrznych polach magnetycznych Umieszczenie obwodu elektrycznego w zewnętrznym zmiennym w czasie polu magnetycznym zmienia zasadniczo obraz fizyczny. W obwodzie ze źródłem stałego pola magnetycznego cyrkulacja natężenia pola elektrycznego po krzywej zamkniętej jest równa zeru. W zmiennym polu magnetycznym tak już nie jest, ponieważ indukowane pole elektryczne nie jest potencjalne . Jak należy analizowad takie obwody elektryczne? Rozpatrzmy układ elektryczny z poniższego rysunku. Jak zależy od czasu prąd po włączeniu zasilania? W celu zbadania tego zagadnienia zastosujemy prawo Faradaya do powierzchni objętej przewodnikami. Wybieramy zwrot wektora pola przed kartkę a obwód będziemy obchodzid przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Spadek napięcia na zamkniętym obwodzie jest równy ponieważ baterię mijamy/obchodzimy od minusa do plusa (wtedy jej SEM bierzemy do powyższego równania ze znakiem ujemnym). Policzymy teraz strumieo pola magnetycznego obejmowanego naszym układem. Zaniedbamy pole powierzchni obwodu po prawej stronie. Skupimy się na strumieniu przenikającym 41 jednej zwój cewki widoczny po prawej stronie obwodu. Pokazany kierunek przepływu prądu implikuje, że wektor indukcji pola , generowanego przez prąd płynący w obwodzie (nie jest to więc zewnętrzne pole magnetyczne), jest skierowany przed kartkę. Zatem iloczyn skalarny . Strumieo pola jest proporcjonalny do natężenia prądu , tj. , gdzie -współczynnik samoindukcji naszego obwodu. Tak więc . Zatem „równanie ruchu” przyjmie postad Kolejna tabela określa regułę znaków dla obwodu z indukcyjnością. Polaryzacja indukowanej SEM spełnia prawo przekory Lenza. Jeśli szybkośd/tempo zmiany natężenia prądu jest dodatnie (prąd rośnie), jak to pokazuje lewa częśd tabeli, to indukowana SEM generuje prąd płynący w przeciwnym kierunku niż prąd w obwodzie . Tak więc cewka może byd zastąpiona źródłem prądu o sile elektromotorycznej równej i o biegunach/zaciskach, których położenie wskazuje prawa częśd tabeli. Jeśli szybkośd/tempo zmiany natężenia prądu jest ujemne (prąd maleje), jak to pokazuje prawa częśd tabeli, to indukowana SEM generuje prąd płynący w tym samym kierunku co prąd w obwodzie . Tak więc cewka może byd zastąpiona źródłem prądu o sile elektromotorycznej równej biegunach/zaciskach, których położenie wskazuje lewa częśd tabeli. 42 i o Tak więc niezależnie od tego, czy potencjałów przy przejściu od do , czy też , to różnica jest zawsze równa . Zmodyfikowana reguła Kirchhoffa dla obwodów zawierających indukcyjnośd Jeśli element indukcyjny obwodu jest obchodzony w kierunku zgodnym z przepływem prądu w oczku obwodu, to zmiana napięcia/”spadek” potencjału na nim jest równa . Jeśli element indukcyjny obwodu jest obchodzony w kierunku przeciwnym do przepływu prądu w oczku obwodu, to zmiana napięcia/”spadek” potencjału na nim jest równa . Obwód RL Rozważmy obwód pokazany na rysunku. Po zamknięciu klucz S równanie ruchu przyjmie postad (zgodnie ze zmodyfikowanym prawem Kirchhoffa) Po rozdzieleniu zmiennych otrzymujemy równanie różniczkowe 43 Po scałkowaniu, otrzymujemy uwzględnieniu warunku początkowego , , gdzie stała czasowa Zależnośd prądu od czasu ilustruje poniższy rysunek. Kolejny wykres pokazuje zależnośd od czasu 44 . Zajmiemy się jeszcze obwodem przedstawionym na kolejnym rysunku Tym razem rozważamy przypadek, w którym początkowo płynął prąd o natężeniu , klucz był długo otwarty, a klucz był otwarty; patrz rys. po stronie lewej. Następnie otwieramy i zamykamy klucz patrz rysunek po stronie prawej Zastosujemy zmodyfikowane prawo Kirchhoffa , co jest równoważne równaniu , którego rozwiązanie ma postad a ilustracją wykres 45 Obwód LC Rozpatrzymy jeszcze obwód z rysunku Po zamknięciu klucza kondensator zaczyna rozładowywad się. Ze względu na brak oporu, energia pola elektrycznego kondensatora ulega konwersji w energię pola magnetycznego w cewce. Proces ten jest odwracalny, tj. energia pola magnetycznego ładuje kondensator itd. Mówimy, że mamy do czynienia z drganiami elektromagnetycznymi w obwodzie LC. Energia zgromadzona w rozpatrywanym układzie jest stała i równa . Pochodna energii całkowitej względem czasu jest równa zeru, tj. które jest równoważne równaniu różniczkowemu (przypomnijmy, że ) Rozwiązaniem ostatniego równania jest funkcja , gdzie jest amplitudą ładunku, a fazą początkową drgao, 46 . Prąd płynący przez cewkę Z warunków początkowych i wyznaczamy Ostatecznie otrzymujemy i , co przedstawia kolejny wykres Przeanalizujemy jeszcze relacje energetyczne w tym obwodzie. Energia pola elektrycznego . i . 47 Sumaryczna energia w obwodzie LC Poniższy wykres przedstawia zależnośd od czasu składowych energii Analogią mechaniczną rozpatrzonego obwodu jest układ przedstawiony na rysunku Energia mechaniczna tego układu . Podobnie jak poprzednio które jest równoważne ( ) 48 Jego rozwiązaniem jest funkcja , gdzie Wobec tego całkowita energia mechaniczna tego układu . Na kolejnej stronie w tabeli prezentujemy zestawienie obu układów mechanicznego i elektrycznego. 49 50 Podsumowanie 1. Stosując prawo Faradaya współczynnik indukcyjności wzajemnej dwóch cewek (solenoidów) jest równa , gdzie zastosowano następujące oznaczenia: – jest współczynnikiem indukcyjności wzajemnej, przy czym symbole oznaczają współczynnik indukcyjności cewki drugiej o liczbie zwojów poddanej działaniu pola magnetycznego pierwszej o liczbie zwojów , w której płynie prąd o natężeniu a jest współczynnikiem indukcyjności cewki pierwszej poddanej działaniu pola magnetycznego cewki drugiej w której płynie prąd o natężeniu ; jest strumieniem pola magnetycznego przenikającego cewkę drugą znajdującą się w polu działaniu pola magnetycznego pierwszej a - jest strumieniem pola magnetycznego przenikającego cewkę pierwszą znajdującą się w polu działaniu pola magnetycznego cewki drugiej. 2. Indukowana SEM w cewce 2 wywołana zmianą prądu w cewce pierwszej . wynosi , gdzie jest 3. Współczynnik samoindukcji cewki jest strumieniem magnetycznym przenikającym wszystkie zwoje cewki. 4. SEM samoindukcji, której źródłem jest zmiana natężenia prądu równa 5. Współczynnik samoindukcji cewki o i długości jest równy w cewce jest zwojach, polu przekroju poprzecznego . 6. Po szeregowym podłączeniu baterii o SEM równej do cewki i oporu połączonych szeregowo w chwili czasu , natężenie prądu w tym obwodzie rośnie i jest funkcją czasu , gdzie odłączeniu baterii prąd zanika, jak Po . 7. Magnetyczna energia, tj. energia pola magnetycznego w cewce jest równa . 8. Gęstośd energii pola magnetycznego w punkcie, gdzie indukcja pola magnetycznego jest równa , wynosi 51 Naprężenia przenoszone/transmitowane przez pole magnetyczne Można pokazad, że pole magnetyczne między dwoma „nieskooczonymi” płaszczyznami, po których płyną prądy elektryczne w przeciwnych kierunkach (patrz rysunek) wynosi , tj. ma kierunek pionowy i zwrot w górę; pole to istnieje tylko między przewodzącymi powierzchniami; ma wymiar A/m. Gęstośd energii magnetycznej między powierzchniami jest równa Pokazuje się, że obie płaszczyzny odpychają się, co nie jest zaskoczeniem, ponieważ prądy płyną w kierunkach przeciwnych. 52 Ciśnienie wywierane przez dolną powierzchnię na górną i skierowane w górę (tj. siła skierowana w górę działającą na jednostkę górnej powierzchni) wynosi (patrz rysunek, na którym pokazano siłę z jaką dolna powierzchnia oddziaływuje na górną) Podobnie pokazuje się, że ciśnienie wywierane przez górną powierzchnię na dolną i skierowane w dół (tj. siła skierowana w dół działającą na jednostkę dolnej powierzchni) wynosi (patrz rysunek, na którym pokazano siłę z jaką górna powierzchnia oddziaływuje na dolną) Jak widzimy pole magnetyczne – skierowane poziomo – wywiera ciśnienia na obie płaszczyzny w kierunkach prostopadłych do linii pola magnetycznego, których wartości są takie same, ale przeciwnie skierowane. 53 Wniosek: Pole magnetyczne przenosi/transmituje ciśnienie (między obydwoma płaszczyznami) w kierunku prostopadłym do linii pola magnetycznego. Nasze rozważania możemy uogólnid i rozpatrzed myślowo wydzieloną objętośd, tj. pudełko, umieszczone w polu magnetycznym, co ilustruje kolejny rysunek. Na podstawie wyników poprzednich rozważao wnioskujemy, że pole magnetyczne ciśnie na powierzchnie boczne pudełka, co pokazuje rysunek. Jeśli pole jest jednorodne, to wypadkowa siły (siły te na rys. obok symbolizują szerokie i krótkie niebieskie wektory poziome) działająca na powierzchnie boczne pudełka (zaznaczonego na rys. kolorem niebieskim) jest równa zeru. O siłach tych mówimy jako o siłach lateralnych. Długie pionowe wektory niebieskie reprezentują wektory indukcji jednorodnego pola magnetycznego, w którym jest umieszczone pudełko. Ponadto pokazuje się, że na górną i dolną powierzchnię pudełka działają siły rozciągające je wzdłuż linii pola magnetycznego. Na rysunku siły te są zaznaczone za pomocą niebieskich pionowych wektorów zaczepionych do górnej i dolnej powierzchni pudełka. Wartośd ciśnienia wywieranego przez jednorodne pole magnetyczne na powierzchnię (boczną, górna lub dolną) pudełka jest równa . Zauważmy, że ciśnienie to jest równe gęstości energii pola magnetycznego. 54 Podsumowanie: Pola elektromagnetyczne są pośrednikami (mediatorami) oddziaływao między obiektami. Pola te transportują w przestrzeni naprężenia. Pole magnetyczne transportuje naprężenia równolegle do linii sił oraz ciśnienie w kierunkach prostopadłych do nich. Wartośd naprężenia lub ciśnienia transportowanego przez pole jest równe . Naładowana cząsteczka w zmiennym w czasie polu magnetycznym – animacja dostępna na stronie http://web.mit.edu/8.02t/www/802TEAL3D/visualizations/magnetostatics/forcemovingq/forcemovingq.htm reprezentuje transport naprężeo przez zmienne w czasie pole magnetyczne, tj. siłę oddziaływania ze strony zmiennego w czasie pola magnetycznego na ruchome dodatnie ładunki elektryczne, które poruszają się za kartkę. Pole zewnętrzne ma wektor indukcji skierowany na rysunku pionowo w dół. Rysunek pokazuje linie sił pola magnetycznego (cyrkulujących niezgodnie z ruchem wskazówek zegara) w chwili czasu , którego źródłem są ładunki, czyli prąd elektryczny płynący przed kartkę. W chwili zewnętrzne pole magnetyczne jest równe zeru (patrz zamieszczony wyżej wzór). Po włączeniu pola, tj. dla , na ładunki zaczyna oddziaływad naprężenie pola magnetycznego, które przejawia się w postaci poziomej białej (na animacji) siły działającej w prawo. W animacji przejawia się to w postaci wzmocnienia linii pola magnetycznego po lewej stronie ładunku. Wektory pola zewnętrznego i pola ładunku dodają się, co przejawia się w 55 ich wydłużaniu i zagęszczaniu się. Natomiast po prawej stronie ubywa linii pola magnetycznego, co jest konsekwencją tego, że wektory indukcji pola zewnętrznego i pola pochodzącego od ładunku odejmują się. Po tej stronie znajduje się także punkt w przestrzeni, w którym wypadkowa wartośd indukcji pola magnetycznego jest równa zeru. Pole magnetyczne „naciska” na ładunek, ponieważ ciśnienie pola z lewej strony jest większe niż z prawej. Tym razem pole magnetyczne nie jest jednorodne, więc ciśnienie (przypomnijmy – prostopadłe do linii pola magnetycznego), tj. średnia gęstośd energii pola magnetycznego po lewej stronie ładunków, jest większa od gęstości pola magnetycznego po jego prawej stronie. W rezultacie pojawia się wypadkowa siła skierowana w prawo, która w animacji jest reprezentowana białym wektorem. W ten sposób można jakościowo tłumaczyd występowanie siły Lorentza działającej ze strony pola magnetycznego na poruszające się w nim ładunki elektryczne. Zauważmy, że gdyby ładunki poruszały się w kierunku przeciwnym, to wypadkowa siła przyłożona do ładunków ze strony pola magnetycznego byłaby skierowana w lewo. Podobne animacje są dostępne na stronach http://web.mit.edu/8.02t/www/802TEAL3D/visualizations/vectorfields/FluidFlowCurl/ffcurl.htm oraz http://web.mit.edu/8.02t/www/802TEAL3D/visualizations/vectorfields/FluidFlowCurlConstant/ffcurlconstant.htm . 56 Tekst jest wolnym tłumaczeniem plików guide10.pdf i guide11.pdf kursu dostępnego na stronie http://web.mit.edu/8.02t/www/802TEAL3D/visualizations/coursenotes/index.htm Wszystkie rysunki i animacje zaczerpnięto ze strony http://web.mit.edu/8.02t/www/802TEAL3D/visualizations/faraday/index.htm 57
