efektywna gęstość stanów

Wykład III
1.Absorpcja światła w półprzewodnikach
2.Gęstość stanów 3D, 2D, 1D, 0D
3.Koncentracja elektronów i dziur
Większość urządzeń półprzewodnikowych pracuje w oparciu o nośniki
nadmiarowe:
Nośniki nadmiarowe są generowane dzięki wzbudzeniom optycznym,
bombardowaniu elektronami lub wstrzykiwaniem nośników np. w złączu p-n.
• Pomiary przerwy wzbronionej :
- absorpcja fotonów gdy hν  Eg; fotony nie są absorbowane, jeśli h  Eg
to wyjaśnia, dlaczego niektóre materiały są przezroczyste dla pewnych
długości fal !
- jeśli Eg = ~2 eV : materiał jest przezroczysty w podczerwieni i dla światła
czerwonego,
- jeśli Eg = ~3 eV : materiał jest przezroczysty w podczerwieni i dla światła
widzialnego,
Jeśli strumień fotonów o energii hν  Eg oświetla próbkę Si, to można oszacować
jaka część tego strumienia zostanie pochłonięta przez tę próbkę.
Stosunek natężenia światła, które przeszło przez próbkę do natężenia światła
padającego zależy od długości fali fotonów (λ) i grubości próbki (l).
Niech I0 (photony/cm2sec) = wiązka fotonów o długości fali λ, skierowana zostaje
na próbkę o grubości (l). Zgodnie z prawem Lamberta-Beera spadek natężenia
wiązki w odległości (x) od powierzchni na odcinku dx, jest proporcjonalny do
natężenia wiązki w (x), grubości warstwy dx i współczynnika opisującego
własności optyczne ośrodka :
dI ( x)  I ( x  dx )  I ( x )  a I ( x )dx
 I ( x )  I 0 e a x
Jeśli grubość jest mała i można założyć, że a =const, to natężenie światła po
przejściu przez próbkę o grubości (l) :
I t  I 0 e al
Absorpcja w półprzewodnikach
• Dla dłuższej drogi z powyższego wzoru
wynika następujące wyrażenie:
x2
I  ( x2 )  I  ( x1 ) exp[  a ( x)dx]
x1
Pomiar absorpcji
I t  I 0e
al
a
Półprzewodniki absorbują fotony o energii hν  Eg !
E (eV) = hc / λ (μm)
- Si absorbuje nie tylko fale o długości odpowiadającej przerwie wzbronionej
(~1μm) ale również fale krótsze, z zakresu widzialnego.
-Si będzie przezroczysty w podczerwieni (bo h  Eg), ale nieprzezroczysty w
zakresie UV-VIS (bo tam hν  Eg).
Krawędź absorpcji w półprzewodnikach
z prostą przerwą wzbronioną ( np. GaAs)
W pobliżu k=0 zależność E(k) jest paraboliczna zarówno dla pasma przewodnictwa (e),
pasma dziur ciężkich (hh), dziur lekkich (lh) oraz pasma powstałego na skutek
oddziaływania spin – orbita (so). Różnica między zależnościami dyspersyjnym dla
poszczególnych pasm wynika tylko z innej wartości masy efektywnej.
E c (k )  E g 
E hh (k )  
Elh (k )  
 2k 2
2me*
 2k 2
*
2mhh
 2k 2
*
2mlh
E so (k )   
 2k 2
2m*so
Z ZZE dla przejść optycznych w GaAs z pasma walencyjnego
do pasma przewodnictwa:
  E g 
gdzie
*
*
mh*  mhh
lub mlh
 2k 2
2me*

 2k 2
2mh*
i niech
 2k 2
  E g 
2
1


1
me*

1
m h*
Łączna gęstość stanów.
Gęstość stanów określa rozkład stanów po energii w obrębie jednego pasma. Łączna
gęstość stanów uwzględnia fakt, że początkowy i końcowy stan elektronu znajdują się
w obrębie kontinuum stanów dozwolonych, różnych pasm. Dla elektronów w paśmie:
D(E)dE=2D(k)dk
g(k) jest gęstością stanów w przestrzeni pędów a mnożnik 2 wynika z tego, że w danym
stanie kwantowym mogą się znajdować dwa elektrony o różnych spinach. Stąd:
D( E ) 
2 D(k )
dE / dk
Wiadomo, że gęstość stanów w przestrzeni wektora falowego g(k) jest równa liczbie
stanów zawartych w przestrzeni między dwiema sferami o promieniach k i k+dk. Ta zaś
jest równa liczbie stanów na jednostkę objętości, tj. 1/(2p)3 pomnożonej przez objętość
między sferami równą 4pk2dk. Tak więc:
k2
D(k )dk 
4pk dk  D(k ) 
3
(2p )
2p 2
1
2
2 D( k ) k 2
1
D( E ) 
 2
dE / dk p dE / dk
Łączna gęstość stanów
 2k 2
E    Eg 
2
wtedy dla
zaś dla
  E g , D( )  0
  E g , D( ) 
3
1 2 2
( 2 ) (
2
2p

 Eg
1
)2
dla energii fotonów większej niż przerwa wzbroniona łączna gęstość stanów rośnie jak
(  E g
1
)2
Prawdopodobieństwo
przejścia
Wi-f
jest
proporcjonalne do łącznej gęstości stanów, więc
współczynnik absorpcji będzie miał podobną
zależność funkcyjną od energii fotonów co łączna
gęstość stanów, ponieważ w przybliżeniu
dipolowym można założyć, że M =const ( tzn. słabo
zależy od k)
Wif 
  E g , a ( )  0
  Eg ,a ( ) ~ (  Eg
1
)2
2π 2
M D( ω)

Z ekstrapolacji części liniowej wykresu a  f ( ) do przecięcia z
osią odciętych można wyznaczyć przerwę wzbronioną Eg
2
Przejścia skośne
Przejścia skośne mogą pojawić się wtedy i tylko wtedy, gdy w procesie
oddziaływania foton–elektron bierze udział trzecia cząstka, która
umożliwia spełnienie zasady zachowania wektora falowego. Zazwyczaj
taką rolę pełni fonon
 
  Ec kc  Ev  kv   E p ,
kc  kv   K p ,

gdzie Ep, , K p – energia i pęd fononu. Znak „+” odpowiada procesowi z emisją, „–”
procesowi z absorpcją fononu.
1. Proces dwuetapowy: elektron jest wzbudzany przy
udziale fotonu
z pasma walencyjnego do stanu
bez

wirtualnego
zachowania energii ale z
zachowaniem iwektora falowego. W drugim etapie
elektron przechodzi ze stanu
do stanu
na
i
dnie pasma przewodnictwa przy
udziale procesu
1
absorpcji lub emisji fononu.
2. Możliwe jest przejście takie, że najpierw jest
oddziaływanie z fononem, a potem – z fotonem
Si
Przejścia skośne
Prawdopodobieństwo absorpcji fotonu w jednostce czasu i w jednostce
objętości
2
f H ep i i H eR 0


2p
i 
 Ec kc   Ev kv     E p ,
 
 kc , kv i
Ei 0  


gdzie: HeR – hamiltonian oddziaływania elektronu z fotonem, Hep – hamiltonian
oddziaływania elektronu z fononem.
0 – stan początkowy układu z zapełnionym pasmem walencyjnym, pustym pasmem
przewodnictwa oraz liczbą fononów np,
f – stan końcowy układu z elektronem w minimum pasma przewodnictwa, dziurą w
maksimum pasma walencyjnego oraz liczbą fononów n p  1 ,
i – przedstawia dwa możliwe stany pośrednie, opisane wyżej.
Element macierzowy oddziaływania elektron – fonon zależy od stopnia obsadzenia
stanów fononowych

 n p  dla procesu z absorpcją fononu ,
f H ep i  
n  1  dla procesu z emisją fononu,

 p
1
gdzie
 E
 
n p  exp p   1 .
  kT  
Przejścia skośne
W wielu półprzewodnikach elementy macierzowe są stałe. Wtedy wystarczy
wykonać sumowanie po kc i kv , które sprowadza się do całkowania po Ec i Ev:




i ~   Dv (E v )Dc (E c )δ Ec k c   E v k v   ω  Ep dEcdE v
Zakładając, że pasma są paraboliczne mamy:
( Ec  Eig )1 / 2 dla Ec  Eig
Dc  {0 dla Ec  Eig
(  Ev )1 / 2 dla Ev 0
Dv  {0 dla Ev 0
gdzie Eig jest przerwą wzbronioną. Zero energii przyjęto dla wierzchołka
pasma walencyjnego. Podstawiając do równania na Ri i całkując po Ev mamy:

 f ( x) ( x  a)dx 

  E p  Eig
i ~
 (E
0
c
 Eig )
1/ 2


f (a)   ( x  a)dx  f (a)

 

ω  E p - E c k c
1/2
dE c
Przejścia skośne
  E p  Eig
i ~
 (E
c
 Eig )
1/ 2

 

ω  E p - E c k c
1/2
dE c
0
Podstawiając
x
mamy
E c  Eig
  E p  E ig
i ~ ω  E p - E ig 
2
1
1/ 2
1/ 2
x
(
1

x
)
dx

0
Przejścia skośne
Po scałkowaniu mamy:
a    a a    a e  ,
dla procesów z absorpcją fononu:
0

 Cn
a a     p
2

  Eig  E p 

 
  Eig  E p
  Eig  E p ,
dla procesów z emisją fononu:
0

 C n  1
a e    
p
2

  Eig  E p 

 
  Eig  E p
  Eig  E p ,
Przejścia skośne
Schematyczny przebieg krawędzi absorpcji w obszarze przejść skośnych dla dwu
temperatur z zaznaczonym sposobem wyznaczenia przerwy energetycznej oraz energii
fononu
Wyprowadzenie wzoru na gęstość stanów i
koncentrację elektronów w metalu
Stany elektronów swobodnych
Zbiór dozwolonych stanów elektronowych wynika z rozwiązania
stacjonarnego r. Schrödingera
2
2
- 2 2
- 2  2

 
 (r ) 
 2 + 2 + 2  ( r ) = (E - V( r )) ( r )
2m
2m   x  y  z 
Dla elektronów swobodnych w metalu V(r) = 0. Stąd rozwiązanie :
 k ( r )  exp(ik  r)
gdzie r -wektor w przestrzeni rzeczywistej zaś k wektor falowy
Włączając zależność od czasu mamy
 k ( r )  exp(ik  r  t )
Jest to fala płaska poruszająca się w kierunku
r
Kwantyzacja stanów w pudełku
Rozwiązanie r. Schrödingera (zaniedbując człon zależny od
czasu)
 k ( r )  exp(ik  r)
Teraz trzeba uwzględnić rozmiary kryształu.
Rozważmy kryształ w postaci sześcianu o boku L
Takie założenie prowadzi do rozwiązania w
postaci fali stojącej. Jest ono równoważne
periodycznemu warunkowi brzegowemu:
 k (x  L, y, z)   k (x, y, z)
e
kx=

L
 k (x, y  L, z)   k (x, y, z)  k (x, y, z  L)   k (x, y, z)
i k x xk y y k z z

e


i k x  x  L  k y  y  L  k z  z  L 
2p
2p
2p
;
=
;
=
nx k y
ny k z
n z gdzie nx, ny, i nz = +/- 1,2,3…
L
L
L
Jednej trójce liczb nx, ny, nz odpowiada jeden wektor k.
y
Swobodne elektrony klasycznie:
dozwolone stany są
zdefiniowane przez położenie
(x,y,z) i pęd (px, py, pz)
py
px
x
z
pz
Swobodne elektrony kwantowo:
ky
dozwolone stany zdefiniowane
są przez wektor falowy (kx, ky,
kz)=(px, py, pz)
kx
Stany elektronowe
zdefiniowane są przez
punkt w przestrzeni k
kz
Stany w przestrzeni k (3D)
kx=
2p
2p
2p
;
=
;
=
nx
ky
ny
kz
n z gdzie nx, ny, i nz = +/- 1,2,3…
L
L
L
Jednej trójce liczb nx, ny, nz odpowiada jeden
wektor k.
2D: - każda kropka reprezentuje jeden stan
w przestrzeni k.
-wszystkie stany są równomiernie rozłożone
w przestrzeni k.
-jeden stan zajmuje objętość:
2
 2p 
ky
2p/L
2p/L
kx


 L 
3D: jeden stan zajmuje jednostkową
objętość w przestrzeni k:
3
 2p  8p

 
V
 L 
3
zatem liczba stanów na jednostkę objętości:
V
8p 3
Stany k są dyskretne, ale zwykle w metalu mamy do dyspozycji 1026 stanów zatem można je
traktować jako zbiór ciągły!
Gęstość stanów w 3D
D(k)dk jest liczbą dozwolonych stanów zawartych pomiędzy k i k+dk (tzn.
liczbą stanów zawartych pomiędzy sferą o promieniu k a sferą o promieniu
k+dk)= objętość w przestrzeni k x liczba stanów na jednostkę objętości w
przestrzeni k:
ky
2p/L
.
2
V
Vk
D(k )dk  4p k 2 dk 3  2 dk
8p
2p
Gęstość stanów na jednostkę
objętości
2
k
D(k)dk = 2 dk
2p
m 3
Równanie to jest słuszne dla
wszystkich kryształów!
2p/L
k+dk
k
kx
Gęstość stanów
2
k
D(k)dk = 2 dk
2p
m 3
D(E)dE
Każdemu stanowi k odpowiada stan o
energii E. Gęstość stanów to liczba
dozwolonych stanów D(E) energetycznych
zawartych w przedziale E do E+dE
D(E)dE = 2
k 2 dk
dE
2 p2 dE
m 3
E
Zgodnie z zakazem Pauliego, każdy stan może być obsadzony przez 2 elektrony
o przeciwnych spinach.
Dla elektronów swobodnych E = 2k2/2m i dE = (2k/m)dk
3/2
stąd
1
1  2m 
2


D(E)dE =
dE
E
2
2
2p   
Gęstość stanów zajętych elektronami
Aby policzyć no(E)dE, tj.
ilość
elektronów w jednostce objętości o
energiach od E do E+dE w stanie
równowagi w temperaturze
T, to
gęstość stanów należy pomnożyć przez
funkcję Fermiego-Diraca:
8 2p m
no ( E )dE  N ( E ) f ( E )dE 
h3
3
2
E
e
1
 E  EF 
2
kT
1
dE
Gęstość stanów
Gęstość stanów
Koncentracja nośników
Przybl. parabol. (swob.elektron):
Elektrony:
Dziury:
m*: masa efektywna
n
(2mn* kT )3 / 2
2p 2 3
1

p
x
 x 2 e dx 
2
0
Koncentracja elektronów i dziur w stanie równowagi termodynamicznej
Niech gęstość stanów = D(E) zaś prawdopodobieństwo, że zostaną zajęte
elektronami = f(E), wówczas koncentracja elektronów:

n 

f ( E ) D( E )dE
D( E ) ~ E
f ( EC ) 
EC
1
1 e
( EC  EF ) / kT
 e  ( EC  EF ) / kT
(300 K )
•
f(E)D(E) maleje istotnie dla E> EC , więc mało elektronów zajmuje stany
•
efektywna gęstość stanów (NC): wszystkie stany są zastąpione stanami
•
koncentracja elektronów w pasmie przewodnictwa=(efektywna gęstość
stanów NC) x (funkcja Fermiego) :
powyżej dna pasma przewodnictwa
na dnie pasma przewodnictwa
n0  N C f ( E C )  N C e
•
 2pm n* kT 

N C  2
2

 h

 ( EC  E F ) / kT
3/ 2
koncentracja dziur w paśmie walencyjnym
p0  N V [1  f ( EV )]  N V e
 ( E F  EV ) / kT
 2pm kT 

N V  2
2
 h



*
p
3/ 2
Koncentracja samoistna
n0  NC f ( EC )  N C e  ( EC  EF ) / kT
p0  NV [1  f ( EV )]  NV e  ( EF  EV ) / kT
• półprzewodnik samoistny EF = Ei :
ni  N C e
pi  NV e  ( Ei  EV ) / kT
 ( EC  E i ) / kT
n0 p0  ( N C e  ( EC  EF ) / kT )( NV e  ( EF  EV ) / kT ) 
•
N C NV e
 ( EC  EV ) / kT
 N C NV e
 Eg / kT
ni p i  ( N C e  ( EC  E i ) / kT )( N V e  ( Ei  EV ) / kT ) 
N C NV e
 ( E C  EV ) / kT
ni pi  n0 p0
n0 p0  ni2
 N C NV e
i
 E g / kT
ponieważ
ni  NC NV e
ni  pi
 Eg / 2 kT
ni  N C N V e
 E g / 2 kT
Położenie poziomu Fermiego
w półprzewodniku samoistnym
ni  N C e
 ( EC  E i ) / kT
ni  NC NV e
Eg
kT Nv
Ei 

ln
2
2 Nc
EC
EF=Ei
EV
półprz. samoistny dla T=0 lub Nc=Nv
Krzem Eg=1.15eV m*n = 0.2me i m*p = 0.8me w 300K. Stąd:
Ei 
Eg
2
 0.026eV
 Eg / 2 kT
Koncentracje równowagowe
n0  NC f ( EC )  NC e
ni  N C e
n0  ni e
 ( EC  EF ) / kT
 ( EC  E i ) / kT
( EF  Ei ) / kT
p0  pi e
( Ei  EF ) / kT
domieszkowane półprzewodniki
N
P
n0  N D  ni e  EF  Ei / kT
p0  N A  ni e  Ei  EF / kT
Nd
EF  Ei  kT ln
ni
ni
Ei  EF  kT ln
NA
q Fn
ND
 kT ln
ni
(bo q F  E F  Ei )
q Fp
ni
 kT ln
NA
Koncentracja równowagowa nośników w
półprzewodniku domieszkowym
EC
EF=Ei
EC
EF
Ei
EV
EV
samoistny
EC
qFn
N-typu
n0  ni e
EF  Ei  / kT
p0  ni e
Ei  EF  / kT
Ei
EF
EV
qFp
P-typu
Koncentracja równowagowa nośników w
półprzewodnikach
Koncentr. nośników w półprzew. domieszkowych.
War. neutralności.:
Konc. nośników w półprz. domieszk.
Warunek
neutralności
Donory obsadz. elektronami:
Akceptory obsadz. dziurami:
Czysty półprzewodnik typu n (p-podobnie)
=0
(tylko jeden typ domieszki)
Przybliżenie
Przykład: Si i niech n=1017 cm-3
gdzie
Temperaturowa zależność koncentracji
I) Niskie temperatury
wymrażanie nośników
II) Wysokie temperatury
nasycenie
III) B. wysokie temp.
n ~ ni
obszar samoistny
Koncentracja
od temperatury
gorący
zimny