Statystyka 1/5 Zad. 1 Pracownik odsługuje 5 obrabiarek

Zad. 1 Pracownik odsługuje 5 obrabiarek automatycznych funkcjonujących niezależnie od
siebie. Prawdopodobieństwo, że w ciągu godziny obrabiarka wymaga interwencji
pracownika wynosi 0,8. Obliczyć prawdopodobieństwo, że:
a) żadne z urządzeń nie będzie wymagało interwencji pracownika
b) co najmniej dwa będą wymagały interwencji
c) wszystkie będą wymagały interwencji.
Zad. 2 W fabryce produkującej miksery poddano kontroli technicznej partię 10 mikserów.
Prawdopodobieństwo, że mikser przestanie działać w trakcie kontroli wynosi 0,01.
Obliczyć prawdopodobieństwo, że w czasie kontroli:
a) wszystkie urządzenia będą działać
b) przestanie działać 1 mikser
c) przestaną działać co najwyżej dwa
Zad. 3 Według badań 10% detali wyprodukowanych w pewnym zakładzie jest wadliwych.
Jakie jest prawdopodobieństwo, że w losowo wybranej próbie 7 detali co najwyżej jeden
będzie wadliwy.
Zad. 4 Firma transportowa ma 10 samochodów dostawczych, z których każdy codziennie
wyjeżdża z prawdopodobieństwem 0,8. Oblicz prawdopodobieństwo normalnej pracy firmy
w najbliższym dniu jeżeli wiadomo, że normalny ruch wymaga co najmniej 7 kursujących
samochodów.
Zad. 5 Urządzenie do kserowania przeciętnie 4 na 800 kopii robi odbitki wadliwe.
Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród 500 kopii:
a) dwie będą wadliwe
b) co najwyżej trzy będą wadliwe
Zad. 6 Średnia miesięczna liczba kolizji samochodowych na pewnym skrzyżowaniu
wynosi 2. Przyjmując, że miesięczna liczba kolizji drogowych ma rozkład Poissona
znaleźć prawdopodobieństwo, że w najbliższym miesiącu:
a) wystąpią 3 kolizje
b) co najwyżej jedna kolizja.
Zad. 7 Prawdopodobieństwo wygrania na loterii wynosi 0,002. Korzystając z przybliżenia
Poissona wyznaczyć prawdopodobieństwo, że wśród 400 osób grających na tej loterii
a) żadna nie wygra
b) wygra 1 osoba
c) wygra od 1 do 4 osób.
Zad.8 Zmienna losowa X przyjmuje wartości x1  2, x 2  0, x3  1 odpowiednio z
1
2
prawdopodobieństwem p1  , p 2  , p3  C .
5
5
Znaleźć:
a) stałą C
b) dystrybuantę,
c) wartość średnią
d) wariancję tej zmiennej losowej.
Statystyka 1/5
Zad. 9 Tabela przedstawia rozkład zmiennej losowej skokowej
Znaleźć:
3
5
xi 0 2
a) stałą C
pi 0,2 0,1 0,5 C
b) dystrybuantę
c) wartość średnią
d) wariancję tej zmiennej losowej
e) P(0  X  3)
Zad. 10 Zmienna losowa X ma rozkład normalny N (1, 2) .
Wyznaczyć:
a) P( X  0) , b) P( X  2) , c) P( X  1) , d) P( X  3) , e) P(1  X  3) , f) P ( X  1)
Podać interpretację na wykresie funkcji gęstości.
Zad. 11 Wzrost mężczyzn w Polsce w roku 1880 miał rozkład N (165, 10) .
Jaki procent mężczyzn miało wzrost
a) poniżej 160 cm.
b) powyżej 165 cm.
c) powyżej 170 cm.
Zad. 12 Badano wytrzymałość krajowego, iglastego drewna litego o wilgotności 12% na
ściskanie wzdłuż włókien. Otrzymano następujące wskaźniki :
23, 8, 15, 35, 21, 20, 10, 4, 28, 12, 9, 7, 24, 25, 31, 26, 23, 17, 13, 33, 29, 27, 24, 22, 32, 16,
9, 29, 22, 20, 8, 16, 21, 25, 31, 29, 23, 15, 32, 22, 23, 19, 24, 15, 21, 20, 29, 27, 23, 19, 16,
18, 24, 31, 28, 21, 8, 17, 24, 13, 12, 18, 23, 25.
Zbudować szereg rozdzielczy, przyjmując liczbę klas równą 8, jako początek pierwszej
klasy przyjąć liczbę 3,5. Dla szeregu rozdzielczego obliczyć wartość średnią , odchylenie
standardowe i narysować histogram.
Zad. 13 Spośród kontrolerów biletów zatrudnionych w pewnej firmie obsługujących dane
województwo wylosowano niezależnie 40 kontrolerów i zapytano o liczbę wystawionych
mandatów tygodniowo. Otrzymano następujące odpowiedzi: 5, 4, 3, 6, 8,5, 4, 2, 7, 7, 6, 4,
6 ,7, 8, 5, 2, 9, 7, 6, 9, 10, 6, 3, 5, 8, 3, 7, 3, 4, 5, 8, 5, 6, 6, 7, 6, 8, 6, 6. Zbudować
szczegółowy szereg statystyczny. Obliczyć wartość średnią , odchylenie standardowe
Zad. 14 Przeprowadzono badania dotyczące czasu prowadzonych rozmów telefonicznych
w czasie godzin pracy w celach prywatnych w pewnej korporacji. Wyniki zestawiono w
szereg rozdzielczy
Czas w
minutach
0-2
2-4
Ilość
pracowników
1
2
4-6
6-8
8-10
3
9
18
10-12
12-14
22
17
14-16
16-18
10
10
18-20
20-22
7
1
Narysować histogram. Obliczyć wartość średnią ,
odchylenie standardowe
Statystyka 2/5
Zad. 15 Zbadano tygodniowy czas korzystania z internetu przez młodzież w wieku 15 – 18
lat w 2009 roku.. Wyniki zestawiono w szereg rozdzielczy
Czas w
godzinach
11-13
13-15
Ilość
osób
3
10
15-17
17-19
19-21
34
37
35
21-23
23-25
27
10
25-27
4
Narysować histogram. Obliczyć wartość średnią ,
odchylenie standardowe
Zad.16 Badano wytrzymałość danego typu baterii na jednym ładowaniu u młodzieży
gimnazjalnej. Otrzymano wyniki w dniach: 2,5; 2,6; 3,1 ; 2,5 ; 2,6; 2,8 ; 2,7 ; 2,9 ; 3,2 ; 3,1.
Przyjmując współczynnik ufności 0,90 oszacować metodą przedziałową średni czas
wytrzymałości tego typu baterii u młodzieży gimnazjalnej.
Zad.17 Blizna to finalne stadium gojenia się rany. Zbadano czas jej wytwarzania u
pacjentów po określonym typie operacji. Otrzymano wyniki w tygodniach: 32; 28; 29 ; 36 ;
26; 29 ; 28 ; 28 ; 34 ; 32 ; 33; 28 ; 30; 30 ; 27
Przyjmując współczynnik ufności 0,95 oszacować metodą przedziałową średni czas gojenia
się rany po tej operacji.
Zad. 18 Wylosowano niezależnie 120 gospodarstw domowych zamieszkałych w mieście
Władysławowo w 2007 roku i zapytano czy segregują śmieci na odpady szklane i
pozostałe. Otrzymano 34 pozytywne odpowiedzi. Metodą przedziałową oszacować
nieznany procent gospodarstw domowych w mieście Władysławowo dokonującej takiej
segregacji odpadów. Przyjąć współczynnik ufności 0,90
Zad. 19 Dla danych z zadania 1 zbudować przedział ufności dla średniej wytrzymałości.
Przyjąć współczynnik ufności 0,95.
Zad. 20 Ilu internautów odwiedzających sklepy internetowe danej branży należy
niezależnie wylosować do próby aby oszacować procent internautów dokonujących
zakupów z błędem dopuszczalnym 2%. W niezależnej próbie 150 internautów
odwiedzających te sklepy stwierdzono, że sześcioro z nich dokonało zamówienia. Przyjąć
współczynnik ufności 0,95
Zad. 21 Ilu pacjentów leczonych na pewną chorobę w szpitalu psychiatrycznym należy
wylosować niezależnie do próby, aby z błędem maksymalnym 10 dni oszacować średni
czas
przebywania pacjentów w tych szpitalach, jeżeli próba wstępna 15 niezależnie
wylosowanych pacjentów dała następujące czasy przebywania ich w szpitalu (w dniach):
206, 184, 272, 240, 225, 196, 257, 217, 236, 208, 190, 248, 233, 260, 188. Przyjmuje się
współczynnik ufności 0,9.
Zad. 22 Obliczyć liczebność próby potrzebną do oszacowania średniej długości kłosów
jęczmienia jarego danej odmiany z błędem maksymalnym 0,3 cm jeśli wstępna próba 9
pomiarów dała wyniki w centymetrach: 7,5; 8,3 ; 8,2; 7,4 ; 7,9 ; 6,9; 6,9 ; 7,3; 7,1.
Przyjąć współczynnik ufności 0,98
Statystyka 3/5
Zad.23 Ile przebiegów pociągów pasażerskich w Polsce w 2013 roku należy wylosować
niezależnie do próby, aby z maksymalnym błędem dopuszczalnym 6 % oszacować
nieznany procent opóźnionych przyjazdów pociągów na stację docelową? Przyjąć
współczynnik ufności 0,90 .
Zad. 24 Na podstawie danych liczbowych z zadania 5 zweryfikować na poziomie
istotności   0,05 , że średnia wytrzymałość tego typu baterii u młodzieży w wieku od 15
do 18 lat wynosi 60 godzin.
Zad. 25 Zmierzono czas rozmowy telefonicznej przypadającą na każdą godzinę pracy u
niezależnie wylosowanych konsultantów pewnej sieci call center. Otrzymano wyniki w
minutach : 28; 32; 40; 45; 36; 36; 42; 48; 38; 39; 42; 36; 38; 36; 37; 40; 45; 39; 42; 39.
Czy można na tej podstawie twierdzić, że średni czas rozmowy telefonicznej przypadającej
na każdą godzinę pracy konsultanta jest dłuższy niż 35 minut. Przyjąć poziom istotności
=0,05.
Zad.26 Badano czas potrzebny do złamania hasła Jagoda2 metodę brute force przez 10
niezależnie wybranych informatyków. Otrzymano wyniki w minutach 191, 196, 194, 176,
181 , 183, 188, 184, 190, 187. Sˆ  6,13, x  187 .
Czy można na tej podstawie twierdzić, że średni czas na złamanie tego hasła jest dłuższy
niż 3 godziny. Przyjąć poziom istotności =0,01.
Zad. 27 Na podstawie danych liczbowych z zadania 2 sprawdzić hipotezę, że średnia ilość
mandatów wystawianych tygodniowo jest mniejsza niż 6. Przyjąć poziom istotności =0,1
Zad. 28 W pewnym eksperymencie psychiatrycznym zbadano w wylosowanej próbie 42
chorych na pewną chorobę psychiczną procenty czasu snu w pewnej fazie. Otrzymano
następujące wyniki w %: 34,8; 33,9; 32,6; 49,4, 44,9; 55,2; 48,5; 40,3; 34,0; 42,1; 17,9;
36,0; 21,2; 35,9; 41,3; 40,9; 16,9; 42,9; 28,7; 51,9; 24,1; 29,1; 44,6; 41,2; 17,0; 29,8; 35,0;
51,7; 42,9; 54,2; 25,9; 30,3; 36,9; 19,2; 59,1; 31,3; 50,0; 19,8; 30,6; 31,7; 28,8; 30. Czy
można twierdzić, że chorzy na tę chorobę mają średni procent snu w badanej fazie niższy
niż 50, co jest normą dla ludzi zdrowych. Przyjąć poziom istotności =0,01
Zad. 29 W celu oszacowania średniej wytrzymałości na ściskanie pewnego materiału
wykonano 80 niezależnych pomiarów wytrzymałości i otrzymano wyniki.
wytrzymałość
190-194
194-198
Liczba
pomiarów
6
12
198-202
202-206
206-210
26
20
11
210-214
5
Na poziomie istotności =0,05 zweryfikować hipotezę,
że średnia wytrzymałość wynosi 201.
Zad. 30 W 2009 roku przeprowadzono badania przesiewowe słuchu u dzieci w wieku 1014 lat. Na 680 przebadanych niezależnie osób, 143 miało różne problemy z przewodzeniem
i odbiorem dźwięku.
Czy można na tej podstawie twierdzić, że więcej niż 20 % dzieci w wieku szkolnym ma
problemy ze słuchem. Przyjąć =0,05.
Statystyka 4/5
Zad. 31 W pewnych badaniach ankietowych wylosowano 750 kobiet pracujących w
charakterze sekretarki i zapytano czy zadania im powierzone są ważne i mają sens.
Uzyskano 623 odpowiedzi pozytywnych. Zweryfikować hipotezę, że 80% sekretarek
uważa swoją pracę za ważną i sensowną. Przyjąć a) =0,02, b) =0,05.
Zad. 32 W 2012 roku zapytano 1320 wylosowanych niezależnie aktywnych zawodowo
Polaków czy wyrażają chęć wyjazdu za granicę w celach zarobkowych.
166 ankietowanych odpowiedziało twierdząco. Jeden z porali internetowych podał
informację, że w 2012 roku więcej niż 11% czynnych zawodowo Polaków chce wyjechać
w celach zarobkowych z Polski.. Na poziomie istotności =0,05 zweryfikować
prawdziwość tej informacji.
Odp. . 1a ) 0,00032 , 1b) 0,99328 , 1c ) 0,32768 , 2a ) 0,904 , 2b) 0,091 , 2c) 0,9995 ,
3) 0,85 , 4) 0,879 , 5a) 0,26 , 5b) 0,76 , 6a) 0,18 , 6b) 0,41 , 7a ) 0,45 , 7b) 0,36 , 7c) 0,55 .
0
dla x  2


0, 2 dla  2  x  0

8) a ) C  0, 4, b) F ( x)  
, c) m  0, d )  2  1,2
0,5 dla 0  x  1


1
dla x  1



9) a) C  0,2, b) F ( x)  



0
dla
0,2
dla 0  x  2
0,3
dla
0,8
1
x0
2  x  3,
c) m  2,7 , d )  2  2,61 , e) 0,6
dla 3  x  5
dla
x5
10) a) 0,6915, b) 0,3085, c ) 0,1587, d ) 0,8413, e) 0,13595, f ) 0,3413
11) a ) 30,85%, b) 50%, c ) 30,85% 12) S  7,16, x  21 ; 13) S  1,93, x  5,8 ;
14) S  4,02, x  11,84 ; 15) S  2,97, x  17,9 ; 16) (2,64; 2,96); 17) (28,43; 31,57);
18) (21,2%; 34,8%); 19) (19,25;22,75); 20) 369; 21) 25; 22) 26; 23) 188;
24) u  3,649  2, 262  u ; H 0 należy odrzucić; 25) t  1,879  1,792  t 2 , tak;
26) t  3,611  2,821  t 2 , tak .27) u  0,655  1,282  u 2 , brak podstaw do
odrzucenia H 0 . 28) u  8,17  2,326  u 2 tak; 29) u  0,938  1,96  u brak
podstaw do odrzucenia H 0 ;
30) u  0,67  1,645  u 2 , brak podstaw do odrzucenia H 0 ;
31a) u  2,1  2,326  u brak podstaw do odrzucenia H 0 ;
32b) u  2,1  1,96  u H 0 należy odrzucić; 21) u  1,83  1,64  u 2 , H 0 należy
odrzucić.
Statystyka 5/5