Document

7. Badanie obwodów z indukcją wzajemną
(ze sprzężeniem magnetycznym)
Cel ćwiczenia: zapoznanie się z
podstawowymi wielkościami, charakterystykami
i
rezonansem w obwodach z indukcją wzajemną.
7.1. Zestawienie badań w ćwiczeniu

Badanie zjawiska indukcji wzajemnej

Badanie szeregowych układów uzwojeń z indukcją wzajemną

Badanie równoległych układów uzwojeń z indukcją wzajemną

Badanie rezonansu w obwodach z indukcją wzajemną
7.2. Wprowadzenie teoretyczne
7.2.1. Obwody z indukcją wzajemną
Przepływ prądu i przez cewkę indukcyjną powoduje powstanie pola magnetycznego
(określonego strumieniem magnetycznym) obejmującego tą cewkę (rys. 1.32). Jeśli
indukcyjność cewki jest równa L1, to strumień skojarzony 1, zgodnie z prawem Ampera
wynosi:
11  L1 i1
(7.1)
Jeżeli w polu magnetycznym uzwojenia umieścimy drugą cewkę, wówczas w cewce tej
pojawi się strumień skojarzony 12 wywołany przepływem prądu w cewce pierwszej.
Strumień ten jest określony wzorem
12  L12 i1
(7.2)
gdzie L12 jest indukcyjnością wzajemną między cewką pierwszą i drugą.
i1

Rys. 7.1. Powstawanie siły elektromotorycznej indukcji wzajemnej
Jeżeli w drugim obwodzie również płynie prąd (o natężeniu i2), to całkowite strumienie
skojarzone 1, 2 obu cewek określone są równaniami:
105
1  11  12  L1i1  L12i2 ,
(7.3)
2  21  22  L21i1  L2i2 .
(7.4)
i1
i2
r1
r2
LM
u1
u2
L1
L2
( )
Rys. 7.2. Obwody sprzężone magnetycznie
Napięcia przyłożone do cewek są równoważone siłami elektromotorycznymi indukcji
własnej, siłami elektromotorycznymi indukcji wzajemnej oraz spadkami napięcia na
rezystancjach r1 i r2 cewek (rys. 7.2).
u1  r1 i1 
d1
di
di
 r1 i1  L1 1  L12 2 ,
dt
dt
dt
u 2  r2 i2 
d2
di
di
 r2 i2  L21 1  L2 2 ,
dt
dt
dt
(7.5)
(7.6)
Można dowieść, że dla dwóch obwodów umieszczonych w środowisku o stałej
przenikalności magnetycznej :
L12  L21  LM
Strumienie skojarzone 12
i
(7.7)
21 mogą dodawać się lub odejmować zależnie od
kierunku prądu w cewkach. Dlatego też przy obliczaniu obwodów z indukcyjnością wzajemną
należy oznaczać kropkami zaciski jednoimienne (na rys. 7.2 oznaczono w ten sposób początki
uzwojeń).
Rozpatrując przypadek obwodów z rys. 7.2, w którym obwód pierwszy jest zasilany
napięciem u, a obwód drugi jest rozwarty (i2 = 0), na podstawie wzorów (7.5 i 7.6)
otrzymujemy równania:
u1  r1 i1  L1
u 2  LM
di1
.
dt
di1
,
dt
(7.8)
(7.9)
Zatem napięcie na drugiej cewce zależy od indukcyjności wzajemnej Lm.
106
Na rys. 7.3 a przedstawiono obwód składający się z dwóch połączonych szeregowo
cewek sprzężonych magnetycznie.
Jeżeli cewki są połączone zgodnie równanie napięć w obwodzie zgodnie z II prawem
Kirchhoffa ma postać:
u  r1i  L1
W
di
di
di
di
 Lm  r2 i  Lm  L2
dt
dt
dt
dt
(7.10)
przypadku zastosowania rachunku symbolicznego (schemat zastępczy obwodu
przedstawia rys. 7.3 b) równanie (7.10) zostanie zapisane w postaci:
U  (r1  r2 ) I  ( j L1  j L2  2 j Lm ) I
U  (r1  r2 ) I  ( jX 1  jX 2  2 jX m ) I
(7.11)
Wielkość XM występująca w równaniu 7.8 jest nazywana reaktancją indukcji wzajemnej.
Wykres wskazowy napięć w obwodzie został przedstawiony na rys. 7.3 c.
a)
LM
I
r1
L1
L2
r2
u
b)
UM = jXM I
I
U
UR1 = r1·I
UL1 = jX1·I
c)
UL2 = -jX2 ·I
UR2 = r2·I
d)
ULM = jXM · I
ULM = jXM · I
U =Z·I
UL2 = jX1 · I
UL2 = jX1 · I

 UL1 = jX2 · I U = Z · I
UL1 = jX2 · I

  
Ur1 = r1 · I
Ur2 = r2 · I
I
U r1 = r1 · I Ur2 = r2 · I
I
Rys. 7.3. Obwód szeregowy z cewkami sprzężonymi: a) schemat obwodu; b) schemat zastępczy;
c) wykres wskazowy dla zgodnego połączenia cewek d) wykres wskazowy dla przeciwsobnego
połączenia cewek
W przypadku przeciwsobnego połączenia cewek równanie obwodu przybiera postać:
U  (r1  r2 ) I  ( j L1  j L2  2 j Lm ) I
107
U  (r1  r2 ) I  ( jX 1  jX 2  2 jX m ) I
(7.12)
Wykres wskazowy napięć w obwodzie przedstawiono na rys. 7.3 d.
Na podstawie równań (7.11 i 7.12) można obliczyć:
1) impedancję całkowitą obwodu Z:
Z
U U j (u i )
 e
 Ze j  (r1  r2 )  j ( X 1  X 2  X m )
I
I
Z  r  jX
(7.13)
2) rezystancję całkowitą obwodu R:
r  (r1  r2 )  Z cos  .
(7.14)
3) reaktancję całkowitą obwodu X:
X  ( X 1  X 2  X m )  Z sin  .
(7.15)
We wzorze (7.15) znak (+) odpowiada zgodnemu połączeniu cewek, a znak () –
połączeniu przeciwsobnemu.
W przypadku równoległego połączeniu cewek sprzężonych magnetycznie (rys. 7.4)
równania napięć w obwodzie będą wynosić:
U  r1 I 1  j X 1 I 1  j X M I 1
(7.16)
U  r2 I 2  j X 1 I 2  j X M I 1
(7.17)
I  I1  I 2
(7.18)
I
I1
r1
I2
r2
jXM
U
jX1
jX2
Rys. 7.4. Obwód równoległy sprzężony magnetycznie
Na podstawie tych równań można obliczyć:
1) prądy w obu gałęziach:
I1 
I2 
108
r2  j ( X 2  X M )
(r1  jX1 )(r2  jX 2 )  X M2
r1  j ( X 1  X M )
(r1  jX1 )(r2  jX 2 )  X M2
U Y1 U
(7.19)
U  Y2 U
(7.20)
we wzorach (7.19 i 7.20) znak (-) odpowiada zgodnemu połączeniu cewek, a znak (+)
– połączeniu przeciwsobnemu.
2) admitancje, konduktancje i susceptancje całkowite obu gałęzi:
Y1 
I1
 Y1 e j1
U
G1  Y1 cos 1
Y2 
I2
 Y2 e j 2
U
G2  Y2 cos  2
B1  Y1 sin 1 ,
(7.21)
B2  Y2 sin  2 .
(7.22)
7.2..2. Rezonans w obwodach sprzężonych magnetycznie
Zjawisko rezonansu obwodów sprzężonych magnetycznie występuje często w
urządzeniach nadawczych i odbiorczych łączności bezprzewodowej. Zazwyczaj jakość
sprzężenia magnetycznego jest określana współczynnikiem sprzężenia k:
LM
k
(7.23)
L1 L2
gdzie L1, L2, LM – indukcyjności własne i wzajemna sprzężonych obwodów.
Przykład dwóch obwodów rezonansowych sprzężonych magnetycznie przedstawiono na
rys. 7.5. Przy L1 = L2 i C1 = C2 częstotliwość rezonansowa obwodów wynosi:
f0 
1

2 L1 C1
1
(7.24)
2 L2 C 2
a)
b)
i1
i2
i1
C1
r1
r2
k > kkr
LM
u1
C2
L1
L2
k < kkr
0
fC
f0
fL
f
Rys. 7.5. Rezonans obwodów ze sprzężeniem magnetycznym.
a) schemat obwodu; b) zależność prądu od częstotliwości
Reaktancja obwodu od strony zacisków obwodu pierwotnego, przy założeniu pomijalnej
wartości reaktancji obwodu wtórnego, w przybliżeniu przyjmuje wartość:
1
x  2 f L1 

2  fC1
4  2 f 2 L2m
1
2  fL2 
2  f C 2
(7.25)
Z wyrażenia (7.25) wynika, że dla częstotliwości f równej częstotliwości rezonansowej
109
f0 reaktancja jest równa , prąd jest równy 0 i w obwodzie występuje rezonans prądowy. Przy
znaczącej wartości rezystancji obwodu powoduje, że prąd I1min jest większy od 0.
Przy spełnieniu równości:
(2  f L1 
1
1
)( 2  f L2 
)  4  2 f 2 L2m
2  f C1
2 f C2
(7.26)
reaktancja obwodu będzie równa 0, zatem w obwodzie występuje rezonans napięć. Z wzorów
(7.25, 7.26) można obliczyć częstotliwości, dla których w obwodzie występuje rezonans
napięć:
f1 
f2 
f0
(7.27)
1 k
f0
1 k
.
(7.28)
Z wzorów (7.27, 7.28) wynika, że przez zmianę współczynnika sprzężenia można
zmieniać kształt charakterystyki częstotliwościowej obwodu (rys. 7.5 b). Przy wartościach k
mniejszych od wartości krytycznej kkr charakterystyka częstotliwościowa obwodu jest
analogiczna do charakterystyki szeregowego obwodu RLC (por. rys. 5.1). Przy wartościach k
większych od wartości krytycznej kkr częstotliwości rezonansowe przestają być równe sobie i
charakterystyka ma dwa maksima.
7.3. Badanie obwodów z indukcją wzajemną
Zestawienie wirtualnych urządzeń oraz mierników używanych w ćwiczeniu zostało
przedstawione na rys. 7.6.
110
Rys. 7.6. Zestawienie bloków używanych w ćwiczeniu
W porównaniu z zestawem (rys. 3.4) używanym w poprzednich ćwiczeniach występuje
nowy blok - uzwojenie z indukcją wzajemną (Mutual Inductace). Blok ten zawiera trzy
sprzężone magnetycznie uzwojenia (w ćwiczeniu używane będą tylko uzwojenie pierwsze i
drugie). Okno dialogowe uzwojeń jest przedstawione na rys. 7.7. W polach okna umieszcza
się rezystancje i indukcyjności dla poszczególnych uzwojeń (Winding self impedance),
rezystancję i indukcyjność obwodu indukcji wzajemnej (Mutual impedance) oraz wielkości
mierzone (Measurement).
Parametry uzwojeń podawane są przez prowadzącego ćwiczenie. W przypadku
samodzielnego wykonywania ćwiczenia zaleca się ustawienie parametrów jak na rys. 7.7 i
pozostawienie ich bez zmian przez całe ćwiczenie (z wyj. wartości indukcji wzajemnej).
Parametry źródła napięcia zaleca się ustawiać w granicach U = 50  100 V i f = 100  1000
Hz.
Rys. 7.7. Okno bloku uzwojeń z indukcją wzajemną
7.3.1. Badanie zjawiska indukcji wzajemnej
1. Złożyć model przedstawiony na rys. 7.8.
2. W oknie bloku uzwojenia wstawić wartości rezystancji i indukcyjności uzwojeń z rys. 7.7;
w polu Mutual impedance wstawić zero; w polu Measurement wybrać pomiar prądu i
napięcia (Winding voltage and current).
3. W bloku zasilania (AC Voltage Source) ustawić amplitudę napięcia, częstotliwość i fazę
początkową napięcia.
3. W bloku zasilania (AC Voltage Source) ustawić amplitudę napięcia i częstotliwość f.
111
4. Wybrać wartości mierzone z pkt. 2 w oknie bloku Multimeter.
Rys. 7.8. Model do badania zjawiska indukcji wzajemnej
5. Otworzyć okno użytkownika (powergui) i odczytać wartości skuteczne napięcia U1 i prądu
I1 dla uzwojenia pierwszego (u w1:, i w1:) oraz U2 i I2 dla drugiego (u w2:, i w2:)
przykład pomiaru dla ustawień z rys. 7.7 przedstawiono na rys. 7.9.
6. Powtórzyć pomiary kilkakrotnie przy zmianie wartości indukcyjności wzajemnej LM od 0
do ok. 0,8L1
Rys. 7.9. Wyniki odczytu w oknie użytkownika (powergui)
Wyniki umieścić w tabeli pomiarowej wykonanej według wzoru Tab. 7.1.
Tabela 7.1.
112
Lp
LM
U1
U1
I1
I1
U2
U2
I2
I2
.
H
V
º
A
º
V
º
A
º
7.3.2. Badanie szeregowego połączenia uzwojeń z indukcją wzajemną
Układy do badania szeregowego połączenia uzwojeń sprzężonych magnetycznie (z
indukcją wzajemną) przedstawiono na rys. 7.10. W układzie pierwszym (rys. 7.10 a)
uzwojenia są połączone zgodnie, a w drugim (rys. 7.10 b) – przeciwsobnie. W celu uniknięcia
konfliktu wejść i wyjść bloku uzwojeń (Mutual Induktance) zastosowano dwa układy
magistrali (Bus Bar), w oknach których należy ustawić ilość wejść i wyjść zgodnie z rys. 7.11.
a)
b)
Rys. 7.10. Modele do badania szeregowego połączenia uzwojeń z indukcją wzajemną
a) zgodne połączenie uzwojeń; b) przeciwsobne połączenie uzwojeń
113
Rys. 7.11. Okno bloku połączeń Bus Bar
Kolejność wykonywania ćwiczenia
1. Złożyć model do badania szeregowego zgodnego połączenia uzwojeń z indukcją wzajemną
(rys. 7.10 a).
2. W oknie bloku uzwojenia wstawić parametry uzwojeń (R1 , L1 , R2 , L2) z pkt 7.3.1; w polu
Mutual impedance wstawić zero dla LM; w polu Measurement wybrać pomiar prądu i
napięcia (Winding voltage and current).
3. W bloku zasilania (AC Voltage Source) ustawić amplitudę napięcia i częstotliwość f.
4. Wybrać wartości mierzone z pkt. 2 w oknie bloku Multimeter.
5. Otworzyć okno użytkownika (powergui) i odczytać wartości skuteczne prądu I = I1 = I2 (i
w1:) i napięcia U1 dla uzwojenia pierwszego (u w1:) oraz U2 dla drugiego (u w2:) oraz
ich fazy początkowe i , u1 , u2 .
6. W oknie użytkownika odznaczyć okno wyboru Source i odczytać wartość skuteczną
napięcia zasilania U i jego fazę początkową u .
7. Powtórzyć pomiary kilkakrotnie przy zmianie wartości indukcyjności wzajemnej LM od 0
do ok. 0,8L1.
8. Złożyć model do badania przeciwsobnego szeregowego połączenia uzwojeń z indukcją
wzajemną (rys. 7.13 b).
9. Ustawić parametry obwodu jak w pkt 2 do 4 i powtórzyć pomiary jak w pkt. 5 do 7.
Dla każdego pomiaru obliczyć: napięcia na rezystancjach UR1 , UR1 , napięcia na
indukcyjnościach (równe napięciom na reaktancjach indukcyjnych) UL1, UL1 , ULM,
impedancję Z, przesunięcie fazowe  wg wzorów:
UR1 = I R1
(7.29)
UR1 = I R1
(7.30)
UL1 = I X1 = 2  f I L1
UL1 = I X2 = 2  f I L1
114
(7.31)
(7.32)
ULM = I XM = 2  f I LM
(7.33)
( R1  R2 ) 2  4  2 f 2 ( L1  L2  LM ) 2
Z 
(7.34)
 = u-i
(7.35)
Uwaga:
W wzorze (7.34) znak „+” stosować dla połączenia zgodnego uzwojeń, znak „” – dla
przeciwsobnego
Wyniki pomiarów i obliczeń umieścić w tabeli pomiarowej wykonanej według wzoru
Tab 7.2.
Tabela 7.2.
Lp L1 R1 L2 R2 LM U
.

H
H

H
u
f
i U1 u1 U2 u2
I
V
º
º
UL2 ULM Z
Hz A
V
º
V
º
cd. tabeli 7.2.
UR1
UR2
UL1
V
V
V
V

V
u
º
Na podstawie obliczeń sporządzić wykresy wskazowe. Przykładowe wykresy
przedstawia rys. 7.12.
a)
b)
ULM = jXM · I
ULM = jXM · I
U =Z·I
UL2 = jX1 · I
UL2 = jX1 · I

 UL1 = jX2 · I U = Z · I
UL1 = jX2 · I

  
Ur1 = r1 · I
Ur2 = r2 · I
I
U r1 = r1 · I Ur2 = r2 · I
I
Rys. 7.12. Wykresy wskazowe obwodów szeregowych z indukcją wzajemną
a) obwód z uzwojeniami połączonymi zgodnie
b) obwód z uzwojeniami połączonymi przeciwsobnie
115
7.3.3. Badanie równoległego połączenia uzwojeń z indukcją wzajemną
Układy do badania równoległego połączenia uzwojeń sprzężonych magnetycznie (z
indukcją wzajemną) przedstawiono na rys. 7.13. W układzie pierwszym (rys. 7.13 a)
uzwojenia są połączone zgodnie, a w drugim (rys. 7.13 b) – przeciwsobnie. W celu uniknięcia
konfliktu wejść i wyjść bloku uzwojeń (Mutual Induktance) zastosowano układ magistrali
(Bus Bar), w oknach którego należy ustawić ilość wejść i wyjść zgodnie z rys. 7.11.
a)
b)
Rys. 7.13. Modele do badania szeregowego połączenia uzwojeń z indukcją wzajemną
a) zgodne połączenie uzwojeń; b) przeciwsobne połączenie uzwojeń
Kolejność wykonywania ćwiczenia
1. Złożyć model do badania równoległego zgodnego połączenia uzwojeń z indukcją
wzajemną (rys. 7.13 a).
2. W oknie bloku uzwojenia wstawić parametry uzwojeń (R1 , L1 , R2 , L2) z pkt. 7.3.1; w
polu Mutual impedance wstawić zero dla LM; w polu Measurement wybrać pomiar prądu i
napięcia (Winding voltage and current).
3. W bloku zasilania (AC Voltage Source) ustawić amplitudę napięcia i częstotliwość f.
4. Wybrać wartości mierzone z pkt. 2 w oknie bloku Multimeter.
116
5. Otworzyć okno użytkownika (powergui) i odczytać wartości skuteczne prądów w
uzwojeniach I1 , I2 (i w1:, i w2:) i napięcia U1 = U2 = U ( u w1:, u w2:) oraz ich fazy
początkowe i1, i2, u .
6. Powtórzyć pomiary kilkakrotnie przy zmianie wartości indukcyjności wzajemnej LM od 0
do ok. 0,8L1.
7. Złożyć model do badania przeciwsobnego szeregowego połączenia uzwojeń z indukcją
wzajemną (rys. 7.10 b).
8. Ustawić parametry obwodu jak w p. 2 do 4 i powtórzyć pomiary jak w punktach 5 i 6.
Dla każdego pomiaru obliczyć: konduktancje uzwojeń G1, G2, susceptancje uzwojeń B1,
B2, susceptancję wzajemną BM, admitancję obwodu Y, prąd całkowity I, przesunięcie fazowe
 wg wzorów:
G1 
G2 
1
R1
(7.36)
1
R2
(7.37)
B1 
1
2 f L1
(7.38)
B2 
1
2 f L2
(7.39)
BM 
Y 
1
2 f LM
(7.40)
(G1  G2 ) 2  ( B1  B2  BM ) 2
(7.41)
I =YI
(7.42)
 = u - i
(7.43)
Uwaga: W wzorze (7.41) znak „+” stosować dla połączenia zgodnego uzwojeń, znak „” –
dla przeciwsobnego.
Wyniki pomiarów i obliczeń umieścić w tabeli wykonanej wedlug wzoru Tab 7.3.
Tabela 7.3.
Lp L1 R1 L2 R2 LM U
.
H

H

H
u
V
º
I1 i1
f
º
Hz A
I2 i2
A
º
cd. tabeli 7.3.
G1 G2 B1 B2 BM
Y

u
117
S
S
S S
S
S
A
º
Na podstawie obliczeń sporządzić wykresy wskazowe. Przykładowe wykresy
przedstawia rys. 7.14.
a)
b)
U
 U (R1 + R2)
I =Z·U
 U (R1 + R2)
I =Z·U
U
j(B1 + B2 - BM) · U
j(B1 + B2 + BM) · U
Rys. 7.14. Wykresy wskazowe obwodów równoległych z indukcją wzajemną
a) obwód z uzwojeniami połączonymi zgodnie
b) obwód z uzwojeniami połączonymi przeciwsobnie
7.3.4. Badanie rezonansu w obwodach sprzężonych magnetycznie
Układ do badania rezonansu w obwodach z indukcją wzajemną przedstawiono na rys.
7.15. Zaleca się zachowanie parametrów obu uzwojeń z poprzednich punktów. Pojemności w
obu gałęziach powinny być tak dobrane, aby częstotliwości własne gałęzi były równe lub
zbliżone do częstotliwości źródła. (przykładowa wartość przy ustawieniach uzwojeń z rys. 7.7
i częstotliwości źródła f = 500 Hz - C1 = C2 =100,0 F). Metoda przeprowadzenia badań jest
podobna do opisanej w pkt. 5.
Rys. 7.15. Model do badania rezonansu w obwodach sprzężonych
Kolejność wykonywania ćwiczenia
118
1. Zestawić model układu według rys. 7.15.
2. Nastawić parametry w oknach bloków źródła, uzwojeń z indukcją wzajemną, symulacji i
pojemności. Wartość indukcyjności wzajemnej dobrać tak, by współczynnik sprzężenia k
był mniejszy od krytycznego (patrz wzór 7.23). Jest to spełnione przy nierówności:
LM 
L1  L2
(7.44)
3. W oknie Measurement wybrać parametry do pomiaru.
4. Uruchomić symulację ( w oknie modelu przez polecenia Simulation/Start)
5. W oknie użytkownika (powergui) w menu głównym uruchomić opcję Tools/ Control
System Toolbox (LTI Viewer).
6. W oknie sprzężenia modelu z blokiem analizy wybrać do analizy obydwa sygnały prądowe
i uruchomić analizę (Open new LTI Viewer).
7. W oknie LTI Viewer wybrać typ analizy (Plot Tipe/Bode Mag).
8. Na wykresie analizy częstotliwościowej wyznaczyć częstotliwość rezonansową f0.
9. Zmienić wartość indukcyjności wzajemnej dobrać tak, by współczynnik sprzężenia k był
mniejszy od krytycznego (patrz wzór 7.23). Jest to spełnione przy nierówności:
LM 
L1  L2
(7.45)
10. Powtórzyć pomiary i wyznaczyć częstotliwości rezonansowe f01 i f02.
Wyniki pomiarów umieścić w tabeli sporządzonej według wzoru Tab 7.4.
Tab. 7.4.
a)
Lp
f
L1
L2
LM
k
f0
f01
f02
.
Hz
H
V
A
-
Hz
Hz
Hz
b)
119
Rys. 7.16. Charakterystyki częstotliwościowe obwodów sprzężonych
a) obwód ze współczynnikiem sprzężenia k mniejszym od krytycznego kr
b) obwód ze współczynnikiem sprzężenia k większym od krytycznego kr
120