Wybrane wzory matematyczne

Zestaw wzorów matematycznych został przygotowany dla potrzeb egzaminu maturalnego
z matematyki obowiązującej od roku 2010. Zawiera wzory przydatne do rozwiązania
zadań z wszystkich działów matematyki, dlatego może służyć zdającym nie tylko podczas
egzaminu, ale i w czasie przygotowań do matury.
Zestaw ten został opracowany w Centralnej Komisji Egzaminacyjnej we współpracy
z pracownikami wyższych uczelni oraz w konsultacji z ekspertami z okręgowych komisji
egzaminacyjnych.
Mamy nadzieję, że zestaw, który przygotowaliśmy maturzystom, spełni swoje zadanie
i przyczyni się do egzaminacyjnych sukcesów.
Publikacja współfinansowana przez UE w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.
Publikacja jest dystrybuowana bezpłatnie.
SPIS TREŚCI
1. Wartość bezwzględna liczby............................................................................ 1
2. Potęgi i pierwiastki .......................................................................................... 1
3. Logarytmy........................................................................................................ 2
4. Silnia. Współczynnik dwumianowy ................................................................ 2
5. Wzór dwumianowy Newtona........................................................................... 2
6. Wzory skróconego mnożenia........................................................................... 3
7. Ciągi ................................................................................................................. 3
8. Funkcja kwadratowa ........................................................................................ 4
9. Geometria analityczna...................................................................................... 4
10. Planimetria ....................................................................................................... 6
11. Stereometria ................................................................................................... 12
12. Trygonometria................................................................................................ 14
13. Kombinatoryka............................................................................................... 15
14. Rachunek prawdopodobieństwa .................................................................... 15
15. Parametry danych statystycznych .................................................................. 16
16. Tablica wartości funkcji trygonometrycznych............................................... 17
1. WARTOŚĆ BEZWZGLĘDNA LICZBY
Wartość bezwzględną liczby rzeczywistej x definiujemy wzorem:
⎧ x dla x ≥ 0
x =⎨
⎩− x dla x < 0
Liczba x jest to odległość na osi liczbowej punktu x od punktu 0. W szczególności:
x ≥0
−x = x
Dla dowolnych liczb x, y mamy:
x+ y ≤ x + y
x− y ≤ x + y
x⋅ y = x ⋅ y
x
x
=
y
y
Dla dowolnych liczb a oraz r ≥ 0 mamy warunki równoważne:
x−a ≤ r ⇔ a−r ≤ x ≤ a+r
Ponadto, jeśli y ≠ 0 , to
x−a ≥ r
⇔
x ≤ a − r lub
x≥ a+r
2. POTĘGI I PIERWIASTKI
Niech n będzie liczbą całkowitą dodatnią. Dla dowolnej liczby a definiujemy jej n–tą
potęgę:
a n = a⋅
...
⋅a
n razy
Pierwiastkiem arytmetycznym
że b n = a .
n
a stopnia n z liczby a ≥ 0 nazywamy liczbę b ≥ 0 taką,
W szczególności, dla dowolnej liczby a zachodzi równość:
a2 = a .
Jeżeli a < 0 oraz liczba n jest nieparzysta, to n a oznacza liczbę b < 0 taką, że b n = a .
Pierwiastki stopni parzystych z liczb ujemnych nie istnieją.
_____
*
_____
Niech m, n będą liczbami całkowitymi dodatnimi. Definiujemy:
1
− dla a ≠ 0 :
a−n = n
oraz a 0 = 1
a
m
n
dla a ≥ 0 :
a = n am
m
−
1
− dla a > 0 :
a n =
n m
a
Niech r, s będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi. Jeśli a > 0 i b > 0 , to zachodzą
równości:
s
ar
ar ⋅ as = ar +s
= ar −s
( a r ) = a r ⋅s
as
−
r
r
⎛a⎞ a
( a ⋅ b) = a ⋅ b
⎜ ⎟ = r
⎝b⎠ b
Jeżeli wykładniki r, s są liczbami całkowitymi, to powyższe wzory obowiązują dla
wszystkich liczb a ≠ 0 i b ≠ 0 .
r
r
r
1
3. LOGARYTMY
Niech a > 0 i a ≠ 1 . Logarytmem log a c liczby c > 0 przy podstawie a nazywamy
wykładnik b potęgi, do której należy podnieść podstawę a, aby otrzymać liczbę c:
b = log a c ⇔ a b = c
Równoważnie:
a loga c = c
Dla dowolnych liczb x > 0 , y > 0 oraz r zachodzą wzory:
x
log a ( x ⋅ y ) = log a x + log a y
log a x r = r ⋅ log a x
log a = log a x − log a y
y
Wzór na zamianę podstawy logarytmu:
jeżeli a > 0 , a ≠ 1 , b > 0 , b ≠ 1 oraz c > 0 , to
log a c
log b c =
log a b
log x oznacza log10 x .
4. SILNIA. WSPÓŁCZYNNIK DWUMIANOWY
Silnią liczby całkowitej dodatniej n nazywamy iloczyn kolejnych liczb całkowitych od 1
do n włącznie:
n ! = 1⋅ 2 ⋅ ... ⋅ n
Ponadto przyjmujemy umowę, że 0! = 1 .
Dla dowolnej liczby całkowitej n ≥ 0 zachodzi związek:
( n + 1)! = n ! ⋅ ( n + 1)
_____
*
_____
Dla liczb całkowitych n, k spełniających warunki 0 ≤ k ≤ n definiujemy współczynnik
⎛n⎞
dwumianowy ⎜ ⎟ (symbol Newtona):
⎝k ⎠
⎛n⎞
n!
⎜ ⎟=
⎝ k ⎠ k !( n − k ) !
Zachodzą równości:
⎛ n ⎞ n ( n − 1)( n − 2 ) ⋅ ... ⋅ ( n − k + 1)
⎜ ⎟=
1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ k
⎝k ⎠
⎛n⎞ ⎛ n ⎞
⎛n⎞
⎜ ⎟=⎜
⎟
⎜ ⎟ =1
⎝k ⎠ ⎝n−k ⎠
⎝0⎠
⎛n⎞
⎜ ⎟ =1
⎝n⎠
5. WZÓR DWUMIANOWY NEWTONA
Dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej n oraz dla dowolnych liczb a, b mamy:
⎛n⎞
⎛ n⎞
⎛n⎞
⎛ n ⎞
⎛ n⎞
n
( a + b ) = ⎜ ⎟ a n + ⎜ ⎟ a n−1b + ... + ⎜ ⎟ a n−k b k + ... + ⎜ ⎟ ab n−1 + ⎜ ⎟ b n
⎝0⎠
⎝1 ⎠
⎝k⎠
⎝ n − 1⎠
⎝ n⎠
2
6. WZORY SKRÓCONEGO MNOŻENIA
Z dwumianu Newtona dla n = 2 oraz n = 3 otrzymujemy wzory dla dowolnych liczb a, b:
2
3
( a + b ) = a 2 + 2ab + b 2
( a + b ) = a 3 + 3a 2b + 3ab 2 + b3
( a − b)
2
= a 2 − 2ab + b 2
( a − b)
3
= a 3 − 3a 2b + 3ab 2 − b3
Dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej n oraz dowolnych liczb a, b zachodzi wzór:
a n − b n = ( a − b ) ( a n −1 + a n − 2b + ... + a n − k b k −1 + ... + ab n − 2 + b n −1 )
(a
n
− 1) = ( a − 1) (1 + a + ... + a n −1 )
W szczególności:
a 2 − b 2 = ( a − b )( a + b )
a 2 − 1 = ( a − 1)( a + 1)
a 3 − b3 = ( a − b ) ( a 2 + ab + b 2 )
a 3 − 1 = ( a − 1) ( a 2 + a + 1)
a 3 + b3 = ( a + b ) ( a 2 − ab + b 2 )
a 3 + 1 = ( a + 1) ( a 2 − a + 1)
7. CIĄGI
•
Ciąg arytmetyczny
Wzór na n–ty wyraz ciągu arytmetycznego ( an ) o pierwszym wyrazie a1 i różnicy r:
an = a1 + ( n − 1) r
Wzór na sumę S n = a1 + a2 + ... + an początkowych n wyrazów ciągu arytmetycznego:
Sn =
2a + ( n − 1) r
a1 + an
⋅n = 1
⋅n
2
2
Między sąsiednimi wyrazami ciągu arytmetycznego zachodzi związek:
a +a
an = n −1 n +1 dla n ≥ 2
2
•
Ciąg geometryczny
Wzór na n–ty wyraz ciągu geometrycznego ( an ) o pierwszym wyrazie a1 i ilorazie q:
an = a1 ⋅ q n −1 dla n ≥ 2
Wzór na sumę S n = a1 + a2 + ... + an początkowych n wyrazów ciągu geometrycznego:
⎧ 1 − qn
dla q ≠ 1
⎪a ⋅
Sn = ⎨ 1 1 − q
⎪n ⋅ a
dla q = 1
⎩ 1
Między sąsiednimi wyrazami ciągu geometrycznego zachodzi związek:
an2 = an −1 ⋅ an +1 dla n ≥ 2
•
Procent składany
Jeżeli kapitał początkowy K złożymy na n lat w banku, w którym oprocentowanie lokat
wynosi p % w skali rocznej, to kapitał końcowy K n wyraża się wzorem:
p ⎞
⎛
K n = K ⋅ ⎜1 +
⎟
⎝ 100 ⎠
n
3
8. FUNKCJA KWADRATOWA
Postać ogólna funkcji kwadratowej: f ( x ) = ax 2 + bx + c , a ≠ 0 , x ∈ R .
Wzór każdej funkcji kwadratowej można doprowadzić do postaci kanonicznej:
b
Δ
2
f ( x ) = a ( x − p ) + q , gdzie p = − , q = −
, Δ = b 2 − 4ac
2a
4a
Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola o wierzchołku w punkcie o współrzędnych
( p, q ) . Ramiona paraboli skierowane są do góry, gdy a > 0 , do dołu, gdy a < 0 .
Liczba miejsc zerowych funkcji kwadratowej f ( x ) = ax 2 + bx + c (liczba pierwiastków
trójmianu kwadratowego, liczba rzeczywistych rozwiązań równania ax 2 + bx + c = 0 ),
zależy od wyróżnika Δ = b 2 − 4ac :
− jeżeli Δ < 0 , to funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych (trójmian kwadratowy nie
ma pierwiastków rzeczywistych, równanie kwadratowe nie ma rozwiązań
rzeczywistych),
− jeżeli Δ = 0 , to funkcja kwadratowa ma dokładnie jedno miejsce zerowe (trójmian
kwadratowy ma jeden pierwiastek podwójny, równanie kwadratowe ma dokładnie
b
jedno rozwiązanie rzeczywiste): x1 = x2 = −
2a
− jeżeli Δ > 0 , to funkcja kwadratowa ma dwa miejsca zerowe (trójmian kwadratowy ma
dwa różne pierwiastki rzeczywiste, równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania
rzeczywiste):
−b − Δ
−b + Δ
x1 =
x2 =
2a
2a
Jeśli Δ ≥ 0 , to wzór funkcji kwadratowej można doprowadzić do postaci iloczynowej:
f ( x ) = a ( x − x1 )( x − x2 )
Wzory Viéte’a:
x1 + x2 =
−b
a
x1 ⋅ x2 =
c
a
9. GEOMETRIA ANALITYCZNA
•
Odcinek
Długość odcinka o końcach w punktach
A = ( x A , y A ) , B = ( xB , yB ) dana jest
y
wzorem:
AB =
( xB − x A ) + ( y B − y A )
2
B = ( xB , yB )
2
A = ( xA , yA )
Współrzędne środka odcinka AB:
⎛ x A + xB y A + y B ⎞
,
⎜
⎟
2 ⎠
⎝ 2
O
4
x
•
Wektory
•
Prosta
JJJG
Współrzędne wektora AB :
JJJG
AB = [ xB − x A , yB − y A ]
G
G
Jeżeli u = [u1 , u2 ] , v = [ v1 , v2 ] są wektorami, zaś a jest liczbą, to
G G
G
u + v = [u1 + v1 , u2 + v2 ]
a ⋅ u = [ a ⋅ u1 , a ⋅ u2 ]
Równanie ogólne prostej:
Ax + By + C = 0 ,
gdzie A2 + B 2 ≠ 0 (tj. współczynniki A, B nie są równocześnie równe 0).
Jeżeli A = 0 , to prosta jest równoległa do osi Ox; jeżeli B = 0 , to prosta jest równoległa do
osi Oy; jeżeli C = 0 , to prosta przechodzi przez początek układu współrzędnych.
y
Jeżeli prosta nie jest równoległa do osi Oy, to ma
ona równanie kierunkowe:
y = ax + b
Liczba a to współczynnik kierunkowy prostej:
a = tgα
Współczynnik b wyznacza na osi Oy punkt,
w którym dana prosta ją przecina.
y = ax + b
b
α
O
x
Równanie kierunkowe prostej o współczynniku kierunkowym a, która przechodzi przez
punkt P = ( x0 , y0 ) :
y = a ( x − x0 ) + y0
Równanie prostej, która przechodzi przez dwa dane punkty A = ( x A , y A ) , B = ( xB , yB ) :
( y − y A )( xB − xA ) − ( yB − y A )( x − xA ) = 0
•
Prosta i punkt
Odległość punktu P = ( x0 , y0 ) od prostej o równaniu Ax + By + C = 0 jest dana wzorem:
Ax0 + By0 + C
A2 + B 2
•
Para prostych
Dwie proste o równaniach kierunkowych
y = a1 x + b1
y = a2 x + b2
spełniają jeden z następujących warunków:
− są równoległe, gdy a1 = a2 ,
− są prostopadłe, gdy a1a2 = −1 ,
− tworzą kąt ostry ϕ i tgϕ =
a1 − a2
1 + a1a2
5
Dane są proste k i l o równaniach:
k : A1 x + B1 y + C1 = 0
l : A2 x + B2 y + C2 = 0
− jeśli k jest równoległa do l, to A1 B2 − A2 B1 = 0 ,
− jeśli k jest prostopadła do l, to A1 A2 + B1 B2 = 0 ,
− jeśli k i l tworzą kąt ostry ϕ , to tgϕ =
•
A1 B2 − A2 B1
A1 A2 + B1 B2
Trójkąt
Pole trójkąta ABC o wierzchołkach A = ( x A , y A ) , B = ( xB , yB ) , C = ( xC , yC ) , jest dane
wzorem:
1
( xB − xA )( yC − y A ) − ( yB − y A )( xC − xA )
2
Środek ciężkości trójkąta ABC, czyli punkt przecięcia jego środkowych, ma współrzędne:
⎛ x A + xB + xC y A + yB + yC ⎞
,
⎜
⎟
3
3
⎝
⎠
PΔABC =
•
Przekształcenia geometryczne
G
− przesunięcie o wektor u = [ a, b ] przekształca punkt
A = ( x, y ) na punkt
A′ = ( x + a, y + b ) ;
− symetria względem osi Ox przekształca punkt A = ( x, y ) na punkt A′ = ( x, − y ) ;
− symetria względem osi Oy przekształca punkt A = ( x, y ) na punkt A′ = ( − x, y ) ;
− symetria względem punktu
( a, b )
przekształca punkt
A = ( x, y ) na punkt
A′ = ( 2a − x, 2b − y ) ;
− jednokładność o środku w punkcie
( 0,0 )
i skali s ≠ 0 przekształca punkt
A = ( x, y ) na punkt A′ = ( sx, sy ) .
•
Równanie okręgu
Równanie okręgu o środku w punkcie S = ( a, b ) i promieniu r > 0 :
( x − a ) + ( y − b)
2
lub
2
= r2
x 2 + y 2 − 2ax − 2by + c = 0
gdy r 2 = a 2 + b 2 − c > 0
10. PLANIMETRIA
•
Cechy przystawania trójkątów
C
A
F
B
D
6
E
To, że dwa trójkąty ABC i DEF są przystające ( Δ ABC ≡ Δ DEF ), możemy stwierdzić na
podstawie każdej z następujących cech przystawania trójkątów:
− cecha przystawania „bok – bok – bok”:
odpowiadające sobie boki obu trójkątów mają te same długości: AB = DE ,
AC = DF , BC = EF ;
− cecha przystawania „bok – kąt – bok”:
dwa boki jednego trójkąta są równe odpowiadającym im bokom drugiego trójkąta
oraz kąt zawarty między tymi bokami jednego trójkąta ma taką samą miarę
jak odpowiadający mu kąt drugiego trójkąta, np. AB = DE , AC = DF ,
)BAC = )EDF ;
− cecha przystawania „kąt – bok – kąt”:
jeden bok jednego trójkąta ma tę samą długość, co odpowiadający mu bok drugiego
trójkąta oraz miary odpowiadających sobie kątów obu trójkątów, przyległych
do boku, są równe, np. AB = DE , )BAC = )EDF , )ABC = )DEF .
•
Cechy podobieństwa trójkątów
C
F
A
B
D
E
To, że dwa trójkąty ABC i DEF są podobne ( Δ ABC ~ Δ DEF ), możemy stwierdzić na
podstawie każdej z następujących cech podobieństwa trójkątów:
− cecha podobieństwa „bok – bok – bok”:
długości boków jednego trójkąta są proporcjonalne do odpowiednich długości
AB
AC
BC
boków drugiego trójkąta, np.
;
=
=
DE
DF
EF
− cecha podobieństwa „bok – kąt – bok”:
długości dwóch boków jednego trójkąta są proporcjonalne do odpowiednich
długości dwóch boków drugiego trójkąta i kąty między tymi parami boków są
AB
AC
przystające, np.
, )BAC = )EDF ;
=
DE
DF
− cecha podobieństwa „kąt – kąt – kąt”:
dwa kąty jednego trójkąta są przystające do odpowiednich dwóch kątów drugiego
trójkąta (więc też i trzecie kąty obu trójkątów są przystające): )BAC = )EDF ,
)ABC = )DEF , )ACB = )DFE .
7
Oznaczenia:
a, b, c – długości boków, leżących odpowiednio
naprzeciwko wierzchołków A, B, C;
C
γ
2 p = a + b + c – obwód trójkąta;
b
α
A
α , β , γ – miary kątów przy
a
β
c
wierzchołkach A, B, C;
ha , hb , hc – wysokości opuszczone
z wierzchołków A, B, C;
B
R, r – promienie okręgów opisanego
i wpisanego.
•
Twierdzenie Pitagorasa (wraz z twierdzeniem odwrotnym do niego)
W trójkącie ABC kąt γ jest prosty wtedy i tylko wtedy, gdy a 2 + b 2 = c 2 .
•
Związki miarowe w trójkącie prostokątnym
Załóżmy, że kąt γ jest prosty. Wówczas:
hc2 = AD ⋅ DB
C
γ
b
•
a
hc
.
α
A
c
ab
c
a = c ⋅ sin α = c ⋅ cos β
1
a = b ⋅ tgα = b ⋅
tgβ
1
a+b−c
R= c r=
= p−c
2
2
hc =
β
D
B
•
Twierdzenie sinusów
Twierdzenie cosinusów
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos α
b 2 = a 2 + c 2 − 2ac cos β
a
b
c
=
=
= 2R
sin α sin β sin γ
c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos γ
•
• Trójkąt równoboczny
Wzory na pole trójkąta
1
1
1
PΔABC = ⋅ a ⋅ ha = ⋅ b ⋅ hb = ⋅ c ⋅ hc
2
2
2
PΔABC =
a – długość boku
h – wysokość trójkąta
1
a ⋅ b ⋅ sin γ
2
a 3
2
PΔABC
1 sin β ⋅ sin γ
= a2
= 2 R 2 ⋅ sin α ⋅ sin β ⋅ sin γ
2
sin α
h=
PΔABC
abc
=
= rp =
4R
PΔ =
p ( p − a )( p − b )( p − c )
8
a2 3
4
•
Twierdzenie Talesa
Jeżeli proste równoległe AA′ i BB′ przecinają dwie proste, które przecinają się w punkcie O,
to
OA
OB
=
.
OA′ OB′
B
B
A′
A
O
•
A′
O
B′
A
B′
Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa
Jeżeli proste AA′ i BB′ przecinają dwie proste, które przecinają się w punkcie O oraz
OA
OB
=
, to proste AA′ i BB′ są równoległe.
OA′ OB′
•
Czworokąty
b
D
Trapez
Czworokąt, który ma co najmniej jedną parę
boków równoległych.
Wzór na pole trapezu:
a+b
P=
⋅h
2
C
h
E
A
B
a
D
C
h
ϕ
b
α
A
B
a
D
C
Romb
Czworokąt, który ma dwie pary boków
równoległych jednakowej długości.
Wzory na pole rombu:
1
P = ah = a 2 ⋅ sin α = ⋅ AC ⋅ BD
2
h
A
α
a
B
D
A
C
B
Równoległobok
Czworokąt, który ma dwie pary boków
równoległych.
Wzory na pole równoległoboku:
1
P = ah = a ⋅ b ⋅ sin α = ⋅ AC ⋅ BD ⋅ sin ϕ
2
Deltoid
Czworokąt, który ma oś symetrii,
zawierającą jedną z przekątnych.
Wzór na pole deltoidu:
1
P = ⋅ AC ⋅ BD
2
9
•
Koło
Wzór na pole koła o promieniu r:
P = π r2
Obwód koła o promieniu r:
Ob = 2π r
r
O
•
Wycinek koła
r
O
Wzór na pole wycinka koła o promieniu r
i kącie środkowym α wyrażonym
w stopniach:
A
P = π r2 ⋅
α
α
360D
Długość łuku wycinka koła o promieniu r
i kącie środkowym α wyrażonym
B
w stopniach: l = 2π r ⋅
•
α
360D
Kąty w okręgu
α
Miara kąta wpisanego w okrąg jest równa
połowie miary kąta środkowego, opartego
na tym samym łuku.
α
α
O
2α
Miary kątów wpisanych w okrąg, opartych
na tym samym łuku, są równe.
B
A
•
Twierdzenie o kącie między styczną i cięciwą
B
B
O
O
A
C
C
A
Dany jest okrąg o środku w punkcie O i jego cięciwa AB. Prosta AC jest styczna do tego
okręgu w punkcie A. Wtedy )AOB = 2 ⋅ )CAB , przy czym wybieramy ten z kątów
środkowych AOB, który jest oparty na łuku znajdującym się wewnątrz kąta CAB.
10
•
Twierdzenie o odcinkach siecznej i stycznej
Dane są: prosta przecinająca okrąg w punktach A i B oraz prosta styczna do tego okręgu
w punkcie C. Jeżeli proste te przecinają się w punkcie P, to
2
PA ⋅ PB = PC
A
B
.
P
C
•
Okrąg opisany na czworokącie
C
γ
β
B
Na czworokącie można opisać okrąg wtedy
i tylko wtedy, gdy sumy miar jego
przeciwległych kątów wewnętrznych
są równe 180°:
D δ
α + γ = β + δ = 180D
α
A
•
Okrąg wpisany w czworokąt
c
C
D
r
W czworokąt wypukły można wpisać okrąg
wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości
jego przeciwległych boków są równe:
b
d
a+c =b+d
A
a
B
11
11. STEREOMETRIA
•
Twierdzenie o trzech prostych prostopadłych
k
l
P
m
Prosta k przebija płaszczyznę w punkcie P. Prosta l jest rzutem prostokątnym prostej k na
tę płaszczyznę. Prosta m leży na tej płaszczyźnie i przechodzi przez punkt P.
Wówczas prosta m jest prostopadła do prostej k wtedy i tylko wtedy, gdy jest prostopadła
do prostej l.
•
Oznaczenia
P – pole powierzchni całkowitej
Pp – pole powierzchni podstawy
•
Pb – pole powierzchni bocznej
V – objętość
Prostopadłościan
H
G
E
F
P = 2 ( ab + bc + ac )
c
V = abc
gdzie a, b, c są długościami krawędzi
prostopadłościanu.
C
D
b
A
•
B
a
Graniastosłup prosty
I
J
H
F
G
h
E
A
Pb = 2 p ⋅ h
V = Pp ⋅ h
D
gdzie 2 p jest obwodem podstawy
graniastosłupa.
C
B
12
•
Ostrosłup
S
1
V = Pp ⋅ h
3
gdzie h jest wysokością ostrosłupa.
h
D
E
C
B
A
•
Walec
Pb = 2π rh
h
r
O
•
P = 2π r ( r + h )
V = π r 2h
gdzie r jest promieniem podstawy,
h wysokością walca.
Stożek
S
Pb = π rl
P = π r (r + l )
h l
O
•
r
1
V = π r 2h
3
gdzie r jest promieniem podstawy,
h wysokością, l długością tworzącej stożka.
Kula
O
r
P = 4π r 2
4
V = π r3
3
gdzie r jest promieniem kuli.
13
12. TRYGONOMETRIA
•
Definicje funkcji trygonometrycznych
y
y
r
x
cos α =
r
y
tgα = , gdy x ≠ 0
x
sin α =
M=(x, y)
r
y
α
O
•
x
M’
gdzie r = x 2 + y 2 > 0 jest
promieniem wodzącym punktu M.
x
Wykresy funkcji trygonometrycznych
y = sin x
y = tg x
y = cos x
•
Związki między funkcjami tego samego kąta
sin 2 α + cos 2 α = 1
sin α
tgα =
cos α
•
α≠
dla
π
2
+ kπ
k – całkowite
Niektóre wartości funkcji trygonometrycznych
α
0D
0
sin α
0
cos α
1
tg α
0
30D
45D
60D
90D
6
1
2
4
2
2
2
2
3
3
2
1
2
2
1
3
π
3
2
3
3
π
14
π
π
1
0
nie
istnieje
•
Funkcje sumy i różnicy kątów
Dla dowolnych kątów α , β zachodzą równości:
sin (α + β ) = sin α cos β + cos α sin β
sin (α − β ) = sin α cos β − cos α sin β
cos (α + β ) = cos α cos β − sin α sin β
cos (α − β ) = cos α cos β + sin α sin β
Ponadto mamy równości:
tgα + tgβ
tgα − tgβ
tg (α + β ) =
tg (α − β ) =
1 − tgα ⋅ tgβ
1 + tgα ⋅ tgβ
które zachodzą zawsze, gdy są określone i mianownik prawej strony nie jest zerem.
•
Funkcje podwojonego kąta
sin 2α = 2sin α cos α
cos 2α = cos 2 α − sin 2 α = 2 cos 2 α − 1 = 1 − 2sin 2 α
13. KOMBINATORYKA
•
Wariacje z powtórzeniami
Liczba sposobów, na które z n różnych elementów można utworzyć ciąg, składający się
z k niekoniecznie różnych wyrazów, jest równa nk.
•
Wariacje bez powtórzeń
Liczba sposobów, na które z n różnych elementów można utworzyć ciąg, składający się z k
( 1 ≤ k ≤ n ) różnych wyrazów, jest równa
n ⋅ ( n − 1) ⋅ ... ⋅ ( n − k + 1) =
•
n!
( n − k )!
Permutacje
Liczba sposobów, na które n ≥ 1 różnych elementów można ustawić w ciąg, jest równa n ! .
•
Kombinacje
Liczba sposobów, na które spośród n różnych elementów można wybrać k ( 0 ≤ k ≤ n )
⎛n⎞
elementów, jest równa ⎜ ⎟ .
⎝k ⎠
14. RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA
•
Własności prawdopodobieństwa
0 ≤ P ( A ) ≤ 1 dla każdego zdarzenia A ⊂ Ω
P (Ω) = 1
Ω – zdarzenie pewne
P (∅) = 0
∅ – zdarzenie niemożliwe (pusty podzbiór Ω )
P ( A) ≤ P ( B )
gdy A ⊂ B ⊂ Ω
P ( A′ ) = 1 − P ( A ) , gdzie A′ oznacza zdarzenie przeciwne do zdarzenia A
P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) − P ( A ∩ B ) , dla dowolnych zdarzeń A, B ⊂ Ω ,
zatem P ( A ∪ B ) ≤ P ( A ) + P ( B ) , dla dowolnych zdarzeń A, B ⊂ Ω .
15
•
Twierdzenie: Klasyczna definicja prawdopodobieństwa
Niech Ω będzie skończonym zbiorem wszystkich zdarzeń elementarnych. Jeżeli wszystkie
zdarzenia jednoelementowe są jednakowo prawdopodobne, to prawdopodobieństwo
zdarzenia A ⊂ Ω jest równe
P ( A) =
A
Ω
gdzie A oznacza liczbę elementów zbioru A, zaś Ω – liczbę elementów zbioru Ω .
15. PARAMETRY DANYCH STATYSTYCZNYCH
•
Średnia arytmetyczna
Średnia arytmetyczna n liczb a1 , a2 ,..., an jest równa:
a1 + a2 + ... + an
n
•
Średnia ważona
Średnia ważona n liczb a1 , a2 ,..., an , którym przypisano odpowiednio dodatnie wagi
w1 , w2 ,..., wn jest równa:
w1 ⋅ a1 + w2 ⋅ a2 + ... + wn ⋅ an
w1 + w2 + ... + wn
•
Średnia geometryczna
Średnia geometryczna n nieujemnych liczb a1 , a2 ,..., an jest równa:
n
•
a1 ⋅ a2 ⋅ ... ⋅ an
Mediana
Medianą uporządkowanego w kolejności niemalejącej ciągu n danych liczbowych
a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ ... ≤ an jest:
− dla n nieparzystych: a n +1 (środkowy wyraz ciągu),
2
− dla n parzystych:
⎞
1⎛
⎜ a n + a n +1 ⎟ (średnia arytmetyczna środkowych wyrazów
2⎝ 2
2 ⎠
ciągu).
•
Wariancja i odchylenie standardowe
Wariancją n danych liczbowych a1 , a2 ,..., an o średniej arytmetycznej a jest liczba:
( a − a ) + ( a2 − a )
σ = 1
2
2
+ ... + ( an − a )
2
a12 + a22 + ... + an2
2
− (a )
n
n
Odchylenie standardowe σ jest pierwiastkiem kwadratowym z wariancji.
2
16
=
16. TABLICA WARTOŚCI FUNKCJI TRYGONOMETRYCZNYCH
α [ ]
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
sin α
cos β
tgα
β [ ]
0,0000
0,0175
0,0349
0,0523
0,0698
0,0872
0,1045
0,1219
0,1392
0,1564
0,1736
0,1908
0,2079
0,2250
0,2419
0,2588
0,2756
0,2924
0,3090
0,3256
0,3420
0,3584
0,3746
0,3907
0,4067
0,4226
0,4384
0,4540
0,4695
0,4848
0,5000
0,5150
0,5299
0,5446
0,5592
0,5736
0,5878
0,6018
0,6157
0,6293
0,6428
0,6561
0,6691
0,6820
0,6947
0,7071
0,0000
0,0175
0,0349
0,0524
0,0699
0,0875
0,1051
0,1228
0,1405
0,1584
0,1763
0,1944
0,2126
0,2309
0,2493
0,2679
0,2867
0,3057
0,3249
0,3443
0,3640
0,3839
0,4040
0,4245
0,4452
0,4663
0,4877
0,5095
0,5317
0,5543
0,5774
0,6009
0,6249
0,6494
0,6745
0,7002
0,7265
0,7536
0,7813
0,8098
0,8391
0,8693
0,9004
0,9325
0,9657
1,0000
90
89
88
87
86
85
84
83
82
81
80
79
78
77
76
75
74
73
72
71
70
69
68
67
66
65
64
63
62
61
60
59
58
57
56
55
54
53
52
51
50
49
48
47
46
45
α [ ]
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
17
sin α
cos β
tgα
β [ ]
0,7193
0,7314
0,7431
0,7547
0,7660
0,7771
0,7880
0,7986
0,8090
0,8192
0,8290
0,8387
0,8480
0,8572
0,8660
0,8746
0,8829
0,8910
0,8988
0,9063
0,9135
0,9205
0,9272
0,9336
0,9397
0,9455
0,9511
0,9563
0,9613
0,9659
0,9703
0,9744
0,9781
0,9816
0,9848
0,9877
0,9903
0,9925
0,9945
0,9962
0,9976
0,9986
0,9994
0,9998
1,0000
1,0355
1,0724
1,1106
1,1504
1,1918
1,2349
1,2799
1,3270
1,3764
1,4281
1,4826
1,5399
1,6003
1,6643
1,7321
1,8040
1,8807
1,9626
2,0503
2,1445
2,2460
2,3559
2,4751
2,6051
2,7475
2,9042
3,0777
3,2709
3,4874
3,7321
4,0108
4,3315
4,7046
5,1446
5,6713
6,3138
7,1154
8,1443
9,5144
11,4301
14,3007
19,0811
28,6363
57,2900
–
44
43
42
41
40
39
38
37
36
35
34
33
32
31
30
29
28
27
26
25
24
23
22
21
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0