O trzech funkcjach

K. TATARKIEWICZ (Lublin)
O trzech funkcjach s1nus
1. Nieraz spotykamy wzory typu
. 450
(l)
Slll
=
.
l
Sln41t
lub
•
Siny
o
=
•
l
Slll1BOY1t.
Gdybyśmy uważali 45° za liczbę, mielibyśmy sinx = eonst, bo jeśli
dla pewnego O < lal #-l i każdego x mamy f(x) = f(ax), a funkcja f jest
to f(x) = const. Natomiast w przeciwnym przypadku nie
sensu albo wyrażenie sin45°, albo wyrażenie sin!1r, ponieważ
ciągła,
miałoby
!1t
jest
liczbą.
tej sprawy. Poniżej podaję szkice paru
takich wyjaśnień. Dla uniknięcia nieistotnych komplikacji, ograniczę
się do kątów dodatnich, mniejszych od kąta prostego, oraz wyłącznie
do funkcji sinus.
Są możliwe różne wyjaśnienia
Niech będzie dany kąt M. Będziemy go uważali za parę upoprostych [A. O, OB] przecinających się w punkcie O, przy
czym A #-O #-B. Oznaczymy go tradycyjnym symbolem 4-AOB.
W dalszym ciągu zakładamy, że A.B j_ OA.
Niech A 1 leży na AO po tej samej stronie O co A, a B 1 leży na BO
po tej samej stronie O co B. Załóżmy ponadto, że A. 1 B 1 j_ O.A 1 • Wtedy
z twierdzenia Talesa wynika, że
2.
IX ••
rządkowaną
Ponieważ
mujemy
stosunek ten nie
definicję
SINM
zależy
od obioru punktu A ani B,
= SIN~AOB
df
więc
przyj-
IABifiOAI.
SIN jest funkcją przypisującą kątom (parom uporządkowanym prostych) liczby.
~· Mówimy, że kąty M i M są przystające, M"" M, jeśli istnieje taki
ruch T, że T(M) =M. Ponieważ odległość jest niezmiennikiem ruchów,
więc
(2)
IA.BifiOAI = IABifiOAI.
278
K. Tatarkiewicz
abstrakcji T względem relacji ,_,, to znaczy
M, Ner, to M,_, N, i na odwrót. Niezmiennikiem re-
Wprowadźmy klasę
załóżmy, że jeśli
lacji ,_, jest miara kąta, tzn. każdej klasie r można -przy ustalonej
jednostce li -wzajemnie jednoznacznie przypisać liczbę y.
Klasę T oznaczymy symbolem T(yi). Jeśli więc np. kąty należące do
klasy T mają 45° (jednostka l 0 ), to mają też t7tR (jednostka l Radian) i można
pisać T = T( 45°) = T( ł1tR).
Wzór (2) pozwala na przypisanie całej klasie T tej samej wartości
funkcji SIN.
SinT df SINM,
gdy
MET.
Sin jest
funkcją przypisującą
klasom
kątów
liczby.
Oczywiście, jeśli kąty należące do T mają miarę yi (przy jednostce
li), to można zgodnie z przyjętym wyżej oznaczeniem pisać T= F(yi)
oraz SinT = SinT(yi).
y. Wprowadźmy teraz
nową funkcję,
silljy
df
a
właściwie rodzinę
funkcji
SinT(yi).
Funkcja sillj przypisuje liczbom liczby.
8. Wreszcie dla potrzeb analizy wprowadźmy
funkcję
.
t x =df s1nRx.
•
s1nna
Nie jest to właściwie nowa funkcja (liczbo-liczbowa), lecz tylko nowy
zapis wyróżniający jedną z funkcji rodziny zdefiniowanej pod· y.
Warto zwrócić uwagę, że stosunek wykresu sinnat do wykresu Sillj
jest taki sam, jak stosunek wykresu ln do wykresu loga (dylatacja w kierunku osi zmiennej niezależnej ).
3.
poprawnego użycia wyżej wprowadzonych funkcji.
ex. Twierdzenie sinusów: !BOI /SIN <}: BAC = !AC! /SIN <}: ABC.
~ i y. Jeżeli kąt ABC ma miarę 45°, to miara dwuwymiarowa ~ABC
wynosi IABIIBCI Sin T( 45°) lub IAB!!BC! sino 45.
8. Dla każdego x mamy
Przykłady
=.}; (-l)k (2k+l)! ·
x2k+I
oo
(3)
sinnatx
k=O
Możemy
a mianowicie
teraz
podać
SinT(45°)
(można
by
też
=
sensowne i poprawne interpretacje wzoru (1),
sinnatł7t
po prawej stronie
lub
sin 0 45 = sinnat!1t
zastąpić sinnatł7t
przez sinR!7t).
O trzech f'unkcjach sinus
279
4. Bieg rozumowań przedstawiony w 2. stanowi uściślenie tego, co
się zazwyczaj robi (lub powinno się robić) na wykładach analizy. Przy tej
okazji omija się trudności związane z pojęciem miary kąta.
Możliwa jest też droga odwrotna. Mniej się ona nadaje do wykładów,
lecz za to pozwala łatwiej wykorzystać poprawną teorię miary kątów.
a'.
Wprowadźmy funkcję
8(x) = J ,;
X
df
(4)
ł'
o
dx
-
1-xl
i zdefiniujmy
sinnatx
(5)
df
dla
8_ 1 (x)
x e (O,
f7t),
jest funkcją odwrotną do 8.
~'. Niech będzie dany <;: AOB. Zakreślmy z O koło o promieniu l
i oznaczmy jego punkty przecięcia z OA i OB odpowiednio A 1 i B 1 (A 1
ma leżeć po tej samej stronie O co A, podobnie B 1 ). Wprowadźmy układ
współrzędnych tak, aby O =(O, O), A 1 =(O, 1). Niech B 1 = (x, y).
Musimy mieć zdefiniowaną uprzednio miarę p,<12) (Ł) tworów jednowymiarowych Ł zanurzonych w przestrzeni dwuwymiarowej oraz udowodniony wzór
gdzie
8_ 1
f Vl+ y'2dx.
b
"'(12) (Ł)
(6)
-
Możemy wprowadzić
-
wtedy
=
a
definicję: kąt
AOB
należy
do klasy
r
kątów
o mierze yn, jeśli f-'< ) (A 1 B 1 ) = y. Oczywiście, że przy oznaczeniu (4)
mamy t-t<12>(A 1 B 1 ) = 8(x). To umożliwia nam wprowadzenie definicji
12
SinF(yR)
dr
sinnaty.
oc'. Ponadto
SIN<;: AOB
jeśli miarą
dt
sinnaty,
<;: AOB jest yR.
y'. Wprowadzenie dowolnej jednostki j miary
zdefiniowanie sini y.
kąta umożliwi
nam
Ta druga droga, w stosunku do wyżej wyłożonej, ma jeszcze dwie
dalsze zalety: umożliwia proste wyprowadzenie wzoru (3) (uzyskuje się
go krótkimi rachunkami z (4) i z (5) -metodą wyłożoną w§ 2 poprawne
wyprowadzenie wzoru (3) jest trudne), a ponadto ułatwić może wprowadzenie funkcji eliptycznych (przez analogię do wzorów (4) i (5)).
280
K. Tatarkiewicz
5. Są możliwe jeszcze i inne drogi. N a przykład droga zastosowana
w Zasadach rachunku różniczkowego i całkowego G. Kowalewskiego. Przyjmuje się w niej wzór (3) za definicję sin natx. Ale wtedy dojście do funkcji
Sin oraz SIN jest kłopotliwe (zresztą Kowalewski w wyżej cytowanej
pracy nie podaje go explicite).
Zaletą tej metody jest między innymi możność zdefiniowania miary
kąta za pomocą funkcji sin, bez odwoływania się do dość głębokiego wzoru
(6). Mianowicie można przyjąć, że <;:.AOB ma miarę yR, jeśli wartość
bezwzględna iloczynu wektorowego wersorów osi OA i OB jest równa
sinnaty.
6. Można wreszcie zdefiniować rodzinę funkcji przypisujących liczbom mianowanym (miano: miara kąta) liczby Sin1y1 (lub wprowadzając
krótsze oznaczenie Sin y 1). Funkcje takie odpowiadałyby najbardziej
zwyczajnemu stosowaniu funkcji sin, lecz byłyby chyba jedynymi w matematyce funkcjami mającymi za argumenty liczby mianowane (funkcje
tego typu są natomiast podstawą fizyki), dlatego 'też wspominan1 o nich
tylko ubocznie.
? . Oczywiście artykuł ten nie propaguje zastąpienia funkcji sin
przez funkcje SIN, Sin, sin1 lub sinnat. Dlatego też nie zatrzymałem dla
żadnej z nowowprowadzonych funkcji dotychczasowego symbolu sin.
Ostatecznie w matematyce jest sporo wieloznacznych symboli (jest nim chociażby -najczęściej używany symbol =) i ze względów psychologicznych nie można likwidować tego stanu rzeczy. Ale nie prowadzi to
do błędów tylko wtedy, gdy stosujący poszczególne symbole zdają sobie
świadomie sprawę z ich wieloznaczności. A świadomość ta na pewno będzje
łatwiej i prędzej osiągnięta, jeśli wykładowca -choćby mimochodem wspomni, że funkcji sin (a także i pozostałych funkcji trygonometrycznych) używa się stale w kilku znaczeniach.