Wykład 6

WYKŁAD 6. TYPOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH.
1. ZMIENNE LOSOWE SKOKOWE.
Zmienne przyjmujące skończoną lub co najwyżej przeliczalną ilość wartości
nazywamy zmiennymi skokowymi. Zbiór wartości zmiennej skokowej X
oznaczamy X ( )  x1 , x2 ,..., xn  lub w przypadku przeliczalnej liczby wartości
X ( )  x1 , x2 ,.... Jak już wiemy zmienne skokowe posiadają dystrybuanty
schodkowe (rys. 2.1). Punktami skoków dystrybuanty zmiennej skokowej są
wszystkie wartości zmiennej.
 Zmienna o rozkładzie zero-jedynkowym.
Szczególnym przypadkiem zmiennej o rozkładzie dwupunktowym jest
zmienna przyjmująca dwie wartości 0 i 1 .
Funkcja prawdopodobieństwa zmiennej zero-jedynkowej określona jest
wzorem
(6.1)
P ( X  1)  p i P( X  0)  1  p (0  p  1) .
1. E X   p
2. D 2  X   p(1  p)
Rozkład zmiennej zero-jedynkowej oznaczamy przez B(1, p) .
 Zmienna o rozkładzie dwumianowym B(n,p).
Mówimy, że zmienna losowa ma rozkład dwumianowy B(n, p) , jeżeli jej
funkcja prawdopodobieństwa określona jest wzorem
(6.2)
P X  k    kn  p k (1  p) n k dla k  0,1,...n
 
Zmienna przyjmuje wartości 0,1, ...,n.
1. E  X   np
2. D 2  X   np(1  p)
 Twierdzenie.
Jeżeli niezależne zmienne losowe X i Y mają rozkłady odpowiednio
B(n1, p) i B(n2 , p ) ,
to zmienna losowa X  Y ma rozkład B(n1  n2 , p) .
 Wniosek.
Jeżeli niezależne zmienne losowe X 1 ,..., X n mają rozkłady zerojedynkowe, to zmienna X określona wzorem
X  X 1  ...  X n
ma rozkład dwumianowy B(n, p) .
INTERPRETACJA.
Zmienna o rozkładzie dwumianowym związana jest ze schematem
Bernoulli’ego. Oznacza ilość sukcesów przy niezależnych powtórzeniach
tego samego doświadczenia.
 Zmienna o rozkładzie Poissona.
Mówimy, że zmienna przyjmująca przeliczalną liczbę wartości 0,1, ...
ma rozkład Poissona P( ) , jeżeli jej funkcja prawdopodobieństwa
określona jest wzorem
P X  k  
(6.3)
k
k!
e   dla k  0,1,2,...
1. E  X   
2. D 2  X   
 Twierdzenie o dodawaniu.
Niech niezależne zmienne X i Y mają odpowiednio rozkłady Poissona
P (1 ) i P(2 ) . Wtedy zmienna losowa X  Y ma rozkład Poissona
P(1  2 ) .
2. ZMIENNE LOSOWE CIĄGŁE.
Dystrybuanta zmiennej ciągłej jest funkcją ciągłą i w konsekwencji
P X  x   0 dla każdego x  R .
Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej ciągłej X wyznaczony jest przez
funkcję gęstości f (x) i stąd przez warunek
b
Pa  X  b   F (b)  F (a)   f ( x)dx dla a, b  R , a  b .
a
2
Zbigniew Paprzycki: Wykład 6
 Zmienna o rozkładzie jedostajnym (równomiernym).
Mówimy, że zmienna losowa X ma rozkład jednostajny (równomierny)
na odcinku a, b , jeżeli funkcja gęstości rozkładu zmiennej X określona
jest wzorem
f ( x) 
(6.4)
1
I a,b ( x)
ba
dla x R
ab
2
(b  a) 2
2. D 2  X  
.
12
1. E  X  
 Zmienna o rozkładzie Cauchy’ego.
Mówimy, że zmienna losowa X ma rozkład Cauchy’ego, jeżeli funkcja
gęstości rozkładu zmiennej X określona jest wzorem
(6.5)
f ( x) 
1

  2  ( x   )2
dla x  R ,  ,  R,   0 .
1. E  X  nie istnieje,
2. D 2  X  nie istnieje.
3. M e  X    ,
4.   X   2
Zmienną o rozkładzie Cauchy’ego oznaczamy C ( , ) .
 Twierdzenie o dodawaniu.
Niech niezależne zmienne X i Y mają odpowiednio rozkłady Cauchy’go
C (1 ,1 ) i C ( 2 , 2 ) . Wtedy zmienna losowa X  Y ma rozkład
Cauchy’go C (1   2 ,1   2 ) .
 Zmienna o rozkładzie normalnym.
Mówimy, że zmienna losowa X ma rozkład normalny, jeżeli funkcja
gęstości rozkładu zmiennej X określona jest wzorem
(6.6)
f ( x) 
1
e
2 

( x  m) 2
2 2
dla x R .
1. E  X   med ( X )  m
Matematyka dla statystyka: Wykład 6
3
2. D 2  X    2
Zmienną o rozkładzie normalnym oznaczamy N (m, 2 ) .
 Twierdzenie o dodawaniu.
Niech niezależne zmienne X i Y mają odpowiednio rozkłady normalne
N (m1,12 ) i N (m2 , 22 ) . Wtedy zmienna losowa X  Y ma rozkład
normalny N (m1  m2 , 212   2 22 ) .
 Zmienna o rozkładzie wykładniczym.
Zmienna o rozkładzie wykładniczym G( ,1) ma funkcję gęstości postaci
f ( x )   e   x I ( 0, )
(6.7)
1. E  X  
1

2. D 2  X  
1
2
 Zmienna o rozkładzie chi-kwadrat.
Jeżeli zmienne losowe X 1 ,...X n są niezależnymi zmiennymi losowymi o
rozkładach normalnych N (0,1) , to wtedy rozkład zmiennej
(6.8)
X  X12  ...  X n2
nazywamy rozkładem chi-kwadrat z n stopniami swobody.
1. E  X   n
2. D 2  X   2n
Zmienną o rozkładzie chi-kwadrat z n stopniami swobody oznaczamy
 2 ( n) .
 Twierdzenie o dodawaniu.
Niech niezależne zmienne X i Y mają odpowiednio rozkłady chikwadrat  2 (n1 ) i  2 (n2 ) . Wtedy zmienna losowa X  Y ma rozkład
chi-kwadrat  2 (n1  n2 ) .
4
Zbigniew Paprzycki: Wykład 6
 Zmienna o rozkładzie t-Studenta.
Niech Y i Z będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach
odpowiednio Y ~ N (0,1) oraz Z ~  2 (n) . Mówimy, że zmienna losowa
X ma rozkład t-studenta z n stopniami swobody, jeżeli daje się
przedstawić w postaci
X
(6.9)
Y
.
Z
n
1. E  X   0 dla n  1,
n
2. D 2  X  
dla n  2 .
n2
Zmienną o rozkładzie t-studenta z n stopniami swobody oznaczamy t (n) .
 Uwagi.
1. Dla n  1 rozkład t (1) jest rozkładem Caychy’ego C (0,1) . Stąd na
przykład wynika, że dla n  1 nie istnieje wartość oczekiwana i
wariancja .
2. Twierdzenie o dodawaniu nie zachodzi.
 Zmienna o rozkładzie F-Snedecora.
Niech Y i Z będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach
odpowiednio Y ~  2 (n1 ) oraz Z ~  2 (n2 ) . Mówimy, że zmienna
losowa X ma rozkład F Fishera-Snedecora z n1 i n2 stopniami
swobody, jeżeli daje się przedstawić
Y
n
n Y
X 1  2
Z
n1 Z
n2
(6.10)
Zmienną o rozkładzie Fishera-Snedecora z n1 i n2 stopniami swobody
oznaczamy F (n1,n2) .
 Uwagi.
Twierdzenie o dodawaniu nie zachodzi.
Matematyka dla statystyka: Wykład 6
5