Współczynnik korelacji liniowej Pearsona

Współczynnik korelacji liniowej Pearsona
n
1. Wzór:
r XY 
C( X , Y )
S X S Y
2
2

 x  x  y  y 
i
i 1
n
i
n

 x  x     y  y 
i 1
2
i
i 1
2
C( X , Y )
S X S Y
i
C(X,Y) – kowariancja między cechami X i Y,
2
S X - wariancja cechy X,
2
S Y - wariancja cechy Y,
S X - odchylenie standardowe cechy X,
S Y - odchylenie standardowe cechy Y.
Powyższy wzór zawiera trzy warianty zapisu współczynnika korelacji Pearsona:
(a)
Pierwszy zapis wykorzystujemy w sytuacji, gdy mamy już policzoną kowariancję w zadaniu oraz
dwie wariancje – cechy X i Y.
(b)
Drugi zapis dotyczy sytuacji, gdy nic nie jest policzone, a tylko są dane wartości w tabeli. Wówczas
rozpisujemy tabelę na kolejne kolumny i szukamy sum, które potem podstawiamy do wzoru
środkowego.
(c)
Trzeci wariant stosujemy wtedy, gdy mamy policzoną kowariancję oraz odchylenia standardowe
cech X i Y.
Interpretacja współczynnika korelacji:
 jeżeli
r XY  0,2 - nie ma związku liniowego między cechami,
 jeżeli
0,2  r XY  0,4 - niska (słaba) zależność liniowa,
 jeżeli
0,4  r XY  0,7 - umiarkowana (średnia) zależność korelacyjna,
 jeżeli
0,7  r XY  0,9 - znacząca (silna) zależność liniowa,
 jeżeli
r XY  0,9 - bardzo silna zależność liniowa,
 jeżeli
r XY  1 - zależność funkcyjna (1 – funkcja liniowa rosnąca; -1 – funkcja liniowa malejąca),
 jeżeli
r XY  0 - brak jakiejkolwiek zależności między cechami.
REGRESJA LINIOWA
II linia regresji
I linia regresji
x a X  y  b
y aY x  b
n
n
aX 
C( X ,Y )

2
SY
 x  x  y  y 
i
i 1
n
y  y
i 1
b  x a X  y
i
2
i
aY 
C ( X ,Y )

2
SX
 x  x  y  y 
i
i 1
i
n
 x  x 
i 1
2
i
b  y aY x
gdzie:
x- zmienna objaśniająca (niezależna),
gdzie:
x- zmienna objaśniana (zależna),
y – zmienna objaśniająca (niezależna),
a X – parametr linii regresji (współczynnik kierunkowy prostej),
b – drugi parametr linii regresji.
y – zmienna objaśniana (zależna),
a Y – parametr linii regresji,
b – drugi parametr linii regresji.
W pierwszej linii regresji mamy sytuację, w której zmienna y ma wpływ ma kształtowanie się zmiennej x.
Interpretacja parametrów a i b jest następująca:
Parametr a – jeżeli zmienna y wzrośnie o jednostkę, to zmienna x wzrośnie lub spadnie o a.
Parametr b – nie interpretuje się tego parametru, gdyż nie ma on sensu ekonomicznego.
Druga linia regresji:
Parametr a - jeżeli zmienna x wzrośnie o jednostkę, to zmienna y wzrośnie lub spadnie o a.
Parametr b – nie interpretuje się tego parametru, gdyż nie ma on sensu ekonomicznego.
wyznaczymy dwie linie regresji, a konkretnie dwa współczynniki regresji
możemy obliczyć współczynnik korelacji Pearsona, według wzoru:
a X oraz a Y , wówczas
r XY  a X a Y
współczynnik determinacji R  r XY 
Im bliżej 1, tym lepsze dopasowanie modelu do rzeczywistości.
2
2
X
xi x
Y
Model trendu liniowego:
(xi x)2
yi y
( y i  y ) 2 ( x i  x )( y i  y )
y  a t  b
y – zmienna objaśniana (zależna),
t – zmienna czasowa (objaśniająca, niezależna),
a, b – parametry linii trendu.
Model trendu liniowego jest szczególnym przypadkiem regresji liniowej, gdzie jedyną zmienną
objaśniającą jest czas.
n
a
 t  t   y
t 1
n
b  y  a t
t
 t  t 
2
t 1
Interpretacja parametru a: jeżeli okres rośnie o jednostkę, to y rośnie lub maleje średnio o a.
Interpretacja parametru b: w okresie poprzedzającym pierwszy badany (t=0) wartość y wynosiła b.
Zużycie energii
t
yt
t t
(t  t ) 2
(t  t )  y t
ANALIZA DYNAMIKI – INDEKSY PROSTE
Indeksy dynamiki określa się następująco:
yn
y
lub i  n  100%
y0
y0
i
gdzie :
y n - poziom zjawiska w pewnym okresie,
y 0 - poziom zjawiska w okresie odniesienia.
yn
 100%  100% ,
y0
mówi o ile procent poziom zjawiska w okresie n-tym jest wyższy lub niższy niż w okresie 0-owym.
Indeksy jednopodstawowe informują, jakie zmiany nastąpiły w poziomie zjawiska
w kolejnych okresach w
stosunku do okresu przyjętego jako podstawa (bazowego).
y
y1 y 2 y 3
, , ,..., n
y0 y0 y0
y0
Indeksy łańcuchowe (o podstawie zmiennej) informują, jakie zmiany nastąpiły w poziomie zjawiska w
kolejnym okresie w stosunku do okresu go poprzedzającego.
y
y2 y3 y4
, , ,..., n
y1 y 2 y 3
y n1
Średniookresowe tempo zmian w czasie określa średniookresowy wzrost lub spadek badanego zjawiska,
przypadający na analizowaną jednostkę czasu:
T  (i G 1)  100%
T - średniookresowe tempo zmian w czasie,
i G - średniookresowy indeks łańcuchowy.
na podstawie wartości analizowanego zjawiska dla pierwszego i ostatniego okresu:
yn
y1
i G  n1
na podstawie indeksów łańcuchowych:
i G
n 1
i 2 1 i 3 2 ... i n n 1
► korzystając z indeksów o podstawie stałej dla pierwszego i ostatniego okresu mamy:
i G
n 1
in 1
i1 1
ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH SKOKOWYCH
Dystrybuanta zmiennej losowej X jest to następująca funkcja:
F(x)=P(X<x)
Własności dystrybuanty:
(a)
0  F ( x)  1
(b) F(x) jest funkcją niemalejącą
(c)
lim F ( x)  0
oraz
x  
lim F ( x)  1
x 
Parametry zmiennej losowej skokowej:
1. Wartość oczekiwana (przeciętna): E ( X ) 
n
x
i 1
xi 
i
 pi
wartości zmiennej losowej skokowej,
p i  prawdopodobieństwa odpowiadające określonym wartościom zmiennej losowej.
n
Przy czym:
p
i 1
i
1
2. Wariancja: V ( X ) 
n
 x  E ( X ) 
i 1
i
3. Odchylenie standardowe: 
2
pi
 V (X )
Czyli odchylenie standardowe jest pierwiastkiem z wariancji.
Liczba
usterek
Prawdopodobieństwa
xi
pi
xi  pi
x i  E (X )
( x i  E ( X )) 2
Rozkład zero-jedynkowy:
Zmienna losowa X ma rozkład zero-jedynkowy, jeśli przyjmuje wartość 0 lub 1:
P(X=1)=p
P(X=0)=q
Gdzie: p+q=1
p- prawdopodobieństwo sukcesu,
q- prawdopodobieństwo porażki.
Dystrybuanta zmiennej losowej o rozkładzie zero-jedynkowym jest następująca:
( x i  E ( X )) 2 p i
x0
0 dla

F ( x)  q dla 0  x  1
1 dla
x 1

Rozkład dwumianowy:
n
P( X  k )     p k  q n k
k 
n – liczba prób (doświadczeń),
k – liczba sukcesów w n próbach,
p – prawdopodobieństwo sukcesu w pojedynczym doświadczeniu,
q – prawdopodobieństwo porażki w pojedynczym doświadczeniu,
przy czym:
p+q=1
P(X=k) – prawdopodobieństwo, że zmienna losowa X osiągnie sukces k,
n
n
   C nk 
k  n  k 
k 
Są to kombinacje k-elementowe z n-elementów.
Definicja silni:
n = 123...n
0 = 1
Rozkład Poissona:
Rozkład ten jest szczególnym przypadkiem rozkładu dwumianowego, przy czym:
- prawdopodobieństwo sukcesu musi być małe, tzn. p<0,02,
- liczba doświadczeń musi być duża, tzn. n >20.
Aby znaleźć odpowiednie prawdopodobieństwo P(X=k) korzystamy z tablic rozkładu Poissona.
  n p
Określamy także wartość oczekiwaną
Schemat szukania prawdopodobieństw:
P( X  k )  P( X  k )  P( X  k  1)
(a)
(b)
P( X  k )  1  P( X  k )
(c)
P( X  k )  1  P( X  k  1)
Pierwsza kolumna jest podzielona na dwie części:
k – oznacza liczbę sukcesów (od 0 do 15),
ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH CIĄGŁYCH
Rozkład normalny:
Np. waga, wzrost, wynagrodzenia, wiek.
Zmienna losowa X ma rozkład normalny z wartością oczekiwaną (średnią) równą m i odchyleniem
standardowym równym σ :
X : N (m,  )
W celu obliczenia prawdopodobieństwa P(a < X  b) należy skorzystać z operacji nazywanej standaryzacją.
Jeśli zmienna losowa X ma rozkład N ( m,  ) to zmienna standaryzowana T  X  m ma rozkład N(0,1). Na

tej podstawie można wyznaczyć:
bm
am
bm
a m
P ( a  X  b )  P
T 
  
  

 
 
  
  
TWIERDZENIA GRANICZNE
Twierdzenie Moivre’a – Laplace’a:
Niech X n będzie ciągiem zmiennych losowych o rozkładzie dwumianowym. Wtedy:
m  E X n   n  p
n- liczba doświadczeń,
p – prawdopodobieństwo sukcesu,
q – prawdopodobieństwo porażki,
m – wartość oczekiwana (średnia),
oraz
V X   V X n   n  p  q
V(X) – wariancja.
Jeżeli liczba doświadczeń będzie większa od 30, czyli n>30, wówczas rozkład dwumianowy można przybliżyć
rozkładem normalnym, na mocy twierdzenia Moivre’a – Laplace’a:

X : N n  p, n  p  q

np=m – wartość oczekiwana,
npq   - odchylenie standardowe.
Twierdzenie Lindeberga – Levy’ego (centralne twierdzenie graniczne):
Wartość oczekiwana:
Wariancja:
E Z n   n  m
V Z n   n   2
Odchylenie standardowe:
V Z n   n   2    n
Nowa zmienna losowa ma w przybliżeniu rozkład normalny o parametrach:

Z n~ N n  m;  n

Twierdzenie to mówi, że jeśli n jest duże, to rozkład zmiennej losowej Zn można przybliżać rozkładem
normalnym z wartością oczekiwaną n m i odchyleniem standardowym
Wniosek z centralnego twierdzenia granicznego:
Mamy ciąg niezależnych zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie:
 n.
X 1, X 2, X 3,... X n
Obliczamy nową zmienną losową równą średniej arytmetycznej tych zmiennych:
X 
1
 X 1 X 2 X 3... X n 
n
Wobec tego:
E X  
1
mn  m
n
1
2
V X   2  n   2 
n
n
V X  
2


n
n

czyli: wartość oczekiwana wynosi m, a odchylenie standardowe wynosi
.
n
Nowa zmienna losowa równa średniej arytmetycznej wszystkich zmiennych ma w przybliżeniu rozkład

normalny z wartością oczekiwaną m i odchyleniem standardowym
:
n
 

X ~ N  m;

n

1   zwanym poziomem ufności lub współczynnikiem ufności, pokrywa nieznaną wartość szacowanego
parametru.  to poziom istotności
Jeżeli mamy dużą próbę (n>30) oraz cecha X ma rozkład normalny X ~ N(m,  ) , wówczas przedział ufności
dla parametru m ma postać:
x t  
x - średnia arytmetyczna,

- odchylenie standardowe, założenie ( 
n- liczebność próby,
m – wartość oczekiwana (przeciętna),

n
 m  x t  

n
S)
t  - wartość krytyczna odczytana z tablic rozkładu normalnego, gdzie:  t   
1
2
xi
ni
x i
x i n i
x i  x
( x i  x ) 2 ( x i  x ) 2 n i
Najpierw obliczamy średnią arytmetyczną dla szeregu rozdzielczego przedziałowego:
x
1
 x i n i
n
Następnie obliczamy wariancję S2:
1
x i  x 2 n i

n
1
2
S pierwiastek

 2225 z wariancji:
22,25
Teraz obliczamy odchylenie standardowe, czyli
100
2
S  S S222,25 22,25  4,72
S2 
S  4,72 odczytujemy wartość
Następnie z tablic rozkładu normalnego
t  , przy czym t    1    0,98  0,49
2
Podstawiamy wszystko do wzoru:
x t  

n
 m  x t  
2

n
Hipoteza zerowa H0 – hipoteza sprawdzana 4
(testowana,
weryfikowana).
,72
4,72
 2,35
 można przyjąć,
 m gdy
12zostanie
 2,35odrzucona

Hipoteza alternatywna H1 – 12
hipoteza,
którą
hipoteza zerowa H0.
100
100
Jeżeli  jest znane i n  30 lub  znane i n>30 lub  nieznane i n>30 (wtedy   S ), wtedy
10,jest
91 statystyka:
 m  13o,rozkładzie
09
sprawdzianem hipotezy zerowej
normalnym N(0,1)
T 
x m

 n