II Edycja – gimnazjum

II Edycja – gimnazjum
Zad 1. Wyznacz cyfrę jedności liczby
12+22+32+…+992
Zad 2. Pewna liczba całkowita przy dzieleniu przez 3 daję resztę 1, zaś przy dzieleniu przez 4
daje resztę 3, a przy dzieleniu przez 5 daje resztę 3. Jaką resztę daje to liczba przy dzieleniu
przez 60.
Zad 3. Wyznacz wszystkie liczby naturalne dwucyfrowe, które są równe podwojonej sumie
swoich cyfr.
Zad 4. Wyznacz a2+b2+c2, jeżeli a+b+c=5, i ab+bc+ca=5
Zad 5. Dla jakich wartości m z odcinków 2m+2, m+8, 3m+1 można zbudować trójkąt
równoramienny?
Zad 6. Wyznacz pole i obwód ośmiokąta, w którym wszystkie kąty wewnętrzne są równe, zaś
boki mają długość:
1,
, 1,
, 1,
, 1,
Zad 7. Bogacz posiadający 100000zł aby wesprzeć biedaka mającego tylko złotówkę dał mu
100zł. O ile procent zbiedniał bogacz? O ile procent wzbogacił się biedak?
Zad 8. Na tablicy napisano 10 kolejnych liczb naturalnych. Ktoś starł jedną z nich i wówczas
suma pozostałych była równa 2004. Jakie liczby zostały na tablicy?
Zad 9. Pokazać, że w kwadracie magicznym 3x3 suma kwadratów liczb w pierwszym wierszu
jest równa sumie kwadratów liczb w trzecim wierszu.
Zad 10. W trójkącie ABC poprowadzono dwusieczną AD. Wyznaczyć kąty trójkąta ABC, jeśli
środek okręgu wpisanego w trójkąt ABD jest jednocześnie środkiem okręgu opisanego na
trójkącie ABC