wskazówki dla autorów - Elżbieta Lewandowicz
advertisement
Elżbieta Lewandowicz
Katedra Geodezji Szczegółowej
Uniwersytet Warmińsko-Mazurski
w Olsztynie
Materiały z V Seminarium, Modelowanie
Danych Geograficznych pt. „Modelowanie
informacji geograficznej według norm
europejskich i potrzeb infrastruktur informacji
przestrzennej”. Warszawa, Tom 3, str. 27-37
PRZESTRZEŃ GEOGRAFICZNA JAKO PRZESTRZEŃ
TOPOLOGICZNA
Wprowadzenie
W badaniach geograficznych przestrzeń geograficzna reprezentuje
powierzchnię (powłokę krajobrazową) Ziemi w jej fizycznym,
przyrodniczym, złożonym zróżnicowaniu (http 1). Geografów interesuje
rzeczywista przestrzeń trójwymiarowa, w której mieszczą się różne formy
działalności społeczno ekonomicznej człowieka oraz ich uwarunkowania
(http 2). Zarówno ukształtowanie powierzchni Ziemi jak i widoczne skutki
działalności człowieka stanowią obiekty geograficzne. Informacje o takich
obiektach gromadzą i udostępniają Systemy Informacji Geograficznej (GIS).
Systemy Informacji Geograficznej składają się z baz danych
geometrycznych i opisowych o obiektach geograficznych oraz z funkcji narzędzi przeznaczonych do wykonywania analiz przestrzennych
wspomagających najczęściej zadania decyzyjne. Część ze wspomnianych
funkcji analitycznych wymaga lokalizacji obiektów za pomocą
współrzędnych, a inne - jedynie relacji między obiektami geograficznymi, np.
obiekty sąsiadują ze sobą, obiekty są położone przy jednym ciągu
komunikacyjnym. Takie relacje umiemy sami określić w oparciu o znajomość
przestrzeni lub odczytać z mapy, a w GIS istnieją odpowiednie narzędzia do
opisania podstawowych relacji topologicznych między obiektami na
podstawie danych geometrycznych (Esri 2003, Autodesk 2000). W tym celu
geometryczny obraz przestrzeni geograficznej traktuje się jako przestrzeń
topologiczną. Teoria topologii pozwala spojrzeć na przestrzeń od strony
związków i relacji między podzbiorami przestrzeni – zbiorami otwartymi.
Zgodne z teorią działania na podzbiorach obiektów geograficznych są
przydatne przy modelowaniu danych przestrzennych w sposób przydatny do
analiz przestrzennych.
W funkcjonujących systemach GIS zakłada się, że geometrię
obiektów przestrzeni geograficznej można przedstawić jako elementy
przestrzeni topologicznej za pomocą grafów z ich węzłami, krawędziami,
obszarami (Esri 2003, Autodesk 2000). W oparciu o te elementy, proponuje
się budowę modeli topologicznych: sieciowych i obszarowych na
wyselekcjonowanych danych geometrycznych (PKN 2002, Gaździcki 1990,
Eckes 2006, Bielecka 2006). Różne modele topologiczne są podstawą do
budowy różnych narzędzi analitycznych (Molenaar 1998 , Chrobak 2000,
2002, Kulikowski 1986, Osiadacz 2001, Potrykowski 1983).
Norma ISO 19107 – Geographic Information – Spatial schema
definiuje proste i złożone obiekty geometryczne i topologiczne należące do
danych przestrzennych, relacje między nimi i podstawowe operacje na nich
(agregacje, przecięcia, bufory, najkrótszą drogę, …). Mają one służyć
budowie modeli danych przestrzennych właściwych dla konkretnych analiz
przestrzennych. Łącząc dane topologiczne i geometryczne można zbudować
narzędzia analityczne integrujące te dane i umożliwiające wizualizację
wyników analiz w układzie przestrzennym.
Cel pracy
Celem niniejszej pracy jest przedstawienie pewnych topologii
przestrzeni geograficznej określonych w oparciu o elementy geometryczne
opisujące obiekty geograficzne. Różne sposoby zapisu topologii utworzonej w
oparciu o te same dane geometryczne, mają ukazać możliwości modelowania
danych topologicznych w szerszym zakresie niż to, co jest proponowane w
typowych narzędziach GIS. Potrzeba budowania konkretnych topologii
powinna wynikać z potrzeb analitycznych (Lewandowicz 2005, 2006). W
typowych systemach GIS brakuje możliwości prostego określenia topologii
danych przestrzennych w sposób odpowiedni do rozwiązania postawionych
problemów.
Rolę geometrii i topologii w zadaniach związanych z modelowaniem
narzędzi analitycznych ilustruje rys. 1.
Topologia
danych
geometrycznych
Topologia użytkownika
Modele matematyczne
(GRAFY – DIGRAFY)
Obiekty
geometryczne
Modele analityczne
Atrybuty opisowe obiektów geograficznych
Rys. 1. Schemat przedstawiający rolę geometrii i topologii przy modelowaniu
zadań analitycznych w GIS
2
Geograficzna przestrzeń topologiczna
Przestrzeń, a przestrzeń topologiczna
Przestrzeń P w matematycznym rozumieniu (Borsuk 1964) to zbiór
punktów o określonych współrzędnych. Wraz z określeniem przestrzeni P
jako zbioru, można mówić np. o przestrzeni zwartej, ograniczonej, spójnej.
Szczegółowe wyjaśnienia tych pojęć można znaleźć w opracowaniach
matematycznych (Borsuk 1964), związanych z przestrzenią wielowymiarową.
Przestrzeń topologiczna (P,Q) to przestrzeń P z określoną rodziną
zbiorów otwartych Q (Engelking, Sieklucki 1986). Mówiąc o przestrzeni
topologicznej (P,Q), należy określić zbiór P i w tym zbiorze wyróżnić
podzbiory Q jako zbiory otwarte, spełniające trzy aksjomaty:
1. zbiór pusty oraz zbiór E należą do rodziny Q (zbiór pusty oraz E
są zbiorami otwartymi),
2. jeżeli E1 Q i E2 Q, to E1 E2 Q (przecięcie dowolnych
dwóch zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym),
3. jeżeli Es Q dla każdego e E, to
E
s
Q
(dowolna suma
eE
mnogościowa zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym).
Każdym zbiorom otwartym Es, Es Q, Es P w przestrzeni
zwartej P z określoną topologią (P,Q), można wyróżnić wnętrza zbiorów i ich
domknięcia oraz zbiory zewnętrzne. Zbiory otwarte to wnętrza zbiorów. W
jednej przestrzeni P można wyróżnić wiele rodzin zbiorów otwartych (P,Q1),
(P,Q2),…, (P,Qn). Każde wyróżnienie Qn może wiązać się z określoną cechą
punktów przestrzeni. W każdym zbiorze otwartym rodziny Qn, punkty i ich
otoczenia są tożsame.
Z pojęciem przestrzeni topologicznej (P,Q) wiąze się pojęcie
topologii. W literaturze matematycznej (Engelking, Sieklucki 1986) przez
topologię określa się niezmienniki przekształceń homeomorficznych
przestrzeni topologicznej. Przykłady przekształceń (ciągłych i wzajemnie
jednoznacznych, takich, że przekształcenie odwrotne jest ciągłe)
przedstawiono na rys. 2. Relacje między zbiorami A, B, C, D, E w każdym
przedstawieniu na rys. 2 są tożsame, są niezmiennikami tych przekształceń
czyli stanowią topologię przestrzeni.
3
A
A
O
A
B
O
C
C
B
O
C
B
E
D
E
D
E
D
Rys. 2. Przekształcenia homeomorficzne – otoczenia punktów w zbiorach A,B,
C, D, E, nie zmieniają się, relacje między zbiorami są zachowane, opracowano
na podstawie (Chrobak 2000)
Geograficzne przestrzenie topologiczne
Przyjmuje się, że przestrzeń geograficzna jest zbiorem punktów
opisanych za pomocą współrzędnych i innych atrybutów. Taką przestrzeń
geograficzną można przedstawić jako wiele przestrzeni topologicznych,
poprzez wyróżnienie podprzestrzeni tematycznych. Zilustrują to podane niżej
przypadki.
Załóżmy, że przestrzeń G zwarta i ograniczona jest zbiorem punktów
powierzchni obrębu, wydzielonym za pomocą granicy. Obszar G w
warstwach tematycznych GIS jest różnie klasyfikowany i w zależności od
klasyfikacji opisywany za pomocą odpowiednich atrybutów. Lista atrybutów
z rozpatrywanych klasyfikacji odnosi się do wszystkich podzbiorów zbioru G
w tym punktów. Niech te atrybuty punktów przestrzeni obrębu G będą
podstawą określenia różnych przestrzeni topologicznych (G,Qn), n={1, 2, ..n},
gdzie Qn jest rodziną zbiorów otwartych przestrzeni G. Zasadę, że w jednej
przestrzeni punktów można wyróżnić wiele przestrzeni topologicznych Qn,
zastosowano niżej określając przestrzenie topologiczne - ewidencyjną i
adresową.
Załóżmy, że punkty powierzchni kolejnych działek ewidencyjnych
obrębu stanowią podprzestrzenie – podzbiory przestrzeni G - zbiory otwarte.
Każdy z tych podzbiorów jest domknięty za pomocą granic. Granice jako
części wspólne działek (zgodnie z 2. aksjomatem, przedstawionym wyżej) są
zbiorami otwartymi. Można przyjąć, że określając działki w obrębie,
definiujemy ewidencyjną przestrzeń topologiczną (G,Ew) zawierającą rodzinę
zbiorów otwartych opisujących wnętrza zbiorów: powierzchni działek, linii
granicznych oraz punktów granicznych. Punkty każdego z tych podzbiorów
mają jednakowe atrybuty.
W rozpatrywanej przestrzeni obrębu G można wyróżnić i inne
przestrzenie topologiczne wśród nich - przestrzeń adresową (G,Ad).
Przyjmijmy, że składają się na nią podzbiory agregowane (sumy
4
mnogościowe; aksjomat 3) ze zbiorów punktów powierzchni działek
zlokalizowanych przy poszczególnych ulicach - rys 3. Podobnie jak w
przestrzeni ewidencyjnej tak i w przestrzeni adresowej obok punktów
przynależnych do podprzestrzeni o określonych adresach, należy wyróżnić
punkty domykające te podprzestrzenie, w postaci linii rozgraniczających i
określonych punktów granicznych.
Przestrzeń G
Przestrzeń topologiczna (G,Ew)
Przestrzeń topologiczna (G,Ad)
Rys.3. Przestrzeń obrębu G wizualizowana jako przestrzeń topologiczna
ewidencyjna (G,Ew) i przestrzeń adresowa (G,Ad)
W oparciu o inne atrybuty punktów powierzchni obrębu G można
przedstawić i inne przestrzenie topologiczne (G,Qn). Najprościej określić je
można na podstawie atrybutów opisowych działek ewidencyjnych i użytków
oraz za pomocą działań na zbiorach: sumy zbiorów, przecięcia zbiorów,
dopełnienia zbiorów. W ten sposób da się utworzyć topologiczne przestrzenie
użytków i różnych form własności gruntów.
Przedmiotem zainteresowania może być także przestrzeń opisana w
sposób dyskretny, podobny do danych mapy numerycznej. Wtedy linie
przedstawiane są jako krzywe łamane zbudowane z odcinków
prostoliniowych. W bazie danych są one reprezentowane przez listy punktów
załamania. W ten sposób powstają zbiory punktów linii opisujących np.
przebieg granic (Gr) czy sieci wodociągowej (W). W tak rozumianej
przestrzeni także można wyodrębnić różne podzbiory tematyczne, jako
5
rodziny zbiorów otwartych. Na rys. 4 przedstawiono przestrzeń W jako zbiór
punktów linii obrazujących przebieg sieci wodociągowej. W przestrzeni W
wyróżniono dwie różne rodziny zbiorów otwartych: przestrzeń topologiczną
(W, Od) opisującą odcinki sieci i (W,Prz) – przewody. Proces wydzielania
obu rodzin jest prowadzony w oparciu o wartości atrybutów określonych
punktów sieci. Widać też, że zbiory punktów reprezentujących przewody są
sumą zbiorów punktów reprezentujących odcinki sieci wodociągowej.
Punkt –
domknięcie
2 odcinków
Odcinek
przewodu –
zbiór otwarty
Przestrzeń topologiczna (W, Od)
sekcja
przewodu zbiór otwarty,
Punkt –
domknięcie
trzech sekcji
przewodów
Przestrzeń topologiczna (W, Prz)
Rys.4. Przestrzeń dyskretna W przedstawiająca sieć wodociągową jako przestrzeń
odcinków sieci (W,Od) i przewodów (W,Prz)
Topologia
Topologia to relacje między zbiorami otwartymi. Jak je opisać
w przestrzeni topologicznej?
Przestrzeń topologiczna jest przestrzenią symetryczną (Engelking,
Sieklucki 1986). Można ją opisać za pomocą grafów geometrycznych
przedstawiając zbiory otwarte i ich domknięcia jako obszary (ściany),
krawędzie oraz węzły grafu. Relacje między tak interpretowanymi zbiorami
łatwo odczytać z grafu. Będą one widoczniejsze, jeśli graf zostanie
zastosowany graf skierowany. Te relacje stanowią topologię przestrzeni.
Przykłady takich zapisów w dla obiektów liniowych przedstawiono na rys. 5.
Wykonując działania na tych relacjach można otrzymać nowe postaci zapisu
topologii, pokazane graficznie na rys. 6. Podobne przekształcenia można
zrealizować dla obiektów powierzchniowych, jak zostało przedstawione na
rys 7.
6
Geometria
Przestrzeń topologiczna
Topologia
Relacje
Rys. 5. Przedstawienie obiektów geometrycznych za pomocą przestrzeni
topologicznych i topologii
7
B
D
Geometria
A
E
C
F
Przestrzeń topologiczna
B
D
2
2
4
A
4
3
1
E
C
3
5
F
1
5
Rys.6. Zapisy topologii przestrzeni uzyskane w wyniku przekształceń
8
Geometria
Przestrzeń topologiczna
Topologia
Topologie w przetworzonych postaciach
Rys. 7. Różne topologie utworzone w oparciu o jedne dane geometryczne
opisane w formie przestrzeni topologicznej
Widać, że opis przestrzeni topologicznej za pomocą grafów
wykorzystano do przedstawienia różnych topologii – relacji między
podzbiorami i że zrobiono to używając grafów skierowanych (rys.7).
Nowe formy topologii można utworzyć w oparciu o analizę grafu,
przekształcając go w graf skierowany czyli digraf lub graf dualny oraz
wydzielając podgrafy – drzewa i ścieżki. Narzędzia analityczne przeznaczone
do takich przekształceń powinno się przygotować w oparciu o modele
matematyczne bazujące na zapisie grafów w postaci macierzowej. Ilustracje
podobnych przekształceń można znaleźć w literaturze matematycznej (Wilson
2000, Kulikowski 1986), w stosowanych aplikacjach GIS (Autodesk 2000,
ESRI 2003) i opracowaniach naukowych (Bera, Claramunt 2003,
Lewandowicz 2004, 2005, 2006, Lewandowicz, Bałandynowicz 2005).
Algorytmy oparte na przekształcaniu grafów są podstawą do budowania
różnych informatycznych narzędzi analitycznych.
Wnioski
Na podstawie rozważonych przypadków budowania różnych przestrzeni
topologicznych i topologii w oparciu o dane geometryczne charakterystyczne
dla przestrzeni geograficznej można wyciągnąć następujące wnioski:
9
•
dane geometryczne opisujące przestrzeń geograficzną są cennym
źródłem informacji pozwalającym na uzyskanie związków i relacji
między obiektami geograficznymi potrzebnych do analiz
przestrzennych,
•
jedną przestrzeń geograficzną, opisaną i danymi geometrycznymi
i innymi, można przedstawić jako różne przestrzenie topologiczne,
w zależności od analizowanych cech przestrzeni geograficznej,
•
bazując na danych geometrycznych opisujących przestrzeń
geograficzną, można określić różne topologie obiektów
geograficznych,
•
topologia obiektów geograficznych zapisana w formie digrafu jest
modelem matematycznym przyjaznym do budowy narzędzi
analitycznych.
Literatura
Autodesk, 2000; User’s Manual for AutoCad Map@-2000, Release 4
Bera R., Claramunt Ch., 2003; Topolgy-based proximities in spatial systems.
Journal of Geographical Systems, Springer-Verlag, Vol. 5 pp. 353-379
Bielecka E., 2006; Systemy informacji geograficznej. Teoria i zastosowania.
PIWSTK, Warszawa, 229 s.
Borsuk K., 1964; Geometria analityczna wielowymiarowa. Biblioteka
matematyczna, Tom 23, Państwowe Wydawnictwo Naukowe PWN,
Warszawa, 474 s.
Chrobak T., 2000; Modelowanie danych przestrzennych przy użyciu struktury
FDS Molenaara. Materiały II Ogólnopolskiego Seminarium
Modelowanie danych przestrzennych, Warszawa, s.17-28
Chrobak T., 2002; Budowa struktury bazy danych przestrzennych dla
liniowych obiektów sieciowych, których kształt podlega uogólnieniu.
Geodezja; półrocznik AGH, Kraków, Tom 8, Zeszyt 1, s. 35-46
Eckes K., 2006; Modelowanie rzeczywistości geograficznej w systemach
informacji przestrzennej. Roczniki Geomatyki. Tom IV, Zeszyt 2,
Warszawa, s. 43-73
Engelking R., Sieklucki K., 1986; Wstęp do topologii. Biblioteka
matematyczna, Tom 62, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, PWN,
Warszawa, 458 s.
Esri, 2003; ArcGIS: Working With Geodetabase Topology, An ESRI White
Paper
Gaździcki J., 1990; Systemy Informacji Przestrzennej. Państwowe
Przedsiębiorstwo Wydawnictw Kartograficznych, Warszawa, 182 s.
ISO 19107; Geographic information spatial schema – ttp://www.isotc211.org/
10
Kulikowski J., L., 1986; Zarys teorii grafów. Państwowe Wydawnictwo
Naukowe, PWN, Warszawa, 511 s.
Lewandowicz E., 2004; Grafy jako narzędzie do definiowania relacji
przestrzennych pomiędzy danymi geograficznymi. Roczniki Geomatyki,
Tom II, Zeszyt 2, Warszawa, s. 160-171
Lewandowicz E., 2005; Analizy sąsiedztwa mikroregionów w regionie
w oparciu o dane przestrzenne zapisane w formie grafu
geometrycznego. Roczniki Geomatyki, Warszawa, Tom III, Zeszyt 1,
s. 73-82
Lewandowicz E., Bałandynowicz J., 2005; Some Ways of Formulation of
Objective Functions for Chosen Space Analysis. The 6th International
Conference Faculty of Environmental Engineering, Vilnius Gediminas
Technical University, Volume 2, pp. 927-930
Lewandowicz E., 2006; Area Neighbourhood Models. Polish Academy
of Sciences, Geodezja i Kartografia, Geodesy and Cartography, Vol. 55,
No. 3, pp. 147-167
Molenaar M., 1998: An introduction to the theory of spatial object modeling
for GIS. Taylor & Francis, London, 246 pp.
Osiadacz A., J., 2001; Statyczna symulacja sieci gazowej. Biblioteka
Inżyniera Gazownika, Warszawa, 409 s.
PKN, 2002; Informacja geograficzna, Opis danych, Schemat przestrzenny.
Polski Komitet Normalizacyjny; Polska Norma, PZPN-N-12160, 81 s.
Potrykowski M., 1983; Rozwój społeczno-gospodarczy a zagospodarowanie
drogowe w Polsce. PAN, Komitet Przestrzennego Zagospodarowania
Kraju Studia Tom LXXX, PWN, Warszawa, 97 s.
http 1; http://pl.wikipedia.org/wiki/Przestrze%C5%84_geograficzna,
wrzesień 2007
http 2; http://www.aim.wsei.lublin.pl/geografia.rtf, wrzesień 2007
11
