Zbiory i funkcje—wykład 1 —1.10.07 Prolog

Zbiory i funkcje—wykład 1 —1.10.07
Prolog-zależności funkcyjne w naukach przyrodniczych
Rozwój algebry i analiza matematycznej w 16 i 17 wieku:
-opis zjawisk takich jak:
• ruch jednostajnie przyśpieszony;
Droga s, jaka˛ przemierzy kulka ołowiana upuszczona z wysokiej wieży po
czasie t:
gt2
,
s=
2
gdzie g = 9,81 sm2 ;
• eliptyczne trajektorie ruch planet;
1
• wychylenie wahadła w zależności od czasu (przy małym kacie
˛
wychylenia poczatkowego).
˛
Czy można metody matematyczne z równym powodzeniem zastosować do
opisu np. zależności pomi˛edzy temperatura˛ ciała a pulsem u zdrowych
ludzi?
2
Przykład
W zbiorze normtemp.dat zapisano wyniki 130 pomiarów temperatury i
pulsu u zdrowych osób. Dane te sa˛ przedstawione graficznie na wykresie
("wykresie rozproszenia tych danych"). Do tej chmury punktów
"dopasowano" prosta˛
puls = −166.2847 + 2.4432 × temp
- wg. zasady najmnmiejszych kwadratów.
Zbiór danych jest dost˛epny pod adresem
http://www.amstat.org/publications/jse/datasets/normtemp.dat
Opis zbioru: http://www.amstat.org/publications/jse/datasets/normtemp.txt
Czy uzasadniony wniosek o istotności (statystycznej) tej zależności
funkcyjnej?
3
90
85
●
●
● ●
●
●
●
●● ●
●
●
● ●●
● ●
● ●
●
●
● ●
●
●● ● ●
●
● ● ●●●
●
●●
●
● ●
●●
●
● ●
●
●
●
●
● ● ●
●
●
●
● ● ●●● ● ●●
●
● ●●
●
●
● ● ● ●
●
●●
● ● ●
●
● ● ● ●
●
● ●
●
●●
●
●●
●
●
●
●
●
●
●
●
● ●
●●
●
●
●
●●
●
●
●
●
80
●
75
70
60
65
puls
●
●
●
97
98
99
●
●
●
100
temp
Rysunek 1: Wykres funkcji f (x) =
4
√
1 − x2
Tematyka wykładów
1. Elementy analizy
-poj˛ecie funkcji; poj˛ecie ciagu;
˛ ciagłość
˛
funkcji; pochodna funkcji; całka
oznaczona z funkcji przedziałami ciagłej;
˛
całka nieoznaczona; twierdzenie
Newtona-Leibniza; zastosowania twierdzenia Newtona-Leibniza w fizyce;
całka niewłaściwa i definicja dystrybuanty rozkładu normalnego.
2. Elementy statystyki
-poj˛ecie zmiennej losowej; rozkład zmiennej losowej; zmienne losowe
dyskretne; zmienne losowe typu ciagłego;
˛
wartość oczekiwana i wariancja
zmiennej losowej; poj˛ecie populacji; losowa próba prosta; estymacja
parametrów w rozkładzie normalnym; testowanie hipotez- porównanie
średniej z "norma",
˛ porówanie średnich 2 populacji normalnych; analiza
regresji.
3. Funkcje wielu zmiennych
5
-pochodna czastkowa,
˛
pochodna kierunkowa, całka wielokrotna, układy
równań liniowych, poj˛ecie macierzy.
Polecana literatura
Ksia˛żki [4] i [5] zawiera przyst˛epny wykład poj˛eć: funkcji, ciagu,
˛
pochodnej. W cz˛eści "Elementy statystyki" b˛ed˛e nawiazywał
˛
do sposobu
wykładu zaprezentowanego w ksia˛żce T. Bednarskiego [1]. Jako lektur˛e
uzupełniajac
˛ a˛ można polecić podr˛ecznik A. Łomnickiego [2].
Podczas wykładów b˛eda˛ prezentowane obliczenia i wykresy wykonane w
środowisku R. Odpowiednie oprogramowanie jest dost˛epne pod adresem
[3].
6
Kolokwia i zaliczenie
Ocena z zaliczenia b˛edzie wystawiona w oparciu o:
- punkty z kolokwiów (70 procent);
- punkty za aktywność i „wejściówki” (20 procent).
- praca zaliczeniowa (10 procent).
Literatura
[1] Bednarski, T. Elementy matematyki w naukach ekonomicznych.
Oficyna ekonomiczna. Kraków 2004.
[2] Łomnicki, A. Wprowadzenie do statystyki dla przyrodników. PWN.
Wraszawa 2003.
[3] The R Project for Statistical Computing. Strona WWW
http://www.r-project.org/
7
[4] Zakrzewscy, D. i M. Repetytorium z matematyki. Wydawnictwo
Szkolne PWN, Warszawa 2000.
[5] Zakrzewscy, D. i M. Żak, T. Matematyka. Matura na 100 %.
Wydawnictwo Szkolne PWN, Warszawa 2005.
8
Zbiory liczbowe
N = {1, 2, . . .}- zbiór liczb naturalnych;
Z = {. . . , −2, −2, 0, 1, 2, . . .}- zbiór liczb całkowitych;
Q- zbiór liczb wymiernych:
Q=
np
q
o
: p ∈ Z, q ∈ N ;
R- zbiór liczb rzeczywistych.
√ √
Przykłady Liczby rzeczywiste, które nie sa˛ wymierne: 2, 3, . . .. Dla
√
dowolnej liczby wymiernej s liczba rzeczywista 2 + s nie jest jest
wymierna.
9
Definicja 1 Przedziałem otwartym (a, b) nazywamy zbiór wszystkich liczb
rzeczywistych x spełniajacych
˛
podwójna˛ nierówność a < x < b:
(a, b) = {x ∈ R : a < x < b}.
Definicja 2 Zbiór
[a, b] = {x ∈ R : a ¬ x ¬ b}.
nazywamy przedziałem domkni˛etym.
Definicja 3 Otoczeniem o promieniu r > 0 punktu x0 ∈ R nazywamy zbiór
O(x0 , r) = (x0 − r, x0 + r).
Zbiór O(x0 , ε) nazywany jest cz˛esto "epsilonowym otoczeniem punktu x0 ".
Definicja 4 Sasiedztwem
˛
o promieniu r > 0 punktu x0 ∈ R nazywamy
zbiór
S(x0 , r) = (x0 − r, x0 ) ∪ (x0 , x0 + r).
10
Pewne użyteczne tożsamości
Pot˛egi sumy
Dla dowolnych a, b ∈ R spełnione sa˛ równości:
(a + b)2
= a2 + 2ab + b2
(a + b)3
= a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3
n X
n n−k k
n
n!
.
=
a
b , gdzie
=
k!(n − k)!
k
k
(a + b)n
k=0
Uwaga. Ostatnia tożsamość (wzór Newtona) może być zapisana bez użycia
symbolu sumy "Σ" w nast˛epujacy
˛ sposób:
n n 0
n n−k k
n 0 n
(a + b)n =
a b + ... +
a
b + ... +
a b . (1)
0
k
n
11
Suma pot˛eg n poczatkowych
˛
liczb naturalnych
1 + 2 + ... + n
=
12 + 22 + . . . + n2
=
13 + 23 + . . . + n3
=
n(n + 1)
,
2
n(n + 1)(2n + 1)
,
6
n2 (n + 1)2
.
4
dla sum 4-tych, 5-tych itd. poteg n poczatkowych
˛
liczb naturalnych można
znaleźć analogiczne tożsamości.
12
Funkcje
Podstawowe poj˛ecia
Definicja 5 (funkcji) Funkcja˛ określona˛ na zbiorze X ⊂ R o wartościach
w zbiorze Y ⊂ R nazywamy przyporzadkowanie
˛
każdemu elementowi
x ∈ X dokładnie jednego elementu y ∈ Y . Funkcj˛e taka˛ oznaczamy
f : X → Y . Wartość funkcji f w punkcie x oznaczamy przez f (x).
Definicja 6 (dziedziny i przeciwdziedziny) Niech f : X → Y . Wtedy
zbiór X nazywamy dziedzina˛ funcji f i oznaczamy przez Df , a zbiór Y
nazywamy zbiorem wartości funkcji f i oznaczamy przez Wf . Jeżeli dany
jest tylko wzór określajacy
˛ funkcj˛e, to zbiór tych elementów z R, dla których
wzór ten ma sens, nazywamy dziedzina˛ naturalna˛ funkcji.
Definicja 7 (równości funkcji) Mówimy, że dwie funkcje sa˛ sobie równe,
jeśli:
(i) ich dziedziny sa˛ sobie równe;
13
(ii) dla wszystkich elementów (wspólnej) dziedziny przybieraja˛ równe
wartości.
2
Przykłady. (i) funkcje f (x) = 1 + x, g(x) = 1−x
1−x nie sa˛ sobie równeponieważ ich dziedziny naturalne Df i Dg nie sa˛ sobie równe.
√
2
(ii) funkcje f (x) = x i g(x) = x4 sa˛ sobie równe.
Definicja 8 (wykresu funkcji) Wykresem funkcji f : X → Y nazywamy
zbiór par uporzadkowanych
˛
(x, f (x)) utworzony dla wszystkich x ∈ X.
Przykład. Dla funkcji f : [−1, 1] → R określonej wzorem
√
f (x) = 1 − x2 wykresem jest "górna połówka okr˛egu" o środku w
poczatku
˛ układu współrz˛ednych i o promieniu 1 (por. Rys. 2).
14
1.0
0.8
0.6
sqrt(1 − x^2)
0.4
0.2
0.0
−1.0
−0.5
0.0
0.5
x
Rysunek 2: Wykres funkcji f (x) =
15
√
1 − x2
1.0
Definicje podstawowych funkcji elementarnych
W ksia˛żkach D. i M. Zakrzewskich [ZZ00] oraz D. i M. Zakrzewskich i T.
Żaka [ZZZ05] można znaleźć definicje podstawowych funkcji
elementarnych:
• funkcji liniowej ([ZZ00] §2.3; [ZZZ05] str. 36),
• wielomianu ([ZZ00] §4.1; [ZZZ05] str. 58),
• pot˛egi ([ZZ00] §6.1; [ZZZ05], str. 222),
• funkcji wykładniczej, ([ZZ00] §6.1; [ZZZ05], §10 ),
• funkcji trygonometrycznych ([ZZ00] §7.1; [ZZZ05] §4 ).
16
Do podstawowych funkcji elementarnych zaliczamy także funkcje
cyklometryczne (arc sin, arc cos, itd.).
Własności funkcji
Definicja 9 (funkcji parzystej) Funkcja f : X → Y jest parzysta, jeśli dla
każdego x ∈ X
−x ∈ X
oraz f (−x) = f (x).
Interpretacja geometryczna: funkcja jest parzysta, gdy oś Oy jest osia˛
symetrii jej wykresu.
Definicja 10 (funkcji nieparzystej) Funkcja f : X → Y jest nieparzysta,
jeśli dla każdego x ∈ X
17
−x ∈ X
oraz f (−x) = −f (x).
Interpretacja graficzna: funkcja jest nieparzysta, jeśli poczatek
˛ układu
wspołrz˛ednych jest środkiem symetrii jej wykresu.
Przykłady Funkcje f1 (x) = cos x, f2 (x) = cos x + x2 sa˛ parzyste; funkcje
f3 (x) = sin x, f4 (x) = 2x3 sa˛ nieparzyste.
18
Definicja 11 (funkcji okresowej) Funkcja f : X → R jest okresowa, jeśli
dla każdego T > 0 istnieje x ∈ X taki, że
x±T ∈X
oraz f (x + T ) = f (x).
Liczb˛e T nazywamy okresem funkcji f . Jeżeli istnieje najmniejszy okres
funkcji f , to nazywamy go okresem podstawowym.
Przykład. Funkcje trygonometryczne sinus i kosinus sa˛ funkcjami
okresowymi. Ich okres podstawowy jest równy 2π (por. Wykres 3).
19
1.0
0.5
0.0
−0.5
−1.0
sin
cos
−6
−4
−2
0
2
4
x
Rysunek 3: Wykresy funkcji sinus i kosinus
20
6
Definicja 12 Zbiór A ⊂ R b˛edziemy nazywać:
(a) ograniczonym z dołu, jeśli istnieje dla niego ograniczenie dolne, tj. jeśli
dla każdego m ∈ R istnieje x ∈ A taki, że m ¬ x. (b) ograniczonym z góry,
jeśli istnieje dla niego ograniczenie górne, tj. jeśli tj. jeśli dla każdego
m ∈ R istnieje x ∈ A taki, że M ­ x. (c) ograniczonym, jeśli jest
ograniczony z góry i z dołu
Definicja 13 (funkcji ograniczonej) Funkcja f jest na zbiorze A ⊂ Df :
(i) ograniczona z dołu, jeśli jej zbiór wartości jest ograniczony z dołu, tj.
istnieje m ∈ R takiz, że dla każdego x ∈ A m ¬ f (x). (ii) ograniczona z
góry, jeśli jej zbiór wartości jest ograniczony z góry;
(iii) ograniczona, jeśli jest zarówno ograniczona z dołu jak i z góry.
Przykłady. (i) Funkcja f (x) = x1 na zbiorze (0, ∞) jest ograniczona z
dołu, ale nie jest ograniczona z góry;
(ii) funkcja g(x) = x2 jest ograniczona na zbiorze [1, 2].
21
Definicja 14 (funkcji rosnacej)
˛
Funkcja f jest rosnaca
˛ na zbiorze
A ⊂ Df , jeśli dla każdych x1 , x2 ∈ A
[(x1 < x2 ) =⇒ (f (x1 ) < f (x2 ))]
Definicja 15 (funkcji malejacej)
˛
Funkcja f jest malejaca
˛ na zbiorze
A ⊂ Df , jeśli dla każdych x1 , x2 ∈ A
[(x1 < x2 ) =⇒ (f (x1 ) > f (x2 ))]
Przykłady (i) Funkcja f (x) = x2 jest rosnaca
˛ na [0, ∞);
1
(ii) funkcja g(x) = 1+2x
˛
2 jest malejaca.
Definicja 16 (funkcji niemalejacej)
˛
Funkcja f jest niemalejaca
˛ na zbiorze
A ⊂ Df , jeśli dla każdych x1 , x2 ∈ A
[(x1 < x2 ) =⇒ (f (x1 ) ¬ f (x2 ))]
22
Definicja 17 (funkcji nierosnacej)
˛
Funkcja f jest nierosnaca
˛ na zbiorze
A ⊂ Df , jeśli dla każdych x1 , x2 ∈ A
[(x1 < x2 ) =⇒ (f (x1 ) ­ f (x2 ))].
Przykłady (a) Funkcja stała f tożsamościowo równa 3, tj. f (x) ≡ 3 na R,
jest funkcja˛ zarówno niemalejac
˛ a˛ jak i nierosnac
˛ a;
˛
(b) funkcja g(x) = 2x jest niemalejaca
˛ na R.
23
Definicja 18 (funkcji monotonicznej) Funkcja f jest monotoniczna na
zbiorze A ⊂ Df , jeśli jest nierosnaca
˛ lub niemalejaca
˛ na tym zbiorze;
funkcj˛e f nazywamy ściśle monotoniczna,˛ jeśli jest malejaca
˛ lub rosnaca
˛ na
tym zbiorze.
24
Złożenie funkcji
Definicja 19 Niech X, Y, Y1 , Z b˛eda˛ podzbiorami R, Y1 ⊂ Y oraz niech
f : X → Y , g : Y1 → Z. Złożeniem funkcji g i f nazywamy funkcj˛e
(g ◦ f ) : X → Z określona˛ wzorem:
(g ◦ f )(x) = g(f (x)) dla x ∈ R.
25
Przykłady. (i) Dla f (x) = 2x + 1 i g(x) = 2x (dziedziny Df i Dg sa˛
równe R) złożenie g ◦ f b˛edzie równe funkcji h(x) = 4x + 2, Dh = R.
(ii) funkcja h(x) = sin(x2 ) może być wyrażona jako złożenie funkcji
f (x) = x2 i g(x) = sin(x) :
h(x) = (g ◦ f )(x),
Dh = R;
(iii) złożenie h(x) = g ◦ f (x) funkcji g(x) = log2 (x), gdzie dziedzina Dg
jest równa zbiorowi liczb dodatnich i f (x) = 2x , Df = R, jest równa
funkcji identycznościowej:
h(x) = (g ◦ f )(x) = x,
Dh = R.
Uwaga Funkcja g(x) = log2 (x) jest funkcja˛ odwrotna˛ do funkcji
f (x) = 2x . Krótkie omówienie tego faktu można znaleźć w ksia˛żce
Zakrzewskich (str. 116 i 117).
26
Funkcje elementarne
Definicja 20 Funkcjami elementarnymi nazywamy funkcje:
(a) stała, pot˛egowa, wykładnicza, logarytmiczna, trygonometryczne,...;
(b) wszystkie funkcje które można otrzymać z funkcji wymienionych w (a) za
pomoca˛ skończonej liczby działań arytmetycznych oraz operacji złożenia.
1+x
Przykłady. (i) Funkcja f (x) = xcos x + 1−x
jest funkcja˛ elementarna.˛
(ii) funkcja | · | zdefiniowana przez

x,
x ­ 0,
|x| =
−x x < 0,
jest funkcja˛ elementarna˛ – jest złożeniem h = g ◦ f funkcji f (x) = x2 oraz
√
g(x) = x.
27