Wyk lad 3. Przestrzenie lokalnie wypuk le . Definicja 3.1 Przestrzen

Wyklad 3. Przestrzenie lokalnie wypukle
.
Definicja 3.1 Przestrzeń liniowo toplogiczna̧ nazwiemy lokalnie wypukla̧ jeśli ma baze otoczeń zera skladaja̧ca̧ siȩ ze zbiorów wypuklych.
W przestrzeniach lokalnie wypulych do twierdzeń o odzielaniu zbiorów wypuklych można dodać nastȩpuja̧ce
Twierdzenie 3.1 Niech X przstrzeń lokalnie wypukla nad R, zbiory A, C ⊂ X rozla̧czne, wypule domkniȩte,
C zbiór zwarty. Wówczas zbiory te można rozdzielić ostro hiperplaszczyzna̧, tzn. istnieje cia̧gly funkcjonal
liniowy na X oraz liczba λ takie że f (a) ≤ λ < f (c) dla dowlnych a ∈ A, c ∈ C.
Dowód Zbiór A − C jest domkniȩty (patrz Zadanie 1.13) i 0 ∈
/ A − C a wiȩc istnieje otoczenie wypukle U
zera rozla̧czne z A − C . Na mocy Wniosku 2.3 istnieje cia̧gly funkcjonal liniowy na X i liczba λ takie że
f (a − c) ≤ λ ≤ f (u) dla dowolnych a ∈ A, c ∈ C, u ∈ U . Czyli f (a) ≤ f (c) + f (u) . Klada̧c λ = supa∈A f (a)
dostajemy dowód gdyż f (u) < 0 dla pewnego u ∈ U .
Wniosek 3.2 W przestrzeni lokalnie wypuklej funkcjonaly liniowe cia̧gle rozdzielaja̧ punkty przestrzeni (tzn.
dla dowlnych dwu istnieje funkcjonal liniowy cia̧gly na tej przestrzeni którego wartości na tych dwu punktach
sa̧ rózne).
Definicja 3.1 Jeśli X przestrzeń liniowa nad cialem K wówczas odwzorowanie ||.|| : X → R+ nazwiemy
seminorma̧ jeśli dla dow. x, y ∈ X, α ∈ K spelnione jest ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y|| oraz ||αx|| = |α|||x||.
Jeśli dodatkowo spelniony jest warunek ||x|| = 0 tylko dla x = 0 wówczas odwzorowanie to nazywamy norma̧.
Z Stwierdzenia 2.1 wynika, że jeśli U jest wypuklym, zaokra̧glone i pochlaniaja̧cym zbiorem w X wówczas
funkcjonal Minkowskiego pU jest seminorma̧ na X. Ponadto pU jest norma̧ wtedy i tylko wtedy gdy U nie
zawiera żadnej prostej (tzn zbioru postacu Ka, 0 6= a ∈ X). w szczególności jeśli U jest zaokra̧glonym,
wypuklym, otwartym otoczeniem 0 wtedy pU jest seminorma̧ oraz αU = {x ∈ X : pU (x) < |α|} dla α 6= 0.
Odwrotnie, jeśli na przestrzeni liniowej X nad K mamy rodziniȩ (||.||i )i∈I seminorm wówczas rodzina zbiorów
{x ∈ X : ||x||i < κ, i ∈ I, κ > 0} jest baza̧ otoczeń 0 dla liniowej topologii wtedy i tylko wtedy gdy
1. ||x||i = 0 dla wszysktich i ∈ I pocia̧ga x = 0 oraz
2. dla dow. i, j ∈ I istnieja̧ k ∈ I, κ > 0 takie że max{||x||i , ||x||j } ≤ κ||x||k dla x ∈ X.
O topologii tej powiemy wtedy że jest wyznaczona przez rodzinȩ seminorm (||.||i )i∈I . Zdefiniowana wyżej
baza otoczeń zera sklada siȩ ze zbiorów otwartych, wypuklych i zaookra̧glonych.
Definicja 3.2 Jeśli topolgia przestrzeni lokalnie wypuklej wyznaczona jest przez przeliczalna̧ rodzinȩ seminorm (||.||n )n∈N wtedy przestrzeń ta̧ nazywamy
typu B∗0 , Każda taka przestrzeń jest metryzowalna przez
P∞
metryka wyznaczona przez quasi norma ||x|| = n=1 min{||x||n , 1}. Jeśli przezstrzeń jest zupelna w metryce
zadaniej przez ta̧ qausi normȩ to nazywamy ja̧ typu B0 lub też przestrzenia̧ Frecheta.
Definicja 3.3 Jeśli topologia przestrzeni liniowej wyzanczona jest przez jedna̧ normȩ to przestrzeń ta̧
nazyawamy typu B∗ . Jeśli jest zupelna w topologii zadanej przez ta̧ normȩ to nazywamy ja̧ przestrzenia̧
Banacha lub też przestrzenia̧ typu B.
Przyklad 3.1 Niech S przestrzeń topologiczna. Przez CB(S) jest przestrzenia̧ wszystkich funkcji cia̧glych
i ograniczonych na S o wartościach w ciale K, z norma̧ ||f || = sups∈S |f (s)| jest to przestrzń Banacha.
Topologia zadana przez ta̧ normȩ to topologia zbieżności jednostajnej.
Gdy na S bierzemy topologiȩ dyskretna wẃoczas CB(S) jest przestrzenia̧ wszystkich funkcji ograniczonych
i oznaczamy ja̧ przez B(S) lub też przez l∞ (S), a w przypadku gdy S = N przez l∞ .
Przyklad 3.2 Niech S przestrzeń topologiczna. K rodzina wszystkich zwartych podzbiorów S. Na przestrzeni C(S) -wszystkich funkcji cia̧glych na S w K rodzina seminorm - (||.||C )C∈K zdefiniowana przez ||f ||C =
sups∈C |f (s)| gdzie zadaje topolgia̧ lokalnie wypykla̧. Przestrzeń ta jest typu B0 jeślin S jest metryczna oraz
istnieje cia̧g (Kn ) ⊂ K taki że dowolny K ∈ K jest zawarty w pewnym Kn .
Gdy S = N z topologia̧ dyskretna̧ wówczas C(N ) jest przestrznia̧ wszysktich cia̧gów a powyższa topologia
na C(S) jest topologia̧ zbieżności punktowej. Przestrzeń ta̧ tradycyjnie oznacza siȩ przez s.
1
Przyklad 3.3 Niech G ⊂ Rd zbiór otwarty. C ∞ (G) jest przestrzenia̧ wszystkich funkcji gladkich na G.
Niech Gn rosna̧cy cia̧g zbirów domkniȩtych które w sumie daja̧ G. Jeśli i = (i1 , i2 , ...id ) ∈ N d wówczs
przeliczalna rodzina seminorm ||f ||n,i = supx∈Gn |Di f (x)| czyni z C ∞ (G) przestrzeń B0 .
Przyklad 3.4 Gdy G otwrty podzbiór C -plaszczyzny zespolonej wówczas H(G) jest przstrzenia̧ funkcji
analitycznych na G. Cia̧g seminorm zdefiniowanych jak w poprzednim przykladzie czyni tȩ przestrzeń B0 .
Przyklad 3.5 Niech S dowolny zbiór, S σ-cialo podzbiorów S i µ : S → [0, +∞] - miara σ- addytwna na
R
1
S oraz 1 ≤ p ≤ +∞. Dla funkcji f : S → K które sa̧ S mierzalne definiujemy ||f ||p = ( S |f (s)|p dµ(s)) p
p
gdy p < ∞ oraz ||f ||∞ = sup esss∈S |f (s)| gdy p = ∞. Niech L (S, S, µ) = {f : ||f ||p < ∞} przyczym dwie
funkcje równe µ-p.w. utożamiamy. ||.||p jest norma̧ na tej przestrzeni, która czyni z niej przestrzeń Banacha.
Gdzy S = N , S jest rodzina̧ wszystkich podzbiorów S, a miara µ jest miara̧ licza̧ca̧ wówczas powyższa̧
przestrzeń oznaczamy krótko przez lp .
Zadania
Zadanie 3.1 Wykaż, ze dla dowolnego zbioru A w przestrzeni liniowej d-wymiarowej X jest conv(A) skklada
siȩ z kombinacji wypuklych co najwyżej d + 1 elementów z A.
Zadanie 3.2 Wykaż że w przestrzeni liniowej d wymiarowej każda rodzinia zbiorów zwartych, wypuklych
ma nie puste przeciȩcie jeśli kazde d + 1 zbiorów z tej rodziny ma niepuste przeciȩcie.
Zadanie 3.3 Wykaż, że każda̧ przestrzeń typu F ∗ można ”uzupelnić”, tzn. jest izomorficzna z gȩsta̧ podprzestrzenia̧ przestrzeni typu F .
Definicja Przestrzeń liniowo-toplogiczna nazywa siȩ zupelna jeśli każdy uogólniony cia̧g Cauchego jest
zbieżny.
Zadanie 3.4∗ Udowodnij analog Zadania 3.3. dla przestrzeni liniowo topologicznej
Zadanie 3.5∗ Niech Q zbiór liczb wymiernych z topologia̧ indukowana̧ z R. Czy na C(Q) istnieje cia̧g
seminorm który czyni ja̧ przestrzenic a B0 i wyznaczal topologiȩ opisana̧ w Przykladzie 3.2
Zadanie 3.6 Niech ψ : R+ → R+ funkcja rosna̧ca, wypukla i taka że ψ(0) = 0. Oraz niech S, S, µ jak
w Przykladzie 3.5. Dalej o wszystkich funkcjach zakladamy że sa̧ S mierzalne i dwie funkcje równe µ-p.w.
utożsamiamy.
R
1. Podaj warunki konieczne i dostateczne na ψ by {f : S → K : S ψ(|f (s)|)dµ(s) < ∞} bylo przestrzenia̧
liniowa̧.
R
2. Wykaż że jeśli ||f || = inf{λ > 0 : S ψ(λ−1 |f (s)|)dµ(s) ≤ 1} wówczas Lψ =: {f : ||f || < ∞} jest
przestrzenia̧ liniowa̧ oraz że ||.|| jest norma̧ na tej przestrzeni i razem stanowia̧ przestrzeń Banacha.
Zadanie 3.7∗ Jeśli w Zadaniu 3.6 opuścimy zalożenie o wypuklości funkcji ψ to jak zdefiniowaq̧uassi normȩ
i Lψ by otrzymać przestrzeń typu F
2