11. Przestrzenie Baire`a. 11.1. Definicja. Podzbiór A

11. Przestrzenie Baire’a.
11.1. Definicja. Podzbiór A przestrzeni topologicznej X nazywamy brzegowym,
jeśli wne,trze A jest zbiorem pustym.
11.2. Przyklad. Podzbiór (0, 1) zawarty w R nie jest zbiorem brzegowym. Natomiast (0, 1) × {0} jako podzbiór R2 jest zbiorem brzegowym.
11.3. Uwaga. Niech X be,dzie przestrzenia, topologiczna,, zaś A jej podprzestrzenia,.
Brzeg A jest nie musi być zbiorem brzegowym.
Naste,puja,ca definicja jest malo czytelna, niemniej jest bardzo użyteczna.
11.4. Definicja. Przestrzeń X nazywamy przestrzenia, Baire’a, jeśli każda przeliczalna
suma zbiorów brzegowych domknie,tych ma puste wne,trze.
11.5. Przyklad. Dowolna przestrzeń dyskretna jest przestrzenia, Baire’a w ewidentny
sposób: jedynym zbiorem brzegowym w tej przestrzeni jest zbiór pusty. Przestrzeń
liczb wymiernych z metryka, pochodza,ca, z liczb rzeczywistych nie jest przestrzenia,
Baire’a: pojedyncze liczby wymierne sa, domknie,tymi zbiorami brzegowymi, zaś ich
suma daje cala, przestrzeń.
11.6. Twierdzenie. Każda zupelna przestrzeń metryczna oraz każda zwarta
przestrzeń Hausdorffa jest przestrzenia, Baire’a.
Udowodnimy tu pierwsza, cze,ść, że każda zupelna przestrzeń metryczna jest
przestrzenia, Baire’a. Zanim przysta,pimy do dowodu, musimy udowodnić naste,puja,ce
twierdzenie, które poprzedzimy definicja,:
11.7. Definicja. Niech A be,dzie niepustym podzbiorem przestrzeni metrycznej
X. Średnica, zbioru A nazywamy liczbe,:
diam A = sup {d(x, y)}
x,y∈A
11.8. Twierdzenie Cantora. Zalóżmy, że {Fn }∞
n=1 jest przeliczalna, rodzina,
niepustych podzbiorów domknie,tych przestrzeni zupelnej X. Jeśli F1 ⊇ F2 ⊇ . . .
oraz limn→∞ diam Fn = 0, to przecie,cie ∩∞
n=1 Fn sklada sie, z dokladnie jednego
punktu.
Dowód. Dla każdego k ≥ 1 możemy wybrać nk takie, że diam Fnk ≤ (1/k).
Naste,pnie wybieramy xk ∈ Fnk . Nietrudno zauważyć, że xk jest cia,giem Cauchy’ego.
Ponieważ przestrzeń X jest zupelna, wie,c cia,g ten jest zbieżny. Nietrudno zauważyć,
że granica tego cia,gu należy do, i jest jedynym punktem, przecie,cia zbiorów Fi .
Dowód 11.6 dla zupelnych przestrzeni metrycznych.
Niech {An }∞
n=1 be,dzie przeliczalna, rodzina, zbiorów brzegowych i domknie,tych.
Chcemy pokazać, że zbiór A = ∪∞
n=1 An ma puste wne,trze. Niech U be,dzie dowolnym niepustym podzbiorem otwartym w X. Chcemy pokazać, że U nie zawiera sie,
w A.
Poniewaz A1 ma puste wne,trze, istnieje x1 ∈ U \ A1 . Ponieważ każda przestrzeń
metryczna jest normalna, isnieje zbiór otwarty V1 taki że x1 ∈ V1 oraz V 1 ⊆ U \ A1 .
Możemy wybrać V1 tak, by diam V1 ≤ 1.
Typeset by AMS-TEX
1
2
.
Powtarzamy powyższe rozumowanie dla V1 i A2 . Otrzymujemy x2 ∈ V1 \ A2 ,
oraz zbiór otwarty V2 taki, że x2 ∈ V2 oraz V 2 ⊆ V1 \ A2 . Znów, możemy wybrać
V2 tak, by diam V2 ≤ (1/2).
W ten sposób otrzymujemy rodzine, zbiorów domknie,tych
V1 ⊇ V 2 ⊇ ...
Z twierdzenia Cantora wynika, że istnieje punkt należa,cy do przecie,cia tej rodziny.
Jest ewidentne, że punkt ten nie należy do A. W zwia,zku z tym, wyjściowy zbiór
otwarty U nie zawieral sie, w A.
Prosta, konsekwencja, powyższego twierdzenia jest to, ze plaszczyzny nie można
pokryć ani przeliczalna, ilościa, prostych, ani przeliczalna, ilościa, okre,gów.
Poje,ciem dualnym do popdzbioru brzegowego jest podzbiór ge,sty.
11.9. Definicja. Podzbiór A przestrzeni topologicznej X nazywamy ge,stym, jeśli
A = X.
Ewidentnie, liczby wymierne Q sa, podzbiorem ge,stym R, zaś liczby naturalne N
nie sa,.
11.10. Lemat. Dla podprzestrzeni A przestrzeni topologicznej X zachodza, wzory:
(1) int (X \ A) = X \ A
(2) (X \ A) = X \ int A
Przestrznenie Baire’a można zdefiniować używaja,c podzbiorów otwartych ge,stych
zamiast brzegowych domknie,tych.
11.11. Stwierdzenie. Przestrzeń X jest przestrzenia, Baire’a, wtedy i tylko wtedy
gdy przecie,cie przeliczalnej sumy zbiorów otwartych i ge,stych jest zbiorem ge,stym.
Dowód. Zalóżmy, że X jest przestrzenia, Baire’a. Niech {Un }∞
n=1 be,dzie przeliczalna,
rodzina, zbiorów otwartych ge,stych. Niech Fn = X \ Un . Zbiory te sa, domknie,te,
3
i maja, puste wne,trze: int Fn = int (X \ Un ) = X \ U n = ∅. A wie,c, ponieważ X
jest przestrzenia Baire’a,
∪∞
n=1 Fn
ma puste wne,trze. A wie,c ∩∞
n=1 Un jest zbiorem ge,stym:
∞
∞
∩∞
n=1 Un = X \ (∪n=1 Fn ) = X \ int (∪n=1 Fn ) = X
Dowód w druga, strone, jest analogiczny.
Twierdzenie Baire’a ma szereg zastosowań w analizie, szczególnie analizie funkcjonalnej. Kilka spośrod najważniejszych twierdzeń tej dziedziny: Banacha–Steinhausa,
o odwzorowaniu otwartym i o wykresie domknie,tym korzystaja, z twierdzenia Baire’a
w dowodzie. Tutaj ograniczymy sie, do jednego prostego przykladu. Zanim jednak
przedstawimy to zastosowanie, przypomnijmy, że istnieje funkcja f : R → R cia,gla
dokladnie na zbiorze liczb niewymiernych.
11.12. Stwierdzenie. Nie istnieje funkcja f : R → R która bylaby cia,gla tylko
na zbiorze liczb wymiernych.
Dowód. Zalóżmy nie wprost, że taka funkcja f : R → R istnieje. Dla każdej liczby
naturalnej n i dla każdego x0 ∈ R określmy zbiór Dn (x0 ) punktów, gdzie f jest
“prawie cia,gla” w pewnym otoczeniu x0 : niech Dn (x0 ) = B(x0 , δ), o ile istnieje
taka δ > 0, że
1
|x − x0 | < δ =⇒ |f (x) − f (x0 )| <
n
oraz niech Dn (x0 ) = ∅ w przeciwnym przypadku. Oczywiście, tak określone zbiory
Dn (x0 ) sa, otwarte.
Naste,pnie określamy zbiory Un punktów, gdzie f jest ”prawie cia,gla”.
Un = ∪xo ∈R Dn (x0 ).
Ewidentnie, jeśli funkcja f jest cia,gla w punkcie x0 to x0 ∈ ∩n∈N Un : definicja
cia,glości Cauchy’ego ( − δ) pokazuje, że zbiór Dn (x0 ) nie jest pusty. Implikacja
odwrotna też jest prawdziwa: jeśli x0 ∈ ∩n∈N Un to f jest cia,gla w punkcie x0 .
(Zadanie)
Pokażemy teraz, że Q nie da sie, przedstawić jako przecie,cie przeliczalnej ilości
otwartych podzbiorów R. A wie,c zalóżmy nie wprost, że Q jest takim przecie,ciem
zbiorów {Un }. Ponieważ Q jest ge,ste w R, wie,c każdy ze zbiorów Un jest ge,sty w
R. A wie,c przeliczalna rodzina
{Un }n∈N ∪ {R \ {q}}q∈Q
jest przeliczalna, rodzina, zbiorów otwartych ge,stych w R. Z twierdzenia Baire’a (dla
R) wynika, że przecie,cie tej rodziny jest zbiorem ge,stym w R. Jest to sprzeczność:
Przecie,cie zbiorów Un daje Q, zaś przecie,cie rodziny R\q daje R\Q. Czyli przecie,cie
calej powyższej rodziny jest zbiorem pustym.
Poniżej podamy szkic dowodu istnienia funkcji f : I = [0, 1] → R, która nie
ma pochodnej w żadnym punkcie przedzialu I. Szczególy tej konstrukcji czytelnik
znajdzie w ksia,żce Siekluckiego i Engelkinga: “Wste,p do topologii”.
4
11.13. Przyklad. Niech X = C(I) oznacza zbiór funkcji cia,glych z metryka,
jednostajna,:
%(f, g) = sup |f (t) − g(t)|.
t∈I
Wiemy już, że X jest zupelna, przestrzenia, metryczna,, a wie,c przestrzenia, Baire’a.
Zauważmy, że dla każdej funkcji f ∈ X, t ∈ I, oraz każdego h ∈ (0, 1/2] określona
jest przynajmniej jedna z liczb:
|f (t + h) − f (t)|
|f (t − h) − f (t)|
h
h
Zauważmy, że powyższe liczby, o ile istnieja,, sa, w przybliżeniu wartościa, bezwzgle,dna,
pochodnej funkcji f w punkcie t.
Oznaczmy przez D(f, t, h) maksimum ze zbioru powyższych dwóch liczb jeśli
obie sa, określone, lub ta, która istnieje, w przeciwnym przypadku.
Ponadto, określamy D(f, t, h) = 0 dla h ∈ (1/2, 1].
Dla każdej liczby naturalnej n określamy zbiór:
Un = ∪a>n ∪h< n1 {f ∈ X : D(f, t, h) ≥ a dla każdego t ∈ I}
Sens zbiorów Un jest naste,puja,cy: niech m be,dzie ustalona, liczba, naturalna,, i
rozważmy funkcje, f (x) = mx. Ponieważ pochodna tej funkcji jest stala i równa m,
funkcja ta należy do Un dla n < m, zaś do pozostalych Un nie należy.
Ogólnie, mamy U1 ⊇ U2 ⊇ . . . .
Dowód sprowadza sie, do wykazania, że powyższe zbiory Un sa, ge,ste i otwarte.
Jeśli tak, z twierdzenia Baire’a wynika, że ich przecie,cie jest zbiorem ge,stym w X.
Ale każda funkcja należa,ca do przecie,cia wszystkich zbiorów Un nie ma pochodnej
w żadnym punkcie I.
5
ZADANIA - seria 11.
11.1. Niech X be,dzie przetrzenia, topologiczna,, zaś A jej podprzestrzenia,. Podaj
przyklad na to, że brzeg A nie musi być zbiorem brzegowym.
11.2. Niech Πn be,dzie cia,giem parami różnych plaszczyzn w przestrzeni R3 .
Udowodnij, że istnieje punkt, który nie jest równoodlegly od żadnych dwóch plaszczyzn.
11.3. Korzystamy z terminologii dowodu 11.12. Udowodnij, że jeśli x0 ∈ ∩n∈N Un
to f jest cia,gla w punkcie x0 .
11.4. Wykaż, że zbiory Un wyste,puja,ce w przykladzie 11.13 sa, ge,ste i otwarte.
11.5. Używaja,c terminologii przykladu 11.13 wyznacz b > 0 takie, że f (x) = bx2
należy do U1 i nie należy do U2 .
11.6. Niech X be,dzie niepusta, zupelna, przestrzenia, metryczna,, zaś F be,dzie
podzbiorem zbioru C(X, R) funkcji cia,glych o wartościach rzeczywistych, o tej
wlasności, że
Fx = {f (x) | f ∈ F }
jest ograniczony dla każdego x ∈ X. Udowodnij, że istnieje niepusty podzbiór
otwarty U przestrzeni X, taki, że rodzina F jest jednostajnie ograniczona na U ,
tzn. istnieje liczba rzeczywista M , taka, że dla każdego x ∈ U, f ∈ F mamy
|f (x)| ≤ M .