Wykład nr 8 (Układy i równania liniowe o stałych współczynnikach)

Układy i równania liniowe o stałych współczynnikach
8
8.1
8–1
Układy i równania liniowe o stałych
współczynnikach
Definicja układu równań różniczkowych liniowych
o stałych współczynnikach.
Definicja. Układem n równań różniczkowych zwyczajnych liniowych
jednorodnych o stałych współczynnikach nazywamy układ
x0 = Ax,
(ULSn)
gdzie A ∈ Rn×n .
8.2
Podstawowe własności macierzy etA
Niech A = [aij ]ni,j=1 będzie macierzą o wyrazach zespolonych. W niniejszym
rozdziale kAk oznaczać będzie normę
kAk := (
n
X
|aij |2 )1/2 .
i,j=1
Lemat 8.1. Dla dowolnych macierzy A, B ∈ Cn×n zachodzi
(8.1)
kABk ¬ kAkkBk.
(Normę na przestrzeni Cn×n spełniającą własność (8.1) nazywamy normą
macierzową.)
Dla A ∈ Cn×n i t ∈ R oznaczmy
etA :=
(tA)k
tA t2 A2 t3 A3
=I+
+
+
+ ....
1!
2!
3!
k=0 k!
∞
X
etA będziemy czasem oznaczali exp (tA). Niekiedy spotyka się też zapis eAt ,
exp (At).
Jak na razie, w powyższej definicji mamy tylko formalny zapis. Należy
udowodnić, że powyższy szereg jest zbieżny. Będzie to treścią pierwszej
części poniższego twierdzenia.
Twierdzenie 8.2. a) Dla każdego M > 0, szereg funkcji macierzowych
(tA)k
jest zbieżny jednostajnie na przedziale [−M, M].
k=0 k!
b) Funkcja R 3 t 7→ etA ∈ Cn×n jest różniczkowalna, oraz
P∞
d tA
e = AetA
dt
∀t ∈ R.
8–2
Skompilował Janusz Mierczyński
Szkic dowodu. a) Zbieżność jednostajna oznacza, że dla każdego ε > 0
istnieje k0 ∈ N takie, że
tA
e
k
X
(tA)j −
<ε
j! j=0
dla wszystkich k ­ k0 i wszystkich t ∈ [−M, M]. Jednak wciąż jeszcze nie
wiemy, czy etA istnieje. Lecz powyższe stwierdzenie możemy zastąpić
równoważnym (odnoszącym się do ciągów podstawowych): dla każdego
ε > 0 istnieje k1 ∈ N takie, że
X
l (tA)j j=k+1 j! <ε
dla wszystkich k, l ­ k1 i wszystkich t ∈ [−M, M]. Powyższa nierówność
wynika z następujących oszacowań
X
l (tA)j j=k+1 j! ¬
l
X
k(tA)j k
,
j!
j=k+1
tj kAj k
M j kAkj
k(tA)j k
=
¬
j!
j!
j!
i ze zbieżności szeregu liczbowego
b) Różniczkując formalnie szereg
I+
P∞
j=0 ξ
j
/j!.
tA t2 A2 t3 A3
+
+
+ ...
1!
2!
3!
wyraz po wyrazie otrzymujemy
A 2tA2 3t2 A3
tA t2 A2
+
+
+··· = A I +
+
+ ... .
1!
2!
3!
1!
2!
!
Z części a) wynika, że szereg I + tI
+ . . . jest zbieżny jednostajnie na
1!
tA
[−M, M] do e , zatem szereg A(I + tI
+ . . . ) jest zbieżny jednostajnie na
1!
tA
[−M, M] do Ae . Kopiując dowód twierdzenia o różniczkowalności ciągu
funkcji rzeczywistych wyraz po wyrazie otrzymujemy, że jeżeli szereg
pochodnych jest zbieżny jednostajnie (co właśnie udowodniliśmy) i szereg
wyjściowy jest zbieżny choć w jednym punkcie (w oczywisty sposób jest
zbieżny dla t = 0), to suma wyjściowego szeregu jest różniczkowalna i jej
pochodna jest równa sumie szeregu pochodnych.
Układy i równania liniowe o stałych współczynnikach
8–3
Z powyższego twierdzenia wynika, że dla A ∈ Rn×n funkcja macierzowa
t 7→ etA jest rozwiązaniem macierzowego równania różniczkowego
X 0 = AX.
Lemat 8.3.
AetA = etA A.
Dowód. Każda suma częściowa szeregu definiującego etA komutuje z A.
Twierdzenie 8.4. a) e0·A = I,
b) e(s+t)A = esA etA dla wszystkich s, t ∈ R,
c) e−tA = (etA )−1 dla wszystkich t ∈ R.
Dowód. Część a) jest oczywista. Aby udowodnić b), ustalmy s ∈ R i
oznaczmy C(t) := e(s+t)A . Korzystając ze wzoru na różniczkowanie funkcji
złożonej łatwo sprawdzić, że C 0 (t) = Ae(s+t)A . Zatem funkcja C(·) jest
rozwiązaniem zagadnienia początkowego dla macierzowego równania
różniczkowego liniowego jednorodnego

X 0
= AX
X(0) = esA .
Lecz funkcja macierzowa D(t) := esA etA też spełnia powyższe zagadnienie
początkowe (zauważmy, że D 0 (t) = esA AetA = AesA etA = AD(t)). Ponieważ
zagadnienie początkowego dla liniowego macierzowego równania
różniczkowego ma dokładnie jedno rozwiązanie nieprzedłużalne, wynika
stąd teza.
Aby wykazać c), korzystamy z równości
etA e−tA = e(t−t)A = e0·A = I.
Z powyższych twierdzeń wynika, że gdy A jest macierzą rzeczywistą, to
funkcja t 7→ etA jest macierzą fundamentalną, zaś Φ(t; s) = e(t−s)A macierzą
Cauchy’ego dla układu równań różniczkowych liniowych o stałych
współczynnikach (ULSn). Rozwiązaniem zagadnienia początkowego

x0
= Ax
x(t0 ) = x0
jest funkcja wektorowa t 7→ e(t−t0 )A x0 .
8–4
Skompilował Janusz Mierczyński
Wzór na uzmiennianie stałych przyjmuje postać: rozwiązaniem zagadnienia
początkowego

x0 = Ax + h(t)
x(0) = x0
jest funkcja wektorowa
e(t−t0 )A x0 +
Z
t
t0
e(t−s)A h(s) ds.
Dalsze własności exp (tA)
8.3
Lemat 8.5. Jeżeli macierze A i B komutują, to
et(A+B) = etA etB
Dowód. Ponieważ
otrzymujemy
Pk
j=0
Mamy
(tA)j
j!
∀t ∈ R.
komutuje z B, przechodząc z k do ∞
etA B = BetA .
d t(A+B)
e
= (A + B)et(A+B)
dt
oraz
d tA tB
(e e ) = AetA etB + etA BetB = AetA etB + BetA etB = (A + B)et(A+B) .
dt
Obie funkcje et(A+B) i etA etB są rozwiązaniami zagadnienia początkowego

X 0
= (A + B)X
X(0) = I,
zatem są identyczne.
Gdy macierze A i B nie komutują, może zachodzić
et(A+B) 6= etA etB .
Podobnie, dla układu
x0 = A(t)x,
gdzie A : (a, b) → Rn×n jest ciągłą funkcją macierzową, wzór na
macierz Cauchy’ego:
Φ(t; s) = exp
Zt
s
A(τ ) dτ , dla dowolnych s, t ∈ (a, b),
8–5
Układy i równania liniowe o stałych współczynnikach
nie musi zachodzić. Wzór ten jest prawdziwy na przykład,
gdy dla dowolnych t1 , t2 ∈ (a, b) macierze A(t1 ) i A(t2 )
komutują.
Lemat 8.6. Niech A ∈ Cn×n będzie dowolną macierzą i B ∈ Cn×n będzie
macierzą nieosobliwą. Wówczas
exp (t(BAB −1 )) = BetA B −1
∀t ∈ R.
Dowód. Sprawdzamy, że równość zachodzi dla sum częściowych, i
przechodzimy do granicy.
Fakt 8.7. Niech A będzie macierzą blokową,
"
#
B 0
A=
,
0 C
gdzie B ∈ Cm×m , C ∈ C(n−m)×(n−m) . Wówczas
tA
e
"
#
etB 0
=
.
0 etC
Wniosek.
exp(t diag(a1 , . . . , an )) = diag(ea1 t , . . . , ean t ).
Twierdzenie 8.8. Niech A ∈ Cn×n będzie klatką Jordana,


λ 1
0 ... 0


0 λ
1 . . . 0




A =  ... . . . . . . . . . ...  .


0 . . .
0
λ 1


0 ........ 0 λ
Wówczas

etA =











n−1
2
t
eλt eλt 1!t eλt t2! . . . eλt (n−1)!
0
..
.
0
0
eλt
..
.
...
n−2



t
eλt 1!t . . . eλt (n−2)!



..
..
..
.
.
.

.
0
...........
λt
e
0
eλt 1!t
λt
e




8–6
Skompilował Janusz Mierczyński
Dowód. Macierz A można zapisać jako λI + B, gdzie


0 1
0 ... 0


0 0
1 . . . 0




B =  ... . . . . . . . . . ...  .


0 . . .
0
0 1


0 0 ... 0 0
Macierze λI i B komutują, zatem etA = etλI etB = eλt etB (Lemat 8.5).
Wystarczy teraz zauważyć, że


0 0
1 0 ... 0



0 1 . . . 0
0 ... 0 1
0 0





 .. . .
. . . . . . .. 
0 0 . . . 0
.

.
.
.
.
2
n−1
.

B =
,...,B
=  .. . . . . .. 
,
0 . . .

.
. .
.

0
0
0
1




0 0
0 ... 0 0
0 . . . . . . . 0
0 ............ 0 0
B j = 0 dla j = n, n + 1, . . . , i zastosować definicję etB .
Powróćmy do układu równań różniczkowych liniowych jednorodnych o
stałych współczynnikach
(ULSn)
x0 = Ax,
gdzie A jest macierzą o wyrazach rzeczywistych. Jak wiadomo, przy pomocy
odpowiedniej zmiany bazy macierz A można doprowadzić do postaci
Jordana. Jako że wiemy już jak wygląda exp dla macierzy w postaci
Jordana, (teoretycznie) znamy rozwiązanie ogólne powyższego układu.
Jednak rozwiązanie to może wyrażać się w postaci zespolonej kombinacji
liniowej funkcji wektorowych o składowych zespolonych, podczas gdy
interesują nas rozwiązania o składowych rzeczywistych.
W istocie nie jest to zbyt wielkim utrudnieniem, gdyż, jak łatwo sprawdzić,
jeśli ϕ : R → Cn jest rozwiązaniem układu (ULSn), to sprzężenie ϕ̄ też jest
rozwiązaniem układu (ULSn). Wynika z tego natychmiast, że Re ϕ i Im ϕ
są też rozwiązaniami układu.
Lemat 8.9. Załóżmy, że n rozwiązań (ϕ1 , . . . , ϕj , ψ1 , ψ̄ 1 , . . . , ψ s , ψ̄ s )
układu (ULSn), gdzie ϕ1 , . . . , ϕj są rzeczywiste, jest liniowo niezależnych
nad ciałem liczb zespolonych. Wówczas n rozwiązań rzeczywistych
ϕ1 , . . . , ϕj , Re ψ 1 , Im ψ 1 , . . . , Re ψ s , Im ψ s jest liniowo niezależnych nad
ciałem liczb zespolonych, czyli tym bardziej nad ciałem liczb rzeczywistych.
Układy i równania liniowe o stałych współczynnikach
8–7
Dowód. Zauważmy, że złożenie odwzorowań liniowych z (zespolonej)
przestrzeni liniowej wszystkich zespolonych rozwiązań układu w siebie,
zadanych na bazach wzorami:
1
Re ψ = (ψ + ψ̄),
2
Im ψ =
1
(ψ − ψ̄),
2i
ψ = Re ψ + i Im ψ,
ψ̄ = Re ψ − i Im ψ,
oraz
jest identycznością. Zatem pierwsze z tych odwzorowań jest izomorfizmem
liniowym, stąd zachowuje liniowe niezależności.
Twierdzenie 8.10. Załóżmy, że macierz A ∈ Rn×n ma rzeczywiste
wartości własne λ1 , . . . , λj , którym odpowiadają klatki Jordana wymiaru
odpowiednio k1 , . . . , kj , oraz zespolone (nierzeczywiste) wartości własne
α1 + iβ1 , α1 − iβ1 , . . . , αs + iβs , αs − iβs , gdzie β1 > 0, . . . , βs > 0, którym
odpowiadają klatki Jordana wymiaru odpowiednio l1 , l1 , . . . , ls , ls , przy czym
k1 + · · · + kj + 2(l1 + · · · + ls ) = n. Wówczas elementy macierzy
fundamentalnej układu x0 = Ax są kombinacjami liniowymi funkcji
eλ1 t , teλ1 t , . . . , tk1 −1 eλ1 t ,
..................
eλj t , teλj t , . . . , tkj −1 eλj t ,
eα1 t cos(β1 t), teα1 t cos(β1 t), . . . , tl1 −1 eα1 t cos(β1 t),
eα1 t sin(β1 t), teα1 t sin(β1 t), . . . , tl1 −1 eα1 t sin(β1 t),
...........................
eαs t cos(βs t), teαs t cos(βs t), . . . , tls −1 eαs t cos(βs t),
eαs t sin(βs t), teαs t sin(βs t), . . . , tls −1 eαs t sin(βs t),
i każda z powyższych funkcji występuje w macierzy fundamentalnej.
8.4
Definicja równania różniczkowego liniowego o
stałych współczynnikach.
Definicja. Równaniem różniczkowym zwyczajnym n-tego rzędu liniowym
jednorodnym o stałych współczynnikach nazywamy równanie różniczkowe
(RLSJn)
x(n) + a1 x(n−1) + · · · + an−1 x0 + an x = 0,
gdzie a1 , . . . , an ∈ R.
8–8
8.5
Skompilował Janusz Mierczyński
Podstawowe własności równań liniowych
jednorodnych o stałych współczynnikach
Przez C ∞ = C ∞ (R, C) będziemy oznaczali przestrzeń liniową (nad ciałem
liczb zespolonych) funkcji zespolonych klasy C ∞ określonych na (−∞, ∞).
Oznaczmy przez L operator różniczkowy działający z C ∞ w C ∞ :
Lϕ := ϕ(n) + a1 ϕ(n−1) + · · · + an−1 ϕ0 + an ϕ.
Łatwo sprawdzić, że L jest odwzorowaniem liniowym.
Od tej chwili do odwołania będziemy dopuszczali też rozwiązania równania
(RLSJn) będące funkcjami zespolonymi. Kopiując dowody odpowiednich
faktów dla rozwiązań rzeczywistych można się przekonać, że zbiór
wszystkich zespolonych rozwiązań równania różniczkowego (RLSJn) tworzy
przestrzeń liniową nad ciałem liczb zespolonych wymiaru n.
Funkcja ϕ jest rozwiązaniem równania różniczkowego (RLSJn) wtedy i
tylko wtedy, gdy
Lϕ = 0,
czyli, innymi słowy, gdy
ϕ ∈ ker L.
Powyższy wynik nie jest tak oczywisty, jak by się wydawał na pierwszy rzut
oka: jeśli ϕ jest rozwiązaniem równania (RLSJn), to z definicji jest to
funkcja n-krotnie różniczkowalna i taka, że
ϕ(n) (t) = −a1 ϕ(n−1) (t) − · · · − an ϕ(t) dla każdego t ∈ R. Skoro prawa strona
jest w oczywisty sposób funkcją różniczkowalną, ϕ(n) jest też funkcją
różniczkowalną, i zachodzi ϕ(n+1) (t) = −a1 ϕ(n) (t) − · · · − a0 ϕ0 (t). Prawa
strona jest różniczkowalna, zatem ϕ jest (n + 2)-krotnie różniczkowalna.
Przez indukcję dowodzimy, że ϕ jest klasy C ∞ , zatem musi należeć do jądra
operatora L.
Niech D oznacza operator różniczkowania,
Dϕ := ϕ0 ,
ϕ ∈ C ∞.
Zachodzi
L = D n + a1 D n−1 + · · · + an−1 D + an Id.
(Tutaj i poniżej, dla odwzorowania liniowego L z przestrzeni liniowej w te
samą przestrzeń, Lk , k ∈ N, oznacza k-krotne złożenie odwzorowania L.
Podobnie, dla operatorów liniowych L i M, dla których złożenie L ◦ M jest
określone, będziemy pisali LM zamiast L ◦ M.)
Układy i równania liniowe o stałych współczynnikach
8–9
Definicja. Wielomianem charakterystycznym równania różniczkowego
(RLSJn) nazywamy wielomian (zmiennej zespolonej)
w(λ) := λn + a1 λn−1 + · · · + an−1 λ + an .
Równanie charakterystyczne równania (RLSJn) to
w(λ) = 0.
Można formalnie zapisać
L = w(D).
Niech
w(λ) = (λ − λ1 )k1 . . . (λ − λm )km
będzie rozkładem wielomianu charakterystycznego na czynniki liniowe.
Zakładamy, że pierwiastki λ1 , . . . , λm są parami różne. Zapiszmy
L = (D − λ1 Id)k1 . . . (D − λm Id)km
Lemat 8.11. ker (D − λ Id)k jest k-wymiarową przestrzenią liniową
rozpiętą przez funkcje eλt , teλt , t2 eλt , . . . , tk−1 eλt .
Dowód. Oznaczmy przez M : C ∞ → C ∞ operator mnożenia przez funkcję
e−λt , (Mϕ)(t) := e−λt ϕ(t). M jest izomorfizmem liniowym. Zachodzi
M(D − λ Id) = DM,
co pociąga
M(D − λ Id)k = D k M.
Teza lematu wynika z następującego ciągu (niemal) oczywistych
równoważności:
ϕ ∈ ker (D − λ Id)k ⇐⇒ ϕ ∈ ker (M(D − λ Id)k ) ⇐⇒ ϕ ∈ ker (D k M) ⇐⇒
⇐⇒ Mϕ ∈ ker D k ⇐⇒ Mϕ ∈ linC {1, t, t2 , . . . , tk−1} ⇐⇒
⇐⇒ ϕ ∈ linC {eλt , teλt , t2 eλt , . . . , tk−1 eλt }.
Liniowa niezależność jest natychmiastowa.
Dla j = 1, . . . , m oznaczmy
Ej := linC {eλj t , teλj t , t2 eλj t , . . . , tkj −1 eλj t }.
8–10
Skompilował Janusz Mierczyński
Twierdzenie 8.12. Zbiór zespolonych rozwiązań równania liniowego
jednorodnego n-tego rzędu o stałych współczynnikach (RLSJn) jest
przestrzenią liniową generowaną przez funkcje
eλ1 t , teλ1 t , . . . , tk1 −1 eλ1 t , . . . , eλm t , teλm t , . . . , tkm −1 eλm t .
Dowód. Ustalmy na moment j ∈ {1, . . . , m}. Ponieważ L można zapisać w
postaci L(j) (D − λj Id)kj , gdzie
L(j) = (D − λ1 Id)k1 . . . (D − λkj−1 Id)kj−1 (D − λkj+1 Id)kj+1 . . . (D − λm Id)km ,
zachodzi Ej ⊂ ker L. Daje to E1 + · · · + Em ⊂ ker L. Z Lematu 8.11 wynika,
że Ej ∩ El = {0} dla j 6= l, co daje
E1 ⊕ · · · ⊕ Em ⊂ ker L.
Ale
dimC (E1 ⊕ · · · ⊕ Em ) = dimC E1 + · · · + dimC Em = k1 + · · · + km = n,
oraz dimC (ker L) = n, zatem E1 ⊕ · · · ⊕ Em = ker L.
Twierdzenie 8.13. Załóżmy, że wielomian charakterystyczny równania
(RLSJn) ma pierwiastki rzeczywiste λ1 , . . . , λs , krotności odpowiednio
k1 , . . . , ks , oraz pierwiastki zespolone
α1 + iβ1 , α1 − iβ1 , . . . , αr + iβr , αr − iβr , krotności odpowiednio
ks+1, ks+1 , . . . , ks+r , ks+r , gdzie β1 > 0,. . . , βr > 0, oraz
k1 + · · · + ks + 2(ks+1 + · · · + ks+r ) = n. Wówczas zbiór (rzeczywistych)
rozwiązań równania (RLSJn) jest przestrzenią liniową generowaną przez
funkcje
eλ1 t , teλ1 t , . . . , tk1 −1 eλ1 t ,
..
.
eλs t , teλs t , . . . , tks −1 eλs t ,
eα1 t cos (β1 t), teα1 t cos (β1 t), . . . , tks+1 −1 eα1 t cos (β1 t),
eα1 t sin (β1 t), teα1 t sin (β1 t), . . . , tks+1 −1 eα1 t sin (β1 t),
..
.
eαr t cos (βr t), teαr t cos (βr t), . . . , tks+r −1 eαr t cos (βr t),
eαr t sin (βr t), teαr t sin (βr t), . . . , tks+r −1 eαr t sin (βr t).
Dowód. Zauważmy, że gdy ϕ(t) = tl eλj t jest rozwiązaniem równania
(RLSJn), to sprzężenie ϕ̄(t) = tl eλ̄j t też jest rozwiązaniem. Wynika stąd, że
Układy i równania liniowe o stałych współczynnikach
8–11
Re ϕ = 12 (ϕ + ϕ̄) oraz Im ϕ = 2i1 (ϕ − ϕ̄) są rozwiązaniami. Dalej, oczywiście
ϕ = Re ϕ + i Im ϕ, ϕ̄ = Re ϕ − i Im ϕ. Zatem każda z funkcji z tezy
bieżącego twierdzenia da się przedstawić jako kombinacja liniowa (o
współczynnikach z C) funkcji z tezy Tw. 8.12, i na odwrót, każda z funkcji
z tezy Tw. 8.12 da się przedstawić jako kombinacja liniowa (o
współczynnikach z C) funkcji z tezy bieżącego twierdzenia. Funkcje te są
zatem liniowo niezależne nad ciałem liczb zespolonych, tym bardziej nad
ciałem liczb rzeczywistych. Ponieważ jest ich n, stanowią one bazę
przestrzeni (rzeczywistych) rozwiązań równania.
8.6
Zastosowanie do obliczania exp(tA)
Twierdzenie 8.14. Niech λn + d1 λn−1 + · · · + dn−1 λ + dn będzie
wielomianem charakterystycznym macierzy A ∈ Rn×n . Oznaczmy przez ϕj ,
j = 0, 1, . . . , n − 1, rozwiązanie równania różniczkowego
x(n) + d1 x(n−1) + · · · + dn−1 x0 + dn x = 0
spełniające warunki początkowe
(j)
(l)
ϕj (0) = 1, ϕj (0) = 0 dla l 6= j.
Wówczas
etA = ϕn−1 (t)An−1 + ϕn−2 (t)An−2 + · · · + ϕ1 (t)A + ϕ0 (t)I.
(Zawarte w pracy: I. E. Leonard, The matrix exponential , SIAM Rev. 38(3)
(1996), 507–512.)
Dowód. Rozważmy macierzowe równanie różniczkowe liniowe jednorodne
n-tego rzędu
(8.2)
X (n) + d1 X (n−1) + · · · + dn−1 X 0 + dn X = 0
z warunkami początkowymi
(8.3)



X(0) = I





X 0 (0) = A



X 00 (0) = A2


..



.




X (n−1) (0)
= An−1
8–12
Skompilował Janusz Mierczyński
Powyższe zagadnienie początkowe ma jednoznaczne rozwiązanie określone
na (−∞, ∞).
Funkcja macierzowa
t 7→ etA
spełnia równanie (8.2) na podstawie twierdzenia Cayleya–Hamiltona.
Oznaczmy
Φ(t) := ϕn−1 (t)An−1 + ϕn−2 (t)An−2 + · · · + ϕ1 (t)A + ϕ0 (t)I.
Liczymy:
Φ(n) (t) + d1 Φ(n−1) (t) + · · · + dn−1 Φ0 (t) + dn Φ(t) =
(n)
(n−1)
(t) + · · · + dn−1 ϕ01 (t) + dn ϕ1 (t) I +
(n)
(n−1)
(t) + · · · + dn−1 ϕ02 (t) + dn ϕ2 (t) A +
..
.
= ϕ1 (t) + d1 ϕ1
+ ϕ2 (t) + d1 ϕ2
(n−1)
+ ϕ(n)
(t) + · · · + dn−1 ϕ0n (t) + dn ϕn (t) An−1 ,
n (t) + d1 ϕn
co jest równe 0. Obie funkcje macierzowe spełniają ponadto warunki
początkowe, zatem, na podstawie twierdzenia o jednoznaczności
rozwiązania zagadnienia początkowego, muszą być równe
Alternatywną metodę obliczania exp (tA) daje następujące:
Twierdzenie 8.15 (Algorytm Putzera1 ). Niech λ1 , λ2 , . . . , λn będą
(niekoniecznie różnymi ) wartościami własnymi macierzy A ∈ Rn×n .
Oznaczmy M0 := I oraz
Mk :=
k
Y
(A − λj I),
j=1
dla 1 ¬ k ¬ n. Dalej, niech ψ = col(ψ1 , . . . , ψn ) spełnia

λ1 0
0

 1 λ2
0

0
1 λ3
ψ0 = 
.
.. ..
 ..
.
.

0
Wówczas
...
0
...
...
...
..
.
1

0

0

0
 ψ,
.. 
.

λn
 
1
ψ(0) =
 
0
 
0
 .
.
 .. 
 
0
etA = ψ1 (t)M0 + ψ2 (t)M1 + · · · + ψn (t)Mn−1 .
1
Eugene James Putzer, matematyk amerykański, aktywny w latach 50-tych i 60-tych
XX wieku
Układy i równania liniowe o stałych współczynnikach
8–13
Dowód. Oznaczmy
Φ(t) := ψ1 (t)M0 + ψ2 (t)M1 + · · · + ψn (t)Mn−1 .
Z uwag poniżej Twierdzenia 8.2 oraz z jednoznaczności rozwiązania
zagadnienia początkowego wynika, że wystarczy wykazać, iż Φ(·) spełnia
zagadnienie początkowe
X 0 = AX,
X(0) = I.
Warunek początkowy jest spełniony. Aby wykazać, ze spełnione jest
macierzowe równanie różniczkowe, zauważmy, że
ψ10 (t) = λ1 ψ1 (t),
ψj0 (t) = ψj−1 (t) + λj ψ1 (t)
dla 2 ¬ j ¬ n. Liczymy dalej
Φ0 (t) − AΦ(t) =
=
n−1
X
0
ψk+1
(t)Mk − A
k=0
=λ1 p1 (t)M0 +
n−1
X
ψk+1 (t)Mk =
k=0
=λ1 p1 (t)M0 +
=
n−1
X
n−1
X
k=1
n−1
X
(λk+1 ψk+1 (t) + ψk (t)) Mk −
(λk+1 ψk+1 (t) + ψk (t)) Mk −
k=1
n−1
X
ψk (t)Mk −
k=1
n−1
X
k=0
n−1
X
ψk+1 (t)AMk =
ψk+1 (t) (Mk+1 + λk+1 Mk ) =
k=0
ψk+1 (t)Mk+1 =
k=0
= − pn (t)Mn ,
zaś Mn = 0 na podstawie twierdzenia Cayleya–Hamiltona.
8.7
Metoda współczynników nieoznaczonych
W niniejszym podrozdziale będziemy rozpatrywać równania różniczkowe
liniowe niejednorodne o stałych współczynnikach, których niejednorodności
są specjalnej postaci.
Twierdzenie 8.16. Dla równania liniowego niejednorodnego o stałych
współczynnikach
(8.4)
x(n) + a1 x(n−1) + · · · + an−1 x0 + an x = P (t)eµt ,
8–14
Skompilował Janusz Mierczyński
gdzie P (·) jest wielomianem stopnia l o współczynnikach zespolonych,
µ ∈ C, istnieje rozwiązanie postaci ts Q(t)eµt , gdzie s jest krotnością µ jako
pierwiastka wielomianu charakterystycznego, zaś Q jest wielomianem o
współczynnikach zespolonych stopnia co najwyżej l.
Dowód. Oznaczmy przez E zespoloną przestrzeń liniową złożoną z funkcji
R(t)eµt , gdzie R jest wielomianem stopnia co najwyżej l.
• s = 0, czyli µ nie jest pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego.
Wtedy ker (L|E ) = ker L ∩ E = {0} (na podstawie Tw. 8.12), zatem
L|E : E → E jest izomorfizmem. Wynika stąd, że istnieje ϕ ∈ E takie,
że (Lϕ)(t) = P (t)eµt , t ∈ R.
• s > 0. Zapiszmy L = L1 (D − µ Id)s . Podobnie jak w poprzednim
przypadku dowodzimy, że L1 |E : E → E jest izomorfizmem. Zatem
zagadnienie nasze sprowadza się do znalezienia ψ postaci
ψ(t) = ts Q(t)eµt , takiego, że (D − µ Id)s ψ = (L1 )−1 (P (t)eµt ).
Oczywiście funkcja po prawej stronie jest elementem E (oznaczmy tę
funkcję przez χ). Oznaczmy przez M : C ∞ → C ∞ operator mnożenia
przez funkcję eµt , (Mϕ)(t) := eµt ϕ(t). M jest izomorfizmem
liniowym. Analogicznie jak w dowodzie Lematu 8.11 wykazujemy, że
(D − µ Id)s M = MD s . Zagadnienie nasze sprowadza się do
znalezienia wielomianu ψ1 postaci ψ1 (t) = ts Q(t), gdzie Q jest
wielomianem stopnia co najwyżej l, spełniającego
(D − µ Id)s Mψ1 = χ,
czyli
D s ψ1 = M−1 χ.
Lecz M−1 χ jest wielomianem stopnia co najwyżej l.
Twierdzenie powyższe ma odpowiednik dla rozwiązań rzeczywistych.
Twierdzenie 8.17. (a) Dla równania liniowego niejednorodnego o
stałych współczynnikach
x(n) + a1 x(n−1) + · · · + an−1 x0 + an x = P (t)eµt ,
gdzie P (·) jest wielomianem stopnia l o współczynnikach
rzeczywistych oraz µ ∈ R, istnieje rozwiązanie postaci ts Q(t)eµt , gdzie
s jest krotnością µ jako pierwiastka wielomianu charakterystycznego,
zaś Q jest wielomianem stopnia co najwyżej l.
Układy i równania liniowe o stałych współczynnikach
8–15
(b) Dla równania liniowego niejednorodnego o stałych współczynnikach
x(n) +a1 x(n−1) +· · ·+an−1 x0 +an x = eαt (P1 (t) cos (βt) + P2 (t) sin (βt)) ,
gdzie P1 (·), P2 (·) są wielomianami stopnia odpowiednio l1 , l2 o
współczynnikach rzeczywistych oraz α, β ∈ R, istnieje rozwiązanie
postaci ts eαt (Q1 (t) cos (βt) + Q2 (t) sin (βt)), gdzie s jest krotnością
α + iβ jako pierwiastka wielomianu charakterystycznego, zaś Q1 i Q2
są wielomianami stopnia co najwyżej max (l1 , l2 ).
Twierdzenie to jest teoretyczną podstawą metody współczynników
nieoznaczonych (zwanej też metodą przewidywań). Dowód jego przebiega
analogicznie do dowodu Tw. 8.4, choć jest bardziej skomplikowany. Na
przykład, w części (b) rolę przestrzeni E pełni
linR {eαt cos (βt), eαt sin (βt), teαt cos (βt), teαt sin (βt), . . . , tl eαt cos (βt), tl eαt sin (βt)},
gdzie l = max{l1 , l2 }.