rozprawa doktorska - Research Base

POLITECHNIKA WARSZAWSKA
Wydzia! Elektroniki i Technik
Informacyjnych
ROZPRAWA DOKTORSKA
mgr in!. Pawe" #ozi$ski
Wnioskowanie w logikach argumentacyjnych zale"ne od kontekstu
Promotor
prof. dr hab. Mieczys"aw Muraszkiewicz
Warszawa, 2011
Streszczenie
W niniejszej rozprawie konstruowana jest logika oparta na formalnym modelu argumentacji,
będącym produktem badań w dziedzinie teorii argumentacji. Wnioskowanie w tak skonstruowanej logice jest niemonotoniczne i zależne od kontekstu. Kontekstowość wnioskowania
opiera się na pojęciu standardu dowodu, które jest zaczerpnięte z teorii argumentacji. Przeanalizowane zostają podstawowe właściwości tej logiki. Zaprojektowany i zaimplementowany
zostaje algorytm wnioskowania. Przedstawione zostaje zastosowanie tego algorytmu. Całość
jest poprzedzona analizą stanu wiedzy w dziedzinach logiki i teorii argumentacji, których
niniejsze badania dotyczą.
Słowa kluczowe: teoria argumentacji, logika, wnioskowanie niemonotoniczne, wnioskowanie zależne od kontekstu.
***
Context dependant reasoning in argumentative logics
Abstract
In this thesis a logic based on a formal model of argumentation is constructed. The model
is a product of research in the field of argumentation theory. Reasoning in this logic is nonmonotonic and dependent on context. This dependency is based on the concept of proof
standard, which is derived from the argumentation theory. Analyzed are the basic properties
of this logic. Designed and implemented is an inference algorithm. The application of this is
presented algorithm. The whole is preceded by an analysis of state of knowledge in the areas
of logic and argumentation theory, which this research concerns.
Key words: argumentation theory, logic, nonmonotonic reasoning, context-based reasoning.
4
Spis treści
Wstęp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
Teza pracy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
1. Wnioskowanie zależne od kontekstu — stan badań . . . . . . . . . . . . .
13
2. Teoria argumentacji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
2.1. Logika nieformalna — tło historyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
2.2. Argumentacja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
2.2.1. Argument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
2.2.2. Argumentacja w dialogu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
2.2.2.1. Fazy dialogu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
2.2.2.2. Domniemanie i obowiązek uzasadnienia
. . . . . . . . . . .
21
2.2.2.3. Zobowiązania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
2.3. Formalne modele argumentacji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
2.3.1. P. M. Dunga Argumentation Framework . . . . . . . . . . . . . . . .
23
2.3.2. G. Vreeswijka Abstract Argumentation System . . . . . . . . . . . . .
27
2.3.2.1. Podstawowe pojęcia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
2.3.2.2. Zgodność . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
2.3.2.3. Teoria zasadności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
2.3.3. T. Gordona Carneades Argumentation Framework . . . . . . . . . . .
35
2.3.3.1. Struktura argumentów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
2.3.3.2. Ewaluacja argumentów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
2.3.3.3. Przykłady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
2.3.3.4. Analiza modelu CAF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
2.4. Teoria argumentacji — podsumowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
5
3. Logika oparta na argumentacji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
3.1. Opis logik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
3.2. Programowanie w logice a argumentacja — stan badań . . . . . . . . . . . .
49
3.2.1. DeLP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
3.2.2. Argument-based extended logic programming with defeasible priorities 51
3.2.3. Argumentation Semantics for Extended Logic Programming . . . . .
52
3.2.4. Podejście Dunga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
3.2.5. Argue tuProlog . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
3.2.6. Programowanie w logice a argumentacja — podsumowanie i możliwy
rozwój . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
3.3. Regułowa wersja Carneades Argumentation Framework . . . . . . . . . . . .
54
3.4. Definicja logiki RCAF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
3.4.1. Język . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
3.4.2. Semantyka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
3.4.3. Mechanizm inferencyjny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
3.5. Podstawowe właściwości logiki RCAF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
3.5.1. Zasadność istnienia trzech rodzajów przesłanek . . . . . . . . . . . .
63
3.5.1.1. Domniemanie a wyjątek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
3.5.1.2. Wyjątek a przesłanka zwykła . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
3.5.1.3. Przesłanka zwykła a domniemanie . . . . . . . . . . . . . .
65
3.5.2. Prawo wyłączonego środka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
3.5.3. Niemonotoniczność wnioskowania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
3.5.4. Wnioskowanie zależne od kontekstu . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
3.5.5. Otwartość na zastosowanie w środowisku wieloagentowym . . . . . .
72
3.5.6. Akceptowalność a wartość logiczna . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
3.6. Logika oparta na argumentacji — podsumowanie . . . . . . . . . . . . . . .
73
4. Wnioskowanie w RCAF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
4.1. Reprezentacja problemu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
4.1.1. Przeszukiwana przestrzeń . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
4.1.2. Zadanie wyszukiwania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
4.2. Metody rozwiązania problemu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82
4.2.1. Kompresja wywodów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82
6
4.2.2. Przykładowy algorytm wyszukiwania . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83
4.2.3. Implementacja
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87
4.3. Ocena wyników . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
88
5. Zastosowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91
Podsumowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95
Spis rysunków . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
97
Spis tabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
99
Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
A. Opis techniczny implementacji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
A.1. Uniwersalna biblioteka algorytmów wyszukiwania . . . . . . . . . . . . . . . 107
A.2. Implementacja regułowej bazy wiedzy opartej na Carneadesie . . . . . . . . 109
A.3. Implementacja podstawowych konstrukcji logicznych
. . . . . . . . . . . . . 111
A.4. Implementacja algorytmu wnioskowania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
7
Wstęp
Sztuczna inteligencja narodziła się w połowie XX wieku jako dziedzina badań stawiająca
sobie wyjątkowo ambitny cel zamodelowania, a następnie zaimplementowania w komputerze
ludzkiej inteligencji lub przynajmniej niektórych jej aspektów. Dzisiaj cel ten wydaje się
nieosiągalny lub przynajmniej dużo ambitniejszy i odleglejszy, niż to zakładali jej twórcy,
jednak wyniki badań w dziedzinie sztucznej inteligencji znajdują bardzo owocne zastosowanie
w wielu dziedzinach nauki i techniki. Niniejsza praca ma na celu rozwinięcie możliwości
narzędzi oferowanych przez sztuczną inteligencję dzięki wykorzystaniu teorii argumentacji.
Od początku istnienia sztucznej inteligencji jako dziedziny, nauki istotnym obszarem badań jest wnioskowanie, czyli konstruowanie i badanie systemów automatycznego odkrywania
nowej wiedzy za pomocą wiedzy już posiadanej, reprezentowanej w postaci zbiorów faktów
i reguł wnioskowania. Mechanizm ten w zamierzeniach ma być wzorowany na procesach
ludzkiego rozumowania.
Rozwój tego obszaru badań stał się możliwy dzięki temu, że człowiek co najmniej od czasu
starożytnej Grecji interesował się poznaniem swoich własnych sposobów rozumowania i praw,
które nim rządzą. Wysiłki w tym kierunku z czasem przerodziły się w naukę zwaną logiką.
Dzięki temu twórcy i badacze sztucznej inteligencji zastali w drugiej połowie XX wieku
logikę matematyczną, czyli mocno rozwinięty i dobrze zbadany formalny system będący
jednym z najbardziej godnych podziwu rezultatów rozwoju logiki. Naturalnym krokiem,
który zapoczątkował badania nad tzw. systemami informacyjnymi opartymi na logice (logicbased information systems) było zaczerpnięcie wyników badań nad logiką matematyczną i
wykorzystanie ich do implementowania automatycznego wnioskowania.
Powstałe w ten sposób systemy automatycznego wnioskowania znajdują swoje zastosowanie w praktyce, a jednym z motorów ich rozwoju stała się konieczność zwiększania ich
siły ekspresji, tj. zwiększania możliwości zapisywania i przetwarzania w nich ludzkiej wiedzy,
która jest tworem na tyle złożonym, że nie daje się zamknąć w formalnych modelach.
9
Ponieważ teoria argumentacji zajmuje się również ludzkim rozumowaniem, niniejsza praca stanowi próbę powtórzenia (na stosownie mniejszą skalę) opisanego powyżej schematu
rozwoju. Skoro zastosowanie formalnych modeli — które są produktem badań w dziedzinie
logiki — okazało się tak owocne w tworzeniu systemów wnioskujących, należy spróbować
w tym samym celu wykorzystać formalne modele powstałe w ramach teorii argumentacji i
sprawdzić, czy jest to opłacalne, w szczególności, czy zwiększa siłę wyrazu tych systemów.
Rozdział pierwszy stanowi przegląd podejść do modelowania wnioskowania zależnego
od kontekstu. Jest to jeden z głównych problemów utrudniających stosowanie systemów
wnioskowania w praktyce (por. [38], [51], [50]).
Rozdział drugi zawiera zwięzły opis badań w dziedzinie argumentacji i dialogu, tj. opis
problemu usystematyzowania różnych nurtów zajmujących się tymi badaniami (pojęcia teorii
argumentacji, logiki nieformalnej, pragma-dialektyki i krytycznego myślenia), szkic tła historycznego, wyjaśnienie pojęć i opis podstawowych zagadnień. Wiedza zgromadzona na tym
etapie jest wystarczająca do sformułowania (w podsumowaniu rozdziału) tezy rozprawy.
W trzecim rozdziale następuje przejście od referowania aktualnego stanu wiedzy do wkładu własnego autora. Rozdział ten zawiera przegląd istniejących zastosowań teorii argumentacji do programowania w logice oraz propozycję nowego zastosowania polegającego na skonstruowaniu logiki opartej na wybranym modelu argumentacji. Z tego względu proponowaną
logikę można nazwać logiką argumentacyjną. Rozdział kończy analiza właściwości zdefiniowanej logiki. Analiza ta pokazuje w szczególności, w jaki sposób zastosowanie wybranego
modelu prowadzi do nowej metody automatycznego wnioskowania kontekstowego.
Czwarty rozdział zawiera propozycję podejścia do konstruowania algorytmów wnioskowania w logice zdefiniowanej w rozdziale trzecim, projekt przykładowego algorytmu wnioskowania oraz analizę właściwości tego algorytmu. Rozdział piąty opisuje zastosowanie zaprojektowanego algorytmu. Całość rozprawy kończy podsumowanie zawierające krytyczną
ocenę rezultatów pracy.
Teza pracy
Teza
Przy pomocy modelu argumentacji Carneades można skonstruować logikę wprowadzającą wnioskowanie zależne od kontekstu, które ułatwia modelowanie natu10
ralnych mechanizmów wnioskowania.
Metoda przyjęta do udowodnienia tezy polega na zbudowaniu logiki opartej na modelu
argumentacji Carneades, opisanego w podrozdziale 2.3.3. Jak zostanie wykazane, taka logika modeluje zarówno zjawisko zawodności wnioskowania (przez wprowadzenie domniemań
oraz względnej siły argumentów), jak również nietrywialną koncepcję kontekstu, w którym
wnioskowanie się odbywa. Obecna w tym modelu argumentacji koncepcja kontekstu przeniesiona na grunt logiki znacząco odbiega od istniejących metod modelowania kontekstu
opisanych w rozdziale 1. Jednym z elementów weryfikujących głównie teorytyczną pracę jest
element empiryczny – zaprojektowany i zaimplementowany zostanł algorytm wnioskowania
w zdefiniowanej logice.
Teza zostanie powtórzona pod koniec rozdziału 2, po wyjaśnieniu pojęć i zreferowaniu
stanu badań, do których teza się odwołuje.
11
Rozdział 1
Wnioskowanie zależne od kontekstu
— stan badań
W często cytowanej pozycji poświęconej logicznym, filozoficznym i obliczeniowym fundamentom metod reprezentacji wiedzy ([51]) za pierwsze formalne podejście do reprezentowania
kontekstu uznawana jest praca C. S. Peirce’a: Reasoning and the Logic of Things z 1898 roku. Podstawową funkcją kontekstu u Pierce’a jest właśnie odseparowanie dwóch poziomów
wypowiadanych zdań. W ujęciu później rozwiniętej logiki matematycznej są to po prostu
zdania pierwszego i drugiego rzędu.
W artykule [39] John McCarthy stawia tezę, że modelowanie kontekstu jest jednym z najistotniejszych problemów stojących na drodze do praktycznego stosowania systemów wnioskujących. Jego sugestie co do metod formalizowania kontekstu znalazły się w artykule [38].
Główną koncepcją jest zdefiniowanie relacji ist(c, p), która ma mieć znaczenie: „p jest prawdą
w kontekście c”. Pomysł ten był rozwijany przez Ramanathana Guha’ego jako praca doktorska pod kierownictwiem McCarthy’ego ([27]). Kontynuacją tych prac jest kontekstowa logika
zdań Propositional Logic of Context (PLC) definiowana w artykule [12] i rozwinięta do logiki
predykatów w [11].
W artykule [40] można znaleźć dalsze rozwinięcie tego sposobu modelowania kontekstu.
Polega ono na skonstruowaniu logiki, która pozwala kontekstowi zdania p przybierać nie
tylko formę obiektu logiki pierwszego rzędu, jak to jest w przypadku relacji ist(c, p), ale
również formę zdań („p jest prawdą w kontekście opisanym przez q”).
Równolegle do prac McCarthy’ego i Guha’ego, w artykule [19] prezentowane jest podejście
do formalizowania kontekstu podyktowane tzw. problemem lokalności. Lokalność oznacza,
13
że w procesie wnioskowania wykorzystywany jest zawsze tylko podzbiór wiedzy posiadanej
przez wnioskującego agenta. Podzbiory wiedzy agenta nie sumują się w prosty sposób, ponieważ mogą stanowić wiedzę opisującą dany problem np. z różnych perspektyw, dlatego
można mówić o tzw. problemie kompatybilności kontekstów. Systemy Local Models Semantics/MultiContext Systems (LMS/MCS) mające na celu modelowanie takiego spojrzenia na
kontekst definiowane są w pracach [20] i [18].
Według [50] systemy PLC i LMS/MCS stanowią dwa główne, najbardziej dojrzałe nurty
formalizowania kontekstu. W artykule przedstawiona i udowodniona zostaje relacja pomiędzy
PLC i LMS/MCS.
W [21] znajdujemy odmienne podejście do modelowania kontekstu. Tutaj wprowadzenie
pojęcia kontekstu ma na celu dekompozycję wiedzy agenta. Np. dla agenta, który ma być
modelem pilota samolotu jadącego do pracy autor wyróżnia kontekst „ jazda samochodem”
i kontekst „lot samolotem”. Dekompozycja, nazwana Context-Based Reasoning (w skrócie
CxBR) pozwala również na wprowadzenie hierarchiczności kontekstu: przykładowo „ jazda
samochodem” rozbija się na „ jazdę po mieście” i „ jazdę po autostradzie”. CxBR dopuszcza
stosowanie różnych metod wnioskowania w ramach pojedynczego kontekstu, jak systemy
regułowe, sieci neuronowe, wnioskowanie precedensowe itd. W tym podejściu kontekst nie
stanowi w ogóle elementu automatycznego systemu wnioskującego, jest raczej elementem
architektury agenta.
Szczegółowa analiza podejść do formalizowania kontekstu wnioskowania znajduje się np.
w pracach [2] i [51]. Na podstawie dokonanego przeglądu tych podejść można stwierdzić, że
do chwili obecnej nie straciło swej aktualności stwierdzenie obecne w [51, str. 297], że istniejące metody uwzględniania kontekstu wnioskowania modelują go jako zbiór wyróżnionych
faktów lub dopełnienie dla istniejących faktów. Nie są zatem znane podejścia do modelowania kontekstowości samego wnioskowania. Niniejsza rozprawa ma na celu stworzenie takiego
podejścia przez zastosowanie wiedzy z dziedziny teorii argumentacji.
14
Rozdział 2
Teoria argumentacji
Niniejszy rozdział przedstawia krótki opis informacji na temat współczesnych badań nad
argumentacją i dialogiem. Jest to oczywiście rozległy obszar wiedzy humanistycznej czerpiący z filozofii, lingwistyki, psychologii i logiki. Zamieszczone tutaj streszczenie ma na celu
wyłącznie przybliżenie tych pojęć i wyników badań, które mogą zostać wykorzystane do tworzenia formalnych logik opartych na argumentacji, ze szczególnym uwzględnieniem problemu
modelowania kontekstu wnioskowania.
Referując stan badań nad argumentacją i dialogiem napotyka się pewną niejednoznaczność w nazewnictwie. Badania te występują pod czterema głównymi szyldami: logika nieformalna, pragma-dialektyka, teoria argumentacji i krytyczne myślenie. Ścisłe definicje tych
pojęć, oraz określenie relacji pomiędzy nimi są przedmiotem dyskusji w środowisku naukowym. Pojęciem najogólniejszym, opisującym ogół badań nad argumentacją i dialogiem,
wydaje się być teoria argumentacji, choć trudno znaleźć szersze potwierdzenie tej hipotezy
w literaturze. Takie podejście prezentowane jest w [14], gdzie podawana jest relacja pomiędzy teorią argumentacji jako terminem nadrzędnym, logiką nieformalną opisaną poniżej i
pragma-dialektyką (por. [54]).
Niniejszy rodział opisuje wiedzę o argumentacji i dialogu zdobytą na podstawie przeglądu
literaturowego rozpoczynającego się od logiki nieformalnej. Nie jest natomiast wykluczone,
że część tej wiedzy należałoby również zaklasyfikować do pozostałych wymienionych nurtów.
15
2.1. Logika nieformalna — tło historyczne
Logika nieformalna jest stosunkowo młodą dyscypliną. Wśród prac uznawanych za jej
fundamenty najczęściej cytowane są [53], [29] i [28]. Nieformalność obecna w nazwie odnosi się
do przedmiotu badań, jakim jest „nieformalne” wnioskowanie, tj. wnioskowanie obecne np.
w debatach politycznych, procedurach prawnych, środkach masowego przekazu. Nie odnosi
się natomiast do samych narzędzi badawczych, którymi pozostają formalne metody analizy
(por. [1]).
Ustanowienie logiki nieformalnej jako niezależnego obszaru badawczego jest przypisywane
pracom Ralpha H. Johnsona i J. Anthony’ego Blaira z lat siedemdziesiątych dwudziestego
wieku. W ich książce [30] logika nieformalna definiowana jest następująco:
Reasoning that doesn’t feature certainty (e.g. analogy); it’s based on the content
of the statements being made.
Powyższa definicja oparta jest na negacji, co wydaje się być nieprzypadkowe. Jak wiadomo, logika narodziła się w starożytnej Grecji jako obszar badań nad ludzkim wnioskowaniem. Fundamenty pod nią położył Arystoteles, który w swoich pracach, zgromadzonych
pod wspólnym tytułem Organon, definiuje wnioskowanie jako cel swoich dociekań (por. [5,
24a], [6, 100b], wstęp do [36]) oraz realizuje ten cel rozpoczynając od zdefiniowania sławnego
pojęcia sylogizmu jako podstawowego elementu wnioskowania. Jedną z definicji tego terminu
można znaleźć w [5, 24a] i [5, 100b]:
(. . . ) discourse in which, certain things being stated, something other than what
is stated follows of necessity from their being so.
Być może jest to czysty zbieg okoliczności, jednak zarówno w powyższym cytacie, jak
w głównym nurcie badań nad logiką w XIX i XX wieku występuje założenie, że we wnioskowaniu występuje konieczność wynikania pewnej konkluzji z pewnych przesłanek. Stephen
Toulmin postrzega to założenie jako zbyt silne, stwierdzając w pracy [53]:
(. . . ) logicians of the 19-th and 20-th century still focus on infallibility as defining
feature of proper reasoning.
Toulmin wykazuje, że nadmierne przykładanie wagi do niezawodności wnioskowania nieuchronnie prowadzi do tego, że jako poprawne można przyjąć tylko takie wnioskowanie,
16
które jest prawdziwe niezależnie od tego, o czym się wnioskuje. Widać to wyraźnie kiedy
przyjrzymy się klasycznym regułom wnioskowania współczesniej logiki formalnej (np. modus ponendo ponens czy Robinsona rezolucja), które są dedukcyjne i zupełnie niezależne od
przedmiotu wnioskowania. Konkluzje wyciągnięte z prawdziwych przesłanek są niezawodnie
prawdziwe, bez względu na to, czego dotyczą. Podobne zasady leżą u podstaw idei Kartezjusza stwierdzającej, że w celu zdobycia prawdziwej wiedzy potrzebna jest naukowa metoda,
która zapewnia jej nieomylność (por. [52, str. 47], [53, 229–230]). Rezultatem przyjęcia tak
ostrych wymagań jest łatwo dostrzegalny rozdźwięk pomiędzy ludzkim wnioskowaniem obserwowanym w życiu codziennym i wnioskowaniem definiowanym w logice formalnej.
Jak stwierdzono w [60], logika nieformalna powstała jako opozycja do zastanego podejścia do logiki. Jej twórcy powołują się na prostą obserwację, że ludzie pozbawieni pewności
potrafią skutecznie wnioskować o otaczającym ich świecie. Jesteśmy skazani na możliwość
pomyłki w naszych konkluzjach (np. na temat polityki, ekonomii czy choćby spraw życia
codziennego) i potrafimy sobie z tym faktem radzić. W celu badania natury ludzkiego wnioskowania powinno się zatem bacznie obserwować jak ono faktycznie wygląda, bez niepotrzebnego przywiązywania się do ideału nieomylności i zgadzając się na fakt, że osąd poprawności
wnioskowania może w jakiś sposób zależeć od jego przedmiotu (it’s based on the content of
the statements being made). Przypuszczalnie, właśnie ten opozycyjny charakter logiki nieformalnej sprawił, że Johnsonowi i Blairowi najławiej było ją definiować przez zaprzeczenie.
Warto zaznaczyć, że zastąpienie wnioskowania dedukcyjnego statystycznym nie jest satysfakcjonującym rozwiązaniem. Pomimo iż we wnioskowaniu statystycznym rozluźniamy
wymaganie niezawodności i zastępujemy je statystyczną istotnością, to jednak przywiązujemy się do specyficznego sposobu wnioskowania, w którym z pewnej części zwanej próbą
wyciągamy wnioski na temat pewnej całości zwanej populacją. Przykład wnioskowania przez
analogię podany w przytaczanej definicji logiki nieformalnej wskazuje natychmiast, że ten
obszar badań nie ogranicza się tylko do tego typu wnioskowania.
2.2. Argumentacja
Głównym elementem wyróżniającym logikę nieformalną jest jej mechanizm inferencyjny,
którego podstawowym elementem jest argument, natomiast dowodzenie twierdzeń polega
na dialogu, czyli na wymianie i krytycznej ocenie argumentów za/przeciw dowodzonemu
17
twierdzeniu. W tym sensie logika nieformalna jest podobna do opisywanej przez P. Lorenzena
logiki dialogowej (por. [31]).
2.2.1. Argument
Podstawowe pytanie zadawane w kontekście badań na argumentacją dotyczy wewnętrznej struktury argumentu. Historycznie pierwszym powszechnie znanym modelem argumentu
jest model Toulmina zaproponowany w [53]. Od pojawienia się tego modelu na pytanie o wewnętrzną strukturę argumentu stanowi przedmiot naukowej debaty. Najbardziej szczegółowe
odpowiedzi — formalne modele argumentacji — zostaną opisane poniżej, wszystkie modele
natomiast mają swoje cechy wspólne: wyróżnia się konkluzję argumentu oraz pewną liczbę
jego przesłanek. Zawsze również pojedynczy argument traktowany jest jako narzędzie zawodne — konkluzja wyciągnięta na podstawie prawdziwych przesłanek nie musi być prawdziwa.
Zawodność wnioskowania jest dwojakiego typu: (a) konkluzja może nie być prawdziwa, ponieważ istnieją kontrargumenty silniejsze od danego argumentu, (b) dany argument może
być błędnie zastosowany.
Przyjmuje się, że argumenty stosowane w rzeczywistych dialogach (od debat publicznych
po codzienne dyskusje) najlepiej dają się opisywać za pomocą pojęcia schematu argumentacji. Według definicji zaczerpniętej z [62], schematy argumentacji są stereotypicznymi formami
wnioskowania od przesłanek do konkluzji używanymi w argumentach wykorzystywanych w
codziennej dyskusji, w której jedna strona stara się przekonać drugą do zaakceptowania
stwierdzenia stanowiącego przedmiot tej dyskusji. W pewnych przypadkach schematy argumentacji reprezentują schematy dedukcyjnego bądź indukcyjnego wnioskowania. W innych
reprezentują zawodne wnioskowanie, będące przydatną heurystyką służącą do dojścia do wiarygodnej hipotezy w obliczu niepewności i braku wiedzy. Typowymi przykładami schematów
argumentacji są argument przez analogię, argument ze związku przyczynowo-skutkowego czy
argument z opinii eksperta. Istnieją próby stworzenia klasyfikacji schematów argumentacji,
główną pozycją w tej dziedzinie jest [57]. Sposób opisywania schematu argumentacji pokazany zostanie na przykładzie argumentu przez analogię:
Argument przez analogię
Przesłanki :
1. Generalnie, przypadek C1 jest podobny do przypadku C2 .
18
2. A jest prawdziwe (fałszywe) w przypadku C1 .
Konkluzja: A jest prawdziwe (fałszywe) w przypadku C2 .
Krytyczne pytania:
1. Czy C1 i C2 są podobne w przytaczanym aspekcie?
2. Czy A jest prawdziwe (fałszywe) w przypadku C2 ?
3. Czy istnieją różnice pomiędzy C1 i C2 , które mogłyby poddawać w wątpliwość występowanie przytaczanego podobieństwa?
4. Czy istnieje przypadek C3 , który również jest podobny do C1 , ale w nim A
jest fałszywe (prawdziwe)?
Każdy schemat składa się z nazwy, kilku ogólnie sformułowanych przesłanek, ogólnie sformułowanej konkluzji i zestawu tzw. krytycznych pytań (ang. critical questions). Krytyczne
pytania stanowią narzędzie do weryfikacji, czy dany schemat argumentacji został poprawnie
wykorzystany. Jeżeli odpowiedź na dane pytanie jest negatywna (kwestionuje sposób użycia
schematu), to argument zostaje podważony, w każdym innym przypadku (jeżeli odpowiedź
jest pozytywna lub udzielenie jej nie jest możliwe) argument pozostaje w mocy. Konkretny, zastosowany w dyskusji argument, będący instancją pewnego schematu argumentacji,
nie musi jawnie zawierać wszystkich wymienionych w schemacie przesłanek. Taki argument
posiadający ukryte przesłanki nazywa się entymemem. Do wykrywania entymemów w argumentacji (np. w celu wykazania, że ukryta przesłanka jest fałszywa) służą również krytyczne
pytania.
Listy krytycznych pytań nie są uważane za wyczerpujące, ale za wystarczające dla wykrycia większości błędnych sposobów użycia danego schematu argumentacji. Metoda weryfikacji
poprawności zastosowania schematu argumentacji przez listę krytycznych pytań została zaproponowana w pracy [29].
Jak już wspomniano, wyróżnia się pojęcie siły argumentu — na podstawie analizy rzeczywistych dyskusji łatwo zauważyć, że jedne argumenty są silniejsze od drugich i dlatego znoszą
działanie tych słabszych. Jest to zjawisko trudne do naukowego opracowania na obecnym etapie, przyjmuje się jednak, że siła argumentu jest związana ze stosowanym w nim schematem
argumentacji. Jest również zależna od kontekstu, tzn. względna siła schematów argumentacji
może się różnić np. w dyskusjach o pogodzie i w dyskusjach politycznych.
19
Pojedyncze argumenty mogą być składane w konstelacje argumentów, przesłanki danego
argumentu mogą być ustalonymi faktami lub konkluzjami innych argumentów. Składanie
odbywa się również na poziomie pojedynczej konkluzji. Jeżeli za daną konkluzją przemawia kilka argumentów, relacja pomiędzy nimi może być dwojaka (por. [59, str. 139–145]):
(a) konwergentność, która oznacza, że każdy z argumentów niezależnie wspiera konkluzję,
(b) połączenie, ktore oznacza, że tylko cały zbiór wspiera konkluzję, każdy jego podzbiór
właściwy jest niewystarczający.
2.2.2. Argumentacja w dialogu
Kontekstem, w którym argumenty są przedkładane i poddawane ocenie jest dialog. W
logice nieformalnej stanowi on odpowiednik dowodu logiki matematycznej. Wynik dialogu
stanowi odpowiedź na pytanie, czy zdanie będące jego przedmiotem jest prawdziwe czy
fałszywe. Tak rozumiany dialog nazywany jest dialogiem perswazyjnym i jest jednym z kilku
wyróżnianych typów dialogu (innymi są: badawczy, negocjacyjny, poszukiwania informacji,
deliberacyjny i erystyczny, por. [58]).
2.2.2.1. Fazy dialogu
Każdy dialog perswazyjny można podzielić na cztery fazy (por. [56, 1.2 Components of
argumentative dialogue]).
1. Faza wstępna (ang. opening stage) – w tej fazie uczestnicy powinni uzgodnić typ prowadzonego dialogu, jak również ustalić reguły prowadzenia dialogu. Czasami reguły te są
jawnie wymienione lub skodyfikowane (np. w procesach sądowych) lub jest to po prostu intuicyjnie rozumiana Zasada Kooperacji Grice’a (por. [26]). Wyróżnia się cztery
rodzaje reguł rządzących dialogiem: (i) reguły lokucji (ang. locution rules) – definiujące dozwolone w dialogu typy aktów mowy (por. [7]), (ii) reguły prowadzenia dialogu
(ang. dialogue rules) – określające w jakiej kolejności rozmówcy powinni zabierać głos,
(iii) reguły zobowiązań (ang. commitment rules) – precyzujące jak poszczególne wypowiedzi implikują stwierdzenia, które rozmówcy uważają za prawdziwe, (iv) reguły
wyniku (ang. strategic (win-loss) rules) – definiujące, w jaki sposób rozmówcy mogą
osiągnąć cel dialogu.
2. Faza konfrontacji (ang. confrontation stage) – na tym etapie precyzowany jest temat
20
dialogu, tzn. stwierdzenie, co do którego rozmówcy się nie zgadzają.
3. Faza argumentacji (ang. argumentation stage) – jest to faza, w której uczestnicy dialogu starają się osiągnąć jego cel przy użyciu odpowiednich metod. Każdy z uczestników
zobowiązany jest do podjęcia wysiłku na rzecz osiągnięcia swojego celu (wynik dialogu
nie jest mu obojętny), a równocześnie zobowiązany jest umożliwić swojemu rozmówcy
realizowanie jego własnych zobowiązań.
4. Faza końcowa (ang. closing stage) – jest momentem, w którym cel dialogu został
osiągnięty, a jego uczestnicy zgadzają się na jego zakończenie. W tej fazie następuje
ustalenie wyniku dialogu.
Nie wszystkie z wymienionych powyżej faz muszą jawnie występować w dialogu, jedyną
wyraźnie widoczną jest faza argumentacji.
2.2.2.2. Domniemanie i obowiązek uzasadnienia
Domniemanie (ang. presumption) i obowiązek uzasadnienia (ang. burden of proof ) są
pojęciami regulującymi kwestie, na którym z uczestników rozmowy spoczywa ciężar uzasadnienia swojego wyjściowego stanowiska. Jest to konieczne, aby uniknąć sytuacji, w której faza
argumentacji odwlekana jest przez uczestników wzywających się wzajemnie do uzasadnienia
swojego stanowiska. Domniemanie wyraża „domyślny stan rzeczy”. Jest to stwierdzenie, które byłoby w mocy, gdyby dyskusja w ogóle nie zaistniała. Przykładowo, w rozprawie karnej
sądowej, która jest przykładem dobrze ustrukturalizowanego dialogu, obowiązuje domniemanie niewinności oskarżonego. Obowiązek uzasadnienia jest przeciwieństwiem domniemania.
Jeżeli dwie osoby prezentują odmienne stanowiska na dany temat — przy czym domniemanie
leży po jednej ze stron — to druga strona ma obowiązek uzasadnienia swojego stanowiska. W
zależności od kontekstu, inna siła argumentów jest wymagana, aby podważyć domniemanie i
tym samym uczynić pogląd sprzeczny z domniemaniem na tyle wiarygodnym, aby konieczne
było przeprowadzenie dyskusji.
Domniemanie — pomimo, iż może być podważone — pozostaje niezmienne, a co za
tym idzie, obowiązek uzasadnienia również spoczywa na tej samej osobie przez cały czas
trwania dyskusji. Po skończonej wymianie argumentów należy ocenić, czy te argumenty,
które pozostały niezbite, w wystarczającym stopniu podważają domniemanie, aby można
było powiedzieć, że stwierdzenie z nim sprzeczne zostało udowodnione.
21
Uczestnik posiadający domniemanie ma uprzywilejowaną pozycję w dyskusji, jednak na
wszystkich uczestnikach dialogu spoczywają następujące obowiązki:
1. Obowiązek uzasadnienia stwierdzenia (ang. burden of proving assertions) — występuje
w momencie, gdy rozmówca zarząda uzasadnienia danego stwierdzenia. Obowiązkiem
jest zaprezentowanie argumentu, którego konkluzją jest kwestionowane stwierdzenie.
2. Obowiązek riposty (ang. burden of rejoinder lub burden of going forward ) — występuje
w momencie, gdy jeden z rozmówców przedstawi argument, który nie jest w oczywisty
sposób błędny. Wówczas drugi z rozmówców musi odnieść się w jakiś sposób do tego
argumentu, aby dyskusja mogła być kontynuowana.
2.2.2.3. Zobowiązania
Zobowiązaniem nazywamy stwierdzenie, którego uczestnik dialogu użył w swojej argumentacji. W związku z tym jest zobowiązany bronić tego stwierdzenia. Należy podkreślić
różnicę pomiędzy zobowiązaniami, a przekonaniami rozmówcy (ang. beliefs), czyli stwierdzeniami, które rozmówca faktycznie uważa za prawdziwe. Zbiory przekonań i zobowiązań
rozmówcy nie muszą się pokrywać.
Przykładami zobowiązań są przesłanki argumentu, którego uczestnik użył dla uzasadnienia swojego stanowiska. Omówione wyżej reguły zobowiązań pozwalają ustalić w jaki sposób
zobowiązania są przez uczestników podejmowane i tracone. Bardziej szczegółowy opis tego
zagadnienia można znaleźć w [61].
Podobnie jak w przypadku argumentów, podejmowane są próby formalnego modelowania opisanych wyżej elementów dialogu. Warte wspomnienia formalne systemy tego typu
definiowane są w [42, 43], przeglądową pracą w tej dziedzinie jest [63].
2.3. Formalne modele argumentacji
Jednym z wysiłków podejmowanych w ramach badań nad argumentacją jest tworzenie
jej formalnych modeli. Wziąwszy pod uwagę opisane powyżej trudności ze zdefiniowaniem,
czym dokładnie jest argumentacja, sensowność tych wysiłki może być poddawana w wątpliwość. Jednak stworzenie formalnego modelu argumentacji pozwala z jednej strony precyzyjnie opisać pewną teorię na temat wewnętrznej struktury argumentów i relacji występujących
22
pomiędzy nimi, z drugiej zaś strony pozwala zastanawiać się nad tym, czego dana teoria jeszcze nie opisuje, jakie są jej ograniczenia. Formalne modelowanie jest więc istotnym krokiem
w rozwoju badań nad argumentacją.
Istnieje cały szereg modeli argumentacji różniących się między sobą poziomem abstrakcji oraz stopniem sformalizowania. Wyczerpujący ich przegląd można znaleźć w pracach [55]
oraz [45]. W niniejszym podrozdziale opisane zostaną dwa wybrane modele Dunga i Vreeswijka, które znalazły już zastosowanie w programowaniu w logice oraz najnowszy opublikowany
model argumentacji, Carneades, który w dalszej części pracy zostanie wykorzystany do konstrukcji nowej logiki opartej na argumentacji.
2.3.1. P. M. Dunga Argumentation Framework
W [13] Phan Minh Dung przedstawia sposób formalizowania argumentów i relacji pomiędzy nimi jako grafu skierowanego, abstrahując od wewnętrznej struktury argumentu.
Zaznacza na wstępie, że celem jego artykułu jest przeanalizowanie fundamentalnych mechanizmów rządzących ludzką argumentacją i szukanie sposobów zaimplementowania tych
mechanizmów w komputerach.
Podstawowym pojęciem definiowanym przez Dunga jest akceptowalność argumentów
(ang. acceptability). Zakłada on, że ideą rozumowania argumentacyjnego jest pogląd, że
można wierzyć danemu stwierdzeniu, jeżeli można je skutecznie obronić przed wszystkimi
kontrargumentami. Zatem przekonania „racjonalnego agenta” są charakteryzowane relacją
pomiędzy „wewnętrznymi” argumentami broniącymi jego poglądów i „zewnętrznymi” argumentami wspierającymi przeciwne poglądy. Zatem, w pewnym sensie, wnioskowanie argumentacyjne jest oparte na „zewnętrznej stabilności” zaakceptowanych przez danego agenta
argumentów.
Zbiór argumentów, jakie posiada dany agent, określany jest przez Dunga mianem semantyki — zbiór stanowi opis rzeczywistości, jaki dany agent posiada, a zatem jest pewną
definicją relacji pomiędzy językiem, którym ta osoba się posługuje, a światem, o którym się
wypowiada.
Poniżej zostanie przedstawiony zarys zdefiniowanego przez Dunga modelu wraz z propozycją tłumaczenia na język polski pojawiających się w nim terminów i komentarzem.
Definicja 2.1 (Dunga model argumentacji)
23
Dunga modelem argumentacji jest para DAF = (AR, attacks), gdzie AR jest zbiorem argumentów, a attacks jest binarną relacją zdefiniowaną na AR.
Definicja 2.2 (Bezkonfliktowość)
Zbiór argumentów S nazywamy bezkonfliktowym (ang. conflict-free), jeżeli nie ma w nim
takich argumentów A i B, że A attacks B.
Dung stawia tezę, że dla racjonalnego agenta argument A jest akceptowalny, jeżeli jest
on w stanie bronić A przed wszystkimi atakami na A. Oznacza to, że zbiór wszystkich argumentów zaakceptowanych przez racjonalnego agenta jest zbiorem, który potrafi się bronić
przed wszystkimi atakami na niego. To prowadzi do poniższej definicji dopuszczalnego (ang.
admissible) zbioru argumentów.
Definicja 2.3 (Dopuszczalność)
1. Argument A ∈ AR jest akceptowalny ze względu na zbiór argumentów S wtedy i tylko
wtedy, gdy dla każdego argumentu B ∈ AR: jeżeli B atakuje A, to S atakuje B.
2. Bezkonfliktowy zbiór argumentów S jest dopuszczalny wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór S
jest akceptowalny ze względu na S.
Przykład 2.1
Niech DAF = (AR, attacks) będzie modelem argumentacji Dunga zdefiniowanym następująco: AR = {i1 , i2 , a} oraz attacks = {(i1 , a), (a, i1 ), (i2 , a)}. Wówczas następujące zbiory są
dopuszczalne:
∅, {i1 }, {i2 }, {i1 , i2 }.
Po zdefiniowaniu pojęcia modelu argumentacji Dung przechodzi do definiowania tzw.
rozszerzeń (ang. extensions). Są to podzbiory zbioru argumentów AR konstruowane na podstawie pewnego zbioru A ⊆ AR w określony sposób. Termin rozszerzenie należy rozumieć
w sensie rozszerzenia argumentacji danego agenta o nowe argumenty, spełniające odpowiednie kryteria. Dwa podstawowe rozszerzenia noszą nazwę preferowanego i stabilnego. Każde
definiowane rozszerzenie utożsamiane jest z pewną semantyką.
Definicja 2.4 (Preferowane rozszerzenie)
Preferowanym rozszerzeniem w modelu argumentacji AF nazywamy maksymalny (względem
24
inkluzji zbiorów) dopuszczalny zbiór.
Definicja 2.5 (Stabilne rozszerzenie)
Bezkonfliktowy zbiór argumentów S nazywamy stabilnym rozszerzeniem wtedy i tylko wtedy,
gdy S atakuje każdy argument nie należący do S.
Każde stabilne rozszerzenie jest również preferowane, ale odwrotna zależność nie zachodzi
(por. [13, str. 8]). Zanim przejdziemy do definiowania pozostałych rozszerzeń konieczne jest
wprowadzienie pojęcia funkcji charakterystycznej :
Definicja 2.6 (Funkcja charakterystyczna FAF )
Funkcję charakterystyczną FAF szablonu argumentacji definiujmy jako funkcję:
FAF : 2AR → 2AR , daną wzorem:
FAF (S) = {A ∈ AR : A jest akceptowalny ze wzg. na S}
(przez 2X oznaczamy zbiór podzbiorów zbioru X).
Przykład 2.2
Kontynuując poprzedni przykład, możemy wypisać wartości funkcji charakterystycznej dla
zdefiniowanego tam modelu argumentacji: FAF (∅) = {i2 }; FAF ({a}) = {i2 }; FAF ({i1 }) =
{i1 , i2 }; FAF ({i2 }) = {i1 , i2 }; FAF ({a, i1 }) = {i1 , i2 }; FAF ({a, i2 }) = {i1 , i2 }; FAF ({i1 , i2 }) =
{i1 , i2 }; FAF ({a, i1 , i2 }) = {i1 , i2 }.
Przy pomocy pojęcia funkcji charakterystycznej możemy definiować kolejne rozszerzenia:
Definicja 2.7 (Ugruntowane rozszerzenie)
Ugruntowanym rozszerzeniem 1 w modelu argumentacji AF , oznaczanym przez GEAF jest
najmniejszy (względem inkluzji zbiorów) taki zbiór S, że FAF (S) = S.
Przykład 2.3
2
3
2
Kontynuując poprzedni przyklad: FAF (∅) = {i2 }, FAF
(∅) = {i1 , i2 }, FAF
(∅) = FAF
(∅),
zatem GEAF = {i1 , i2 }.
Definicja 2.8 (Kompletne rozszerzenie)
1
Oryginalny termin: grounded extension.
25
Dopuszczalny zbiór argumentów S nazywamy kompletnym rozszerzeniem wtedy i tylko wtedy, gdy każdy argument akceptowalny ze względu na S należy do S.
Dung udowadnia następujący lemat dotyczący kompletnego rozszerzenia (por. [13, str.
10]):
Lemat 2.1
Bezkonfliktowy zbiór argumentów E jest kompletnym rozszerzeniem wtedy i tylko wtedy,
gdy E = FAF (E), czyli gdy składa się wyłącznie z wszystkich akceptowalnych przez siebie
argumentów.
Zachodzą następujące zależność pomiędzy preferowanymi, ugruntowanymi i kompletnymi
rozszerzeniami:
1. Każde preferowane rozszerzenie jest kompletnym rozszerzeniem, odwrotna zależność
nie zachodzi.
2. Ugruntowane rozszerzenie jest najmniejszym (ze względu na inkluzję) kompletnym
rozszerzeniem.
Każde preferowane rozszerzenie stanowi naiwną semantykę, natomiast każde ugruntowane rozszerzenie stanowi sceptyczną semantykę. Pojęcia te są pewną próbą zamodelowania
dwóch różnych strategii akceptowania przekonań, gdy dany agent stoi przed problemem zaakceptowania argumentu ze zbioru argumentów, które wzajemnie się atakują. Taką sytuację
ilustruje poniższy przykład:
Przykład 2.4
Weźmy pod uwagę dwa argumenty:
a1 : „Można emitować w telewizji reklamy piwa po godzinie 20:00, ponieważ jest to normalny
produkt, który z uwagi na niską zawartość alkoholu nie zalicza się w powszechnej opinii
do szkodliwych napojów.”.
a2 : „Nie powinno się emitować w telewizji reklam piwa, ponieważ jest to pierwszy napój alkoholowy, po który sięgają dzieci i reklamowanie go będzie powodować wzrost spożycia
alkoholu przez osoby nieletnie.”
26
Odpowiada im następujący model argumentacji:
AR = {a1 , a2 }, attacks = {(a1 , a2 ), (a2 , a1 )}.
Posiada on jedno ugruntowane rozszerzenie (∅) i dwa preferowane rozszerzenia ({a1 }, {a2 }).
Przyjmujemy uproszczone założenie, że ten model zawiera wszystkie argumenty pojawiające
się w debacie nad emisją reklam alkoholu.
Zbiór poglądów agenta sceptycznie nastawionego powinnien być równy ugruntowanemu
rozszerzeniu (każdy z argumentów jest podejrzany, więc wszystkie są odrzucane). Natomiast
naiwny agent przyjmie (bez widocznego racjonalnego uzasadnienia) jeden z dostępnych argumentów. Jego zbiór poglądów będzie zatem odpowiadał jednemu z preferowanych rozszerzeń.
Semantyki sceptyczne i naiwne odpowiadają sceptycznemu i naiwnemu wnioskowaniu
omawianemu w punkcie 2.3.2. W [13] pokazana jest relacja tego modelu argumentacji z
innymi formalnymi systemami, np. z logiką domniemań Reitera (por. [47]), w której również występuje pojęcie rozszerzeń. Relacje te nie są jednak przemiotem zainteresowania w
niniejszej rozprawie.
2.3.2. G. Vreeswijka Abstract Argumentation System
W pracy [55] definiowany jest tzw. Abstract Argumentation System. Zgodnie z przyjętą w
tej pracy terminologią, podobnie jak w przypadku Dunga, propozycję Vreeswijka będziemy
nazywać Vreeswijka modelem argumentacji.
2.3.2.1. Podstawowe pojęcia
Definicja 2.9 (Vreeswijka model argumentacji)
Vreeswijka model argumentacji jest trójką uporządkowaną:
A = (L, R, �)
(2.1)
gdzie L jest językiem, R jest zbiorem reguł inferencyjnych, a � jest zwrotnym i przechodnim
porządkiem nad zbiorem argumentów.
Definicja 2.10
Językiem nazywamy zbiór L zawierający wyróżniony element ⊥.
27
Na język nie są nakładane żadne dodatkowe wymagania, elementy języka nazywane są
stwierdzeniami.
Definicja 2.11
Niech L będzie językiem takim, że L ∩ {→, ⇒} = ∅.
1. niezawodną regułą inferencyjną jest formuła postaci φ1 , . . . , φn → φ, gdzie φ1 , . . . , φn
jest skończoną (być może pustą) sekwencją stwierdzeń z L, a φ należy do L,
2. zawodną regułą inferencyjną jest formuła postaci φ1 , . . . , φn ⇒ φ, gdzie φ1 , . . . , φn jest
skończoną (być może pustą) sekwencją stwierdzeń z L, a φ należy do L.
Regułą inferencyjną nazywamy niezawodną lub zawodną regułę inferencyjną.
Reguły inferencyjne są elementami metajęzyka, same nie należą do L. Dzięki temu rozróżnieniu nielegalne jest zagnieżdżanie reguł (traktowanie reguły jako jednego ze stwierdzeń
w innej regule).
Argument
Reguły inferencjne można łączyć w struktury drzewiaste wykorzystując następniki jednych reguł jako poprzedniki kolejnych — w ten sposób otrzymujemy argumenty. Na rysunku
2.1 przedstawiono przykładowy argument składający się z dwóch zawodnych reguł i jednej
niezawodnej. Poniżej znajduje się uproszczona definicja argumentu zawierająca tylko główne
p�=⇒ q �
p
q
=⇒ r
−→ s
Rysunek 2.1: Przykładowy argument a modelu Vreeswijka
oznaczenia i pojęcia.
Definicja 2.12 (Argument, definicja uproszczona)
Niech L będzie językiem a R będzie zbiorem reguł. Argument posiada przesłanki, konkluzję
oraz podargumenty. Argumentem σ może być:
1. element języka L (wówczas zbiory przesłanek i podargumentów są równe {σ}, a konkluzją jest σ);
28
2. formuła postaci σ1 , . . . , σn → φ taka, że:
• σ1 , . . . , σn jest skończoną (być może pustą) sekwencją argumentów o konkluzjach
odpowiednio φ1 , . . . , φn ,
• istnieje w R reguła φ1 , . . . , φn → φ,
• φ nie występuje w argumentach σ1 , . . . , σn
(wówczas zbiór przesłanek jest sumą zbiorów przesłanek argumentów σ1 , . . . , σn , konkluzją jest φ, a zbiór podargumentów jest sumą zbioru {σ} i zbiorów podargumentów
σ1 , . . . , σn );
3. formuła postaci σ1 , . . . , σn ⇒ φ taka, że:
• σ1 , . . . , σn jest skończoną (być może pustą) sekwencją argumentów o konkluzjach
odpowiednio φ1 , . . . , φn ,
• istnieje w R reguła φ1 , . . . , φn ⇒ φ,
• φ nie występuje w argumentach σ1 , . . . , σn
(wówczas zbiór przesłanek, konkluzja i zbiór podargumentów defniowane są tak jak w
punkcie 2.).
Zgodnie z powyższą definicją argument, w którego drzewie to samo stwierdzenie występuje wielokrotnie w jednej gałęzi, jest błędny.
Definicja 2.13
Argument σ jest niezawodny jeżeli σ ∈ L lub istnieje argument σ1 , . . . , σn → σ taki, że
σ1 , . . . , σn są argumentami niezawodnymi.
Definicja 2.14
Niech L będzie językiem i niech P będzie podzbiorem L.
1. Argument jest oparty na P , jeżeli wszystkie jego przesłanki należą do P , zbiór argumentów jest oparty na P , jeżeli wszystkie jego elementy są oparte na P .
2. Zbiór wszystkich argumentów opartych na P oznaczamy przez arguments(P ); zbiór
wszystkich niezawodnych argumentów opartych na P oznaczamy strict(P ); zbiór wszystkich zawodnych argumentów opartych na P oznaczamy def easible(P ).
29
3. Element L jest oparty na P , jeżeli jest konkluzją argumentu opartego na P ; element
L jest niezawodnie lub zawodnie oparty na P , jeżeli jest konkluzją odpowiednio niezawodnego lub zawodnego argumentu opartego na P .
Siła przekonywania
Trzecim i ostatnim elementem abstrakcyjnego systemu argumentacji jest porządek �.
Definicja 2.15 (Porządek siły przekonywania)
Niech σ i τ będą argumentami. Jeżeli σ � τ , to τ jest niesłabszy niż σ, a jeżeli σ < τ , to τ
jest silniejszy niż σ. Porządek siły przekonywania, oprócz zwrotności i przechodniości, musi
być dodatkowo:
1. dobrze uformowany – nie istnieją nieskończone ciągi σ1 < σ2 < . . . < σn < . . .,
2. monotonicznie nierosnący – dla każdego σ i τ , jeżeli σ jest podargumentem τ , to τ � σ,
3. zachowywany przez reguły niezawodne – jeżeli σ1 , ..., σn → σ, to σi � σ, dla jakiegoś
i = 1, . . . , n.
Reguła 2. wymusza, aby argument był co najwyżej tak silny jak jego podargumenty.
Reguła 3. oznacza, że siła przekonywania argumentu niezawodnego nie może zanikać, jeżeli
zatem opieramy nasz argument na argumencie niezawodnym, to jest on co najmniej tak samo
silny. Tak zdefiniowany porządek siły przekonywania jest porządkiem częściowym. Powyższy
dobór własności, jakie musi posiadać siła przekonywania, ma na celu uzyskanie nietrywialnych zasad działania operatora zbijania jednych argumentów przez drugie. W [55, 2. Basic
concepts – Conclusive force] podano kilka przykładów porządków siły przekonywania.
Podważanie
Mówimy, że argument podważa zbiór argumentów, jeżeli jest silniejszy od przynajmniej jednego elementu tego zbioru. Jeżeli zbiór argumentów jest podważany przez jakiś argument,
to nie jest w stanie utrzymać wszystkich swoich elementów w wypadku konfliktu. Pojęcie
podważania stanowi jeden z dwóch fundamentów teorii Vreeswijka (drugim jest pojęcie niezgodności).
Definicja 2.16
30
Argument τ podważa zbiór argumentów Σ, jeżeli σ < τ dla jakiegoś σ ∈ Σ. W takim
przypadku zbiór Σ jest podważany przez τ .
2.3.2.2. Zgodność
Definicja 2.17 (Sprzeczność)
Argument σ jest sprzeczny, jeżeli jego konkluzją jest ⊥.
Definicja 2.18 (Zgodność2 )
Zbiór P , będący podzbiorem L, jest niezgodny jeżeli istnieje niezawodny argument sprzeczny
oparty na P . Podzbiór L jest zgodny, jeżeli nie jest niezgodny. Niezgodny podzbiór L jest
minimalnie niezgodny, jeżeli wszystkie jego właściwe podzbiory są zgodne.
Pojęcie zgodność w sposób naturalny rozszerza się na zbiory argumentów. Zbiór argumentów Σ jest zgodny, jeżeli zbiór konkluzji jego elementów jest zgodny. Poniższy przykład
został zaczerpnięty z [55, 3. Compatibility].
Przykład 2.5
Niech L = {p, q, r, s} ∪ {⊥} i niech R = {p ⇒ r; p, q → s; r, s →⊥}. Wówczas wszystkie
podzbiory {p, q, s}, {p, r} i {q, r} są zgodne, podczas gdy wszystkie podzbiory {p, q, r} i
{r, s} są niezgodne. Ponadto {p, q, r} i {r, s} są minimalnie niezgodne.
2.3.2.3. Teoria zasadności
Teoria zasadności (oryginalny termin: theory of warrant) obejmuje ustalanie, który argument jest w danym przypadku niepodważalny3 i które stwierdzenia są zasadne, czyli stanowią
konkluzje niepodważalnych argumentów.
Zbiór bazowy. Podważenie danego argumentu lub uzasadnienie konkluzji odbywa się w
odniesieniu do niezawodnego zbioru informacji. Taki zbiór Vreeswijk nazywa zbiorem bazowym (ang. base set). Dla uniknięcia konfliktów pomiędzy argumentami niezawodnymi
wymaga się, aby zbiór bazowy był zgodny.
2
3
Oryginalny termin: compatibility.
Vreeswijk używa terminu in force.
31
Definicja 2.19
Zbiorem bazowym nazywamy skończony, zgodny podzbiór L.
Zbijanie — jako najbardziej podstawowa relacja pomiędzy argumentami, wykorzystująca
zarówno pojęcie zgodności, jak i siły przekonywania, jest elementarnym pojęciem w problematyce uzasadniania stwierdzeń w tym modelu.
Definicja 2.20
Niech P będzie zbiorem bazowym i niech σ będzie argumentem. Zbiór argumentów Σ zbija
argument σ, jeżeli jest z nim niezgodny i nie jest przez niego podważany, mówimy wówczas, że
σ jest zbijany przez Σ. Zbiór Σ minimalnie zbija σ, jeżeli wszystkie jego właściwe podzbiory
nie zbijają σ.
Dopuszczalność (ang. enablement). Argument σ jest dopuszalny przez zbiór Σ wtedy
i tylko wtedy, gdy wszystkie podargumenty σ (włącznie z σ) nie są zbijane przez Σ:
Definicja 2.21
Niech P będzie zbiorem bazowym i niech Σ będzie zbiorem argumentów. Argument σ jest
dopuszczalny przez Σ na podstawie P (co zapisujemy P |Σ ∼ σ), jeżeli zachodzi jeden z trzech
warunków:
1. zbiór P zawiera σ,
2. dla jakichś argumentów σ1 , . . . , σn zachodzi P |Σ ∼ σ1 , . . . , σn i σ1 , . . . , σn → σ,
3. dla jakichś argumentów σ1 , . . . , σn zachodzi P |Σ ∼ σ1 , . . . , σn i σ1 , . . . , σn ⇒ σ, oraz Σ
nie zawiera zbiorów zbijających σ.
(Przez P |Σ ∼ σ1 , . . . , σn oznaczamy: P |Σ ∼ σ1 i . . ., i P |Σ ∼ σn .)
Definicja 2.22 (Operator dopuszczania)
Niech P będzie zbiorem bazowym, a Σ zbiorem argumentów. Przez enableP (Σ) oznaczamy
zbiór argumentów {σ : P |Σ ∼ σ}.
Przy pomocy poniższego przykładu Vreeswijk obrazuje jak działa operator dopuszczania:
32
Przykład 2.6
Rozważmy abstrakcyjny system argumentacji A z językiem L = {p, q, r, s} ∪ {⊥}, regułami
R = {p ⇒ q, q ⇒ r, p ⇒ s} ∪ {q, s →⊥}
(2.2)
oraz trywialnym porządkiem � zdefiniowanym tak, że σ � τ wtedy i tylko wtedy, gdy σ jest
zawodny lub τ jest niezawodny. Przy P = {p} mamy:
enableP (p) = {p, p ⇒ q, p ⇒ q ⇒ r, p ⇒ s},
enableP (p, p ⇒ q) = {p, p ⇒ q, p ⇒ q ⇒ r},
enableP (p, p ⇒ s) = {p, p ⇒ s},
enableP (p, p ⇒ q, p ⇒ s) = {p},
enableP (p, p ⇒ q, p ⇒ q ⇒ r) = {p, p ⇒ q, p ⇒ q ⇒ r},
enableP (p, p ⇒ q, p ⇒ q ⇒ r, p ⇒ s) = {p}.
Vreeswijk pokazuje relacje pomiędzy operatorem dopuszczania a Dunga pojęciem akceptowalności argumentu: FAF ≡ enable2P , tj. pojęcie akceptowalności Dung’a otrzymuje się
przez podwójne zastosowanie operatora dopuszczania.
Zasadność. Dane stwierdzenie jest zasadne, jeżeli jest konkluzją argumentu, który jest
niepodważalny. To, czy dany argument jest niepodważalny, określa się rekursywnie.
Poniższa definicja wprowadza relację zawodnego wynikania4 (ozn. |∼). Jest to relacja
pomiędzy zbiorem P i argumentami opartymi na P . Jeżeli P |∼ σ, to mówimy, że σ jest
niepodważalny na podstawie P . Podobnie, jeżeli Σ jest zbiorem argumentów takim, że P |∼ σ
dla każdego σ ∈ Σ, to piszemy P |∼ Σ i mówimy, że Σ jest niepodważalny na podstawie P .
Definicja 2.23
Niech P będzie zbiorem bazowym. Relacja |∼ pomiędzy P jest relacją zawodnego wynikania,
jeżeli dla każdego argumentu σ opartego na P mamy P |∼ σ wtedy i tylko wtedy, gdy
spełniony jest jeden z warunków:
1. zbiór P zawiera σ,
2. dla jakichś argumentów σ1 , . . . , σm zachodzi P |∼ σ1 , . . . , σm i σ1 , . . . , σm → σ,
3. dla jakichś argumentów σ1 , . . . , σm zachodzi P |∼ σ1 , . . . , σm i σ1 , . . . , σm ⇒ σ oraz
żaden zbiór argumentów Σ, który jest niepodważalny na podstawie P nie zbija σ.
4
Ang. defeasible entailment relation.
33
W ostatnim punkcie definicji pojawia się rekurencja. Zbadanie, czy argument σ jest niepodważalny może wymagać uprzedniego sprawdzenia, czy jakiś zbiór Σ jest niepodważalny,
co z kolei może wymagać sprawdzania innych zbiorów. To rekursywne zagłębianie może się
kończyć lub trwać w nieskonczoność. Jeżeli się zakończy, wówczas nie ma wątpliwości, co do
tego, które argumenty są niepodważalne na podstawie danego zbioru. Są dwa powody, dla
których rekurencja może trwać w nieskończoność: (1) istnieje cykliczna zależność pomiędzy
zbijającymi się argumentami, wówczas pytanie o bycie niepodważalnym wraca cyklicznie do
początkowego argumentu σ po skończonej liczbie kroków, (2) wywołanie przez początkowe
pytanie o σ nieskończonej liczby pytań, które dotyczą nieskończonej liczby zbijających się
argumentów.
Rozszerzenia. Vreeswijk definiuje pojęcie rozszerzenia (ang. extension) nieco inaczej niż
ma to miejsce w przypadku Dunga – wiąże ono wprowadzone wcześniej pojęcia dopuszczania
i uzasadnienia. Pozwala również na pokazanie, w jakim kierunku Gerard Vreeswijk rozwija
swoją koncepcję, bez prezentowania jej w całości, co jest zbyteczne w niniejszej rozprawie.
Definicja 2.24
Zbiór Σ jest rozszerzeniem zbioru P , jeżeli istnieje relacja zawodnego wynikania |∼ taka,
że Σ = {σ : P |∼ σ}. Zbiór {σ : P |∼ σ} jest rozszerzeniem generowanym przez |∼ i
oznaczanym przez inf o|∼ (P ). Liczba różnych rozszerzeń zbioru P stanowi stopień P , co
oznaczamy deg(P ). Jeżeli deg(P ) = 1 piszemy dla uproszczenia inf o(P ).
Związek pomiędzy uzasadnieniem a dopuszczaniem wygląda następująco:
Twierdzenie 2.1
Niech P będzie zbiorem bazowym. Zbiór Σ jest rozszerzeniem P wtedy i tylko wtedy, gdy
enableP (Σ) = Σ.
Po dowód tego twierdzenia, jak również innych stwierdzeń i konkluzji zaczerpniętych z
prezentacji Vreeswijka modelu argumentacji, można znaleźć w artykule [55].
Ciąg dalszy. Rozwijając swoją koncepcję, Vreeswijk definiuje konstruktywne procedury wyznaczania zbiorów zasadnych stwierdzeń. W ogólnym przypadku, dla jednego zbioru
bazowego może być ich wiele. Zależy to od tego, jak dobrze zdefiniowany porządek siły
34
przekonywania porządkuje zbiór argumentów. Zachodzi następujące twierdzenie:
Twierdzenie 2.2
Niech A1 = (L, R, �1 ) i A2 = (L, R, �2 ) będą abstrakcyjnymi systemami argumentacji
takimi, że �1 jest ulepszeniem �2 (tj. σ �1 τ kiedykolwiek σ �2 τ ). Wówczas dla każdego
zbioru bazowego P zachodzi: deg1 (P ) � deg2 (P ).
Z powyższego twierdzenia wynika, że im porządek � jest „lepszy”, tym mniej istnieje
rozszerzeń danego zbioru, a co za tym idzie liczba różnych zbiorów zasadnych stwierdzeń
opartych na tym zbiorze jest mniejsza.
2.3.3. T. Gordona Carneades Argumentation Framework
Najnowszym w momencie pisania tej rozprawy i najbardziej rozbudowanym modelem
argumentacji jest Carneades Argumentaion Framework (CAF) zdefiniowany w [24], a następnie udoskonalony w [25]. Ponieważ model ten jest wykorzystywany w projekcie badawczym opisywanym w niniejszej rozprawie, zostanie zaprezentowany bardziej szczegółowo niż
poprzednie modele. Niniejszy podrozdział zawiera definicję tego modelu z wprowadzonymi
własnymi oznaczeniami pojawiających się w niej terminów.
2.3.3.1. Struktura argumentów
Model Carneades abstrahuje od wewnętrznej struktury zdań, nie wykorzystuje również
pełnego rachunku zdań. Wymagana jest jedynie możliwość stwierdzenia, że dane dwa zdania
są równoważne oraz, że jedno zdanie jest logicznym dopełnieniem drugiego. Stąd następująca
definicja:
Definicja 2.25 (Zdania)
Niech (L, =, complement) będzie trójką, w której L oznacza zbiór deklaratywnych zdań w
pewnym języku, „=” jest relacją równoważności modelowaną jako funkcja typu L × L →
{prawda, f alsz}, a complement : L → L jest funkcją przypisującą zdaniom ich logiczne
dopełnienia. Jeżeli s jest zdaniem, to jego dopełnienie oznaczamy przez s.
W tym modelu wyróżnia się trzy rodzaje przesłanek, które mogą wchodzić w skład argumentów.
35
Definicja 2.26 (Przesłanka)
Niech PL oznacza zbiór przesłanek. Istnieją trzy rodzaje przesłanek:
1. Jeżeli s ∈ L, to �s jest przesłanką. Są to zwykłe przesłanki. Dla uproszczenia notacji
będziemy używać samego s dla oznaczenia premise(s), jeżeli z kontekstu wynika, że
stwierdzenie jest używane jako przesłanka.
2. Jeżeli s ∈ L, to •s, zwane domniemaniem, jest przesłanką.
3. Jeżeli s ∈ L, to ◦s, zwane wyjątkiem, jest przesłanką.
4. Nic innego nie jest przesłanką.
Definicja 2.27 (Argument)
Argument jest trójką uporządkowaną (c, d, P ), gdzie c ∈ L jest konkluzją argumentu, d ∈
{pro, con} jest kierunkiem argumentu, a P ⊆ PL jest zbiorem przesłanek argumentu. Jeżeli a
jest argumentem (c, d, P ), to conclusion(a) = c, direction(a) = d, natomiast premises(a) =
P.
Kierunek „pro” oznacza, że argument świadczy za stwierdzeniem będącym konkluzją argumentu, natomiast kierunek „con” oznacza, że argument świadczy przeciw stwierdzeniu
pro
będącemu konkluzją argumentu. Argumenty „za” będą oznaczane przez P −−→ c, a argucon
menty „przeciw” będą oznaczane P −−→ c.
Oznaczenie
Przez A oznaczamy zbiór wszystkich argumentów możliwych do skonstruowania na zbiorze
L.
Głównym elementem modelu jest pojęcie grafu argumentów. Graf argumentów odgrywa
rolę podobną do roli zbioru formuł w logice. Podczas gdy w logice prawdziwość formuły
jest definiowana za pomocą relacji konsekwencji pomiędzy formułami, tutaj definiowane jest
pojęcie akceptowalności 5 stwierdzenia w grafie argumentów.
W grafie argumentów istnieją dwa rodzaje wierzchołków: wierzchołki-zdania i wierzchołkiargumenty. Krawędzie grafu łączą argument z jego przesłankami i konkluzją. Każde stwierdzenie jest reprezentowane przez co najwyżej jeden wierzchołek w grafie, dodatkowo wymagane jest, aby w grafie nie istniało równocześnie zdanie s oraz jego zaprzeczenie s (wówczas
5
Ang. acceptability.
36
wszystkie argumenty za s, musiałyby być potwórzone jako przeciw s i vice versa).
W związku z powyższym ograniczeniem, na potrzeby reprezentacji grafowej wprowadzane
jest pojęcie przesłanki zanegowanej. Jeżeli zdanie s reprezentowane jest w grafie, to przesłanka wykorzystująca zdanie s nazywana jest przesłanką zanegowaną. Przesłanki wszystkich
typów mogą być zanegowane, co oznaczamy: �s, •s, ◦s.
Definicja 2.28 (Graf argumentów)
Graf argumentów jest etykietowanym, skończonym, skierowanym, acyklicznym dwudzielnym
grafem składającym się z wierzchołków-argumentów i wierzchołków-zdań. Wierzchołki-zdania
są elementemi ze zbioru L. Krawędzie łączą wierzchołki-argumenty z wierzchołkami-zdaniami
reprezentującymi przesłanki i konkluzje każdego argumentu. Dla każdej pary zdań (s, s) co
najwyżej jedno z nich może być reprezentowane w grafie.
Oznaczenie
Zbiór wszystkich grafów argumentów, jakie można zdefiniować na zbiorze L będzie oznaczany
przez G.
W teorii argumentacji wyróżnia się dwa rodzaje argumentów: konwergentne i połączone
(por. 2.2.1). Argumenty konwergentne modelowane są w tym modelu jako wiele argumentów
za tą samą konkluzją, natomiast argumenty połączone modelowane są jako jeden argument
mający więcej niż jedną przesłankę.
2.3.3.2. Ewaluacja argumentów
Ewaluacja argumentów służy określeniu, czy dane stwierdzenie jest akceptowalne w danym grafie, czy też nie. W tym celu definiowane jest pojęcie kontekstu argumentacji, który
zawiera pewne dodatkowe informacje potrzebne do dokonania ewaluacji.
Definicja 2.29 (Kontekst argumentacji)
Niech C, kontekst argumentacji będzie trójką uporządkowaną (status, ps, >), gdzie status :
L → {stated, questioned, accepted, rejected}, ps : L → PS, > jest ostrym porządkiem
częściowym określonym na zbiorze argumentów. Dla każdego zdania s i jego dopełnienia
s, standard dowodu przypisany s jest dopełnieniem standardu dowodu przypisanego s i
dodatkowo:
37
• jeżeli status(s) = stated, to status(s) = stated,
• jeżeli status(s) = questioned, to status(s) = questioned,
• jeżeli status(s) = accepted, to status(s) = rejected,
• jeżeli status(s) = rejected, to status(s) = accepted.
Intuicyjnie, każde stwierdzenie ma na początku status stated. Potem, w czasie dialogu,
może stać się ono przedmiotem sporu (questioned), natomiast po wymianie wszystkich argumentów za i przeciw może przyjąć stan accepted lub rejected. Szczegóły tego procesu
nie są w tym modelu rozpatrywane, jako że autorzy skupiają się wyłącznie na modelowaniu argumentów i relacji pomiędzy nimi, a nie na specyfikacji protokołu dialogu. Funkcja
ps przypisuje każdemu stwierdzeniu standard dowodu, pojęcie to będzie zdefiniowane poniżej. Porządek > określa, który z danych dwóch argumentów jest silniejszy (jest to porządek
częściowy, więc nie każde dwa argumenty są porównywalne).
Wreszcie przechodzimy do definicji pojęcia akceptowalność stwierdzeń. W tej definicji i
poniższych zakładany jest pewien kontekst argumentacji.
Definicja 2.30 (Akceptowalność stwierdzeń)
Niech acceptable : L × G → {prawda, f alsz}. Stwierdzenie jest akceptowalne w danym
grafie argumentów wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia swój standard dowodu w tym grafie:
acceptable(s, G) = satisf ies(s, ps(s), G).
Definicja 2.31 (Spełnianie standardu dowodu)
Standard dowodu jest funkcją typu L × G → {prawda, f alsz}. Zdanie s spełnia standard
dowodu f w grafie argumentow G wtedy i tylko wtedy, gdy f (s, G) jest prawdą.
W [25] definiowane są trzy standardy dowodu z zaznaczeniem, że nie jest to lista zamknięta, możliwe jest definiowanie innych standardów.
SE (Scintilla of Evidence). Stwierdzenie spełnia ten standard wtedy i tylko wtedy, gdy
jest wsparte przynajmniej jednym broniącym się argumentem „za”.
BA (Best Argument). Stwierdzenie spełnia ten standard wtedy i tylko wtedy, gdy jest
wsparte przynajmniej jednym broniącym się argumentem „za”, który jest silniejszy od
wszystkich broniących się argumentów „przeciw”.
38
DV (Dialectical Validity). Stwierdzenie spełnia ten standard wtedy i tylko wtedy, gdy
jest wsparte przynajmniej jednym broniącym się argumentem „za” i nie istnieją broniące się argumenty „przeciw”.
Niektóre z powyższych standardów dowodzenia (np. SE) zostały zaczerpnięte z anglosaskiego sądownictwa. Bardziej szczegółówy opis prawniczego kontekstu powyższych standardów można znaleźć w [24].
Dodatkowo standard dowodu może zostać wyprowadzony z innego poprzez zamianę ról
argumentów „za” i „przeciw”:
Definicja 2.32 (Dopełnienie standardu dowodu)
Dopełnienie standardu dowodu σ oznaczane przez σ, jest standardem powstałym przez zamianę ról argumentów „za” i „przeciw” w definicji σ.
Na przykład dopełnienie standardu dowodu BA, oznaczane przez BA, jest spełnione
wtedy i tylko wtedy, gdy stwierdzenie posiada broniący się argument „przeciw” silniejszym
niż wszystkie broniące się argumenty „za”.
W ogólności dane zdanie może spełniać zarówno dany standard dowodu, jak i jego dopełnienie, co podkreśla różnicę pomiędzy pojęciem akceptowalności i prawdy w sensie logicznym.
Wszystkie standardy dowodzenia definiowane są w oparciu o pojęcie bronienia się argumentu, które definiowane jest poniżej.
Definicja 2.33 (Bronienie się argumentu)
Niech def ensible : A × G → {prawda, f alsz}. Argument a broni się w grafie G wtedy i tylko
wtedy, gdy ∀p∈premises(a) holds(p, G) (wszystkie przesłanki ze zbioru premises(a) trzymają w
grafie G).
Wreszcie przechodzimy do ostatniej definicji potrzebnej do ewaluacji argumentów, która
precyzuje, co to znaczy, że przesłanka p „trzyma” w grafie G. Odbywa się to przez wprowadzenie funkcji holds. W tym miejscu następuje rekursywne zapętlenie definicji pojęć występujących w modelu CAF: to, czy przesłanka trzyma może zależeć od akceptowalności
stwierdzenia, które wchodzi w jej skład, które z kolei zależy od bronienia się argumentów za
i przeciw temu stwierdzeniu, a to czy dany argument się broni zależy oczywiście od tego, czy
jego przesłanki trzymają.
39
Definicja 2.34 (Trzymanie przesłanki)
Niech holds będzie funkcją typu PL × G → {prawda, f alsz}. Niech σ = status(s). To czy
przesłanka trzyma w danym grafie zależy od jej typu (zwykła, domniemanie lub wyjątek),
stąd mamy trzy przypadki:
• Jeżeli p jest zwykłą przesłanką, �s, to
holds(p, G) =













prawda
jeżeli σ = accepted
f alsz
jeżeli σ = rejected
acceptable(s, G)
jeżeli σ = questioned ∨ σ = stated.
• Jeżeli p jest domniemaniem, •s, to
holds(p, G) =













jeżeli σ = accepted ∨ σ = stated
prawda
f alsz
jeżeli σ = rejected
acceptable(s, G)
jeżeli σ = questioned.
• Na koniec, jeżeli p jest wyjątkiem, ◦s, to
holds(p, G) =













prawda
jeżeli σ = rejected
f alsz
jeżeli σ = accepted
¬acceptable(s, G)
jeżeli σ = questioned ∨ σ = stated,
czyli po prostu holds(◦s, G) = ¬holds(�s, G).
2.3.3.3. Przykłady
Poniżej podano dwa przykłady instancji modelu CAF. Grafy argumentów zostały zilustrowane za pomocą rysunków. Legenda dla obydwu ilustracji wygląda następująco:
• Prostokątne wierzchołki reprezentują stwierdzenia. Ciągi postaci „S. . . S” są identyfika-
torami (konkretne treści stwierdzeń są tu nieistotne). Dla każdego stwierdzenia podano
w nawiasach skrót nazwy przypisanego mu standardu dowodu.
• Status stwierdzenia oznaczono kolorami: (a) szary — status stated, (b) żółty — status
questioned, (c) zielony — status accepted, (d) czerwony — status rejected.
• Okrągłe wierzchołki reprezentują argumenty.
• Pogrubioną czcionką oznaczono stwierdzenia akceptowalne (acceptable(s, G) = prawda)
i argumenty broniące się (def ensible(a, G) = prawda) w danym grafie.
40
• Kierunek argumentu wyrażony jest za pomocą „znacznika kierunku” krawędzi pro-
wadzącej od argumentu do stwierdzenia (będącego jego konkluzją). Czarna strzałka
oznacza, że argument jest „za”, biała oznacza, że jest „przeciw”.
• Typ przesłanki wyrażony jest za pomocą „znacznika kierunku” krawędzi prowadzącej
od stwierdzenia do argumentu (dla którego dane stwierdzenie jest przesłanką). Brak
„znacznika kierunku” oznacza zwykłą przesłankę, czarne kółko oznacza domniemanie,
a białe kółko wyjątek.
• Zanegowane przesłanki oznaczone są kreseczką prostopadłą do krawędzi grafu.
• Dla uproszczenia rysunków, częściowy porządek siły argumentów nie jest ilustrowany.
Przykład 2.7
L = {S3e8S, Sbb8S, S0S, . . .},
PL = {�Sbb8S, ◦S7d0S, •1f 40, •S1f 40, . . . ,
G = patrz rysunek 2.2.
Wartości funkcji przypisującej standard dowodzenia:
ps(S3e8S) = DV, ps(S1770S) = SE, . . .
Na przykładzie 2.7 widać (poza funkcjonowaniem podstawowych pojęć), że jedno stwierdzenie np. (S1770S) może być wykorzystane w wielu przesłankach (•S1770S, ◦S1770S). Co
więcej, definicja zbioru PL i definicja argumentu wskazują na to, że pojedyncza przesłan-
ka może być wykorzystana w wielu argumentach (stoi to w pewnej sprzeczności z grafową
reprezentacją CAF, do czego wrócimy przy analizie tego modelu).
Przykład 2.8
L = {S1b5cS, S7d4S, S138cS, . . .},
PL = {�S7d4S, �S138cS, •S4S, . . .},
G = patrz rysunek 2.3.
Wartości funkcji przypisującej standard dowodzenia:
ps(S7d4S) = DV, ps(S138cS) = SE, . . .
41
Rysunek 2.2: Przykład grafu argumentów 1
Na przykładzie 2.8 widać działanie standardu dowodu dialectical validity (DV): zdanie
S7d4S ma broniący się argument „za”, ale ma również broniący się argumentu „przeciw”,
standard DV nie jest zatem spełniony, czyli zdanie S7d4S nie jest akceptowalne. Widać tutaj
również, że status i akceptowalność są wartościami nieskorelowanymi, a wyższy priorytet
ma status: przesłanka �S7d4S trzyma6 , pomimo iż S7d4S nie jest akceptowalne. Ten sam
mechanizm widać w przypadku zdania S55f 5S: przesłanka ◦S55f 5S powinna nie trzymać,
ponieważ to zdanie jest akceptowalne, ale ratuje ją status rejected.
Na tym przykładzie widać również działanie dopełnienia standardu dowodu: zdanie S4a3dS
spełnia standard dowodu SE, dzięki czemu przesłanka �S4a3dS trzyma.
2.3.3.4. Analiza modelu CAF
Z formalnego punktu widzenia definicja przedstawiona w pracach [24] i [25] zawiera kilka
niedopowiedzeń i nieścisłości jak: (a) brak jawnej definicji samego modelu Carneades jako
całości, (b) pojęcie „przesłanki” wykorzystywane jest na przemian w rozumieniu definicji
2.26 i w rozumieniu stwierdzenia wchodzącego w skład przesłanki, (c) funkcja satisf ies nie
posiada jawnej definicji i wydaje się nadmiarowa (w definicji 2.30 można napisać od razu
6
Pomimo tego argument „za” S1b5cS się nie broni, ponieważ przesłanka •S4S nie trzyma.
42
Rysunek 2.3: Przykład grafu argumentów 2
acceptable(s, G) = f (s, G)), (d) definicja 2.28 nie definiuje jednoznacznie zbioru wierzchołków i zbioru krawędzi grafu.
Ta ostatnia nieścisłość może wręcz prowadzić do sprzeczności: w definicji 2.26 mamy
zbiór przesłanek, co oznacza na przykład, że dla danego s ∈ L istnieje co najwyżej jeden
element •s ∈ PL (zbiór z definicji nie zawiera powtórzeń). Model w żadnym miejscu nie
zabrania wykorzystania jednej przesłanki w wielu argumentach, możemy mieć zatem parę
argumentów (a1 , a2 ) taką, że a1 �= a2 , •s ∈ premises(a1 ) i •s ∈ premises(a2 ). Ponieważ
jednak definicja 2.28 sugeruje, że przesłanki są reprezentowane przez krawędzie w grafie
argumentów, w opisanym tutaj przypadku krawędź •s musiałaby prowadzić jednocześnie od
s do a1 i od s do a2 . Jest to sprzeczne z klasyczną definicją grafu.
Wymienione formalne niedociągnięcia nie pozostawiają jednak żadnych istotnych luk
pojęciowych w modelu, a ich usunięcie jest tylko kwestią doprecyzowania kilku definicji.
Co najważniejsze, autorzy artykułu jasno przekazują intuicję modelu Carneades, który w
bardzo prosty sposób formalizuje teorię argumentacji zaprezentowaną w rozdziale 2. Łatwo
zauważyć, że model ten opiera się w dużo większym stopniu na pojęciach obecnych w tej
teorii niż modele wcześniej opisane.
Przede wszystkim jest pierwszym i do tej pory jedynym modelem argumentacji, który
43
wprowadza w sposób nietrywialny pojęcie kontekstu argumentacji, uzależniając akceptowalność stwierdzenia w grafie od jego standardu dowodu. Sprawia to, że Carneades jest szczególnie interesujący z punktu widzenia badań nad wnioskowaniem zależnym od kontekstu i z
tego względu zostanie wykorzystany w rozdziale 3 przy definiowaniu logiki argumentacyjnej,
w której takie wnioskowanie jest możliwe.
2.4. Teoria argumentacji — podsumowanie
Niniejszy rozdział zawiera skróconą informację na temat współczesnych badań nad argumentacją i dialogiem. Badania te występują pod czterema szyldami: logika nieformalna,
teoria argumentacji, pragma-dialektyka i krytyczne myślenie. Ścisłe definicje tych pojeć, jak
również rozgraniczenia pomiędzy nimi są w dalszym ciągu przedmiotem dyskusji w środowisku naukowym. W rozdziale opisany został wynik kwerendy bibliograficznej wykonanej od
strony logiki nieformalnej.
Na potrzeby zastosowań w systemach informacyjnych najbardziej interesującym produktem opisanych tu badań są formalne modele argumentacji i dialogu, ponieważ mogą stanowić
źródło inspiracji dla konstrukcji takich systemów lub, w przypadku kompletnych formalizmów, mogą zostać bezpośrednio zastosowane w takich systemach.
W dalszych pracach nie będą bezpośrednio wykorzystywane badania nad dialogiem. Wynika to z faktu, że dialog zawsze występuje pomiędzy pewną liczbą uczestników, więc, na
gruncie informatyki, należy do badań nad systemami wieloagentowymi, które nie są bezpośrednim przedmiotem zainteresowania tej rozprawy. W zamyśle autora, logika tworzona
w tej pracy jest raczej „logiką pojedynczego agenta”, która w przyszłości mogłaby zostać
wykorzystana do tworzenia agenta będącego w stanie prowadzić wnioskowanie w kontekście
dialogu i w tym dialogu konfrontować wyniki tego wnioskowania z innymi agentami. Na takim, wieloagentowym poziomie można mówić o formalnej logice dialogowej imitującej czy też
modelującej samą logikę nieformalną. Bardziej szczegółowy opis tej koncepcji można znaleźć
w [34] oraz [64].
Celem niniejszej rozprawy jest stworzenie oryginalnego podejścia do wnioskowania zależnego od kontekstu, a środkiem do tego celu ma być wiedza zdobyta w studiach nad
teorią argumentacji. Oryginalność rozwiązania polega na uzależnieniu od kontekstu samego
wnioskowania, nie zaś na dodawaniu kontekstu w postaci pewnej, szczególnie traktowanej,
44
wiedzy faktograficznej. Szczególnie obiecującym narzędziem do zrealizowania celu jest opisany w podrozdziale 2.3.3 model argumentacji Carneades, ponieważ w nim pojęcie kontekstu
jawnie występuje. Na tym etapie można przypomnieć podaną we wstępie tezę rozprawy,
która zostanie udowodniona w kolejnych rozdziałach:
Teza
Przy pomocy modelu argumentacji Carneades można skonstruować logikę wprowadzającą wnioskowanie zależne od kontekstu, które ułatwia modelowanie naturalnych mechanizmów wnioskowania.
Przez wprowadzanie rozumie się tutaj zdefiniowanie takiego wnioskowania kontekstowego,
którego nie da się sprowadzić do już istniejących rozwiązań w tej dziedzinie opisanych w 1.
rozdziale.
45
Rozdział 3
Logika oparta na argumentacji
W niniejszym rozdziale podjęte zostaje zagadnienie zastosowania wiedzy zaprezentowanej w poprzednim rozdziale do tworzenia logik oraz maszyn wnioskujących opartych na tych
logikach. Spodziewaną korzyścią płynącą z tego zabiegu jest „przeniesienie” do systemu informatycznego interesujących właściwości argumentacji widzianej jako proces dochodzenia
do nowych wniosków na podstawie już posiadanej wiedzy. Jak wspomniano w poprzednim
rozdziale, interesującymi właściwościami tzw. logiki nieformalnej jest wnioskowanie przy użyciu niepełnej wiedzy (wnioskowanie zawodne) i uzależnienie wnioskowania od kontekstu, w
którym ono zachodzi. Niniejsza praca skupia się przede wszystkim na kontekstowości wnioskowania.
Rozdział rozpoczyna się propozycją opisu logik za pomocą listy różnic, jakie zachodzą
pomiędzy daną logiką a klasyczną logiką pierwszego rzędu. Taki opis zostaje następnie wykorzystywany do analizy istniejących podejść do wnioskowania opartego na argumentacji
i dalej do sformułowania nowej logiki, posiadającej właściwość wnioskowania zależnego od
kontekstu.
3.1. Opis logik
Każda z opisywanych i porównywanych w tym rozdziale logik jest pewną wariacją klasycznej logiki pierwszego rzędu. Należy zatem systematycznie opisać różnice, jakie mogą
występować pomiędzy tymi logikami. Analiza porównawcza zostanie oparta na opisanej w
[51, 1.3 Varieties of Logic] klasyfikacji zmian, jakie są typowo dokonywane w klasycznej wersji
logiki pierwszego rzędu. Według [51], zmiany te zachodzą w sześciu możliwych wymiarach:
47
1. Składnia. Najbardziej oczywistym sposóbem, w jaki logiki mogą się między sobą różnić,
jest notacja, np. zastąpienie symbolu
�
Peirce’a symbolem ∃ Peano.
2. Podzbiory. Bardziej istotną modyfikacją jest wprowadzenie ograniczeń na możliwe operatory lub kombinacje operatorów. Przykładami mogą być tutaj Prolog z regułami
wnioskowania ograniczonymi do klauzul Horna czy logiki opisowe.
3. Teoria dowodzenia. Zamiast ograniczania możliwych kombinacji operatorów niektóre
wersje logiki ograniczają lub rozszerzają zbiór dozwolonych dowodów twierdzeń. Przykładowo logika intuicjonistyczna nie dopuszcza dowodów na istnienie danego obiektu
matematycznego przez wyjście z założenia, że dany obiekt nie istnieje i doprowadzenie
do sprzeczności. Logiki niemonotoniczne natomiast, jak np. logika domniemań, pozwalają na dokonywanie domyślnych założeń, o ile nie są one sprzeczne z aktualnym stanem
wiedzy.
4. Teoria modeli. Wariacje klasycznej logiki mogą również manipulować pojęciem prawdziwości zdań w odniesieniu do jakiegoś modelu świata. Klasyczna logika pierwszego
rzędu jest oczywiście logiką dwuwartościową, z wartościami prawda i fałsz. Możliwe są
jednak logiki trójwartościowe wprowadzające np. wartość logiczną nieznany. Jedną z
najpopularniejszych logik wielowartościowych jest logika rozmyta ze współczynnikiem
pewności zdań należącym do przedziału [0, 1] ⊂ �.
5. Ontologia. Niezinterpretowana logika nie posiada żadnych predefiniowanych predykatów, jej jedynymi symbolami są kwantyfikatory, operatory logiczne i zmienne. Aby
zapewnić podstawowe elementy dla definiowania obiektów specyficznych dla danej dziedziny, niektóre logiki zapewniają ontologię „wbudowanych” predykatów i aksjomatów.
Podstawowym przykładem jest tutaj ontologia teorii mnogości.
6. Metajęzyki. Klasyczna logika pierwszego rzędu może być użyta jako metajęzyk definiujący, zmieniający lub rozszerzający dowolną wersję logiki, włącznie z samą logiką
pierwszego rzędu. Przykładowo gramatyka bezkontekstowa jest wersją logiki klauzul
Horna używaną jako metajęzyk do definiowania składni języków formalnych.
Logiki występujące w dalszej części rozdziału opisywane są przez podanie cech wyróżniających daną logikę w tych sześciu wymiarach.
48
3.2. Programowanie w logice a argumentacja — stan
badań
Podejście do programowania w logice oparte na teorii argumentacji nie jest pomysłem
nowym, jednak jego potencjał do tej pory nie został w pełni wykorzystany. Jest tak m.in. dlatego, że sama teoria argumentacji cały czas się rozwija, dostarczając coraz to nowych źródeł
inspiracji dla twórców programów logicznych. W niniejszym podrozdziale prezentowana jest
analiza rozwiązań istniejących w tej dziedzinie stworzona na podstawie przeglądowych prac
[16] oraz [9]. We wszystkich opisywanych przypadkach pojęcie prawdziwości zdania zostaje
zastąpione pojęciem akceptowalności, aby podkreślić, że dane zdanie jest nie tyle uważane
za prawdziwe, co możliwe do zaakceptowania na podstawie posiadanych argumentów.
3.2.1. DeLP
W pracy [17] definiowany jest formalny system Defeasible Logic Programming (DeLP),
który łączy programowanie w logice z argumentacją. Wiedza w DeLP jest reprezentowana
za pomocą faktów i reguł. Obecna w nazwie zawodność wnioskowania uzyskiwana jest przez
wprowadzenie do wnioskowania zawodnych reguł. Pojedynczy program w DeLP składa się z
faktów i reguł niezawodnych oraz zawodnych zdefiniowanych następująco:
• Fakty to formuły atomowe będące predykatem lub negacją predykatu (np. chicken(little)).
• Reguły niezawodne, oznaczane L0 ← L1 , . . . , Ln reprezentują niezawodną informację.
Następnik reguły, L0 jest formułą atomową, a poprzednik {Li }i>0 jest niepustym zbiorem formuł atomowych.
• Reguły zawodne, oznaczane przez L0 � L1 , . . . , Ln , reprezentują niepewną informację.
Podobnie jak w przypadku reguł niezawodnych, L0 , . . . , Ln są formułami atomowymi,
a poprzednik reguły musi być zbiorem niepustym.
Program DeLP to para (Π, ∆), gdzie Π jest bazą wiedzy niezawodnej (fakty i reguły niezawodne) natomiast ∆ to zbiór reguł zawodnych. Do bazy wiedzy Π wymaga się niesprzeczności. Dla zapytań kierowanych do programu konstruowane są klasyczne dowody logiczne
wykorzystujące oba typy reguł. Dowodem niezawodnym nazywamy dowód, w którym nie została zastosowana żadna zawodna reguła wnioskowania. Dowody zawodne (wykorzystujące
49
zawodne reguły wnioskowania) nazywa się strukturami argumentacyjnymi (ang. argument
structure).
Sprzeczność pomiędzy strukturami argumentacyjnymi istnieje wtedy, gdy wykorzystują one sprzeczne ze sobą formuły atomowe. Struktura argumentacyjna sprzeczna do danej
nazywana jest kontrargumentem. DeLP korzysta z ogólnego pojęcia kryterium porównywania argumentów w celu rozstrzygnięcia, czy dany kontrargument pokonuje daną strukturę
argumentacyjną, czy też nie. W pracy [17] wprowadzane są w tym celu priorytety reguł,
jednak nie jest to jedyne możliwe kryterium, np. w [15] definiowane jest kryterium oparte
na priorytetach poszczególnych formuł atomowych.
Uogólniając, roztrzyganie o prawdziwości zapytania, dla którego istnieją sprzeczne struktury argumentacyjne odbywa się przez konstruowanie ciągów
struktura argumentacyjna — kontrargument — struktura argumentacyjna — . . .
oraz sprawdzanie, czy wyjściowa struktura udowadniająca zapytania pozostaje niepokonana, tj. czy atakujące ją kontrargumenty są pokonywane przez inne, niepokonane struktury
argumentacyjne.
Defeasible Logic Programming jest więc systemem programowania w logice opartym wyraźnie na modelu argumentacji Dunga zaprezentowanym w podrozdziale 2.3.1. Logika DeLP
operuje na podzbiorze języka klasycznej logiki pierwszego rzędu, ograniczając się do formuł atomowych oraz formuł złożonych z dwoma rodzajami implikacji: H ← B (dla reguł
niezawodnych) oraz H � B (dla reguł zawodnych), gdzie H jest formułą atomową, a B
jest koniunkcją formuł atomowych. Zmiana w teorii modeli polega na wprowadzeniu trzeciej
wartości logicznej UNKNOWN zwracanej przez program DeLP, gdy nie jest możliwe ustalenie akceptowalności bądź nieakceptowalności zdania podanego w zapytaniu do programu.
Dowodzenie zdań jest dwuetapowe. Przy użyciu faktów i reguł konstruowane są struktury
argumentacyjne, czyli drzewa wywodu danego zdania analogiczne do klasycznego dowodu.
Następnie za pomocą tzw. procedury dialektycznej ustalane jest, które struktury pokonują
które, a co za tym idzie czy zdanie zadane w zapytaniu jest akceptowalne czy nie.
50
3.2.2. Argument-based extended logic programming with defeasible priorities
W pracy [44] przedstawiony zostaje, inspirowany wnioskowaniem prawniczym, system
rozszerzonego programowania w logice z zawodnymi priorytetami. Wykorzystywany tutaj formalny język wyposażony jest w klasyczną i słabą negację (ang. negation as failure). Słabe
zdanie to takie zdanie języka, które zawiera słabą negację. Reguły wnioskowania mają klasyczną, dedukcyjną postać. Wyróżniamy reguły zawodne i niezawodne, przy czym reguły
zawodne to te, które zawierają przynajmniej jedno słabe zdanie. Argumentem nazywana
jest tutaj skończona sekwencja reguł taka, że:
1. dla każdej reguły ri i każdego silnego zdania Lj 1 w poprzedniku ri istnieje reguła rk ,
której Lj jest następnikiem,
2. żadne dwie różne reguły nie mają tego samego następnika.
Zawodność wnioskowania modelowana jest przez słabą negację. Dowód zdania przybiera formę dialogu pomiędzy proponentem i oponentem. Zdanie zostaje udowodnione, jeżeli proponentowi uda się sformułować argument udowadniający zdanie i obronić go przed
wszystkimi atakami oponenta.
Argument atakuje drugi, jeżeli jest z nim w konflikcie. Ogólnie mówiąc, argumenty A1 i
A2 są w konflikcie, jeżeli można z nich wyprowadzić sprzeczne zdania przy użyciu wyłącznie
niezawodnych reguł. Podobnie jak w przypadku DeLP, relacja pokonywania argumentów
(mówiąca czy dany argument znosi drugi argument będący z nim w konflikcie) zależy od
priorytetów reguł użytych w argumentach.
Ważnym elementem systemu zdefiniowanego w [44] są priorytety przypisane regułom
wnioskowania. Ciekawą ich właściwością jest to, że nie są one na stałe przypisane do reguł, lecz są zawodne, tzn. proponent i oponent mogą przeprowadzić dialog mający na celu
ustalenie tych priorytetów.
Podobnie jak w przypadku DeLP podejście Prakkena i Sartora oparte jest na Dunga modelu argumentacji, ponieważ argumenty przedstawiane przez proponenta i oponenta związane są odpowiednio definiowaną relacją atakowania i w oparciu o tę relację definiowany jest
dialog stanowiący dowód zdania. Elementem odbiegającym od modelu Dunga są dynamiczne priorytety reguł. Również analogicznie do DeLP zmiany w stosunku do klasycznej logiki
1
Silne zdanie to takie, które nie zawiera słabej negacji
51
pierwszego rzędu obejmują wprowadzenie dwóch rodzajów reguł wnioskowania, priorytetów
reguł i dialektycznej metody roztrzygania o akceptowalności zdania, przy czym tutaj metoda
ta przybiera jawnie formę dwustronnego dialogu.
3.2.3. Argumentation Semantics for Extended Logic Programming
Schweimeier i Schroeder definiują w pracy [49] system analogiczny do powyższego z tą
różnicą, że nie występują w nim reguły niezawodne ani priorytety reguł. W oparciu o pojęcie
konfliktu pomiędzy argumentami definiują oni rozmaite pojęcia ataków dla rozszerzonego
programowania w logice. Wyróżniają pojęcia:
• ataku argumentu,
• pokonywania argumentu,
• silnego ataku argumentu,
• silnego podcinania argumentu.
Tutaj odstępstwa od logiki pierwszego rzędu są takie same jak w przypadku [44], z różnicą w
teorii dowodzenia, ponieważ wzbogacona zostaje relacja atakowania pomiędzy argumentami.
3.2.4. Podejście Dunga
W cytowanym już artykule [13] Dung pokazuje, że za pomocą stworzonego przez niego
modelu argumentacji możliwe jest modelowanie wielu znanych problemów informatycznych,
w tym programowania w logice. Np. przytaczane jest sformułowanie programu logicznego
z własnością słabej negacji (ang. negation as failure) pary (AR, attacks). Dung pokazuje
również, jak klasyczne programowanie w logice może być zastosowane do obliczeń w jego
modelu argumentacji.
3.2.5. Argue tuProlog
Argue tuProlog (w skrócie AtuP) prezentowany w [10] jest prototypową implementacją
maszyny wnioskującej opartej na modelu Vreewijka opisanym w podrozdziale 2.3.2. AtuP
przyjmuje na wejście formuły w rozszerzonej logice pierwszego rzędu i zwraca informację o
akceptowalności zapytania w oparciu o naiwnie preferowane zbiory argumentów (por. opis
52
naiwnych i sceptycznych rozszerzeń w podrozdziale 2.3.1). Język AtuP może być postrzegany jako rozszerzenie języka Prolog wzbogaconego o liczbowo wyrażoną siłę reguł i stopnie
przekonań.
Podobnie jak przypadkach opisanych wyżej, logika stanowiąca podstawę AtuP różni się od
klasycznej zawodnymi i niezawodnymi regułami wnioskowania oraz porządkiem siły zdefiniowanym na zbiorze reguł zawodnych. Dowodzenie zdań polega na sprawdzaniu ich zasadności
rozumianej w sposób zaprezentowany w 2.3.2.
3.2.6. Programowanie w logice a argumentacja — podsumowanie i
możliwy rozwój
Jak widać z powyższego zestawienia, teoria argumentacji stosowana jest w programowaniu w logice przede wszystkim w celu zamodelowania niepewności wnioskowania. Chodzi
przede wszystkim o to, aby system wnioskujący uwzględniał fakt, że w praktycznych zastosowaniach często możliwe jest wyciąganie różnych, sprzecznych ze sobą wniosków w oparciu
o posiadaną wiedzę. Kluczem do osiągnięcia konkluzji jest uwzględnienie faktu, że wnioski
wyciągnięte w jeden sposób mogą być bardziej wiarygodne od wniosków wyciągniętych w
inny sposób, co prowadzi do koncepcji priorytetów wnioskowania. Modelowane jest również
wnioskowanie w oparciu o wiedzę niepewną (domniemania w logice [44]).
Kontekstowość wnioskowania możliwa jest do zamodelowania tylko w systemie Prakkena
i Sartora, gdzie możliwe jest ustalanie priorytetów reguł na podstawie dialogu, który mógłby
wyglądać różnie dla różnych zdań w zależności od pewnego kontekstu wnioskowania.
Wszystkie opisane powyżej podejścia do programowania w logice opartego na argumentacji korzystają w sposób jawny lub niejawny z Dunga modelu argumentacji (opisanego w
podrozdziale 2.3.1) lub z modelu Vreeswijka (por. 2.3.2).
W niniejszej pracy tworzona jest logika oparta na modelu argumentacji Carneades, opisanego w podrozdziale 2.3.3. Jak zostanie wykazane, taka logika modeluje zarówno zjawisko
zawodności wnioskowania (przez wprowadzenie domniemań oraz względnej siły argumentów), jak również nietrywialną koncepcję kontekstu, w którym wnioskowanie się odbywa.
Obecna w tym modelu argumentacji koncepcja kontekstu przeniesiona na grunt logiki znacząco odbiega od istniejących metod modelowania kontekstu opisanych w rozdziale 1.
53
3.3. Regułowa wersja Carneades Argumentation Framework
Zastosowanie modelu Carneades w logice wymaga pewnego dostosowania go do potrzeb
automatycznego, regułowego wnioskowania. Najogólniej mówiąc, należy przekształcić model
ze statycznego grafu argumentów do postaci, w której graf tworzony jest dynamicznie z argumentów i stwierdzeń istniejących w bazie wiedzy. Najpierw zostaną wymienione główne
kroki adaptacyjne wpisujące model Carneades w kontekst wnioskowania w logice. Następnie
opisane zostaną odstępstwa, jakie tworzona logika będzie mieć w stosunku do klasycznej logiki pierwszego rzędu, co pozwoli w ostatnim kroku w sposób precyzyjny zdefiniować żądaną
logikę argumentacyjną i opisać jej właściwości.
Aby dostosować wykorzystywaną terminologię do kanonu obowiązującego w badaniach
nad logiką, termin stwierdzenie (ang. statement) występujący w modelu Carneades zostanie
zastąpiony terminem zdanie.
W modelu Carneades argument występuje jako wierzchołek grafu, który jest połączony krawędziami z wierzchołkami reprezentującymi zdania, które stanowią konkluzję oraz
przesłanki tego argumentu. Na taki podgraf możemy spojrzeć jak na instancję reguły wnioskowania. Przykładowo, na argument widoczny na rysunku 3.1 możemy spojrzeć jako na
Rysunek 3.1: Przykładowy argument w modelu Carneades.
regułę wnioskowania zastosowaną do zdań p, q, r i s:
pro
•p, ◦q, �r −−→ s, gdzie � oznacza zwykłą przesłankę.
Zdanie w modelu CAF posiada swój status, który stanowi element kontekstu C (por.
2.3.3). Na gruncie logiki, to pojęcie odpowiada wartości logicznej zdania.
54
Pojęcie akceptowalności zdania jest odpowiednikiem prawdziwości w logice klasycznej.
Procedura stwierdzania akceptowalności zdania jest bardziej złożona od klasycznej procedury poszukiwania dowodu znanej z logiki, ponieważ znalezienie jednego ciągu przekształceń
logicznych prowadzącego od aksjomatów do dowodzonego twierdzenia nie jest wystarczające. Jeżeli pojedynczy taki ciąg nazwać wywodem, to dowód zdania (stwierdzenie akceptowalności) może wymagać znalezienia i porównania więcej niż jednego wywodu (zgodnie ze
standardem dowodu dowodzonego zdania).
Pomimo iż model Carneades jest statyczny, tzn. każdorazowo rozpatrujemy pewien ustalony graf argumentów, to jednak jest skonstruowany z myślą o co najmniej dwóch osobach
prowadzących ze sobą dialog (stąd pojawiają się takie terminy jak „zaakceptowany” czy
„odrzucony” — chodzi o wspólne zaakceptowanie lub odrzucenie danego stwierdzenia przez
osoby prowadzące dialog). Stąd też niniejsza logika, pomimo iż nie zawiera wprost wyrażonego elementu dialogu, zawiera pojęcia odnoszące się do pewnej pary lub grupy osób/agentów
będących w dialogu2 .
W przypadku logiki opartej na modelu argumentacji Carneades, modyfikacje klasycznej
logiki pierwszego rzędu zachodzą w trzech wymiarach:
(a) Podzbiory. Wnioskowanie zostaje ograniczone do klauzul Horna, choć są one tutaj
odpowiednio wzbogacone.
(b) Teoria dowodzenia. Zdefiniowana logika jest logiką domniemań, ponieważ w zbiorze
przesłanek reguł wnioskowania mogą występować dwa rodzaje domniemań: (i) „zwykłe” domniemanie, którego prawdziwość można założyć, o ile nie jest to sprzeczne z
bazą wiedzy, (ii) wyjątek, którego fałszywość można założyć, o ile nie jest to sprzeczne
z bazą wiedzy.
W procesie dowodzenia kluczowy jest standard dowodu danego zdania, który w ogólności może wymagać znalezienia więcej niż jednego wywodu (czyli dowodu w klasycznym
sensie) dla danego zdania, a następnie analizy relacji pomiędzy znalezionymi wywodami.
Ostatnią modyfikacją w teorii dowodzenia jest wprowadzenie reguł wnioskowania „za”
i „przeciw” konkluzji danej reguł
(c) Teoria modeli. Zdania w logice opartej na modelu Carneades mogą mieć cztery wartości
2
por. np. definicja 3.3
55
logiczne: accepted (najbardziej odpowiadające klasycznej wartości prawda), rejected
(najbardziej odpowiadające klasycznej wartości fałsz ), stated i questioned.
Jak widać, odstępstwa od klasycznej logiki pierwszego rzędu są tutaj dość znaczne. Ponieważ jest to pierwsze znane podejście do pełnego zdefiniowania logiki opartej na modelu
Carneades, więc dla uproszczenia zostanie wprowadzone również ograniczenie na konstrukcję
termów wyłącznie do stałych i zmiennych indywiduowych (z wyłączeniem funkcji).
Nie jest to ograniczenie wynikające bezpośrednio z zastosowania modelu Carneades, ale
ułatwi ono kompletne zdefiniowanie logiki oraz algorytmów wnioskowania w niej. Rezultat
będzie mógł być, na dalszym etapie badań, rozszerzony porzez zniesienie tego ogrniczenia.
Gdu znana jest pełna definicja klasycznej logiki pierwszego rzędu i lista zmian, jakie w
niej zachodzą w wyniku zastosowania modelu Carneades, możliwe jest pełne zdefiniowane
logiki argumentacyjnej (będzie ona oznaczana przez RCAF).
3.4. Definicja logiki RCAF
Logika będzie definiowana metodą zstępującą (poczynając od pojęć najbardziej ogólnych
do najbardziej szczegółowych).
Definicja 3.1 (RCAF)
Logiką argumentacyjną RCAF jest trójka uporządkowana:
RCAF = (L, S, IM),
gdzie L jest uproszczonym językiem logiki pierwszego rzędu, S jest zmodyfikowaną seman-
tyką logiki pierwszego rzędu, a IM jest mechanizmem wnioskowania specyficznym dla tej
logiki.
3.4.1. Język
Definicja 3.2 (Język)
Jako język L zostaje przyjęty uproszczony język klasycznego rachunku predykatów3 , składający się z:
1. stałych indywiduowych c, c1 , c2 , . . .,
3
Por. np. [37].
56
2. zmiennych indywiduowych v, v1 , v2 , . . .,
3. predykatów (symboli relacyjnych) P, Q, R, P1 , Q1 , R1 , . . .,
4. spójnika logicznego negacji ¬,
5. kwantyfikatora szczegółowego ‘∃’.
Zostają przyjęte standardowe definicje termów i formuł. Zdaniem jest formuła pozbawiona
zmiennych wolnych. Zmienna zdaniowa to formuła posiadającą przynajmniej jedną zmienną
wolną.
3.4.2. Semantyka
Definicja 3.3 (Semantyka)
Semantyka S jest standardową semantyką logiki pierwszego rzędu, z tą różnicą, że zbiorem
wartości logicznych zdań języka L jest zbiór {accepted, rejected, stated, questioned}. Wartości te posiadają następujące znaczenie (zaczerpnięte bezpośrednio z modelu Carneades):
• accepted — oznacza, że prawdziwość zdania jest zaakceptowana przez pewnych, hipotetycznych uczestników dialogu,
• rejected — oznacza, że zdanie jest odrzucone (uznane za fałszywe),
• stated — oznacza, że zdanie istnieje w dialogu, ale uczestnicy jeszcze się do niego nie
ustosunkowali,
• questioned — oznacza, że co najmniej jeden z uczestników kwestionuje prawdziwość
danego zdania.
Analogicznie do modelu Carneades, wartość logiczna zdania s jest oznaczana przez status(s).
W zależności do wartości logicznej zdania s, zdanie ¬s ma wartość:
• rejected, jeżeli status(s) = accepted,
• accepted, jeżeli status(s) = rejected,
• questioned, jeżeli status(s) = questioned,
• stated, jeżeli status(s) = stated.
57
3.4.3. Mechanizm inferencyjny
Definicja 3.4 (Mechanizm inferencyjny)
Mechanizm inferencyjny IM składa się z trzech elementów:
• Przyporządkowania ps : L → PS, które każdemu zdaniu języka L przypisuje jeden
standardu dowodu.
• Zbioru R dozwolonych reguł wnioskowania.
• Relacji „>” ⊆ R × R definiującej ostry porządek częściowy siły reguł wnioskowania;
zapis r1 > r2 oznacza, że reguła r1 jest silniejsza od r2 .
Definicja 3.5 (Standard dowodu)
Standard dowodu, zwany również standardem dowodzenia jest funkcją typu L → {prawda, f alsz},
która dla danego zdania s zwraca wartość prawda wtedy i tylko wtedy, gdy zdanie s spełnia
ten standard.
Oznaczenie
Przez PS oznaczamy zbiór zdefiniowanych w logice standardów dowodzenia.
Każde zdanie języka L ma przypisaną jedną funkcję ze zbioru PS. Pojęcie spełniania
standardu dowodu przez zdanie s jest związane z regułami wnioskowania, których konkluzją
jest s. Dlatego przed zdefiniowaniem tego pojęcia zdefiniowane zostaną reguły wnioskowania,
wraz z ich elementami składowymi.
Definicja 3.6 (Reguła wnioskowania)
pro
con
Reguła wnioskowania jest strukturą postaci p1 , p2 , . . . , pn −−→ c lub p1 , p2 , . . . , pn −−→ c, gdzie
p1 , . . . , pn to przesłanki, a c ∈ L to zdanie lub zmienna zdaniowa nazywana konkluzją lub
następnikiem reguły. Reguły pierwszej postaci to reguły typu „za”, natomiast reguły drugiej
postaci to reguły typu „przeciw”.
Zdanie s jest konkluzją/następnikiem reguły, jeżeli s powstaje z c przez podstawienie
zmiennych wolnych w c.
Oznaczenie
Typ reguły r jest oznaczony przez T (r). Przez „→” oznacza się regułę dowolnego typu.
58
Definicja 3.7 (Przesłanka)
Przesłanka p jest parą (x, s), gdzie x ∈ {�, •, ◦} jest typem przesłanki, a s ∈ L jest zdaniem
lub zmienną zdaniową. Przesłankę typu � nazywa się przesłanką zwykłą, przesłankę typu •
nazywamy domniemaniem, a przesłankę typu ◦ nazywa się wyjątkiem.
Oznaczenie
Dla uproszczenia zapisu, pary (�, s), (•, s), (◦, s) są oznaczane odpowiednio przez �s, •s i
◦s. Typ przesłanki p jest oznaczany przez T (p). Zdanie przesłanki p jest oznaczane również
przez p, o ile nie prowadzi to do niejednoznaczności.
Definicja 3.8 (Trzymanie przesłanki)
Przysłanka p trzyma, jeżeli p jest zdaniem i holds(p) = prawda. Funkcja holds : L →
{prawda, f alsz} dana jest wzorem:
• Jeżeli T (p) = �, to





prawda,




holds(s) = f alsz,






ps(p)(p),
jeżeli status(s) = accepted
jeżeli status(s) = rejected
jeżeli status(s) = stated ∨ status(s) = questioned.
• Jeżeli T (p) = •, to
holds(p) =





prawda,




f alsz,







ps(p)(p),
jeżeli status(s) = accepted ∨ status(s) = stated
jeżeli status(s) = rejected
jeżeli status(s) = questioned.
• Na koniec, jeżeli T (p) = ◦, to
holds(p) =





prawda,




f alsz,







¬ps(p)(p),
jeżeli status(s) = rejected
jeżeli status(s) = accepted
jeżeli status(s) = stated ∨ status(s) = questioned.
Przesłanka p wymaga udowodnienia, jeżeli wartość holds(p) zależy od wartości ps(p)(p).
Definicja 3.9 (Wspieranie zdania przez regułę)
Reguła r (po podstawieniu znajdujących się w niej zmiennych indywiduowych) wspiera zdanie s, jeżeli s jest konkluzją reguły r i wszystkie przesłanki reguły r trzymają.
59
Nie jest istotne czy reguła jest „za” czy „przeciw” s. W obydwu przypadkach mówi się o
wspieraniu zdania s.
Definicja 3.10 (Spełnianie standardu dowodu)
Spełnianie standardu dowodu jest pojęciem zależnym od konkretnej realizacji funkcji, o której
mowa w definicji 3.5. Definiowane są następujące funkcje pełniące rolę standardów dowodzenia:
1. Ślad dowodu (ang. Scintilla of Evidence): funkcja SE(s) = prawda wtedy i tylko wtedy,
gdy istnieje reguła „za” wspierająca s.
2. Najlepszy argument (ang. Best Argument): funkcja BA(s) = prawda wtedy i tylko
wtedy, gdy istnieje reguła „za” rza wspierająca s taka, że rza > rprzeciw dla każdej
reguły „przeciw” rprzeciw wspierającej s.
3. Zasadność dialektyczna (ang. Dialectical Validity): funkcja DV (s) = prawda wtedy
i tylko wtedy, gdy istnieje reguła „za” wspierająca s i nie istnieje reguła „przeciw”
wspierająca s.
Podobnie jak w punkcie 2.3.3.2, należy tu zaznaczyć, że powyższe standardy dowodzenia
nie są jedynymi możliwymi, są jednak dobrym punktem wyjścia w pierwszym podejściu do
definiowania logiki opartej na modelu Carneades.
Dla każdego, standardu dowodu istnieje jego dopełnienie, powstałe poprzez zamianę typów reguł „za” i „przeciw”:
Definicja 3.11 (Dopełnienie standardu dowodu)
Dopełnienie standardu dowodu σ oznaczane przez σ, jest standardem dowodzenia powstałym
przez zamianę typów reguł „za” na „przeciw” i vice versa oraz zanegowanie argumentu
funkcji w definicji σ.
Przykład 3.1
Dla standardu dowodu SE, funkcja SE(s) = prawda wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje reguła
„przeciw” wspierająca ¬s.
�
�
Zgodnie z definicjami 3.5 i 3.11, zbiór PS = SE, BA, DV, SE, BA, DV .
60
Własność 3.1
Funkcja ps podana w definicji 3.4 musi mieć następującą własność:
∀s∈L (ps(s) = σ ⇔ ps(¬s) = σ) .
Przykład 3.2
Jeżeli w powyższym przykładzie s = „Kot jest czarny”, to udowodnienie tego zdania wymaga wskazania jednej reguły „za” tym zdaniem, natomiast udowodnienie zdania ¬s =
„Kot nie jest czarny” wymaga wskazania jednej reguły „przeciw” zdaniu ¬¬s, czyli jednej
reguły „przeciw” s.
Wnioskowanie w tak zdefiniowanej logice (podobnie jak w logice klasycznej) polega na
dobieraniu wartościowania zmiennych obecnych w regułach, w taki sposób, aby wspierały
one dowodzone zdanie oraz zdania obecne w przesłankach już wykorzystanych reguł. Inny
jest natomiast cel wnioskowania, nie chodzi o skonstruowanie dedukcyjnego dowodu na prawdziwość zdania, ale ustalenie jego akceptowalności (zdanie jest akceptowalne, jeżeli spełnia
swój standard dowodu).
Oznaczenie
Dla jawnego oznaczania akceptowalności zdania s ∈ L zostaje wprowadzony zapis acceptable(s) ≡
ps(s)(s).
Podstawowe własności tak zdefiniowanej logiki omówione zostają w następnym podrozdziale. Teraz przedstawiony zostanie przykład wnioskowania w RCAF.
Przykład 3.3
Niech będzie dana następująca baza faktów:
s1 = King(John)
status(s1 ) = accepted
s2 = Greedy(John)
status(s2 ) = questioned ps(s2 ) = DV,
s3 = ¬Courageous(John) status(s3 ) = stated
ps(s1 ) = BA,
ps(s3 ) = SE,
oraz następujący zbiór reguł:
pro
r1 : King(y), •Courageous(y) −−→ Good(y),
con
r2 : Greedy(z) −−→ Good(z).
61
Niech relacja siły pomiędzy tymi regułami wygląda następująco: r2 > r1 . Powyższ zapis
należy rozumieć następująco:
• Reguła r1 mówi, że jeżeli x jest królem i jest odważny (a w przypadku króla zakładamy,
że jest), to jest dobry. Natomiast reguła r2 stwierdza, że jeżeli ktoś jest chciwy, to nie
jest dobry.
• Zdanie s1 stwierdza, że Jan jest królem i wszyscy rozmówcy się co do tego zgadzają.
Zdanie s2 mówi, że Jan jest chciwy, ale nie ma zgody co do tego. s3 stwiedza, że
nieprawdą jest, że Jan jest odważny. Zdanie to padło w dialogu, ale nie było do tej
pory przedmiotem rozważań.
• Każde zdanie ma przypisany jeden z podanych w definicji 3.10 standardów dowodzenia.
Do tak zdefiniowanego systemu wnioskującego przekazane zostaje zapytanie:
q = Good(John)? ps(q) = BA.
Stosując wnioskowanie wstecz (por. np. [48]) można stwierdzić, że q unifikuje się z konkluzjami reguł r1 i r2 przez podstawienie odpowiednio {y/John} i {z/John}.
Należy sprawdzić, czy dla takich podstawień wszystkie przesłanki r1 i r2 trzymają, co
sprowadza się do spełnienia następujących warunków (por. definicja 3.8):
• dla reguły r1
w1 : status(King(John)) = accepted ∨
�
(status(King(John)) = stated ∨ status(King(John)) = questioned) ∧
�
acceptable(King(John)) ,
w2 : status(Courageous(John)) = accepted ∨ status(Courageous(John)) = stated
�
�
∨ status(Courageous(John)) = questioned ∧ acceptable(Courageous(John)) ,
• dla reguły r2
w3 : status(Greedy(John)) = accepted ∨
�
(status(Greedy(John)) = stated ∨ status(Greedy(John)) = questioned) ∧
�
acceptable(Greedy(John)) .
Bezpośrednio ze zbioru faktów wiadomo, że status(King(John)) = accepted, więc w1 jest
spełniony. Również ze zbioru faktów wiadomo, że status(¬Courageous(John)) = stated,
62
korzystając z definicji 3.3 wiadomo, że status(Courageous(John)) = stated, więc warunek
w2 jest spełniony. Ponieważ spełnione są w1 i w2 wiadomo, że przy podstawieniu {y/John}
reguła r1 wspiera q.
Ze zbioru faktów wiadomo, że status(Greedy(John)) = questioned, więc musimy ustalić
czy zachodzi acceptable(Greedy(John)). Ze zbioru faktów wiadomo, że ps(Greedy(John)) =
DV , zatem należy sprawdzić, czy zachodzi DV (Greedy(John)). Korzystając z definicji 3.10
łatwo ustalić, że DV (Greedy(John)) = f alsz, ponieważ nie istnieje reguła „za” wspierająca
to zdanie. Jeżeli tak, to warunek w3 nie jest spełniony, więc reguła r2 nie wspiera zapytania
q.
Teraz już możliwe jest udzielenie odpowiedzi na zapytanie. Ponieważ ps(q) = BA, na
podstawie definicji 3.10, wymagamy aby istniała reguły „za” wspierająca q, oraz aby była
silniejsza od każdej reguły „przeciw” wspierającej q. Jest tylko jedna reguła „za” (r1 ), która
wspiera q i tylko jedna reguła „przeciw”, która nie wspiera q, zatem standard dowodu tego
zdania jest spełniony, a co za tym idzie q jest akceptowalne.
Gdyby zmienić status(s2 ) na accepted, wówczas reguła r2 wspierałaby q, a ponieważ
r2 > r1 , to zdanie q przestałoby być akceptowalne.
3.5. Podstawowe właściwości logiki RCAF
3.5.1. Zasadność istnienia trzech rodzajów przesłanek
3.5.1.1. Domniemanie a wyjątek
Spojrzenie na model Carneades od strony logiki rodzi od razu pytanie o to, czy nie
da się uprościć logiki opartej na tym modelu, na przykład przez wyeliminowanie jednego z
dwóch pojęć: domniemania lub wyjątku, które zdają się być swoimi przeciwnościami. Takie
uproszczenie mogłoby się odbyć przez zanegowanie zdania lub zmiennej zdaniowej wchodzącej w skład przesłanki. Aby udowodnić, że nie jest to możliwe należy wykazać następujące
twierdzenie:
Twierdzenie 3.1
Dla dowolnego s ∈ L, przesłanki ◦s i •¬s nie mogą być stosowane zamiennie bez wpływu
na proces wnioskowania.
63
Dowód
Niech s ∈ L, wówczas ◦s i •¬s są przesłankami. Na podstawie definicji 3.8 wiadomo, że
dwie przesłanki mogą być stosowane zamiennie, jeżeli mają równe wartości funckji holds.
Porównanie wartości holds(◦s) i holds(•¬s) zostało przedstawione w tabeli 3.1. Równość
Lp. status(s)
status(¬s) holds(◦s) holds(•¬s)
1.
accepted
rejected
f alsz
f alsz
2.
rejected
accepted
prawda
prawda
3.
stated
stated
4.
¬ps(s)(s) prawda
questioned questioned ¬ps(s)(s) ps(¬s)(¬s)
Tabela 3.1: Porównanie domniemania i wyjątku
status(¬s) = holds(◦s) dla wiersza 3. nie zachodzi dla dowolnego s ∈ L, zatem przesłanki
◦s i •¬s nie mogą być stosowane zamiennie. �
Przez podstawienie t = ¬s otrzymuje się analogiczne twierdzenie i dowód dla pary
holds(◦¬t) i holds(•t).
Widać, że definicja funkcji holds nie jest symetryczna względem podziału na domniemania i wyjątki. Zatem zastąpienie jednego z tych typów przesłanek za pomocą drugiego nie
jest możliwe.
3.5.1.2. Wyjątek a przesłanka zwykła
Taka symetria zachodzi jednak w przypadku podziału na przesłanki zwykłe i wyjątki,
co ilustruje tabela 3.2. Z własności 3.1 otrzymujemy, że ps(s) = σ ⇔ ps(¬s) = σ. Zatem
Lp. status(s)
status(¬s) holds(◦s) holds(�¬s)
1.
accepted
rejected
f alsz
f alsz
2.
rejected
accepted
prawda
prawda
3.
stated
stated
4.
¬ps(s)(s) ps(¬s)(¬s)
questioned questioned ¬ps(s)(s) ps(¬s)(¬s)
Tabela 3.2: Porównanie przesłanki zwykłej i wyjątku
64
(podstawiając ps(s) = σ do wyrażeń w tabelce), jeżeli dla dowolnego standardu dowodu σ
zachodzi równość ¬σ(s) = σ(¬s), to trzecia i czwarta kolumna tabeli są sobie równe. Jeżeli
tak, to dla każdej wartości logicznej zdania s zachodzi równość holds(◦s) = holds(�¬s), a
co za tym idzie możliwe jest zastąpienie pojęcia wyjątku za pomocą przesłanki zwykłej lub
odwrotnie.
Twierdzenie 3.2
Istnieje taki standard dowodu σ i takie zdanie s ∈ L, że równość
¬σ(s) = σ(¬s)
(3.1)
nie zachodzi.
Dowód
Nie będzie dana następująca baza wiedzy:
s1 = King(John)
status(s1 ) = accepted,
s2 = Greedy(John)
status(s2 ) = accepted,
pro
r1 : King(x) −−→ Good(x),
con
r2 : Greedy(y) −−→ Good(y)
oraz zapytanie q = Good(John), ps(q) = SE. Możliwe jest przeprowadzenie następującego
rozumowania:
1. SE(q) = prawda, ponieważ r1 wspiera q. Zatem ¬SE(q) = f alsz.
2. SE(¬q) = SE(¬Good(John)) = prawda wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje reguła
„przeciw” wspierająca ¬¬Good(John), czyli reguła „przeciw” wspierająca Good(John).
3. Regułą „przeciw” wspierającą Good(John) jest r2 , więc SE(¬q) = prawda.
Z 1. oraz 3. widać, że równość 3.1 nie zachodzi dla rozpatrywanego przypadku, co kończy
dowód twierdzenia. �
Tym samym dowiedzione zostało, że nie jest możliwe zastąpienie wyjątku za pomocą
przesłanki zwykłej ani przesłanki zwykłej za pomocą wyjątku.
3.5.1.3. Przesłanka zwykła a domniemanie
Pozostaje jeszcze zastanowić się czy jest możliwe uproszczenie logiki RCAF przez wyeliminowanie domniemania za pomocą przesłanki zwykłej lub vice versa. Analogiczne porównanie
65
wartości funkcji holds dla tego przypadku znajduje się w tabeli 3.3. Wartości funkcji holds są
Lp. status(s)
status(¬s) holds(•s) holds(�¬s)
1.
accepted
rejected
prawda
f alsz
2.
rejected
accepted
f alsz
prawda
3.
stated
stated
prawda
ps(¬s)(¬s)
4.
questioned questioned ps(s)(s)
ps(¬s)(¬s)
Tabela 3.3: Porównanie przesłanki zwykłej i domniemania
w tym przypadku nie do uzgodnienia, bardziej sensowne mogłoby się wydawać porównywanie
wartości holds(•s) i holds(�s), są one jednak różne z definicji.
Zostało w ten sposób wykazane, że zbiór trzech typów przesłanek jest nieredukowalny.
3.5.2. Prawo wyłączonego środka
Przy okazji analizy typów przesłanek występujących w logice RCAF zostało udowodnione twierdzenie 3.2, które dotyczy bezpośrednio tzw. prawa wyłączonego środka mówiącego,
że dla każdego zdania p albo ono samo, albo jego zaprzeczenie jest prawdziwe. W przypadku
logik wielowartościowych prawo to zwykle nie jest zachowane, podobnie jest w przypadku logiki RCAF, której zbiór wartości logicznych jest czteroelementowy. Jednak można by
wymagać, aby prawo wyłączonego środka było zachowane w przypadku pytania o akceptowalność zdania (czyli spełniania standardu dowodu).
Zgodnie z twierdzeniem 3.2, jest możliwe, aby zachodziła równość
σ(s) = σ(¬s)
(3.2)
W dowodzie twierdzenia wykazano, że obydwie strony równania 3.2 mogą być prawdą. Oczywiście obie strony równania mogą być również fałszem, wystarczy dla przykładu podanego
w dowodzie zmienić status zdań s1 i s2 na rejected, wówczas nie istnieje żadna reguła wspierająca q, zatem SE(q) = SE(¬q) = f alsz.
W przypadku gdy obie strony równania 3.2 są fałszem, mamy do czynienia ze zdaniem,
którego akceptowalności nie można ani wykazać, ani wykluczyć. Jest to zatem logika spełniająca tzw. założenie otwartego świata (Open World Assumption).
66
Gdy obie strony równania 3.2 są prawdą, zarówno zdanie, jak i jego zaprzeczenie jest
akceptowalne. Prawo wyłączonego środka, w ogólnym przypadku, nie obowiązuje. Jest to
podstawowa cecha odróżniająca pojęcie akceptowalności zdań od klasycznego pojęcia prawdziwości logicznej. Spełnianie założenia OWA może być pożądaną cechą logiki z uwagi na jej
zastosowania (praktyka pokazuje, że założenie Close World Assumption jest w praktycznych
zastosowaniach systemów informacyjnych zbyt rygorystyczne). Natomiast występowanie sytuacji w której zarówno zdanie p jak i ¬p jest akceptowalne może być uciążliwe (jest to
„sprzeczność” w sensie logiki RCAF), więc należałoby mieć możliwość jego wyeliminowania.
Jeżeli tak, to należy sobie odpowiedzieć na pytanie, od czego zależy, czy standard dowodu
generuje taką sprzeczność, czy też nie. Bardziej ogólnie, należy sprawdzić, jakie warunki musi
spełniać logika RCAF, aby nie dochodziło w niej do sprzeczności.
Model Carneades, a w następstwie także logika RCAF, definiuje standard dowodu w
sposób bardzo ogólny, jednak konkretne przykłady standardów dowodzenia zawarte w [25]
wskazują, że funkcja realizująca dany standard dowodu zdania s korzysta z poniższych informacji:
1. zbiór Rsza wspierających s reguł „za”,
2. zbiór Rsprzeciw wspierających s reguł „przeciw”,
3. relacja „>” zawężona do produktu (Rsza × Rsprzeciw ) ∪ (Rsprzeciw × Rsza ).
Natomiast sama definicja tej funkcji składa się z co najwyżej trzech warunków:
1. warunku wza , jaki musi spełniać zbiór Rsza ,
2. warunku wprzeciw , jaki musi spełniać zbiór Rsprzeciw ,
za
3. warunku wprzeciw
, jaki musi spełniać zwężona relacja „>”.
Standardy dowodu podane w definicji 3.5 można, z pomocą powyższych warunków, wyrazić
tabelką 3.4. Jeżeli brak warunku utożsami się ze stałą wartością prawda, to definicja każdego
za
standardu dowodu sprowadza się do zdania (klasycznej logiki) wza ∧ wprzeciw ∧ wprzeciw
. Jeżeli
dodatkowo zbiory reguł poda się do powyższych warunków jako zmienne, otrzymuje się
uogólniony zestaw warunków, podany w tabeli 3.5. Każdy z podanych w tej tabeli standardów
dowodu może być utożsamiany z funkcją zdaniową w1 (Rz ) ∧ w2 (Rp ) ∧ w3 (Rz , Rp ) (gdzie
Rz ⊆ R, Rp ⊆ R). Dzięki temu można skonstruować definicję standardu dowodu, która jest
co prawda zawężona w stosunku do definicji 3.5, jednak umożliwia pewną analizę właściwości
tego pojęcia.
67
Standard dowodu wza
wprzeciw
|Rsza | � 1 −
SE
Rsza �= ∅
BA
Rsza �= ∅
DV
za
wprzeciw
−
−
∃rza ∈Rsza ∀r∈Rsprzeciw rza > r
Rsprzeciw = ∅ −
Tabela 3.4: Usystematyzowana definicja standardów dowodu
Standard dowodu w1 (R)
w2 (R)
w3 (R1 , R2 )
|R| � 1 prawda prawda
SE
R �= ∅
BA
prawda ∃ra ∈R1 ∀rb ∈R2 ra > rb
R �= ∅
DV
R=∅
prawda
Tabela 3.5: Uogólniony zestaw warunków dla standardów dowodu
Definicja 3.12 (Kanoniczny standard dowodu)
Standard dowodu jest nazwany kanonicznym wtedy i tylko wtedy, gdy jest dany wzorem
σ(s) = w1 (Rsza ) ∧ w2 (Rsprzeciw ) ∧ w3 (Rsza , Rsprzeciw ),
(3.3)
gdzie s ∈ L jest zdaniem, Rsza jest zbiorem reguł „za” wspierających s, Rsprzeciw jest zbiorem
reguł „przeciw” wspierających s, w1 i w2 są funkcjami postaci R → {prawda, f alsz}, a w3
jest funkcją postaci R × R → {prawda, f alsz}. Funkcje w1 , w2 i w3 są charakterystyczne dla
danego standardu dowodu i nazywamy je warunkami. Dopełnienie kanonicznego standardu
dowodu jest również kanonicznym standardem dowodu.
Dla klasy standardów dowodów wyznaczonej przez powyższą definicję4 można zdefiniować
pojęcie słabości standardu, które okaże się przydatne przy odpowiedzi na pytanie o warunki,
jakie musi spełniać logika argumentacyjna oparta na modelu Carneades, żeby zachowywać
prawo wyłączonego środka.
Definicja 3.13 (Słabość standardu dowodu)
Kanoniczny standard dowodu σ jest słaby, jeżeli — dla odpowiadających mu warunków w1 ,
w2 i w3 — istnieje taka para rozłącznych zbiorów (Rz , Rp ), że zdanie
w1 (Rz ) ∧ w2 (Rp ) ∧ w3 (Rz , Rp ) ∧ w1 (Rp ) ∧ w2 (Rz ) ∧ w3 (Rp , Rz )
4
Jak wynika z tabel 3.4 i 3.5, do klasy tej należą wszystkie standardy zdefiniowane w RCAF.
68
(3.4)
jest prawdziwe. Kanoniczny standard dowodu jest silny jeżeli nie jest słaby.
Jak pokazano w dowodzie twierdzenia 3.2, standard dowodu SE jest słaby. Pozostałe dwa
standardy (BA i DV ) są silne. W przypadku BA wynika to z własności ostrego porządku
częściowego „>”. W przypadku DV wynika to z faktu, że warunki w1 (R) i w2 (R) są ze sobą
sprzeczne, zatem ten sam zbiór nigdy nie spełnia ich obydwu.
Twierdzenie 3.3
Niech s ∈ L i σ = ps(s) jest kanoniczny. Jeżeli dla zdania s równanie 3.2 ma po obu stronach
wartość prawda, to standard dowodu σ jest słaby.
Dowód
Dopełnienie kanonicznego standardu dowodu dane jest wzorem
¬p
¬p
¬p
σ(p) = w1 (R¬p
przeciw ) ∧ w2 (Rza ) ∧ w3 (Rprzeciw , Rza ),
po podstawieniu p = ¬s:
σ(¬s) = w1 (Rsprzeciw ) ∧ w2 (Rsza ) ∧ w3 (Rsprzeciw , Rsza ).
Podstawiając σ(s) i σ(¬s) do zdania 3.4 z definicji pojęcia słabości otrzymuje się:
�
σ(s)
w1 (Rsza )
∧
��
w2 (Rsprzeciw )
∧
�
�
w3 (Rsza , Rsprzeciw ) ∧ w1 (Rsprzeciw )
σ(¬s)
��
�
∧ w2 (Rsza ) ∧ w3 (Rsprzeciw , Rsza ) .
Wiadomo, że dla zdania s zachodzi σ(s) = prawda i σ(¬s) = prawda, zatem powyższe
zdanie jest prawdziwe. Istnieje zatem dla standardu dowodu σ para zbiorów, dla której
zdanie 3.4 jest prawdziwe — jest to para (Rsza , Rsprzeciw ). Zbiory te są rozłączne z definicji
reguł wnioskowania (reguła typu „za” i reguła typu „przeciw” to zawsze dwie różne reguły,
więc zbiory Rsza i Rsprzeciw nie zawierają elementów wspólnych). Stąd σ jest słaby. �
Z powyższego dowodu widać również, że jeżeli dany standard dowodu jest słaby, to jego
dopełnienie również jest słabe.
Twierdzenie 3.4
Jeżeli wszystkie standardy dowodu w zbiorze PS są kanoniczne i silne, to nie jest możliwe,
aby zdania s i ¬s były jednocześnie akceptowalne.
69
Dowód
To twierdzenie jest konsekwencją twierdzenia 3.3. Zdanie jest akceptowalne, jeżeli jego standard dowodu zwraca wartość prawda, więc zdania s i ¬s są akceptowalne wtedy i tylko
wtedy, gdy σ(s) = prawda i σ(¬s) = prawda.
Jeżeli żaden standard dowodu w zbiorze PS nie jest słaby, to dla każdego zdania s ∈ L
teza twierdzenia 3.3 jest fałszem, więc założenie również musi być fałszem. Założenie to
stwierdza, że σ(s) = prawda ∧ σ(¬s) = prawda, co jest fałszem. Zatem s i ¬s nie mogą być
jednocześnie akceptowalne. �
Twierdzenie 3.4 dostarcza watunku wystarczającego dla wyeliminowania sprzeczności z
logiki argumentacyjnej opartej na modelu Carneades. Wiąże się on co prawda z ograniczeniem standardów dowodzenia do klasy standardów kanonicznych, jednak klasa ta jest duża i
dość intuicyjna (dowodzenie zdania raczej powinno zależeć od reguł „za” i „przeciw” i relacji
pomiędzy nimi, a nie od innych czynników).
Logika RCAF, w której zbiór standardów dowodu PS jest zaczerpnięty bezpośrednio z
modelu Carneades, nie spełnia podanego warunku wystarczającego, ponieważ standard do-
wodu SE jest słaby. Usunięcie tego standardu dowodu powoduje wyeliminowanie możliwości
pojawienia się sprzeczności w RCAF.
3.5.3. Niemonotoniczność wnioskowania
Logika RCAF umożliwia elastyczne modelowanie niepewności prowadzącej do niemonotonicznego czyli zawodnego wnioskowania. Pierwszym sposobem jej modelowania jest mechanizm domniemań i wyjątków, analogiczny do rozwiązania znanego z logiki domniemań
Reitera (por. [47]), choć bardziej rozbudowany. Drugim sposobem jest oczywiście wprowadzenie siły reguł oraz standardów dowodzenia, które sprawiają, że twierdzenie w danej chwili
uznawane za prawdziwe może, w obliczu nowych informacji, zostać sfalsyfikowane, ponieważ
np. pojawi się reguła „przeciw” o sile wystarczającej dla niespełnienia standardu dowodu
tego twierdzenia.
3.5.4. Wnioskowanie zależne od kontekstu
Istniejące podejścia do kontekstowego wnioskowania, opisane w 1. rozdziale, skupiają
się na modelowaniu kontekstu w dziedzinie faktów. W przypadku logiki PLC i jej rozwinięć
70
kontekst jest obiektem lub zdaniem, powiązanym z innymi zdaniami relacją ist. W systemach
LMS/MCS kontekst jest pewnym podzbiorem faktograficzej wiedzy powiązanym z innymi
kontekstami tzw. „regułami przejścia” (ang. transotion rules).
W przypadku logiki RCAF kontekstem wnioskowania są standardy dowodów przypisane zdaniom oraz porządek częściowy siły reguł5 . W podejściu zaproponowanym w modelu
Carneades i przeniesionym do logiki kontekst, w którym odbywa się wnioskowanie przekłada się na wymagania stawiane sile dowodu danego zdania oraz na względną siłę reguł
wnioskowania.
Przykładowo, jeżeli za obszar rozważań przyjmiemy domenę prawną, to można w niej
wyróżnić takie konteksty jak postępowanie prokuratorskie, rozprawa pojednawcza czy rozprawa sądowa cywilna bądź karna. Dowiedzenie zdania „X popełnił przestępstwo Y ” ma
inny wymagany ciężar dowodowy np. w kontekście postępowania prokuratorskiego (wystarczy tzw. domniemanie popełnienia przestępstwa), a inny w kontekście rozprawy sądowej
(należy udowodnić winę X przy domniemaniu niewinności). Podobnie siła argumentu (czyli
reguły w RCAF) opartego na zeznaniu świadka w stosunku do argumentu z opinii biegłego
może być inna w przypadku sprawy w sądzie cywilnym niż w sądzie karnym. Są to przykłady, w których widać opisaną w 2. rozdziale zależność samego wnioskowania od kontekstu.
Tą właśnie zależność modeluje Carneades, a co za tym idzie, również właśnie zdefiniowana
logika RCAF.
Oczywiście nie można powiedzieć, aby to podejście do modelowania kontekstu było lepsze lub gorsze niż istniejące podejścia. Modelowanie kontekstowości wiedzy faktograficznej
i modelowanie kontekstowości samego wnioskowania raczej uzupełniają się wzajemnie. Za
słabość logiki RCAF w porównaniu z PLC można uznać fakt, że elementy kontekstu (np.
przypisanie standardu dowodu do zdania) nie mogą być same przedmiotem wnioskowania,
jak to ma miejsce w przypadku PLC, gdzie zdanie p = ist(c, q) może samo zostać uzależnione od kontekstu: r = ist(d, p). Tego typu wnioskowanie mające na celu ustalenie standardu
dowodu danego zdania lub ustalenie wzajemnej siły reguł wnioskowania6 może być celem
dalszego rozwoju logik opartych na modelu Carneades.
5
Carneades zalicza do kontekstu również statusy zdań, które w przypadku RCAF stają się wartościami
logicznymi.
6
Takie wnioskowanie obecne jest np. w systemie [44] opisanym w następnym rozdziale.
71
3.5.5. Otwartość na zastosowanie w środowisku wieloagentowym
Model argumentacji Carneades został zaprojektowany z myślą o zastosowaniu w dialogu
(por. [25, p. 876]). Autorzy tego modelu widzą dialog jako bogate, naturalne środowisko
występowania argumentów, które nie może być pominięte przy ich modelowaniu, jak to się
dzieje np. w opisanych wyżej modelach Dunga i Vreeswijka. Podobne stanowisko należałoby
zająć przy przenoszeniu argumentacji na grunt sztucznej inteligencji. Możliwości konfrontowania ze sobą wiedzy posiadanej przez różnych agentów, jakie zapewnia środowisko wieloagentowe, wydaje się nie do pominięcia jeżeli za cel stawiamy sobie konstruowanie systemów
wnioskujących o możliwie największych środkach wyrazu.
Maszyna wnioskująca oparta na klasycznej logice jest systemem zamkniętym w tym sensie, że na żadnym etapie konstrukcji takiego systemu nie jest przewidziana możliwość wymiany wiedzy z innymi systemami. Zastosowanie takiej maszyny wnioskującej w systemie
wieloagentowym wymaga w pierwszej kolejności nietrywialnej integracji z pewnym mechanizmem wymiany wiedzy.
Logika RCAF dziedziczy otwartość na dialog z modelu, na którym jest oparta: wartości
logiczne zdań mówią o zaakceptowaniu/odrzuceniu/kwestionowaniu przez uczestników pewnego dialogu. Pojedyncze zapytanie do bazy wiedzy opartej na RCAF zwraca informację o
tym, czy dane zdanie jest akceptowalne. Informacja ta jednak nie zostaje w bazie wiedzy
(zdanie to nie bierze udziału w dalszym wnioskowaniu ze statusem accepted chyba, że już
wcześniej miało ten status). Byłoby to nadużyciem, ponieważ wykazanie akceptowalności
jest z założenia zawodnym mechanizmem wnioskowania, np. nie musi obowiązywać w nim
prawo wyłączonego środka. Wykazanie akceptowalności jest raczej informacją do wykorzystania w dialogu i dopiero jego reguły i jego wynik (por. 2.2.2) mogą spowodować na agencie
posługującym się daną bazą wiedzy zmianę wartości logicznej zdania.
3.5.6. Akceptowalność a wartość logiczna
Zastosowanie modelu Carneades pozwala na rozróżnienie pomiędzy tym, jaka jest ustalona opinia uczestników dialogu na temat prawdziwości danego zdania, a tym czy ma ono
swoje logiczne uzasadnienie. Przykładowo, dla bazy wiedzy składającej się z pojedynczego
zdania: KB = {s = Red(T able), status(s) = accepted, ps(s) = SE} zdanie s, choć jest za-
akceptowane przez uczestników dialogu, nie jest akceptowalne, ponieważ standard dowodu
72
SE nie jest spełniony. To pozwala na wprowadzenie do systemu informatycznego rozróżnienia pomiędzy wiedzą arbitralnie uznawaną za prawdziwą/fałszywą a wiedzą, którą można
logicznie wywnioskować z przyjętych założeń.
3.6. Logika oparta na argumentacji — podsumowanie
W niniejszym rozdziale zdefiniowana została logika RCAF oparta na modelu argumentacji
Carneades. Pokazano, że jest ona znacząco odmienna od istniejących podejść do wnioskowania opartego na modelach argumentacji, opisanych w podrozdziale 3.2. Pokazano również, że
zdefiniowana logika jest niemonotoniczna (podrozdział 3.5.3) oraz, że wprowadza wnioskowanie zależne od kontekstu (podrozdział 3.5.4), które jest zasadniczo różne od istniejących
podejść opisanych w rodziale 1. Różnica ta polega na wprowadzeniu możliwości uzależnienia
od kontekstu wymogów stawianych uzasadnieniom dowodzonych twierdzeń.
Pokazano ponadto, że logika RCAF posiada potencjał do wykorzystania w systemach
wieloagentowych jako formalny system, który z jednej strony pozwala modelować „umysł”
pojedynczego agenta, z drugiej uwzględnia w sobie możliwość interakcji tego „umysłu” z
innymi agentami. O takiej wizji logiki argumentacyjnej była mowa w podsumowaniu 2. rozdziału.
Problemem, który rodzi się wraz ze zdefiniowanianiem logiki jest oczywiście problem skutecznego, automatycznego wnioskowania w niej. Jest on przedmiotem następnego rozdziału.
73
Rozdział 4
Wnioskowanie w RCAF
Podstawowym problemem przy konstruowaniu algorytmu wnioskowania w logice RCAF
jest fakt, że znalezienie pojedynczego wywodu (czyli odpowiednika dowodu w logice klasycznej, por. 3.3) nie przesądza o zakończeniu wnioskowania. W zależności od standardu
dowodzonego zdania i standardów dowodów zdań pośrednich może okazać się konieczne znalezienie więcej niż jednego wywodu. Co więcej, może się okazać, że właśnie znaleziony wywód
sprawia, że standard dowodzonego zdania nie może już być spełniony (np. znaleziono wywód przez maksymalną względem relcji „>” regułę „przeciw” zdaniu o standardzie Best
Argument).
To sprawia, że stadardowe algorytmy regułowego wnioskowania nie znajdują tu zastosowania. Nie jest jasne w jaki sposób można, po znalezieniu przy ich pomocy pierwszego
wywodu, kontynuować w sposób systematyczny dowodzenie do momentu, w którym standard dowodu danego zdania będzie spełniony lub wyczerpie się dostępna wiedza.
Systematyczne podejście do skonstruowania algorytmu wnioskowania w RCAF powinno
się zacząć od wyboru reprezentacji problemu wnioskowania w tej logice. Przy ogólnym opisie
tego procesu mówimy o znajdowaniu kolejnych wywodów, co nasuwa opisywaną w literaturze
(por. [4]) reprezentację zadania wnioskowania jako zadania wyszukiwania w przestrzeni.
Skonstruowanie algorytmu wnioskowania będzie się składać z trzech kroków: (1) podania
definicji przeszukiwanej przestrzeni, (2) sformułowania zadania wyszukiwania i cech jego
poprawnego rozwiązania oraz (3) podania algorytmu znajdującego to rozwiązanie. Jednak
zanim te kroki będzie można wykonać, należy doprecyzować kilka szczegółów, które nie są
wprawdzie związane z ideą logiki RCAF, ale wymagają ustalenia, aby było możliwe pełne
zdefiniowanie algorytmu:
75
Interpretacja zmiennych. Występującym w zapytaniu zmiennym należy nadać odpowiednią interpretację. Żeby nie komplikować problemu wnioskowania o elementy niezwiązane z zastosowaniem modelu Carneades, przyjmuje się wariant najprostszy: zmienna występująca w zapytaniu do bazy wiedzy jest zawsze związana kwantyfikatorem
szczegółowym (np. zapytanie q = King(x) oznacza zdanie ∃x King(x)). Dowodzenie
zdania ze zmienną x związaną kwantyfikatorem szczegółowym polega na znalezieniu
odpowiedniego podstawienia za x stałych.
Wartości domyślne. Zakłada się, że zdania występujące w bazie wiedzy mają nadany
status i standard dowodu, jednak wartości te nie są z góry ustalone dla pośrednich
wyników wnioskowania, które w bazie nie występują. Problem ten zostanie rozwiązany przez wprowadzenie wartości domyślnych. Domyślnym statusem zdania powinna
być wartość stated. Wracając do modelowanej tu sytuacji dialogu argumentacyjnego.
Wynik pośredni wnioskowania, który nie istnieje w bazie wiedzy, odpowiada zdaniu
wypowiedzianemu przez interlokutora w trakcie prezentowania swojej argumentacji.
Jest to więc zdanie wypowiedziane, do którego inni uczestnicy dialogu jeszcze się nie
odnieśli, co odpowiada definicji statusu stated. Dobór standardu dowodu dla zdania,
może odbywać się według różnych kryteriów, np. typu dialogu w jakim zachodzi wnioskowanie. Tutaj przyjmujemy, że zdanie otrzymuje standard dowodu takiego zdania z
bazy wiedzy, z którym się unifikuje. Jeżeli w bazie wiedzy brakuje takiego zdania, to
przydzielany jest arbitralnie wybrany, domyślny standard BA.
Priorytet domniemań i wyjątków. Należy rozstrzygnąć, w jaki sposób algorytm wnioskowania będzie traktował sytuację, w której z jednej strony mechanizm domniemań
pozwala na założenie (nie)akceptowalności zdania, z drugiej strony baza wiedzy pozwala na wnioskowanie o jego akceptowalności. Narzucającym się rozwiązaniem jest
rozpatrywanie domniemań w ostatniej kolejności: dopóki wiedza zgromadzona w bazie
pozwala na wnioskowanie, informacja o domniemaniach nie jest brana pod uwagę.
Oznaczenie
Aby móc pomijać kwantyfikatory w zapisie, ∃x P (x) oznaczamy po prostu przez P (x).
76
4.1. Reprezentacja problemu
4.1.1. Przeszukiwana przestrzeń
Niech RCAF = (L, S, IM) będzie logiką argumentacyjną spełniającą definicję 3.1, KB
będzie bazą wiedzy zdefiniowaną w tej logice, a q ∈ L będzie zapytaniem zadanym do tej
bazy. Zapytanie otrzymuje wartość questioned i jest interpretowane jako zwykła przesłanka
pro
pewnej domniemanej reguły �q −−→ �. Trzymanie tej reguły jest równoznacznie z udowod-
nieniem q.
Definicja 4.1 (Wywód)
Wywodem zdania q nazywa się graf skierowany W = (V W , E W ), gdzie V W jest zbiorem
wierzchołków będących przesłankami bez zmiennych wolnych. W zbiorze E W istnieje krawędź (p1 , p2 ) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje w KB reguła wnioskowania r, której jedną z
przesłanek jest p1 , a konkluzją p2 (przy odpowiednim podstawieniu zmiennych w r).
Podcelem wywodu W nazywa się przesłankę q � ∈ V W taką, że degin (q � ) = 0, oraz q �
wymaga udowodnienia. Wywód nazywa się kompletnym wtedy i tylko wtedy, gdy nie ma
podceli, w przeciwnym wypadku wywód jest niekompletny. Jedynym wierzchołkiem W , który
nie posiada krawędzi wychodzących jest �q (degout (�q) = 0).
Oznaczenie
Liczbę podceli wywodu W oznaczamy przez δ(W ).
Definicja 4.2 (Przestrzeń wywodów)
Przestrzeń wywodów W q jest zbiorem wywodów. Mówimy, że dwa wywody W1 = (V W 1 , E W 1 )
i W2 = (V W 2 , E W 2 ) są sąsiednie w tej przestrzeni, gdy W2 powstaje z W1 za pomocą jednego
kroku inferencyjnego wykonanego na podcelu q1 ∈ V W 1 .
Definicja 4.3 (Krok inferencyjny)
Oznaczmy V W 1 = V ∪ {q1 , . . . , qm }, E W 1 = E ∪ E � , gdzie E � = {(qi , pi ) : i = 1, . . . , m}, qi to
podcele wywodu W1 , a pi to pewne przesłanki tego wywodu, incydentne z podcelami. Zbiory
V, E, E � mogą być puste. Wyróżniamy trzy rodzaje kroków inferencyjnych:
Przez fakt, czyli przez dopasowanie q1 do faktu s ∈ KB. Wówczas podmienia się q1 na
77
nową przesłankę q1� = (T (q1 ), s� ), zatem wywód W2 wygląda następująco:
�
V W 2 = V ∪ {q1� , . . . , qm
},
(4.1)
E W 2 = E ∪ {(qi� , pi ) : i = 1, . . . , m},
(4.2)
Przez domniemanie/wyjątek, czyli przez założenie, że q1 jest prawdą (jeżeli T (q1 ) = •)
lub fałszem (jeżeli T (q1 ) = ◦). Wówczas W2 różni się od W1 wyłącznie wartością logiczną q1 .
Przez regułę, czyli przez dopasowanie q1 do następnika reguły r ∈ KB, gdzie r =
r1 , . . . , rn → c. Wówczas podmienia się q1 na nową przesłankę q1� = (T (q1 ), c� ), zatem wywód
W2 wygląda następująco:
�
V W 2 = V ∪ {q1� , . . . , qm
} ∪ {r1� , . . . , rn� },
(4.3)
E W 2 = E ∪ {(qi� , pi ) : i = 1, . . . , m} ∪ {(ri� , q1� ) : i = 1, . . . , n}.
(4.4)
�
Zdania s� , c� , r1� , . . . , rn� , q1� , . . . , qm
oznaczają odpowiednio zdanie s, elementy reguły r i
podcele W1 z podstawionymi termami. W przypadku kroku przez regułę r krawędzie ze
zbioru {(ri� , q1� ) : i = 1, . . . , n} mają etykietę r. Wywód W1 nazywa się poprzednim dla
W2 lub jego poprzednikiem, natomiast wywód W2 nazywa się następnym dla W1 lub jego
następnikiem.
Oczywiście, dla niektórych i ∈ {1, . . . , m} może zachodzić qi = qi� , jeżeli podstawienie
nie objęło termów w qi . Nie wszystkie z tych (tj. „primowanych”) wierzchołków muszą być
podcelami w W2 , niektóre mogły zostać udowodnione przy okazji kroku inferencyjnego wykonanego na q1 .
Przykład 4.1
Wywodami sąsiednim dla W0 = ({�P (x)}, ∅) przy bazie wiedzy
pro
KB = {P (A) : accepted, R(B) : accepted} ∪ {[�Q(y, z), •R(z)] −−→ P (z)}
są:
W1 = ({�P (A)}, ∅),
W2 =
�
�
{�P (x), •R(x), �Q(y, x)}, {(�Q(y, x), �P (x)), (•R(x), �P (x))} .
Wywodem sąsiednim dla W2 jest:
�
�
W3 = {�P (x), •R(B), �Q(y, B)}, {(�Q(y, B), �P (x)), (•R(B), �P (x))} .
78
W tym przykładzie przestrzeń przeszukiwań, która w reprezentacji garfowej (graf nieskierowany) wygląda następująco:
W q = ({W0 , W1 , W2 , W3 }, {{W0 , W1 }, {W0 , W2 }, {W2 , W3 }}).
W1 jest wywodem kompletnym, W2 ma dwa podcele: Q(y, x) i R(x), W3 ma jeden podcel:
Q(y, B) (co oznacza: ∃y Q(y, B)).
Jak widać w powyższym przykładzie, przestrzeń W q można w prosty sposób reprezento-
wać za pomocą grafu, którego wierzchołkami są wywody, a krawędzie reprezentują sąsiedztwo
wywodów. Krawędziom można nadać kierunek, np. od poprzedniego do następnego wywodu.
Twierdzenie 4.1
Jeżeli graf W q reprezentujący przestrzeń wywodów zawiera cykl skierowany, to wierzchołki
(wywody) składowe tego cyklu są izomorficzne.
Dowód
Niech W = (Wk , . . . , Wl ), gdzie k < l, będzie ścieżką w W q , przy czym kierunek krawędzi
ścieżki jest taki, że Wi jest wywodem poprzednim dla Wi+1 (i = k, . . . , l − 1). Aby ścieżka
W mogła stać się cyklem skierowanym, wywód Wl musi być poprzedni dla Wk .
Z definicji 4.3, wywód W � poprzedni dla W �� ma liczbę wierzchołków i krawędzi zawsze
niewiększą niż W �� , zatem V (Wk ) � V (Wl ) oraz E(Wk ) � E(Wl ). Wynika stąd, że aby
wywód Wl mógł być poprzedni dla Wk musi zachodzić:
V (Wk ) = V (Wl ),
(4.5)
E(Wk ) = E(Wl ).
(4.6)
Również z definicji 4.3 wiemy, że dla kroku inferencyjnego z W � do W �� wykonanego
przez dopasowanie reguły liczba wierzchołków W �� jest zawsze większa od V (W � ). Stąd, aby
równania 4.5 i 4.6 mogły być spełnione, W nie może zawierać żadnych kroków inferencyjnych
przez dopasowanie reguły, zatem wszystkie krawędzie W odpowiadają wnioskowaniu przez
dopasowanie zdania. Każde dwa sąsiednie wywodów różnią się więc wyłącznie podstawieniem
w swoich podcelach (są izomorficzne z dokładnością do podstawianych termów).
Niech v będzie zmienną związaną kwantyfikatorem sczegółowym, a c stałą. W krokach
inferencyjnych przez dopasowanie zdania legalne jest następujące podstawienia: v → c.
79
Reasumując, ścieżka W może być zamknięta w cykl wtedy i tylko wtedy, gdy Wl jest
poprzednie dla Wk , co jest możliwe wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie kroki inferencyjne w
W są przez dopasowanie zdania, jednak w takim przypadku w każdym kroku zastępujemy
co najmniej jedną zmienną przez stałą. Zastąpienie stałej z powrotem przez zmienną jest
niemożliwe. �
Graf W q może zawierać różnorodne cykle nieskierowane:
Przykład 4.2
Niech q = P (x) przy bazie wiedzy
pro
KB = {R(A) : accepted, Q(B, A) : accepted} ∪ {[�Q(y, z), •R(z)] −−→ P (z)}.
Występują następujące wywody:
W0 = ({�P (x)}, ∅),
�
� ��
W1 =  � P (x), •R(x), �Q(y, x) ,
�
� Q(y, x), �P (x) ,
� ��
W2 =  � P (x), •R(A), �Q(y, A), •R(A) ,
�
� ��
W3 =  � P (x), •R(A), �Q(B, A) ,
� �

��
• R(x), �P (x) ,
� �
� Q(y, A), �P (x) ,
� �
� Q(B, A), �P (x) ,

��
• R(A), �P (x) ,

��
• R(A), �P (x) .
Przestrzeń W q wygląda następująco:
Wq =
��
��
� �
W0 , . . . , W3 , (W0 , W1 ), (W1 , W2 ), (W1 , W3 ), (W2 , W3 )
,
występuje więc cykl nieskierowany (W1 , W2 , W3 , W1 ).
Dla wywodów Wi i Wj leżących na tej samej ścieżce skierowanej można wprowadzić pojęcie „odległości”, która jest równa liczbie krawędzi w ścieżce od Wi do Wj i oznacza liczbę
kroków inferencyjnych jakie należy wykonać, aby przejść od jednego wywodu do drugiego.
Tak rozumiana odległość nie jest jednak metryką w W q , gdyż nie można sensownie rozszerzyć jej definicji na całą przestrzeń (wywody leżące na różnych ścieżkach skierowanych
reprezentują niezależne sposoby dowodzenia zdania q, więc trudno jest mówić o tak rozumianej odległości pomiędzy nimi).
80
4.1.2. Zadanie wyszukiwania
Jak wspomniano powyżej, celem wyszukiwania nie jest znalezienie pojedynczego punktu
docelowego W t odpowiadającego kompletnemu wywodowi zdania q, lecz znalezienie zbioru
kompletnych wywodów W t = {W1t , . . . , Wnt }, które razem spełniają standard dowodu ps(q).
Co więcej, zbiór W t musi być maksymalny, tzn. nie może istnieć w przestrzeni przeszukiwań
taki kompletny wywód W t , że zbiór W t ∪ W t nie będzie już spełniał ps(q).
Znalezienie zbioru W t polega na sukcesywnym wyszukiwaniu jego elementów w prze-
strzeni W q . Kolejne znajdowane wywody muszą być ze sobą niesprzeczne, stąd po znale-
zieniu kompletnego wywodu Wkt zdania q należy zapisać podstawienie θt zmiennych w tym
wywodzie, które pozwoliło wykazać Wkt → q. Następnie należy kontynuować wyszukiwanie
traktując θt jako ograniczenie: podstawienie θ wykorzystywane w przeszukiwanych wywodach nie może być sprzeczne z θt . W przypadku znalezienia kolejnego kompletnego dowodu
Wlt � q podstawienia można zsumować: θt := θt ∪ θlt .
Zadanie wyszukiwania kończy się w momencie zaistnienia jednej z dwóch sytuacji:
1. znaleziono taki zbiór W t , który spełnia standard dowodu ps(q),
2. stwierdzono, że powyższy zbiór nie jest podzbiorem W q .
W przypadku, gdy konstruowany zbiór kompletnych wywodów W t = {W1t , . . . , Wnt } nie
con
może spełnić ps(q) (np. udowodniono Wnt −−→ q, przy ps(q) = DV ), należy zapisać podsta-
wienie θf := θt , opróżnić W t i θt , a następnie rozpocząć wyszukiwanie od początku traktując θf jako ograniczenie: podstawienie θ wykorzystywane w przeszukiwanych wywodach
musi być sprzeczne z θf . W przypadku natrafiania na kolejne „fałszywe ścieżki” dowodzenia należy kolejne „zabronione podstawienia” zapisywać: Θf = {θf , θ1f , . . .}. Podstawienie θ
wykorzystywane w przeszukiwanych wywodach musi być sprzeczne z każdym elementem Θf .
Reasumując, przy podanej reprezentacji problemu, zadanie dowodzenia w logice RCAF
sprowadza się do wyszukiwania z dwoma rodzajami ograniczeń:
1. wymaganej niesprzeczności z dotychczas znalezionymi wywodami,
2. wymaganej sprzeczności z wywodami prowadzącymi do obalenia q.
81
4.2. Metody rozwiązania problemu
Ponieważ problem wnioskowania w RCAF został sformułowany w postaci uniwersalnego zadania wyszukiwania z ograniczeniami, można do jego rozwiązania stosować całą gamę
metod, poczynając od najprostszych algorytmów dokładnych typu DFS czy BFS, przez bardziej wysublimowane wersje przeszukiwania dokładnego jak DFID (por. [32] i [33]) po metody
stochastycznego, heurystycznego wyszukiwania jak algorytmy ewolucyjne (por. [3]) czy roje
(por. [8]). Aby wykazać, że zadanie to jest wykonalne, przedstawiony zostanie przykładowy
algorytm kompletnego i dokładnego wnioskowania.
4.2.1. Kompresja wywodów
Algorytmy przeszukiwania będą przechowywać w pamięci pewną ilość punktów przestrzeni. Ponieważ przestrzeń W q ma naturalny punkt startu wyszukiwania ({�q}, ∅), a każdy sąsiedni punkt różni się od danego jednym krokiem inferencyjnym, warto przeanalizować
możliwość kompresji danych przechowywanych w węzłach W q .
Jak widać w definicji 4.3, sąsiednie wywody mają pewien wspólny podgraf. Jeżeli Wp jest
poprzedni dla Wn , to graf Wn \ Wp zawiera:
• podcele wywodu Wp , które zostały zmienione podstawieniem, ale pozostają podcelami
w Wn (ozn. Q),
• zdania udowodnione w kroku inferencyjnym Wp → Wn (ozn. S),
• krawędzie incydentne z wierzchołkami z Q i S.
Zatem do reprezentowania wywodu Wn można wykorzystać: Wp , zbiór krawędzi EQ incydentnych z Q oraz zbiór ES krawędzi incydentnych z S. Przy przechodzeniu od wywodu
Wn do następnych wywodów potrzebne są podcele Q oraz te podcele Wp , które pozostały
niezmienione, a zatem nie znalazły się w zbiorach Q lub S (oznaczmy ten zbiór przez Qp ).
Zatem wywód Wn można reprezentować przez trójkę
Wn = (ES , EQ , Wp ∗),
gdzie Wp ∗ jest wskaźnikiem do analogicznej trójki dla wywodu Wp . Przy takiej reprezentacji
Qp można uzyskać z analizy Wp .EQ , ES i EQ .
82
Uwaga 4.1
Taka metoda kompresji ułatwia przechowywanie w pamięci całej przestrzeni W q (jej rozmiar
jest zbliżony do rozmiaru kolekcji kompletnych wywodów najbardziej odległych od punktu
startowego w danym momencie wyszukiwania). Stosując taką kompresję należy jednak liczyć
się z pewnymi ograniczeniami, które dobrze ilustruje przykład 4.2, np. mając tylko wywód
W1 oraz wierzchołek reprezentujący skompresowany wywód W3 możemy nie być w stanie
odtworzyć wywodu W3 (jeżeli został on utworzony za pomocą wierzchołka W2 ).
4.2.2. Przykładowy algorytm wyszukiwania
Przestrzeń W q ma naturalny punkt startu wyszukiwania ({�q}, ∅) oraz zawiera pewne
informacje pozwalające domyślać się, w którym kierunku należy szukać rozwiązania (liczba
podceli wywodu, standardy dowodów podceli). Z tych względów naturalnym kandydatem na
algorytm wyszukujący jest A∗ (por. np. [41]).
W swojej podstawowej wersji, algorytm A∗ wybiera spośród możliwych punktów eksploracji punkt n o minimalnej wartości funkcji f i dokonuje eksploracji. Dla każdego nowego punktu n� sąsiedniego do n obliczana jest wartość f (n� ) = g(n� ) + h(n� ). Przy czym
g(n� ) = g(n) + c(n, n� ) jest kosztem poniesionym na dojście do punktu n� , a h(n� ) jest szacowanym kosztem dojścia z tego punktu do celu. Przy wykorzystaniu tego algorytmu można
zastosować metodę kompresji przestrzeni W q opisaną w podrozdziale 4.2.1.
Przy wnioskowaniu w RCAF funkcja wyboru eksplorowanego punktu przestrzeni musi
realizować dwa zadania:
Zadanie 1. Podobnie jak w klasycznym przypadku, powinna ona szacować wielkość wywodu.
Zadanie 2. Powinna zwracać takie wartości, aby algorytm mógł możliwie jak
najszybciej weryfikować czy konstruowany zbiór W t spełni ps(q).
Realizowanie zadania 1. pozwala na przyspieszenie znalezienia kompletnego dowodu w pojedynczym wyszukiwaniu. Realizowanie zadania 2. pozwala zminimalizować liczbę wyszukiwań, polega to na sprawdzaniu w pierwszej kolejności tych wywodów, które mogą zapewnić/uniemożliwić spełnienie standardu dowodzonego zdania.
Ponieważ zadanie 2. wybiega poza klasyczne zastosowaniu algorytmu A∗ , funkcja f :
83
W q → � będzie odpowiadać tylko za realizację zadania 1. Dla wywodu W przyjmujemy:
f (W ) = g(W ) + h(W ),
(4.7)
g(W ) = |V (W )|,
(4.8)
h(W ) = δ(W ),
(4.9)
gdzie δ(W ) to liczba podceli wywodu W . Korzystam się tu z heurystycznego założenia, że
szacowany przyszły koszt jest równy ilości podceli wywodu. Tak zdefiniowana funkcja h nie
jest heurystyką dopuszczalną (por. [41]), ponieważ, w optymistycznym przypadku, podstawienie termów w jednym kroku inferencyjnym może udowodnić nawet wszystkie podcele.
Do realizacji zadania 2. zdefiniowana zostaje osobna funkcja p : W q → � mówiąca
o priorytecie danego wywodu. Modyfikacja algorytmu A∗ polega na tym, że w pierwszej
kolejności wybierany jest punkt o największej wartości funkcji p, a jeżeli istnieje wiele takich
punktów, to spośród nich wybierany jest ten o najmniejszej wartości funkcji f .
Definicja 4.4 (Algorytm P A∗ )
Niech N oznacza zbiór punktów eksploracji przestrzeni przeszukiwań. Algorytm P A∗ (od
priorytetowy A∗ ) jest modyfikacją algorytmu A∗ , w której wybór punktu do eksploracji
zawęrzony zostaje do zbioru {n ∈ N : ∀m∈N p(n) � p(m)}, gdzie p : W q → � jest funkcją
nadającą priorytety punktom eksploracji.
Aby skonstruować funkcję p, należy bliżej przyjrzeć się różnicom pomiędzy następnikami
danego wywodu, które układają się w następującą hierarchię:
1. następniki mogą stanowić rozwinięcia różnych podceli,
2. dla tego samego podcelu q � , następniki mogą różnić się typem kroku inferencyjnego
(przez zdanie lub przez regułę),
3. dla tego samego typu kroku, następniki mogą różnić się wykorzystanym elementem
bazy wiedzy (wnioskowanie przez dwie różne reguły lub dwa różne zdania).
Zaczynając od najwyższego poziomu tej hierarchii, dla realizacji zadania 2. nie są istotne
różnice pomiędzy samymi podcelami, ostatecznie i tak wszystkie muszą zostać udowodnione,
aby znaleźć kompletny wywód. Jest natomiast istotny typ kroku inferencyjnego – w oczywisty
sposób podstawienie zdania istniejącego w bazie wiedzy jest szybszą metodą dowodzenia niż
84
stosowanie reguł wnioskowania. Z tego względu funkcja p powinna preferować inferencje
przez dopasowanie do zdania. Na najniższym poziomie hierarchii: (a) spośród różnych zdań
preferowane powinny być te, które kończą dowód (mają status accepted lub rejected, w
przypadku domniemania, jeżeli może być wykorzystane, również stated), (b) wśród różnych
reguł można wyróżnić cztery poziomy priorytetów:
• reguły, których wsparcie jest warunkiem wystarczającym dla nietrzymania przesłanki
q � (poziom 4.),
• reguły, których wsparcie jest warunkiem wystarczającym dla trzymania przesłanki q �
(poziom 3.),
• reguły, których wsparcie jest warunkiem koniecznym dla trzymania bądź nietrzymania
q � (poziom 2.),
• pozostałe reguły (poziom 1.).
Reguły, które definitywnie uniemożliwiają trzymanie podcelu mają najwyższy priorytet, ponieważ wystąpienie takiej reguły dla któregokolwiek z podceli oznacza porażkę całego konstruowanego wywodu. W zależności od standardu dowodu, przydział priorytetu poszczególnym regułom wygląda następująco:
SE: reguły „za”: poziom 3., reguły „przeciw”: poziom 1.,
BA: maksymalne ze względu na relację „>” reguły „przeciw”: poziom 4., maksymalne ze
względu na relację „>” reguły „za”: poziom 2., pozostałe reguły: poziom 1.
DV: reguły „przeciw”: poziom 4., reguły „za”: poziom 2.
Dla komplementarnych standardów dowodu w wymienionym wyżej przyporządkowaniu należy zamienić typy reguł. W przypadku gdy T (q � ) = ◦, powyższe przypisanie poziomów 3 i
4 dla konkretnych standardów dowodu powinno być zamienione, ponieważ wyjątek trzyma
jeżeli jego standard dowodu nie jest spełniony. Oczywiście możliwe jest różnicowanie priorytetów reguł również według innych kryteriów (np. ilości przesłanek), są to już jednak dalsze
kroki optymalizacyjne, nieistotne z punktu widzenia idei działania algorytmu.
Mając tak określone poziomy priorytetów, możemy przejść do podania wzoru funkcji p.
Niech W � będzie wywodem, który powstał z wywodu W przez dopasowanie podcelu qW do
85
(i) faktu, (ii) domniemania/wyjątku, (iii) następnika reguły r. Wówczas funkcja p dana jest
więc wzorem:
p(W � ) =





p(W ) + 5




w przypadku (i),
p(W ) + 0







p(W ) + prir(qW , r)
w przypadku (ii),
(4.10)
w przypadku (iii).
Dla wywodu W0 = ({�q}, ∅), czyli punktu startowego, zachodzi p(W0 ) = 0. Funkcja pomoc-
W
nicza prir : L × R → � dana jest wzorem (Rqmax
oznacza zbiór maksymalnych względem
“>” reguł wspierających qW ):
• Jeżeli ps(qW ) = SE, to





4,




jeżeli T (qW ) = ◦ ∧ T (r) = pro,
prir(qW , r) = 3, jeżeli T (qW ) �= ◦ ∧ T (r) = pro,
• Jeżeli ps(qW ) = BA, to






1




4,








3,
wpp.
W
jeżeli T (qW ) �= ◦ ∧ T (r) = con ∧ r ∈ Rqmax
,
W
jeżeli T (qW ) = ◦ ∧ T (r) = con ∧ r ∈ Rqmax
,
prir(qW , r) = 


W

2, jeżeli T (r) = pro ∧ r ∈ Rqmax
,








1
• Jeżeli ps(qW ) = DV , to
wpp.





4,




jeżeli T (qW ) �= ◦ ∧ T (r) = con,
prir(qW , r) = 3, jeżeli T (qW ) = ◦ ∧ T (r) = con,






2
wpp.
Proponowanym algorytmem wnioskowania w logice RCAF jest RP A∗ :
Definicja 4.5 (Algorytm RP A∗ )
Algorytm RP A∗ jest wielokrotnie wykonywanym algorytmem P A∗ z funkcją p daną wzorem
4.10 i funkcją f daną wzorem 4.7. Do kolejki opened (por. np. [41]) określającej możliwe
punkty eksploracji trafiają wyłącznie punkty spełniające ograniczenia podane w podrozdziale
4.1.2.
86
Kolejki opened i closed nie są opróżniane pomiędzy kolejnymi wykonaniami algorytmu
P A∗ , co zapobiega wielokrotnemu wyszukiwaniu tego samego wywodu.
Wykonywanie algorytmu P A∗ kończy się w momencie spełnienia warunku stopu podanego w podrozdziale 4.1.2.
4.2.3. Implementacja
Implementacja algorytmu RP A∗ została wykonana w języku Java, z wykorzystaniem
biblioteki Java Universal Network/Graph Framework 1 do przetwarzania i wizualizacji grafów. Aplikację można pobrać z adresu http://www.ii.pw.edu.pl/~plozinsk/materialy/
rcaf-demo.jar.
Program wykorzystuje kompresję przestrzeni wywodów opisaną w podrozdziale 4.2.1 i
został wyposażony w graficzny interfejs użytkownika, który wspiera (a) edytowanie bazy
wiedzy w formie tekstowej, (b) ładowanie bazy wiedzy do maszyny wnioskującej, (c) zadawanie zapytań z podanym standardem dowodu. Program pokazuje również wizualizację
zbioru W t znalezionego na zapytanie q wyświetlając wszystkie jego elementy jako podgrafy
drzewa skierowanego o korzeniu w �q. Kolory wierzchołków wykorzystują metaforę świateł
drogowych: kolor zielony reprezentuje status accepted, żółty questioned, czerwony rejected,
dodatkowo kolorem szarym oznaczony jest status stated. Kolor zielony wykorzystywany jest
również do oznaczenia reguł „za”, reguły „przeciw” oznaczone są kolorem czerwonym.
Na rysunku 4.1 widać graficzny interfejs programu z przykładową bazą wiedzy. Predykaty i stałe rozpoczynają się wielką literą, zmienne małą. Każde zdanie wprowadzane jest
w odrębnej linii, z dwoma opcjonalnymi parametrami: s służącym do przypisania statusu
(wartości logicznej) zdania oraz p służącym do przypisania zdaniu standardu dowodu. Domyślnymi wartościami są s=STATED i p=DV. Reguły mogą posiadać etykietę, którą następnie
można wykorzystać do definiowania porządku siły reguł. Reguły „za” oznaczane są przez
„->”, reguły „przeciw” przez „-<”. Domniemania oznaczane są za pomocą „+”, wyjątki za
pomocą „-”, natomiast negacja: „!”.
Na rysunku 4.1 widać również przykład wnioskowania: do systemu zostało zadane zapytanie ∃x King(x) ze standardem dowodu BA. Zbiór W t zawiera dwa elementy: wywód przez
regułę r1 i wywód przez regułę r2, obydwa widoczne są w oknie wizualizacji. Standard BA
jest spełniony ponieważ reguła r1 jest silniejsza od r2.
1
Strona domowa projektu: http://jung.sourceforge.net.
87
Rysunek 4.1: Program implementujący algorytm wnioskowania w RCAF
4.3. Ocena wyników
W niniejszym rozdziale sformułowano problem wnioskowania w logice RCAF jako problem wielokrotnego wyszukiwania w przestrzeni (podrodział 4.1). Sformułowanie to spełnia
kryteria dobrze zdefiniowanego problemu podane w [48, str. 62nn] ponieważ definiuje stan początkowy, funkcję przechodzenia od stanu do stanu, przestrzeń stanów, kryterium osiągnięcia
celu oraz koszty wykonywanych kroków. Dzięki temu możliwe są badania nad konstruowaniem efektywnych algorytmów wnioskowania w tej logice.
W podrozdziale 4.2 podano przykładowy algorytm wnioskowania: RP A∗ , udowadniając
tym samym, że zdefiniowany problem wyszukiwania jest rozwiązywalny. Jakość tego rozwiązania można częściowo ocenić na podstawie kryteriów podanych w [48, str. 72nn]. Jako
prosta modyfikacja algorytmu A∗ algorytm RP A∗ pozostaje kompletny. Nie jest to algorytm
optymalny, ponieważ zaproponowana funkcja szacowania kosztów 4.7 nie jest dopuszczalna,
co, zgodnie z kryterium podanym w [41] nie gwarantuje optymalności znalezionego wnioskowania.
Trudna do oszacowania jest złożoność pamięciowa i obliczeniowa algorytmu z uwagi na
88
bardzo silną zależność od kształtu bazy wiedzy i zapytania podanych na wejście algorytmu. Możliwe są empiryczne testy tej złożoności, należy się w tym przypadku spodziewać
występującego w programowaniu w logice problemu z zajętością pamięci przy odpowiednio dużych danych. Antycypując ten problem, w podrozdziale 4.2.1 zaproponowana została
metoda kompresji przestrzeni przeszukiwań.
Poprawność algorytmu RP A∗ została zweryfikowana za pomocą implementacji w postaci programu komputerowego opisanego w podrozdziale 4.2.3. Program jest dostępny pod
adresem http://www.ii.pw.edu.pl/~plozinsk/materialy/rcaf-demo.jar.
89
Rozdział 5
Zastosowanie
Jednym z głównych zastosowań modelu Carneades jest analiza argumentacji prawnej.
Twórcy modelu stawiają sobie za cel stworzenie narzędzia, które umożliwia konstrukcję,
wizualizację i analizę argumentów generowanych z wielu źrodeł. W modleu Carneades można wyrazić argumenty z ontologii, reguł prawnych, zwykłych reguł wnioskowania, kazusów
prawnych czy zeznań świadków.
Od końca 2010 dostępna jest implementacja tego modelu wykonana w instytucie Fraunhofera (http://carneades.berlios.de), która ma możliwość generowania argumentów z
wielu źródeł. Wyszukiwanie argumentów z podanych źródeł odbywa się przez określaną przez
użytkownika liczbę kroków wyszukiwawczych. Następnie wynik wyszukiwania prezentowany
jest użytkownikowi jako graf argumentów zawierający informację o akceptowalności stwierdzeń w grafie oraz akceptowalności ich dopełnień.
Takie podejście pozwala zaprezentować użytkownikowi możliwie pełną wiedzę o przypadku argumentacji, który analizuje. Niestety, okazuje się, że ilość informacji udostępniana w
ten sposób użytkownikowi dość szybko staje się niemożliwa do objęcia umysłem i efektywnej
analizy.
Najnowsze zastosowanie tego systemu opisywane jest w raporcie [22]. Carneades jest tam
stosowany do analizy sytuacji prawnej autora oprogramowania korzystającego z bibliotek i
innych narzędzi programistycznych wydawanych na różnych licencjach. Podstawowe pytanie
dotyczy tego, na jakiej licencji autor może wydać swoje oprogramowanie. Do modelowania wiedzy dziedzinowej wykorzystywana jest ontologia zapisana w OWL. Reguły prawne
modelowane są w specjalnie zaprojektowanym w tym celu formacie LKIF ([23]). Zaimplementowany system wykorzystuje te dwa zasoby jako źródła argumentów za/przeciw wydawaniu
91
oprogramowania na danej licencji.
Graf argumentów prezentowany użytkownikowi w tym zastosowaniu przekracza rozmiarem 100 węzłów. Ponieważ generowanie go wymaga wykonawania zapytań do maszyny wnioskującej w OWL, jest to również czasochłonne.
Opisany w tej rozprawie algorytm RP A∗ minimalizuje liczbę kroków wyszukiwawczych
jakie należy wykonać w celu znalezienia odpowiedź na pytanie o akceptowalność danego
zdania. Zaletą takiego podejścia jest właśnie to, że wynikowy graf argumentów może być
mniejszy, a czas jego generowania krótszy. Wadą jest oczywiście to, że użytkownik nie ma
jednoczesnego dostępu do całej dostępnej w systemie wiedzy dotyczącej danego przypadku
argumentacji. Wiedzę tę może jednak odkrywać w sposób przyrostowy, zadając do systemu
zapytania dotyczące zdań obecnych w już odkrytym grafie argumentacji. To zastosowanie
zostało opisane w artykule [35].
Przykład 5.1
Niech będzie dany zbiór reguł, zapisany w języku opisanym w podrozdziale 4.2.3:
r1: B(x) -> A(x)
r2: D(x), E(x, y) -> B(x)
r3: I(x) -< B(x)
r4: D(x), F(x, y) -> I(x)
r5: C(x) -< A(x)
r6: G(x), E(x, y) -> C(x)
B(X) p=SE
D(X) s=ACCEPTED
E(X, Y) s=ACCEPTED
F(X, Y) s=ACCEPTED
Jego odpowiednik w systemie Fraunhoferowskim wygląda następująco:
(def abstract-rb
(rulebase
(rule r1
(if (B ?x) (A ?x)))
(rule r2
(if (and (D ?x) (E ?x ?y)) (B ?x)))
92
(rule r3
(if (I ?x) (not (B ?x))))
(rule r4
(if (and (D ?x) (F ?x ?y)) (I ?x)))
(rule r5
(if (C ?x) (not (A ?x))))
(rule r6
(if (and (G ?x) (E ?x ?y)) (C ?x)))
))
Dla zapytania o akceptowalność stwierdzenia A(X) ze standardem dowodu DV system
Fraunhoferowski zwraca pełną informację pokazaną na rysunku 5.1.
Rysunek 5.1: Wynik działania systemu Fraunhoferowskiego
System opisany w tej rozprawie zwraca minimalny graf argumentów pozwalający stwierdzić, że zdanie A(X) przy standardzie DV jest akceptowalne.
Rysunek 5.2: Wynik działania systemu opisanego w rozprawie
93
Podsumowanie
W rozprawie postawiona została teza, że przy pomocy modelu argumentacji Carneades
można skonstruować logikę wprowadzającą wnioskowanie zależne od kontekstu, które ułatwia
modelowanie naturalnych mechanizmów wnioskowania.
Dokonano przeglądu dostępnej literatury z dziedziny logiki, w szczególności wnioskowania
zależnego od kontekstu. Zreferowano aktualny, na czas prowadzenia badań, stan wiedzy w
dziedzinie teorii argumentacji i logiki nieformalnej. Przedstawiono analizę źródeł dotyczących
logik opartych na teorii argumentacji.
Metoda dowiedzenia tezy ma przede wszystkim charakter teoretyczny, uzupełniony elementem empirycznym. W skład metody wchodzi formalne zdefiniowanie logiki opartej na
modelu argumentacji Carneades, zwanej RCAF. Pokazane zostały podstawowe własności
tej logiki. Wykazana zostaje nieredukowalność zbioru typów przesłanek biorących udział
we wnioskowaniu. Podane zostają warunki jakie muszą być spełnione, aby wnioskowanie w
tak zdefiniowanej logice zachowywało prawo wyłączonego środka. Przeanalizowano problem
wnioskowania w RCAF, który został sformułowany jako problem wyszukiwania w przestrzeni. Zdefiniowano i zaimplementowano algorytm rozwiązujący postawiony problem wyszukiwania, przez co realizuje on wnioskowanie w tej logice.
Na koniec podany zostaje przykład zastosowania wyników pracy w automatycznej analizie argumentacji prawnej, które pozwala na przyspieszenie tej analizy i ograniczenie nadmiarowej informacji prezentowanej ekspertowi prowadzącemu tę analizę.
Dalszy rozwój zaprezentowanych tutaj badań obejmuje dwa kierunki: (i) konstruowanie
efektywnych algorytmów wnioskowania w już zdefiniowanej logice RCAF, (ii) stworzenie rozproszonej logiki argumentacyjnej opartej na dwu lub wieloosobowej grze dialogowej. W tym
kontekście szczególnie obiecujące wydaje się zastosowanie teorii gier, która na inne sposoby
jest już wykorzystywana w zastosowaniach argumentacji w sztucznej inteligencji (por. [46]).
Środowisko agentów potrafiących argumentować pomiędzy sobą dla osiągnięcia ustalonego
95
celu umożliwiłoby zapewne wykorzystanie potencjału, jaki widoczny jest dla systemów informacyjnych w zastosowaniach naturalnej metody weryfikacji i dowodzenia twierdzeń, jaką
jest dialog argumentacyjny.
96
Spis rysunków
2.1. Przykładowy argument a modelu Vreeswijka . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
2.2. Przykład grafu argumentów 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
2.3. Przykład grafu argumentów 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
3.1. Przykładowy argument w modelu Carneades. . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
4.1. Program implementujący algorytm wnioskowania w RCAF . . . . . . . . . .
88
5.1. Wynik działania systemu Fraunhoferowskiego . . . . . . . . . . . . . . . . .
93
5.2. Wynik działania systemu opisanego w rozprawie . . . . . . . . . . . . . . . .
93
97
Spis tabel
3.1. Porównanie domniemania i wyjątku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
3.2. Porównanie przesłanki zwykłej i wyjątku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
3.3. Porównanie przesłanki zwykłej i domniemania . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
3.4. Usystematyzowana definicja standardów dowodu . . . . . . . . . . . . . . . .
68
3.5. Uogólniony zestaw warunków dla standardów dowodu . . . . . . . . . . . . .
68
99
Bibliografia
[1] Stanford encyclopedia of philosophy, hasło: Informal Logic. http://www.science.uva.
nl/~seop/, Ostatnia modyfikacja: 1997.
[2] Varol Akman and Mehmet Surav. Steps toward formalizing context. AI Magazine,
17:55–72, 1996.
[3] Jarosław Arabas. Wykłady z algorytmów ewolucyjnych. WNT, Warszawa, 2001.
[4] Jarosław Arabas and Paweł Cichosz. Search-based view of Artificial Intelligence. In
Artificial Intelligence Studies, volume 26, pages 13–29, Siedlce, 2006.
[5] Arystoteles. Dzieła Wszystkie, volume 1, chapter Analityki pierwsze, pages 90–251.
Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa, 2003. tłumaczenie: Kazimierz Leśniak.
[6] Arystoteles. Dzieła Wszystkie, volume 1, chapter Topiki, pages 330–473. Wydawnictwo
Naukowe PWN, Warszawa, 2003. tłumaczenie: Kazimierz Leśniak.
[7] Aleksy Awdiejew. Pragmatyczne podstawy interpretacji wypowiedzeń. Kraków, 1986.
[8] Eric Bonabeau, Marco Dorigo, and Guy Theraulaz. Swarm Intelligence: From Natural
to Artificial Systems. Oxford, 1999.
[9] Daniel Bryant and Paul Krause. A review of current defeasible reasoning implementations. Knowledge Engineering Review, 23(3):227–260, 2008.
[10] Daniel Bryant, Paul J. Krause, and Gerard Vreeswijk. Argue tuprolog: A lightweight
argumentation engine for agent applications. In Proceedings of 1st Int. Conference on
Computational Models of Argument (COMMA), volume 144 of Frontiers in Artificial
Intelligence and Applications, pages 27–32, Amsterdam, The Netherlands, The Netherlands, 2006. IOS Press.
101
[11] Sasa Buvac. Quantificational logic of context. In AAAI, volume 1, pages 600–606,
Portland, OR, 1996.
[12] Sasa Buvac, Vanja Buvac, and Ian A. Mason. Metamathematics of contexts. Fundamenta Informaticae, 23(3):412–419, 1995.
[13] Phan Minh Dung. On the acceptability of arguments and its fundamental role in nonmonotonic reasoning, logic programming and n-person games. Artificial Intelligence,
77(2):321–358, 1995.
[14] Kamila Dębowska, Paweł Łoziński, and Chris Reed. Building bridges between everyday
argument and formal representations of reasoning. Studies in Logic, Grammar and
Rhetoric, 16(29):95–135, 2009. Special issue on Informal Logic and Argumentation
Theory.
[15] Edgardo Ferretti, Marcelo L. Errecalde, Alejandro J. Garcı́a, and Guillermo R. Simari.
Decision rules and arguments in defeasible decision making. In Philippe Besnard, Sylvie
Doutre, and Anthony Hunter, editors, Proceedings of 2nd Int. Conference on Computational Models of Argument (COMMA), volume 172 of Frontiers in Artificial Intelligence
and Applications, pages 171–182, Amsterdam, Berlin, Oxford, Tokyo, Washington, DC,
2008. IOS Press.
[16] Alejandro J. Garcı́a, Jürgen Dix, and Guillermo Simari. Argumentation in Artificial
Intelligence, chapter Argument-based Logic Programming, pages 153–171. Springer,
Dordrecht Heidelberg London New York, 2009.
[17] Alejandro J. Garcı́a and Guillermo R. Simari. Defeasible logic programming: An argumentative approach. In Theory and Practice of Logic Programming, volume 4, pages
95–138. Cambridge University Press, 2004.
[18] Chiara Ghidini and Fausto Giunchiglia. Local models semantics, or contextual reasoning=locality+compatibility. Artificial Intelligence, 127(2):221–259, 2001.
[19] Fausto Giunchiglia. Contextual reasoning. Epistemologia, XVI:345–364, 1993.
[20] Fausto Giunchiglia and Luciano Serafini. Multilanguage hierarchical logics or: How we
can do without modal logics. Artificial Intelligence, 65(1):29–70, 1994.
102
[21] Avelino J. Gonzalez, Brian S. Stensrud, and Gilbert Barrett. Formalizing context-based
reasoning: A modeling paradigm for representing tactical human behavior. International
Journal of Intelligent Systems, 23(7):822–847, 2008.
[22] Thomas Gordon. Report on prototype decision support system for oss license compatibility issues. Technical report, Fraunhofer FOKUS, Berlin, 2010.
[23] Thomas Gordon. The legal knowledge interchange format. Technical report, ESTRELLA IST-2004-027655, 208.
[24] Thomas F. Gordon and Douglas Walton. The Carneades argumentation framework –
using presumptions and exceptions to model critical questions. In Paul E. Dunne and
Trevor J.M. Bench-Capon, editors, Computational Models of Argument – Proceedings
of COMMA 2006, volume 144 of Frontiers in Artificial Intelligence and Applications,
pages 195–207, Amsterdam, 2006. COMMA, IOS Press.
[25] Thomas G. Gordon, Henry Prakken, and Douglas Walton. The Carneades model of
argument and burden of proof. Artificial Intelligence, 171(10–15):875–896, 2007.
[26] Herbert P. Grice. Logika a konwersacja. Język w świetle nauki, 1980.
[27] Ramanathan Guha. Contexts: a formalization and some applications. PhD thesis,
Stanford University, Stanford, CA, USA, 1992.
[28] Charles Hamblin. Fallacies. Methuen, 1970.
[29] Arthur Hastings. A Reformulation of the Modes of Reasoning in Argumentation. PhD
thesis, Northwestern University, Evanston, Illinois, 1963.
[30] Ralph H. Johnson and J. Anthony Blair. Logical Self-Defense. Toronto: McGraw-Hill
Ryerson, 1st edition, 1977.
[31] Stanisław Kopania. Logika formalna, zarys encyklopedyczny, chapter Logika dialogowa,
pages 83–91. Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa, 1987.
[32] Richard E. Korf. Depth-first iterative-deepening: An optimal admissible tree search.
Artificial Intelligence, 27(1):97–109, 1985.
103
[33] Richard E. Korf. Artificial intelligence search algorithms. In Algorithms and Theory of
Computation Handbook, 1999.
[34] Paweł Łoziński. System dyskursywny oparty na logice nieformalnej. Praca magisterska,
Wydział Elektroniki i Technik Informacyjnych Politechniki Warszawskiej, Warszawa,
Wrzesień 2007.
[35] Paweł Łoziński. An algorithm for incremental argumentation analysis in Carneades.
Studies in Logic, Grammar and Rhetoric, 2011. Special Issue on Argumentation Theory
and Computer Science.
[36] Witold Marciszewski, editor. Logika formalna, zarys encyklopedyczny. Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa, 1 edition, 1987.
[37] Witold Marciszewski. Logika formalna, zarys encyklopedyczny, chapter Logika predykatów, pages 23–40. Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa, 1987.
[38] John McCarthy. Notes on formalizing context. In IJCAI’93: Proceedings of the 13th
international joint conference on Artifical intelligence, pages 555–560, San Francisco,
CA, USA, 1993. Morgan Kaufmann Publishers Inc.
[39] John L. McCarthy. Generality in artificial intelligence. Commun. ACM, 30(12):1029–
1035, 1987.
[40] Rolf Nossum. A decidable multi-modal logic of context. Journal of Applied Logic,
1(1-2):119–133, 2003.
[41] Judea Pearl. Heuristics: intelligent search strategies for computer problem solving.
Addison-Wesley Longman Publishing Co., Inc., 1984.
[42] Henry Prakken. Coherence and flexibility in dialogue games for argumentation. Journal
of Logic and Computation, 15(6):1009–1040, 2005.
[43] Henry Prakken. Formal systems for persuasion dialogue. Knowledge Engengineering
Review, 21(2):163–188, 2006.
[44] Henry Prakken and Giovanni Sartor. Argument-based extended logic programming with
defeasible priorities. Journal of Applied Non-classical Logics, 7:25–75, 1997.
104
[45] Henry Prakken and Gerard Vreeswijk. Logics for defeasible argumentation. In D. Gabby
and F. Günthner, editors, Handbook of Philosophical Logic, volume 4, pages 219–318,
Dordrecht/Boston/London, 2002. Kluwer Academic Publishers.
[46] Iyad Rahwan and Kate Larson. Argumentation in Artificial Intelligence, chapter Argumentation and Game Theory, pages 153–171. Springer, Dordrecht Heidelberg London
New York, 2009.
[47] Raymond Reiter. A logic for default reasoning. Artificial Intelligence, pages 81–132,
1980.
[48] Stuart J. Russell and Peter Norvig. Artificial Intelligence: A Modern Approach. Pearson
Education, 2003.
[49] Ralf Schweimeier and Michael Schroeder. A parameterised hierarchy of argumentation semantics for extended logic programming and its application to the well-founded
semantics. In Theory and Practice of Logic Programming, volume 5, pages 207–242.
Cambridge University Press, 2005.
[50] Luciano Serafini and Paolo Bouquet. Comparing formal theories of context in AI.
Artificial Intelligence, 155(1-2):41–67, 2004.
[51] John F. Sowa. Knowledge Representation: Logical, Philosophical, and Computational
Foundations. Brooks/Cole, 2000.
[52] Władysław Tatarkiewicz. History of philosophy, volume 2. Polish Scientific Publishers,
Warsaw, 1981.
[53] Stephen Toulmin. The Uses of Argument. Cambridge University Press, 1958.
[54] Frans H. van Eemeren and Rob Grootendorst. A Systematic Theory of Argumentation.
Cambridge University Press, 2004.
[55] Gerard Vreeswijk. Abstract argumentation systems. Artificial Intelligence, 90(1–2):225–
279, 1997.
[56] Douglas Walton. Informal Logic. Cambridge University Press, 1989.
105
[57] Douglas Walton. Argumentation Schemes for Presumptive Reasoning. Lawrence Erlbaum Associates, 1996.
[58] Douglas Walton. The place of dialogue theory in logic, computer science and communication studies. Synthese, 123:327–346, Czerwiec 2000.
[59] Douglas Walton. Fundamentals of Critical Argumentation. Cambridge Univeristy Press,
2006.
[60] Douglas Walton and David M. Godden. Reason Reclaimed, chapter Informal Logic and
the Dialectical Approach to Argument, pages 3–17. Vale Press, Newport News, Virginia,
2007.
[61] Douglas Walton and Erik Krabbe. Commitment in Dialogue. State University of New
York Press, Albany, New York, 1995.
[62] Douglas Walton and Chris Reed. Argumentation schemes in dialogue. In Dissensus &
the Search for Common Ground, pages 1–11, Windsor, Ontario, June 2007. OSSA.
[63] Simon Wells. Formal Dialectical Games in Multiagent Argumentation. PhD thesis,
University of Dundee, School of Computing, Dundee, November 2006.
[64] Simon Wells, Paweł Łoziński, and Minh Nhat Pham. Towards an arguing agents competition: Architectural considerations. In Proceedings of 8th CMNA (Computational
Models of Natural Argument) Workshop, ECAI (European Conference on Artificial Intelligence), Patras, Greece, 2008. University of Patras.
106
Dodatek A
Opis techniczny implementacji
Poniżej zamieszczono opis interfejsu aplikacyjnego modułów wchodzących w skład maszyny wnioskującej implementującej algorytm RP A∗ .
A.1. Uniwersalna biblioteka algorytmów wyszukiwania
107
Package Class Use Tree Deprecated Index Help
PREV PACKAGE NEXT PACKAGE
FRAMES
NO FRAMES
All Classes
Package pawloz.jsearch
Interface Summary
AStarSearchTask<P>
Zadanie wyszukiwania w przestrzeni dla algorytmu A*
(implementuj!ce funkcj" h).
Constraint<P>
Ograniczenie wyszukiwania.
MetricSearchSpace<P>
Metryczna przestrze# wyszukiwania
RandomAccessSearchSpace<P> Przestrze# wyszukiwania ze swobodnym dost"pem.
SearchSpace<P>
Przestrze# przeszukiwania.
SearchTask<P>
Zadanie wyszukiwania w przestrzeni.
Class Summary
AStar<P>
Implementacja algorytmu A*.
AStarWithConstraints<P>
Algorytm A* z ograniczeniami.
AStarWithFilter<P>
Algorytm A* z filtrem punktów w przestrzeni.
BFS<P>
Breadth-first search.
DFS<P>
Depth-first search.
MetricSearchSpaceDiGraph<V,E>
Implementacja metrycznej przestrzeni
wyszukiwania w oparciu o graf skierowany JUNG.
MetricSearchSpaceWithConstraints<P> Przestrze# metryczna z ograniczeniami.
SearchSpaceDiGraph<V,E>
Implementacja przestrzeni wyszukiwania w oparciu
o graf skierowany JUNG.
SearchSpaceSimpleGraph<V>
Implementacja przestrzeni wyszukiwania w oparciu
o graf reprezentowany list! s!siedztwa.
SearchSpaceWithConstraints<P>
Przestrze# przeszukiwania z ograniczeniami.
SetConstraint<P>
Ograniczenie zbiorem dyskretnym nielegalnych
punktów.
SimpleSearchTask<P>
Implementacja zadania wyszukiwania do metod
brute-force i monte-carlo (bez heurystyk dotarcia do
celu).
XFS<P>
Klasa bazowa do metod pe$nego wyszukiwania.
A.2. Implementacja regułowej bazy wiedzy opartej na
Carneadesie
109
Overview Package Class Use Tree Deprecated Index Help
PREV PACKAGE NEXT PACKAGE
FRAMES
NO FRAMES
All Classes
Package pawloz.rcaf.kb
Class Summary
Argument
Pojedynczy argument.
KnowledgeBase
Baza wiedzy zawieraj!ca zbiór formu", zbiór argumentów i porz!dek
cz#$ciowy si"y argumentów.
KnowledgePiece
Wspólny mianownik dla stwierdze% i argumentów.
Premise
Przes"anka argumentu.
ProofStandard
Standard dowodu (w sensie modelu Carneades).
ProofStandardBA
Standard dowodu Best Argument.
ProofStandardDV
Standard dowodu Dialectical Validity.
ProofStandardSE
Standard dowodu Scintilla of Evidence.
ProofStandardTable Globalna tablica standardów dowodów.
RuleCAFCompiler
RuleCAFCompiler class.
RuleCAFLexer
RuleCAFLexer class.
RuleCAFParser
RuleCAFParser class.
StatementContext
Kontekst stwierdzenia w sensie modelu Carneades (standard dowodu +
status stwierdzenia).
Enum Summary
Premise.Type
Typ przes"anki, jeden z {ORDINARY, ASSUMPTION, EXCEPTION}.
PremiseStatus
Status przes"anki (w rozumieniu modelu Carneades).
ProofStandard.Satisfied Informacja o spe"nieniu standardu dowodu.
StatementStatus
Status stwierdzenia jedno z {ACCEPTED, REJECTED, STATED,
QUESTIONED}.
Overview Package Class Use Tree Deprecated Index Help
PREV PACKAGE NEXT PACKAGE
Copyright © 2011. All Rights Reserved.
FRAMES
NO FRAMES
All Classes
A.3. Implementacja podstawowych konstrukcji logicznych
111
Overview Package Class Use Tree Deprecated Index Help
PREV PACKAGE NEXT PACKAGE
FRAMES
NO FRAMES
All Classes
Package pawloz.rcaf.logic
Class Summary
Formula
Formu!a logiczna.
Substitution Podstawienie (por: Logika matematyczna w informatyce, str. 176-178).
Symbol
Symbol logiczny.
SymbolTable Tabela symboli obecnych w bazie wiedzy.
Unifier
Implementacja ujednolicenia formu!.
Overview Package Class Use Tree Deprecated Index Help
PREV PACKAGE NEXT PACKAGE
Copyright © 2011. All Rights Reserved.
FRAMES
NO FRAMES
All Classes
A.4. Implementacja algorytmu wnioskowania
113
Overview Package Class Use Tree Deprecated Index Help
PREV PACKAGE NEXT PACKAGE
FRAMES
NO FRAMES
All Classes
Package pawloz.rcaf
Class Summary
GoalLinkFactory
Wytwarza obiekty GoalLink (np. kilka dla tej samej instancji
argumentu).
Proof
Pe!ny lub niepe!ny wywód.
ProofSearchTask
Zadanie wyszukiwania pe!nego wywodu.
ProofSpace
Przestrze" wywodów.
ProofStateCalculator Funkcje obliczaj#ce stan dowodu.
Reasoner
Maszyna wnioskuj#ca w logice RCAF.
Enum Summary
Proof.ProofState
Stan wywodu: pe!ny, obiecuj#cy, nieobiecuj#cy, beznadziejny (na pewno nie
jest mo$liwe, aby uzasadni! zdanie).
Overview Package Class Use Tree Deprecated Index Help
PREV PACKAGE NEXT PACKAGE
Copyright © 2011. All Rights Reserved.
FRAMES
NO FRAMES
All Classes