AS KOMPETENCJI

Projekt „AS KOMPETENCJI”
jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach środków
Europejskiego Funduszu Społecznego
Program Operacyjny Kapitał Ludzki 2007-2013
CZŁOWIEK – NAJLEPSZA INWESTYCJA
Publikacja jest współfinansowana przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego
Prezentacja jest dystrybuowana bezpłatnie
DANE INFORMACYJNE
• Nazwa szkoły:
Zespół Szkół Przyrodniczo-Politechnicznych w Marszewie
i
Zespół Szkół nr 1 w Pyrzycach
• ID grupy:
97/88_MF_G1 i 97/30_MF_G1
• Opiekun:
Dobromira Zdunek i Agnieszka Wójcicka
• Kompetencja: matematyczno-fizyczne
• Temat projektowy:
Różne własności liczb naturalnych
• Semestr/rok szkolny: semestr II r.szk.2010/11
RÓŻNE WŁASNOŚCI LICZB NATURALNYCH
Krótka historia liczby
Liczby pierwsze
Sito Eratostenesa
Liczby pierwsze Mersenne’a
Liczba doskonała
Liczby zaprzyjaźnione
Ciekawe liczby
Liczby Fibonacciego
Trójkąt Pascala
Liczby Fermata
Ciekawostki
KRÓTKA HISTORIA LICZBY
 uważa się, że po raz pierwszy liczb zaczęto
używać ok. 30 000 lat p.n.e. Z tego okresu
pochodzą kości na których znaleziono ślady nacięć,
uważane za próbę liczenia.
 Do najstarszych znaków cyfrowych należą znaki babilońskie.
Liczby babilońskie są kombinacjami trzech znaków: jedynki,
dziesiątki i setki.
 Babilończycy posługiwali się systemem pozycyjnym i układem
sześćdziesiątkowym. W tym systemie znak jedynki może
oznaczać: 1, 60, 1, 60, 60 2 itd. Dla wyrażenia zera pisali dwa
pochyłe znaki jedynki.
 Ślady babilońskiej numeracji sześćdziesiątkowej odnajdujemy
obecnie na przykład w rachubie czasu (godziny, minuty,
sekundy),w używanych czasem nazwach kopa (60), mendel (15),
tuzin (12), gros (144).
Z HISTORII LICZBY
Grecy stosowali dwa sposoby zapisu liczb: joński i ateński.
Sposobem jońskim liczby wyrażano literami alfabetu.Aby
napisaną liczbę odróżnić od słowa, pisano nad nią kreskę.
Cyfry, którymi obecnie posługujemy się powszechnie, pochodzą
od Hindusów. Narody europejskie poznały je dzięki Arabom.
Polska była jednym z pierwszych krajów, który wprowadził u
siebie cyfry hinduskie, a było to w XIV stuleciu.
W XIX wieku Russell zdefiniował po raz pierwszy ściśle liczby
naturalne jako moce zbiorów skończonych. Peano w 1889
zaksjomatyzował liczby naturalne. Na początku XX wieku von
Neumann stworzył swoją konstrukcję liczb naturalnych.
zbiór liczb naturalnych: n={ 0,1,2,3...}.
każda liczba naturalna większa od 1 jest albo liczbą pierwszą,
albo iloczynem liczb pierwszych.
LICZBY PIERWSZE
 Liczbą pierwszą nazywamy taką liczbę naturalną,
która ma tylko dwa różne dzielniki: jeden i samą siebie.
Kolejnymi liczbami pierwszymi są: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17…
D2={1,2}
D3={1,3}
D5={1,5}
D7={1,7}
 Liczby 0 i 1 nie są ani pierwsze, ani złożone.
 W XVIII wieku Christian Goldbach dostrzegł, że dowolna
liczba parzysta większa od 4 może być przedstawiona jako
suma dwóch liczb pierwszych np.
4 = 2 + 2,
6 = 3 + 3,
100 = 97 + 3 itd.
8 = 5 + 3,
48 = 29 + 19,
 Liczb pierwszych jest nieskończenie wiele (twierdzenie to
udowodnił w IV w. p.n.e. matematyk grecki
Euklides).
SITO ERATOSTENESA
W III w. p.n.e. matematyk grecki Eratostenes
z Cyreny podał metodę wyznaczania liczb
pierwszych, zwaną sitem Eratostenesa.
Aby znaleźć wszystkie liczby pierwsze wśród liczb od 1 do
100 należy ustawić liczby w ciąg:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
Jak znaleźć wszystkie liczby pierwsze od 1 do 100?
► Skreślamy 1 ponieważ nie jest
liczbą pierwszą. Listę rozpoczyna
liczba 2. Jest to liczba pierwsza.
► Należy wykreślić wszystkie liczby
większe od 2 i podzielne przez 2.
Najmniejszą liczbą po liczbie 2 jest
teraz liczba 3
► Następnie należy wykreślić z listy
wszystkie liczby większe od 3 i
podzielne przez 3. Najmniejszą liczbą
na liście po liczbie 3 jest liczba 5.
► Skreślamy teraz wszystkie liczby
podzielne przez 5 i większe od 5.
Najmniejszą liczbą na liście po liczbie 5 jest liczba 7.
► Wykreślamy wszystkie jej wielokrotności. W ten sposób można znaleźć
wszystkie liczby pierwsze od 1 do 100.
Oto one: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61,
67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.
LICZBY PIERWSZE MERSENNE’A
W XVII wieku francuski mnich Marin Mersenne
rozpatrywał możliwość istnienia liczb pierwszych
n
n
postaci 2 -1. Stwierdził, że 2 - 1 jest liczbą
pierwszą tylko dla n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127, 257.
W rzeczywistości Mersenne popełnił 5 błędów. Wykazano w XIX
wieku, że: M61, M89, M107 są liczbami pierwszymi; natomiast M67
i M257 są liczbami złożonymi.
n
Liczby postaci Mn = 2 - 1, gdzie n jest liczbą pierwszą, a
wynik daje liczbę pierwszą nazywamy liczbami Mersenne'a.
127
W 1876 r. E. Lucasowi udało się udowodnić, że 2
- 1 jest
liczbą pierwszą i przez następnych siedem dekad była to
największa liczba pierwsza.
POSZUKIWANIE LICZB PIERWSZYCH MERSENNE'A
 W 1952 roku R. M. Robinson przy użyciu komputera znalazł liczby
pierwsze Mersenne'a M521 i M607. Były to pierwsze tego rodzaju
odkrycia.
 W chwili obecnej duże liczby pierwsze będące liczbami Mersenne'a
poszukuje się za pomocą:
 metody polegającej na obliczaniu wyrazów pewnego ciągu
rekurencyjnego podanego przez E. Lucasa i D.H. Lehmera.

projektów obliczeń rozproszonych takich jak GIMPS.
32582657
 Obecnie największą liczbą Mersenne'a jest 2
- 1 znaleziona
w 2006 roku i licząca 9 808 358 cyfr.
 Mając do dyspozycji coraz to mocniejsze jednostki obliczeniowe, w
każdej chwili możemy spodziewać się odkrycia nowej liczby
pierwszej Mersenne'a.
LICZBA DOSKONAŁA
Liczba doskonała to taka liczba, która jest równa sumie
wszystkich swoich dzielników mniejszych od niej samej.
 Dwie liczby doskonałe znane były w starożytności: 6 i 28.
D6={1,2,3}
6 = 1+2+3
D28={1,2,4,7,14}
28= 1+2+4+7+14
 Zagadnieniem liczb doskonałych zajmował się
Euklides (IV w. p.n.e.). to on znalazł dwie
Kolejne liczby doskonałe: 496 i 8128
496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248
8128 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 +
1016+ 2032 + 4064
LICZBA DOSKONAŁA
W IX księdze Elementów Euklides podał sposób znajdowania liczb
doskonałych parzystych: należy obliczać sumy kolejnych potęg dwójki np. 1
+ 2 + 4 + 8 +... Jeżeli któraś z otrzymanych sum okaże się liczbą pierwszą,
należy pomnożyć ją przez ostatni składnik i otrzymamy liczbę doskonałą.
1+2=3
1+2+4=7
1 + 2 + 4+ 8+16 = 31
3•2 = 6
7•4 = 28
31•16 = 496
Reguła odnajdowania parzystych liczb doskonałych: N=2k-1(2k-1), gdzie (2k-1)
musi być liczbą pierwszą dla k>1 (naturalnego).
Znajdowanie liczb doskonałych według powyższej reguły:
2k-1
k
2
3
5
7
13
17
19
31
...
2
4
16
64
4 096
65 536
262 144
1 073 741 824
...
2k-1
3
7
31
127
8 191
131 071
524 287
2 147 483 647
...
Liczby doskonałe
6
28
496
8128
33 550 336
8 589 869 056
137 438 691 328
2 305 843 008 139 952 128
...
LICZBA DOSKONAŁA
 W roku1536 Hudalrichus Regius pokazał, że 213−1 jest liczbą
pierwszą, a więc 212·(213 −1) = 33550336 jest liczbą
doskonałą (piątą).
 Na początku XVII wieku Cataldi odkrył szóstą i siódmą liczbę
doskonałą 216·(217− 1) = 8589869056,218·(219 −1) =
137438691328
 Dwa tysiące lat po Euklidesie, Leonhard Euler znalazł trzy kolejne
liczby doskonałe. W roku 1732: 230·(231 − 1) =
2305843008139952128 i pozostawała największą znaną liczbą
doskonałą przez 150 lat.
 W roku 1883 Pervusin pokazał, że 260·(261−1) jest doskonała.
 Ostatnią znalezioną "ręcznie" w 1911 roku jest liczba
2288 · (2289− 1), która ma 173 cyfry w rozwinięciu dziesiętnym.
LICZBA DOSKONAŁA DRUGIEGO RODZAJU
W roku 1952, po raz pierwszy do poszukiwań
liczb doskonałych użyto maszyny liczącej. Do tej pory
znano ich tylko 12, w ciągu roku znaleziono kolejne 5.
Ostatnią znaleziono w 2001 roku.

Największa liczba doskonała: (232582656 )•(232582657 −1)
liczy ona 19 616 714 cyfr w rozwinięciu dziesiętnym.
Liczbą doskonałą drugiego rodzaju nazywamy taką
liczbę naturalną, która jest równa iloczynowi swoich
dzielników właściwych (mniejszych od niej). Na
przykład liczba 10 jest taką liczbą bo 10=1•2•5
(1, 2, 5 jej dzielniki bez niej samej).

LICZBY ZAPRZYJAŹNIONE
Liczby zaprzyjaźnione to para różnych liczb naturalnych takich,
że suma dzielników każdej z tych liczb równa się drugiej (nie
licząc dzielników przez samą siebie).
 Pierwsza para takich liczb została podana przez
Pitagorasa, są to liczby 220 i 284 (para najmniejszych
liczb zaprzyjaźnionych)
Dzielniki właściwe liczby 284 to:
D284={1,2,4,71,142}
220=1+2+4+71+142 (liczba 220 jest sumą dzielników liczby 284)
Dzielniki właściwe liczby 220 to:
D220={1,2,4,5,10,11,20,22,44,55,110}
284=1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110
(liczba 284 jest sumą dzielników liczby 220).
HISTORIA LICZB 220 i 284
Gdy zapytano Pitagorasa: "Co to jest przyjaciel?" - odpowiedział:
"Przyjaciel to drugi ja; przyjaźń, to stosunek liczb 220 i 284".
Stąd podobno pochodzi owa nazwa liczb zaprzyjaźnionych.
W starożytności liczbom zaprzyjaźnionym przypisywano znaczenie
mistyczne. Starożytni Grecy wierzyli, że amulety z
wygrawerowanymi liczbami zaprzyjaźnionymi zapewniają szczęście w
miłości.
Przez dobre dwa tysiące lat para ta była właściwie jedyną znaną
,,powszechnie'', chociaż arabski matematyk z IX wieku,
Thabit ibn Kurrah, podaje regułę wyszukiwania liczb
zaprzyjaźnionych: jeżeli trzy liczby:
oraz
są wszystkie liczbami pierwszymi i n>2, to 2npq i 2nr
tworzą parę liczb zaprzyjaźnionych.
LICZBY ZAPRZYJAŹNIONE
 Liczbami zaprzyjaźnionymi
zajmowali się ci sami matematycy,
którzy szukali także liczb
zaprzyjaźniona sama ze sobą.
pierwszych: Mersenne, Fermat, a
 Znanych jest około miliona par także Kartezjusz, Euler.
liczb zaprzyjaźnionych.
Polski matematyk Jan Brożek
 Inne pary liczb zaprzyjaźnionych znalazł parę liczb
to: 1184 i 1210
zaprzyjaźnionych: 17296 i 18416
2620 i 2924
5020 i 5564
6232 i 6368
10744 i 10856
12285 i 14595
17296 i 18416
63020 i 76084
66928 i 66992
 Każda liczba doskonała jest
CIEKAWE LICZBY
Liczby bliźniacze to dwie liczby
pierwsze różniące się o 2.
Przykładami par liczb bliźniaczych są:
3 i 5; 5 i 7; 11 i 13 ; 17 i 19; 29 i 31 ….
Nie wiadomo do chwili obecnej, czy istnieje
nieskończenie wiele par liczb bliźniaczych.
Największą znaną parą liczb bliźniaczych jest para liczb:
(260497545•26625-1 i 260497545•26625+1)
Liczby czworacze to takie liczby pierwsze: p, p+2, p+6,
p+8, dające dwie pary liczb bliźniaczych.
np.: 5, 7, 11, 13;
11, 13, 17, 19;
191, 193, 197, 199;
821, 823, 827, 829.
CZY ZNASZ TE LICZBY?
Liczby lustrzane to takie dwie liczby, które są
lustrzanym odbiciem, np.: 125 i 521, 68 i 86,
17 i 71, 3245 i 5423.
Jeżeli napiszemy dowolną liczbę i jej lustrzane
odbicie , np.1221, to tak otrzymana liczba jest
podzielna przez 11.
1221:11=192
Liczbą automorficzną nazywamy liczbę, której kwadrat
kończy się tymi samymi cyframi co sama liczba np.:
52=25, 762=5776, 93762= 87909376,
CZY ZNASZ TE LICZBY?
Liczby Sophie Germain to takie liczby
pierwsze p jeżeli 2p+1 jest także liczbą pierwszą np.:
5, 11, 23, 29, 41.
Liczby względnie pierwsze to liczby, które nie mają
wspólnego dzielnika. Parą liczb względnie pierwszych
jest licznik i mianownik ułamka nieskracalnego,np.6 i 13,
20 i 35 .
Liczby palindromiczne - liczby naturalne,
które czyta się tak samo od początku
i od końca. Przykłady takich liczb:
55, 494, 30703, 414, 5115...
LICZBY TRÓJKĄTNE
Nazwa "liczby trójkątne" pochodzi stąd, że każda
taka liczba o numerze n jest liczbą np. kół
jednakowej wielkości, z których można ułożyć trójkąt
równoboczny o boku zbudowanym z n kół. Oto sposób
odnajdywania kolejnych liczb trójkątnych i zarazem
ich geometryczna ilustracja:
Na przykład: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 35, ...
LICZBY KWADRATOWE
Nazwa "liczby kwadratowe" pochodzi stąd, że każda taka
liczba o numerze n jest liczbą np. kół jednakowej wielkości,
z których można ułożyć kwadrat o boku zbudowanym z n
kół. Oto sposób odnajdywania kolejnych liczb kwadratowych i
zarazem ich geometryczna ilustracja:
Na przykład: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, ...
LICZBY FIBONACCIEGO
► Liczby Fibonacciego to liczby naturalne tworzące
ciąg o takiej własności, że kolejny wyraz (z wyjątkiem
dwóch pierwszych) jest sumą dwóch poprzednich (tj.
1,1,2,3,5,8,13, 21, 34,.....). Nazwa pochodzi od imienia
Leonarda z Pizy zwanego Fibonaccim, który w 1202 podał ten
ciąg.
► Ciąg Fibonacciego to ulubiony ciąg przyrody. Taki ciąg
liczbowy opisuje np. liczbę pędów rośliny jednostajnie
przyrastającej w latach (np. drzewa) Róże kalafiora
zielonego, poczynając od czubka układają się w kształt
spiral. Jeśli obliczymy ilość lewo- i prawoskrętnych spiral, to
okaże się, że są to liczby z ciągu Fibonacciego. Podobną ilość
spiral tworzą ziarna słonecznika czy łuski szyszki.
TRÓJKĄT PASCALA
Jednym z najbardziej interesujących układów
liczbowych jest trójkąt Pascala (od nazwiska
Blaise'a Pascala, sławnego francuskiego
matematyka i filozofa).
Został on tak nazwany, ponieważ liczby, które w nim
występują układają się w trójkąt.
Trójkąt Pascala tworzy się z liczb naturalnych zgodnie z
następującą regułą:
W wierzchołku trójkąta oraz wzdłuż
boków wychodzących z tego wierzchołka
są jedynki. Reszta liczb powstaje w ten
sposób, że liczba będąca w kolejnym
rzędzie jest sumą dwóch liczb,
które są bezpośrednio nad nią.
Własności trójkąta
Pierwsza przekątna to oczywiście same„
jedynki”, następna przekątna ma liczby
naturalne,trzecia przekątna utworzona
została z liczb trójkątnych. Czwarta
przekątna ma liczby czworościenne
► Suma liczb w poziomym rzędzie to
kolejne potęgi liczby 2.
Po usunięciu z trójkąta wszystkich liczb
parzystych pozostałe liczby nieparzyste
układają się w geometryczny wzór
trójkąta Sierpińskiego.
LICZBY FERMATA
Liczby Fermata to liczby mające postać
gdzie n jest liczba całkowitą nieujemną.
3, 5, 17, 257, ...
Matematyk francuski Pierre de Fermat
przypuszczał, że wszystkie liczby mające tę postać
są liczbami pierwszymi. Okazało się, że liczby
F0=3, F1=5, F2=17, F3=257, F4=65537 są liczbami
pierwszymi, natomiast F5=4294967297 jest liczbą
złożoną i dzieli się przez 641.
CIEKAWOSTKI O LICZBACH
 Największa liczba pierwsza (2 759 677 cyfr), która nie
jest liczbą Mersenne'a: 27653 × 29167433 + 1
 Największą liczbą pierwszą poznaną przed erą elektroniki
jest 44-cyfrowa tzw. liczba Ferriera: (2148 + 1) / 17
znaleziona za pomocą mechanicznego kalkulatora
 Istnieją liczby pierwsze złożone z kolejnych cyfr np.:23,
67, 4567, 23456789, 1234567891,
1234567891234567891234567891. W dwóch ostatnich
liczbach cyfry występują w tak zwanym rosnącym porządku
cyklicznym, tzn. po kolei, z tym że po 9 może być 0 lub 1.
Trudniej trafić na liczby pierwsze z malejącym porządkiem
cyklicznym: 43, 10987, 76543 i 1987.
CIEKAWOSTKI O LICZBACH
 Liczba 31415926535897932384626433832795028841
zestawiona z początkowych 38 cyfr rozwinięcia dziesiętnego
liczby π, jest pierwsza.
 Są wielocyfrowe liczby pierwsze, które
składają się z samych jedynek
np. 11 111 111 111 111 111 111 111 (23-cyfrowa).
 Liczba 73939133 nie tylko jest pierwsza, ale liczby
otrzymane z niej przez kolejne obcinanie cyfr od prawej też
są pierwsze: 7393913, 739391, 73939, 7393, 739, 73, 7.
 Wielkie liczby pierwsze służą do testowania mocy
obliczeniowej superkomputerów. Klucze najlepszych szyfrów
oparte są na liczbach pierwszych. Są użyteczne przy
konstruowaniu kodów korekcyjnych do wyszukiwania błędów
w przekazie obrazów i danych (satelity, sondy kosmiczne...)
oraz w czytnikach CD wysokiej jakości.
BIBLIOGRAFIA
W. Sierpiński, „Arytmetyka teoretyczna”, PWN, Warszawa 1966
W. Sierpiński, „Wstęp to teorii liczb”, WSiP, Warszawa 1987
J.H. Conway, R.K. Guy „Księga Liczb”
W. Sięrpiński, „Teoria liczb”, PAN, Warszawa 1959
http://www.math.edu.pl/liczby-blizniacze
http://www.serwis-matematyczny.pl/static/st_liczby_dosk.php
http://pl.wikipedia.org/wiki/Liczby_doskonałe
http://pl.wikipedia.org/wiki/Liczby_zaprzyjaźnione
http://pl.wikipedia.org/wiki/Liczby_Mersenne’a
http://pl.wikipedia.org/wiki/Liczby_pierwsze
http://www.math.edu.pl/liczby-fibonacciego
Dziękujemy za uwagę
: