x(f = = 4 Sztuka rozwiązywania

Co można, a czego nie można zrobić z równaniem i dlaczego?
Każda operacja na równaniu to tak naprawdę jedno z dwojga:
1. „zadziałanie” na obydwie strony równania pewną funkcją, albo
2. opuszczenie po obydwu stronach równania znaku pewnej funkcji.
Powyższe zdanie dotyczy wszystkich operacji wykonywanych na równaniach, także tych,
które uczeń poznaje już w szkole podstawowej i gimnazjum, jak pomnożenie obydwu stron
równania przez liczbę różną od zera, czy dodanie do obydwu stron równania dowolnego wyrażenia.
Przykłady:
3
Mamy równanie: (LewaStrona ) = (Pr awaStrona )
Równanie ma postać f (LewaStrona ) = f (Pr awaStrona ) , gdzie f ( x) = x 3
Opuszczając znak tej funkcji otrzymujemy: LewaStrona = Pr awaStrona
Mamy równanie: LewaStrona = Pr awaStrona
Działając na obydwie strony równania funkcją f ( x) = ax , gdzie a ≠ 0 otrzymujemy:
f (LewaStrona ) = f (Pr awaStrona ) , tzn.
a ⋅ LewaStrona = a ⋅ Pr awaStrona
Zadziałanie na obydwie strony równania podaną funkcją, to pomnożenie obydwu stron przez
liczbę a różną od zera.
3
Niektóre z takich operacji wykonywanych na równaniach są poprawne, tzn. po ich wykonaniu
nie zmieni się zbiór rozwiązań równania (mówimy wtedy, że otrzymaliśmy równanie równoważne równaniu wyjściowemu).
Niektóre jednak zmieniają zbiór rozwiązań – tych nie należy wykonywać.
Przykład użycia błędnej operacji
Równanie wyjściowe: x = 2
Równanie ma jedno rozwiązanie: jest nim liczba 2.
Bierzemy funkcję f ( x) = x 2 i wykonujemy f ( x) = f ( 2) , w efekcie czego otrzymamy: x 2 = 4 .
To ostatnie równanie ma dwa rozwiązania: x 1 = 2 , x 2 = −2 , czyli zbiór rozwiązań równania
się zmienił: został powiększony o jedno „fałszywe” rozwiązanie, które nie jest rozwiązaniem
równania wyjściowego.
Sztuka rozwiązywania równania polega więc na wykonywaniu na nich takich operacji,
które nie zmieniają zbioru rozwiązań, a jedynie zmieniają postać równania – najlepiej w
kierunku jego maksymalnego uproszczenia.
Powstaje pytanie: które operacje są dopuszczalne, a które nie?
Odpowiedź na to pytanie jest ukryta w definicji funkcji różnowartościowej:
„Funkcję f(x) nazywamy różnowartościową, jeżeli dla dowolnych argumentów x 1 , x 2
zachodzi: f (x 1 ) = f (x 2 ) ⇔ x 1 = x 2 ”,
co można powiedzieć inaczej: „wartości funkcji są równe tylko dla równych argumentów”.
Jak widać w definicji tej wyraźnie zapisano, że jeżeli funkcja jest różnowartościowa, to
równania f (x 1 ) = f (x 2 ) oraz x 1 = x 2 są równoważne (czytaj: mają taki sam zbiór rozwiązań).
W poniższej tabeli przedstawiono wykaz najczęściej używanych, poprawnych operacji na
równaniach:
Operacja
Przykład
Uzasadnienie poprawności
Podniesienie obydwu stron
Funkcje f ( x) = x 3 , f ( x) = x 5 ,
równania do nieparzystej po3
3
x =2
tęgi (albo opuszczenie po
f ( x ) = x 7 ,... są różnowartox
2
=
obydwu stronach równania
ściowe
takiej potęgi)
Podniesienie obydwu stron
równania do parzystej potęgi
Różnowartościowe są funk(albo opuszczenie po obydwu
cje:
stronach równania takiej pon
f ( x) = x , gdy n jest parzyste
tęgi), lecz jedynie w przy2
2
ale pod warunkiem, że funkx + 3 = 2x + 1
padku , gdy:
cje te są zawężone do dzie2
---obydwie strony równania
x 2 + 3 = 2x 2 + 1
dziny:
są nieujemne, albo
(
−
∞
,
0
albo 0, ∞ ) ,
--- obydwie strony równania
są niedodatnie
np.: f ( x ) = x 2 , x ∈ 0, ∞ )
dla wszystkich wartości x z
dziedziny równania
x 5 = −32
Funkcje f ( x) = n x ,
Pierwiastkowanie obydwu
5
stron równania pierwiastkiem
n ∈ { 3,5,7,9,...}
x 5 = 5 − 32
stopnia nieparzystego
są różnowartościowe
x = −2
4
x = 16
(
)
4
x 4 = 4 16
Pierwiastkowanie obydwu
x =2
stron równania pierwiastkiem
stopnia parzystego, lecz tylko
x = 2 lub x = −2
wtedy, gdy obydwie strony
Uwaga: 4 x 4 = x , podobnie
równania są nieujemne
jak
Logarytmowanie
obydwu
stron równania (lub opuszczenie logarytmów po obydwu stronach równania), gdy
obydwie strony równania są
dodatnie
Opuszczenie znaku funkcji
wykładniczej lub użycie tej
funkcji
Funkcje f ( x) = n x , x ≥ 0 ,
n ∈ { 2,4,6,8,...}
są różnowartościowe
x2 = x
log 3 (x − 2) = log 3 8
Dziedzina równania: x > 2
Opuszczamy logarytmy:
x−2=8
Wszystkie funkcje logarytmiczne są różnowartościowe
2 4x−2 = 2 3
4x − 2 = 3
Wszystkie funkcje wykładnicze są różnowartościowe
Parę przykładów błędnych operacji na równaniach:
Operacja
Przykład
Uzasadnienie
x2 + 1 = x − 1 / 2
x 2 + 1 = ( x − 1) 2
x 2 + 1 = x 2 − 2x + 1
Podniesienie obydwu stron
2x = 0
równania do potęgi parzystej
x=0
bez badania znaku obydwu Sprawdzamy:
?
stron równania
02 + 1 = 0 − 1
1 ≠ −1
czyli wynik jest błędny. To
równanie nie ma rozwiązań.
π
sin x = sin
6
π
x=
Opuszczenie znaku funkcji
6
trygonometrycznej
Równanie to ma nieskończenie wiele rozwiązań. Pozostałe rozwiązania zostały po prostu zgubione.
Funkcja f ( x) = x 2 nie jest
różnowartościowa
Funkcje trygonometryczne
nie są różnowartościowe.
Rozwiążemy teraz przykładowe zadanie z wykorzystaniem omówionych zasad rządzących
rozwiązywaniem równań.
4−x = x−2
Wyznaczamy dziedzinę równania:
4−x ≥ 0 ⇔ x ≤ 4
Dla x ∈ (− ∞ ,4 lewa strona równania jest nieujemna.
Co natomiast dzieje się z prawą stroną?
x − 2 ≥ 0 ⇔ x ≥ 2 , czyli prawa strona równania jest nieujemna dla x ∈ 2,4 , natomiast dla
x < 2 jest ujemna.
Wobec tego w dziedzinie równania obydwie strony równania nie są tego samego znaku
(obie nieujemne lub obie niedodatnie), więc nie można równania podnieść obustronnie do
kwadratu.
Wydaje się, że sytuacja jest bez wyjścia. Tak jest tylko pozornie – wystarczy bowiem przeprowadzić następujące rozumowanie:
1. Dla x < 2
Lewa strona równania jest nieujemna, a prawa ujemna, czyli równanie jest sprzeczne (lewa
strona nie może równać się prawej).
Dlatego te wartości x odrzucamy – nie mogą być rozwiązaniami równania.
2. Dla x ∈ 2,4
Obie strony równania są nieujemne – można równanie podnieść obustronnie do kwadratu:
(
)
4 − x = (x − 2)
Pamiętamy jednak, że te obliczenia dotyczą tylko liczb z przedziału 2,4
2
2
4 − x = x 2 − 4x + 4
x 2 − 3x = 0
x( x − 3) = 0
x = 0 lub x = 3
x = 0 odrzucamy, bo nie należy do przedziału 2,4 , czyli jedynym rozwiązaniem równania jest x = 3 .
Sprawdźmy:
?
4− 3 =3− 2
1=1
x = 3 rzeczywiście jest rozwiązaniem równania.
A x = 0?
?
4 − 0 =0 − 2
2 = −2
Co prawda wychodzi w czasie obliczeń (po podniesieniu obydwu stron równania do kwadratu, ale rozwiązaniem równania nie jest.
Dla lepszej ilustracji tego zadania przedstawmy w jednym układzie współrzędnych wykresy
funkcji y = 4 − x oraz y = x − 2 :
Wykresy te przecinają się dla x = 3 , które jest rozwiązaniem równania.
Natomiast dla x = 0 funkcja y = 4 − x przyjmuje wartość 2, a funkcja y = x − 2 wartość –2
Po podniesieniu obu stron do kwadratu otrzymamy 4=4 i w ten sposób pojawia się „fałszywe”
rozwiązanie.