System ewaluacji kontraktów opcyjnych metodą Monte Carlo

SYSTEM EWALUACJI KONTRAKTÓW OPCYJNYCH METOD MONTE CARLO
HUBERT ZARZYCKI
Uniwersytet Technologiczno-Przyrodniczy w Bydgoszczy
Streszczenie
Istnieje ciągła koniecznoĞü poszerzania moĪliwoĞci zarządzania inwestycjami.
DuĪy potencjał zabezpieczania siĊ przed ryzykiem inwestycyjnym oferują opcje egzotyczne i hybrydowe. Handel takimi produktami odbywa siĊ na rynku pozagiełdowym (OTC) i czĊsto są to produkty tworzone na zlecenie. Pewnych rodzajów opcji
egzotycznych i hybrydowych nie moĪna wyceniü tradycyjnymi analitycznymi i numerycznymi metodami. W takich przypadkach warto uĪyü metody Monte-Carlo do wyceny instrumentów finansowych. W artykule prezentowana jest propozycja systemu
ewaluacji wartoĞci instrumentów pochodnych metodą MC. Dodatkowo przedstawiona została efektywna wycena przykładowej opcji egzotycznej.
Słowa kluczowe: metody Monte-Carlo, systemy wspomagania decyzji, opcje egzotyczne i
hybrydowe, inynieria finansowa, wycena kontraktów opcyjnych
1. Wprowadzenie
Ju od drugiej połowy dwudziestego wieku nastpuje szybki rozwój zastosowa kontraktów
opcyjnych. Produkty te daj moliwo uzyskania ponadprzecitnych zysków z inwestycji
niezalenie od koniunktury. Mog by one oparte o róne aktywa bazowe takie jak akcje, waluty,
indeksy oraz surowce. Zgodnie z teori [11, 14], opcja jest to umow pomidzy nabywc a
sprzedawc, dajca nabywcy prawo (lecz nie obowizek) do kupna (ang. call) lub sprzeday (ang.
put) aktywów bazowych w okrelonym czasie w przyszłoci po zadanej cenie, w zamian za opłat
zwan premi opcyjn. Cena opcji uzaleniona jest od wartoci aktywów pierwotnych (bazowych). Posiadanie opcji daje prawo, ale nie zobowizuje, a wic posiadacz opcji (ang. holder)
wtedy skorzysta z tego prawa, gdy bdzie to dla niego opłacalne. Skorzystanie z prawa nazywa si
wykonaniem opcji (ang. exercise) lub jej rozliczeniem. Posiadacz opcji amerykaskiej moe j
wykona w dowolnym czasie od momentu jej nabycia do terminu wyganicia. Opcj europejsk
mona natomiast wykona jedynie w dniu wyganicia opcji. A wic w przypadku opcji europejskiej terminy wykonania i wyganicia s jednakowe. Amerykaskie i Europejskie typy kontraktów opcyjnych nazywane s standardowymi lub waniliowymi. Wszelkie inne kontrakty opcyjne
zwane s egzotycznymi lub hybrydowymi.
Instytucje finansowe dce do sprawniejszego i efektywniejszego zarzdzania kapitałami na
rynkach finansowych zaczły powszechnie stosowa kontrakty opcyjnie wraz z pojawieniem si
pierwszych analitycznych [1] i dyskretnych [6] modeli wyceny tych produktów finansowych. Jest
wiele powodów, dla których opcje egzotyczne i hybrydowe s atrakcyjne dla inwestorów. Wród
najwaniejszych mona wymieni, e zwykle ceny opcji egzotycznych i hybrydowych s nisze od
opcji standardowych, a w wikszoci przypadków daj one podobne i wystarczajce moliwoci
POLSKIE STOWARZYSZENIE ZARZĄDZANIA WIEDZĄ
Seria: Studia i Materiały, nr 22, 2009
227
inwestycji i zabezpiecze co opcje waniliowe (amerykaskie i europejskie). Poza tym, tworzone
nowe kontrakty poszerzaj równie moliwoci zarzdzania ryzykiem. Natomiast rozwój technologiczny, przejawiajcy si wzrostem mocy obliczeniowej komputerów, umoliwia rozwizywania
skomplikowanych problemów numerycznych zwizanych z wycen produktów finansowych
w czasie rzeczywistym.
Coraz wiksze i bardziej rónorodne zapotrzebowania inwestorów doprowadzaj do powstawania kolejnych instrumentów pochodnych. Wród ostatnio wprowadzanych kontraktów znaczc
i coraz waniejsz rol odgrywaj opcje egzotyczne i hybrydowe. S to produkty o bardziej
złoonej strukturze ni opcje standardowe. Obrót tymi instrumentami moe odbywa si na rynku
pozagiełdowym (OTC) lub/i tworzone s na zamówienie. W przypadku wyceny instrumentów
tworzonych na zamówienie czsto due znaczenie ma sprawno przygotowania modelu wyceny
[5]. A biorc pod uwag, e pewnych rodzajów opcji egzotycznych i hybrydowych nie mona
wyceni tradycyjnymi metodami, sensownym jest w takich przypadkach zastosowanie symulacji
Monte Carlo do ewaluacji wartoci rozwaanych instrumentów finansowych.
2. Metoda Monte Carlo wyceny kontraktów opcyjnych
W biecym rozdziale przedstawiona zostanie efektywna metoda MC [8] wyceny opcji egzotycznych wraz z wycen przykładowego prostego kontraktu typu azjatyckiego. Metoda Monte
Carlo moe by zastosowana w wielu rónych procesach stochastycznych, take w przypadku, gdy
logarytm naturalny wartoci instrumentu bazowego zachowuje si zgodnie z geometrycznym
ruchem Browna:
1
§
·
dS = ¨1 + µS + σ 2 S ¸dt + σSdZ
2
©
¹
Podejcie metodami Monte Carlo do wyceny opcji jako pierwszy zaprezentował Boyle [2, 10, 11].
MC s zazwyczaj wykorzystywane, gdy nie ma dostpnych wzorów analitycznych i modeli
dyskretnych. Tzn. w przypadku, gdy cena instrumentu podstawowego S jest dana poprzez:
S + dS = Se
(µ −σ
2
)
/ 2 dt +σ dZ
gdzie dZ jest róniczk procesu Wienera [4, 12], o odchyleniu standardowym σ równym jeden i
wartoci redniej (dryfu) µ równej zero. W celu zasymulowania procesu, dokonujemy podziału osi
czasu na skoczon liczb n przedziałów czasowych o kocach t0, t1, t2, …, tn oddalonych od
siebie o ∆t, wtedy
S + ∆S = Se
(µ −σ
2
)
/ 2 ∆t + σ ε t
∆t
gdzie ∆S jest przyrostem ceny S w zadanym przedziale czasowym ∆t, a εt niezalenymi wartociami losowymi wygenerowanymi ze standardowego rozkładu normalnego N(0,1). Wikszo
jzyków programowania ma wbudowane funkcje zwracajce warto losow z rozkładu normalnego. Jeeli jednak dostpne s jedynie liczby losowe Z z przedziału od 0 do 1, to mog one by
w prosty sposób przekształcone w losow warto rozkładu normalnego. Zachodzi nastpujca
relacja:
12
ε = ¦ Zi − 6
i =1
Kolejne niezalene wartoci Sn wyliczamy wic przy pomocy nastpujcej reguły [10]:
228
Hubert Zarzycki
System ewaluacji kontraktów opcyjnych metodą Monte Carlo
S m = S m −1e
(µ −σ
2
)
/ 2 (t m − t m −1 )+ σ ε t t m − t m −1
, dla m=1…n
Przyjmujc, e funkcja wypłaty opcji W zaley jedynie od wartoci instrumentu bazowego Sn
mona zapisa wzór na cen opcji C dla pojedynczej trajektorii (rysunek 1) cen instrumentu
podstawowego S0, S1, S2, …,Sn:
C = e − rTW ( S0 , S1 , S 2 ,..., S n )
Stn-1
S
St
St
St2
Stn
St
t
t0
t1
t2
t3
Rys. 1. Pojedyncza trajektoria cen S instrumentu podstawowego
tn-1
ródło: Opracowanie własne.
natomiast po przeprowadzeniu k eksperymentów (rysunek 2) premia opcyjna jest równa:
C = e − rT
1 k
¦ W S teks0 , S teks1 , S teks2 ,..., S tneks
k eks =1
(
)
Przy czym naley mie na uwadze, e dla kadego rodzaju opcji warto funkcji wypłaty W jest
liczona inaczej. Kada z trajektorii na rysunku 2 odpowiada jednemu eksperymentowi ze wzoru.
Zaproponowana w pierwotnej wersji klasyczna metoda wyceny za pomoc symulacji Monte Carlo
jest wzgldnie nieefektywna. Zadowalajca dokładno wyznaczania premii opcyjnej uzyskiwana
jest dopiero po co najmniej dziesiciu tysicach prób k. Ponadto, do 10-krotnego zwikszenia
dokładnoci oblicze potrzeba przeprowadzi a 100 razy wicej prób [8]. Opracowano jest wiele
technik pozwalajcych przypieszy opisywan metod. Najczciej stosowane s metody z
wykorzystaniem redukcji wariancji [3, 11]. Zaliczamy do nich metody:
• zmiennych antytetycznych (ang. antithetic variates),
• losowanie warstwowe (ang. stratified sampling),
• redniej waonej (ang. importance sampling),
• zmiennych kontrolnych (ang. control variates).
POLSKIE STOWARZYSZENIE ZARZĄDZANIA WIEDZĄ
Seria: Studia i Materiały, nr 22, 2009
229
Stn
S
St0
St1
St2
St3
t
Stn-1
t0
t1
t2
t3
tn-1
tn
Rys. 2. Losowe trajektorie cen instrumentu bazowego S po przeprowadzeniu k eksperymentów
ródło: Opracowanie własne, [16].
3. Wycena opcji azjatyckich metod MC
Rozwaymy teraz efektywny sposób wyceny metod Monte Carlo przykładowego kontraktu
egzotycznego - opcji azjatyckiej. Istniej dwa podstawowe typy opcji; kontrakt kupna (ang. call)
lub sprzeday (ang. put). O wartoci wypłaty z opcji decyduje cena wykonania X. Funkcja wypłaty
dla kontraktu azjatyckiego uzaleniona jest równie od redniej SA cen instrumentu podstawowego. W poniszej tabeli znajduj si funkcje wypłaty W opcji azjatyckich.
Tabela 1. Funkcje wypłaty opcji azjatyckich
Typ
azjatyckie opcja kupna
(ang. asian average price call)
azjatyckie opcja sprzeday
(ang. asian average price put)
Funkcja wypłaty
Wcall = max(0, SA-X)
Wput = max(0, X- SA)
ródło: Opracowanie własne, [16].
Zgodnie z podejciem zaproponowanym przez Broadie’go i Glasserman’a [3] do przeprowadzenia pojedynczego eksperymentu potrzebne bdzie utworzeniu grup obserwacyjnych wejcia w
punktach twe oraz grup obserwacyjnych wyjcia w punktach twy. Ponisze wzory ukazuj sposób
wyliczania wartoci opcji w momencie wyganicia (funkcji wypłaty) za pomoc metody MC
z uwzgldnieniem grup obserwacyjnych:
230
Hubert Zarzycki
System ewaluacji kontraktów opcyjnych metodą Monte Carlo
Wcall
§ 1 n
¨
¦ S(t wy,i )
n i =1
¨
= max¨ 0,
−X
1 m
¨¨
¦ S(t we, j )
© m j=1
·
¸
¸
¸,
¸¸
¹
Wput
§
¨
¨
= max¨ 0, X −
¨¨
©
1 n
¦Sk (t wy,i )
n i=1
1 m
¦ Sk (t we, j )
m j=1
·
¸
¸
¸
¸¸
¹
gdzie:
1 i m; 1 j p; twe,1 = t0; twe,1< twe,2< …< twe,m< tn;
twe,m< twy,1< twy,2< …< twy,n; twy,n = tn; m+p n
Po przeprowadzeniu k eksperymentów oraz zdyskontowaniu Wcall (Wput) do wartoci obecnej
otrzymujemy cen opcji:
C call = e − rT
1 k
W calleks ,
¦
k eks =1
C put = e − rT
1 k
eks
W put
¦
k eks =1
Wyznaczajc warto opcji, zwykle równie oblicza si współczynniki wraliwo ceny na
zmian czynników, które t cen determinuj. Czynnikami, które wpływaj na cen opcji s: cena
instrumentu pierwotnego S, cena wykonania X, zmienno cen instrumentu pierwotnego , długo
okresu do terminu wyganicia opcji t, oraz wolna od ryzyka stopa procentowa r. Odpowiednio
współczynniki delta, gamma, lambda, teta i ro wskazuj w jaki sposób zmieni si cena opcji, gdy
czynniki wpływajce na cen opcji zmieni si o jednostk. Współczynniki wraliwoci stanowi
z punktu widzenia inwestora bardzo cenn informacj. Dlatego s one niezbdn czci systemu
wyceny. Szczegółowe rozpisanie metodologii wyznaczania współczynników wraliwoci w
metodzie MC przekracza ramy tego opracowania. Wicej na ten temat mona znale w opracowaniu Michaela C. Fu i Jian Qiang Hu [9].
4. System informatyczny wyceny opcji egzotycznych i hybrydowych
Według Turbana systemy wspomagania decyzji [15, 7, 13] s przeznaczone dla decydentów
na rónych poziomach organizacji i zajmuj si decyzjami pół-ustrukturalizowanymi. Z takim
problemem styka si analityka finansowego przy podejmowaniu decyzji, czy dany moment jest
dobry do zainwestowania i zakupu/sprzeday kontraktów opcyjnych. Automatyzacja procesu
przetwarzania danych prowadzca do jednoznacznej decyzji inwestycyjnej nie jest moliwa.
Gdyby metoda dała si wyrazi jako algorytm, wówczas proces decyzyjny byłby ustrukturalizowany i mógłby by rozwizany automatycznie. Mamy tu jednak do czynienia z problemem słabo
lub le ustrukturalizowanym, w którym nie ma algorytmu jednoznacznie wskazujcego prawidłowy wybór. Mona jedynie poprzez wskazówki takie jak warto teoretyczna opcji oraz współczynniki wraliwoci wspomóc procesy decyzyjne.
Projekt systemu powinien koncentrowa si zarówno na ulepszaniu obecnie dostpnych rozwiza jak i wikszej oferty dostpnych instrumentów. Schemat pogldowy systemu przedstawiono na rysunku 3.
POLSKIE STOWARZYSZENIE ZARZĄDZANIA WIEDZĄ
Seria: Studia i Materiały, nr 22, 2009
231
Uytkownik
GUI, Arkusz kalkulacyjny
System
wyceny opcji
Aplikacja i biblioteki
do wyznaczanie
wartoci opcji.
Wyznaczanie współczynników wraliwoci.
Implikowana zmienno, moduły podpowiedzi.
System monitoringu
instrumentów finansowych.
Rys. 3. Schemat poglądowy systemu wyceny opcji egzotycznych
ródło: Opracowanie własne.
Dane do systemu wprowadzane s przez uytkownika do arkusza kalkulacyjnego stanowicego interfejs graficzny. Warto nadmieni, e arkusze kalkulacyjne, a szczególnie Excel, s standardem wród analityków finansowych. GUI w arkuszu powinien by oparty na intuicyjnym podejciu i uniemoliwia wprowadzenie nieprawidłowych danych. Przykładowo wprowadzone
wartoci dla opcji z nierealistycznymi danymi np. niewłaciwymi datami naley odrzuci. Po
przefiltrowaniu i przygotowaniu danych wejciowych, za pomoc kodu VB, s one przesyłane z
arkusza do aplikacji ewaluacyjnej. Wyznaczona warto opcji moe by nastpnie uyta do
wyliczenia współczynników wraliwoci. Dodatkow funkcjonalnoci systemu, nie opisywan w
tym dokumencie ze wzgldu na obszerno, powinny by: wyznaczanie implikowanej zmiennoci
[3, 11], moduły podpowiedzi oraz przygotowanie wykresów funkcji wypłaty. Wszystkie rezultaty
s zwracane do arkusza kalkulacyjnego. Teoretyczne wartoci instrumentów finansowych i
współczynniki wraliwoci mog by przekazywane do zewntrznego systemu czasu rzeczywistego kontrolujcego otwarte pozycje w kontraktach.
Obecnie na rynku oprogramowania mona znale bardzo wiele narzdzi umoliwiajcych
proste i szybkie tworzenie aplikacji (np. .Net). Aplikacja ewaluacji wartoci opcji i współczynników wraliwoci powinna by utworzona z pomoc najszybszych obiektowych jzyków programowania i zarazem jzyków czwartej generacji (np. c++, c#),. Najwiksz ich zalet jest moliwo tworzenia skomplikowanych bibliotek bez pisania nadmiernej iloci kodu, w sposób
automatyczny bazujc na standardowych komponentach i funkcjach.
232
Hubert Zarzycki
System ewaluacji kontraktów opcyjnych metodą Monte Carlo
5. Podsumowanie
System wyceny opcji egzotycznych i hybrydowych musi spełnia wysokie wymagania stawiane przez inwestorów. Obecna technika umoliwia stworzenie takiego systemu w oparciu o metody
Monte Carlo. Rozwaany system wyceny powinien by zaprojektowany w ten sposób, by zapewniajc dokładno ewaluacji produktów finansowych oraz umoliwiał wspomaganie podejmowania inwestycyjnych decyzji giełdowych i pozagiełdowych.
Najwiksz zalet systemu jest umoliwienie nieskomplikowanego i niedługotrwałego dodawania algorytmów wyceny kolejnych złoonych produktów finansowych. W wikszoci przypadków, do wprowadzenia nowego produktu niezbdna bdzie jedynie przygotowanie i implementacja funkcji wypłaty kontraktu. Funkcja wypłaty moe korzysta ze wspólnego generatora MC
i powizanych bibliotek. Szeroki wachlarz dostpnych instrumentów finansowych w bibliotece
pozwoli sprosta rosncym wymaganiom inwestorów. System powinien równie posiada
mechanizmy zabezpiecze przed wprowadzaniem nieprawidłowych danych, wylicza implikowan zmienno, współczynniki wraliwoci i posiada moduł podpowiedzi. Aplikacja dziki swoim
moliwoci stanowi praktyczne i unikalne na polskim rynku narzdzie wspomagania inwestycyjnego.
Bibliografia
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
Black F., Scholes M.: The valuation of option contracts and a test of market efficiency,
Journal of Finance, 1972 May.
Boyle P.: Options: A Monte Carlo Approach, Journal of Financial Economics, 4, 1977.
Broadie M., Glasserman P.: Monte Carlo methods for security pricing, Journal of
Economic Dynamics and Control 21, s. 1267–1321.
Cerny A.: Mathematical Techniques in Finance, Princeton University Press, 2004.
Chorafas D.: Financial models and simulation. McMillan Press, London 1995.
Cox J., Ross S., Rubinstein M.: Option pricing. A simplified Approach. Journal of
Financial Economics, 1979 March.
Czermiski J.: Systemy wspomagania decyzji w zarzdzaniu przedsibiorstwem,
TNOiK, Toru 2002.
Duffie D., Glynn P.: Efficient Monte Carlo estimation of security prices, Ann. Applied
Probability 5, 1996.
Fu, M., Hu, J.Q.: Sensitivity analysis for Monte Carlo simulation of option pricing.
Probability in the Engineering and Information Sciences Vol 9, s. 417-446, Sept.1994,
revised June 2005.
Haug E.: The complete guide to option pricing formulas, McGraw Hill, 1998.
Hull, J.C. Options, Futures and Other Derivatives (Upper Saddle River, NJ), 6th Edition,
Prentice Hall 2006.
Jakubowski J., Palczewski A., Rutkowski M, Stettner Ł.: Matematyka finansowa,
Wydawnictwa Naukowo-Techniczne 2003.
Radosiski E.: Systemy informatyczne w dynamicznej analizie decyzyjnej. PWN 2001.
Tarczyski W., Zwolankowski M.: Inynieria Finansowa, Agencja Wydawnicza
PLACET, Warszawa 1999.
POLSKIE STOWARZYSZENIE ZARZĄDZANIA WIEDZĄ
Seria: Studia i Materiały, nr 22, 2009
233
15. Turban E.: Decision Support Systems and Expert Systems, Prentice Hall, Englewood
Cliffs 1995.
16. Zarzycki H.: Wspomaganie decyzji w informatycznym systemie zarzdzania
inwestycjami na rynkach terminowych, Praca doktorska, Politechnika Szczeciska,
Wydział Informatyki 2006.
COMPUTER SYSTEM FOR VALUING OPTIONS
WITH MONTE CARLO APPROACH
Summary
There is continuous necessity to widen the possibilities of the investment management. The exotic and hybrid options have large potential to hedge against the
investment risk. Trading of such products is conducted in over-the-counter (OTC)
markets. These are often custom tailored products. It is not possible to evaluate
some kinds of exotic and hybrid options with traditional analytical and numerical
pricing methods. In such cases, it makes perfect sense to price financial instruments
with Monte - Carlo method. The article introduces a proposal of derivatives pricing
system with MC approach. Additionally, the effective valuation of an exemplary exotic option has been presented.
Keywords: Monte Calro methods, decision support systems, exotic and hybrid options, financial
engineering, option pricing
Hubert Zarzycki
Wydział Zarzdzania
Uniwersytet Technologiczno-Przyrodniczy w Bydgoszczy