Zagadnienie dwóch ciał Równanie orbity – metoda Bineta

MECHANIKA NIEBA
WYKŁAD 5
02.04.2008 r
Zagadnienie dwóch ciał
I prawo Keplera
czynnik związany z
działaniem siły
odśrodkowej
energia potencjalna
1 2 c2 
r  2   h
2
2r
r
Potencjał efektywny
E
Potencjał efektywny w łatwy sposób tłumaczy
kształty orbit:
r
kołowa – minimum energii planety
eliptyczna – planeta zmienia odległość między
dwoma skrajnymi wartościami
paraboliczna – zerowa energia (ciało nadlatuje
z nieskończonosci)
hiperboliczna– energia większa od 0
Zagadnienie dwóch ciał
I prawo Keplera
Wróćmy do równań:
z pierwszymi całkami:

r
  
r  v; v   3
r
1 2 c2 
  
c  r  v  const; h  r  2   const
2
2r
r
Korzystając z nich i całkując równanie:

 
d  r  c r
  3
dt  r 
r
otrzymujemy:

r  


 e    v  c
r

Zagadnienie dwóch ciał
I prawo Keplera

r  


 e    v  c
r

(5.1)
e jest stałym wektorem (Laplace-Runge-Lenz wektor).
Możemy rozróżnić dwa przypadki:

r



e
1. c=0(ruch prostoliniowy), wtedy
, wektor e leży na linii ruchu a
r
jego długość jest równa 1.
 
 
2. c≠0 , r  c  0 skąd dostajemy, że e  c  0 . To oznacza, że e leży w
płaszczyźnie ruchu.
Zagadnienie dwóch ciał
I prawo Keplera
2. c≠0 c.d., mnożymy (5.1) skalarnie przez r i otrzymujemy:
c2
 
e r r 

c2
Dla e=0 mamy r 
 const , a więc ruch po okręgu, dla którego:

v 2  r 2  r 2  2
r 2   c
 v 2  r 2  2
1 2 c2 
c2 
h  r  2 
 h 2
2
2r
r
2r
r
Przekształcając ten układ dostajemy:
1 2
h 2
2c
co oznacza, że dla e=0 mamy ruch po okręgu z ujemną energią.
Zagadnienie dwóch ciał
I prawo Keplera
Dla e≠0 wprowadźmy do równania (5.1)
kąty υ i ω:
c2
    ; e  r cos   r 

c2
Q
P

r

e
υ
θ
0
ω
r

1  e cos 
(5.2)
Otrzymujemy równanie orbity, które jest
równaniem biegunowym krzywej stożkowej
e ma długość równą mimośrodowi, a jego
koniec leży w perycentrum
υ – anomalia prawdziwa
Zagadnienie dwóch ciał
Podsumowanie
Dotąd znaleźliśmy dla układu równań:

r
  
r  v; v   3
r
dwa wektory i jeden skalar będące stałymi ruchu, a więc siedem stałych.
To oznacza, że nie mogą one być niezależne. Istnieją między nimi dwie
zależności.
 
Pierwsza: e  c  0 oznacza, że e i c są do siebie prostopadłe.
Drugą zależność uzyskamy przekształcając równanie:

r  


 e    v  c
r

Zagadnienie dwóch ciał
Podsumowanie
otrzymujemy:
 2 e 2  1  2hc2
(5.3)
co oznacza, że znaleźliśmy tylko pięć niezależnych stałych.
Powyższe równanie wskazuje, że:
- dla e<1 (ruch eliptyczny) mamy h<0
- dla e=1 (ruch paraboliczny) mamy h=0
- dla e>1 (ruch hiperboliczny) mamy h>0
- wcześniej zostało pokazane, że dla e=0 (orbita kołowa) mamy h=hmin
Zagadnienie dwóch ciał
III prawo Keplera
Parametr elipsy (z definicji) jest równy:
p  a 1  e 2 
w naszym przypadku (r-nie 5.2):
c2
p

porównując prawe strony i uwzględniając w (5.3) otrzymujemy:
a

2h
to znaczy, że rozmiar wielkiej półosi zależy od całkowitej energii układu
Zagadnienie dwóch ciał
III prawo Keplera
Wróćmy do prędkości polowej:
1
dS  r 2 d
2
δS
r+δr
r
ponieważ:
więc:
c  r 2 
dS 1
 c
dt 2
korzystając z uzyskanego wcześniej związku
między c i a mamy:
dS 1

a 1  e 2 
dt 2
Zagadnienie dwóch ciał
III prawo Keplera
Z drugiej strony, pole elipsy:
S  ab  a 2 1  e 2
Wprowadźmy okres obiegu P i ruch średni n:
δS
r+δr
n
r
2
P
wtedy:
dS 1 2
 na 1  e 2
dt 2
Porównując oba otrzymane wyrażenia na
prędkość polową dostajemy:
  n 2 a 3  const
czyli trzecie prawo Keplera
Zagadnienie dwóch ciał
Równanie orbity – metoda Bineta
Otrzymane wcześniej równanie orbity:
c2
r

1  e cos 
można wyznaczyć używając metody
zaproponowanej przez J. Bineta.
Q
P

r

e
Korzystając z:
c  r 2 
υ
możemy napisać:
θ
0
ω
r 2 d  c dt
Zagadnienie dwóch ciał
Równanie orbity – metoda Bineta
a następnie:
d c d
 2
dt r d
oraz:
Q
P

r

e
υ
θ
0
ω
d2
c d c d



dt 2 r 2 d  r 2 d 
W ruchu środkowym działa tylko składowa
radialna przyspieszenia:
a r  r  r 2  f (r )
co można zapisać w postaci:
c d  c dr  c 2
 2   r 4  f ( r )
2
r d  r d  r
Zagadnienie dwóch ciał
Równanie orbity – metoda Bineta
a następnie uwzględniając:
1 dr
d 1


 
r 2 d
d  r 
zapisać jako:
Q
P

r

e
υ
θ
0
ω
c d  d  1  c2
      3  f ( r )
2
r d  d  r   r
Jeśli podstawimy u=1/r to otrzymamy wzór
Bineta:
d2u
1 1

u

f 
2
2 2
d
c u u
czyli równanie różniczkowe orbity.
Zagadnienie dwóch ciał
Równanie orbity – metoda Bineta
Uwzględniając:
d dr d
1 d

 2
du du dr
u dr
we wzorze Bineta możemy go przekształcić
do postaci:
Q
P

r

e
υ
θ
0
d2u
1 d 1

u

f1  
2
2
d
c du  u 
Wprowadzając potencjał newtonowski
f1 r  
ω

 u
r
dostajemy ostatecznie:
d2u


u

d 2
c2
Zagadnienie dwóch ciał
Równanie orbity – metoda Bineta
d2u


u

d 2
c2
Rozwiązaniem tego równania jest:
u  A cos   0  
Q
P

r

e
przekształcając to równanie dostajemy
równanie krzywej stożkowej we
współrzędnych biegunowych:

υ
θ
0

c2
2
c
r
1  e cos
ω
gdzie:
Ac 2
e
; 0  0

Zagadnienie dwóch ciał
Równanie orbity – metoda Bineta
Równanie Bineta pozwala ze znanej
postaci siły środkowej wyznaczyć
orbitę.
Q
P

r

e
υ
θ
0
ω
Istotną własnością tego równania jest
to, że ma taką samą postać w przypadku
relatywistycznym:
m0   1 
d2u
 u  2 2 f 
d 2
c u u
Francisc D. Aaron 2005, Rom. Journ. Phys.,
Vol. 50, Nos. 5-6, 615
Położenie punktu na orbicie
Anomalia mimośrodowa
Jak było pokazane wcześniej, wektory c i e
definiują jednoznacznie orbitę. Możemy ją
wyznaczyć mając dane warunki początkowe
r0 i v0.
Nie jesteśmy jednak w stanie podać jawnej
postaci funkcji r=r(t), a więc nie potrafimy
określić położenia punktu na orbicie.
O
Potrzebujemy do tego ostatnią, brakującą
stałą ruchu.
Aby to uzyskać dokonamy zamiany
zmiennych t=t(E), gdzie E jest anomalią
mimośrodową.
Położenie punktu na orbicie
Anomalia mimośrodowa
Z całki energii dostajemy:
rr 2  c 2  2r  r 2 h 
(5.4)
Wprowadźmy nową zmienną w następujący
sposób:
t
dE
d
r
 k; E  k 
dt
T r  
O
gdzie k i T są stałymi. Ponadto:
r 
k dr
r dE
Uwzględniając to w (5.4) dostajemy:
2
 dr 
k 2    c 2  2r  r 2 h 
 dE 
(5.5)
Rozpatrzymy dwa przypadki h=0 oraz h≠0
Położenie punktu na orbicie
h=0
W tym przypadku równanie (5.5):
2
k 2  dr  c 2
    2r
  dE 

(5.6)
wybieramy k2=μ i różniczkujemy:
dr d 2 r
dr
2

2
dE dE 2
dE
O
ponieważ r nie może być stałe więc powyższe
równanie upraszcza się do:
d2r
1
2
dE
całkując otrzymujemy:
r
1
E  E 0 2  A
2
Położenie punktu na orbicie
h=0
Aby wyznaczyć A zakładamy E0=0 i
podstawiamy do (5.6) co daje:
1 c2
A
2
więc:
O
1  2 c2 
r  E  
2

z definicji E:
k dt  r dE
całkując i uwzględniając wyrażenie na r
mamy:
1 3 c2
 t  T   E  E
6
2
Położenie punktu na orbicie
h=0
Otrzymaliśmy:
1  2 c2 
r  E  
2

O
1 3 c2
 t  T   E  E
6
2
w drugim z tych równań t jest funkcją E.
Rozwiązując je dostaniemy E=E(t) musimy
jednak rozpatrywać dwa przypadki c=0 i c≠0
Położenie punktu na orbicie
h=0, c≠0
Ponieważ h=0 więc e=1 i orbita jest parabolą:
c2
r

1  cos 
r ma wartość minimalną dla υ=0:
O
rmin
c2

2
Gdy r=rmin to jednocześnie E=0, stąd:
 t  T   0
a więc t=T – czas przejścia przez perycentrum
Położenie punktu na orbicie
h=0, c≠0
Z porównania równań:
c2
r

1  cos 
1  2 c2 
r  E  
2

dostajemy:
O
E2 
c
1
tg 
 2
To pozwala na przejście od anomalii
prawdziwej do mimośrodowej.
Anomalię prawdziwą można łatwo
wyznaczyć z tzw. tablic Barkera jeśli tylko
znamy t-T oraz c2/2μ.
Położenie punktu na orbicie
h=0, c≠0
Aby wyznaczyć położenie z anomalii
mimośrodowej należy postępować w
następujący sposób:
1. na moment czasu t=0 mamy r0 i v0
2. różniczkujemy r-nie
1  2 c2 
r  E  
2

O
w wyniku czego otrzymujemy:
k
r  EE  E
r
wtedy:
rr  E
Położenie punktu na orbicie
h=0, c≠0
3. Używając tego do wartości początkowych
mamy:
 
r0  v 0  E 0 
co pozwala otrzymać T.
4. Podstawiając T do równania:
O
1 3 c2
 t  T   E  E
6
2
dostajemy E(t), a z równania:
mamy r(t).
1  2 c2 
r  E  
2

Położenie punktu na orbicie
h=0, c=0
W tym przypadku:
1
r  E2
2
6  t  T   E 3
O
i dla t=T następuje kolizja w centrum siły
Położenie punktu na orbicie
h≠0
W tym wypadku mamy trzy możliwe rodzaje
ruchu:
a) liniowy – c=0
b) hiperboliczny – c≠0, h>0
c) eliptyczny – c≠0, h<0
O
Rozpatrzmy równanie (5.5):
2
 dr 
k 2    c 2  2r  r 2 h 
 dE 