zadania 2

PoniŜsze materiały, zawierające nieco uwag i zadań do samodzielnego rozwiązania, stanowią
uzupełnienie zajęć, które odbyły się 10 czerwca 2009 roku. Przypomnę na początek temat zajęć: „Ruch w centralnym polu grawitacyjnym. Prawa Keplera”.
Podstawowym elementem, który trzeba umieć, jest wyprowadzenie wzoru na wartość prędkości ciała okrąŜającego centrum przyciągające o znanej masie (Ziemię, Słońce) po robicie kołowej o danym promieniu. Warto zdać sobie sprawę z tego, Ŝe taki ruch jest moŜliwy tylko dla
odpowiednio dobranej wartości prędkości ruchu orbitalnego. Mając wspomniany wzór moŜna
wziąć się za pierwsze zadanie. Jest ono zaczerpnięte z matury próbnej w czerwcu 2004 roku.
Zadanie 1
Po orbitach kołowych krąŜą wokół Ziemi dwa satelity. Minimalna odległość między nimi wynosi 6 RZ (RZ – promień Ziemi, RZ ≈ 6,37 · 106 m). Wartość prędkości liniowej satelity znajdującego się dalej od Ziemi jest dwa razy mniejsza niŜ satelity znajdującego się bliŜej Ziemi.
Oblicz długość promienia satelity krąŜącego bliŜej Ziemi. ZałóŜ, Ŝe orbity obu satelitów leŜą
w jednej płaszczyźnie.
W następnej kolejności pojawia się kwestia obliczania wartości okresu ruchu T obiektu, np.
satelity, na orbicie kołowej. Powinieneś umieć dojść do zaleŜności wiąŜącej okres z promieniem orbity. Jeśli to potrafisz, to pora na następne zadanie (mam nadzieję, Ŝe pamiętasz, czym
charakteryzuje się tzw. satelita geostacjonarny).
Zadanie 2
Programy wielu stacji telewizyjnych są rozprowadzane na róŜnych obszarach globu ziemskiego przy pomocy satelitów geostacjonarnych. Oblicz (w metrach oraz w krotnościach promienia Ziemi) promień orbity kołowej, na której znajduje się taki satelita. Potrzebne dane znajdziesz w karcie wzorów i stałych fizycznych przygotowanej dla potrzeb matury z fizyki.
Zadanie nie jest najłatwiejsze od strony obliczeniowej – nie zraŜaj się niepowodzeniami
i spróbuj dobrnąć do jego końca. Analogiczne zadanie mogłoby dotyczyć satelitów amerykańskiego systemu GPS, trzeba tylko pamiętać, Ŝe w tym przypadku czas obiegu satelity jest
bardzo bliski połowie doby.
Teraz pora na całkiem powaŜny, choć nie taki trudny fragment. Udowodnij III prawo
Keplera w szczególnym przypadku: dla orbit kołowych. Wystarczy do tego materiał
dopiero co przypominany.
Jeśli ktoś byłby ciekaw, jak wyprowadzić III prawo Keplera w przypadku ogólnym czyli dla
orbit eliptycznych, to zachęcam do lektury artykułu w czasopiśmie „Foton”, który moŜna
znaleźć w sieci pod następującym adresem:
http://www.if.uj.edu.pl/Foton/96/pdf/08%20odglosy%20z%20jaskini.pdf
W tekście artykułu jest wiele ciekawych zadań z konkursu fizycznego „Lwiątko”. Naprawdę
warto tam zajrzeć!
Do III prawa Keplera stosunkowo często odwołują się zadania na maturze z fizyki. PoniŜej
przykład takiego zadania na temat księŜyców Saturna z matury próbnej w grudniu 2005 roku.
Zadanie 3
W tabeli przedstawiono informacje dotyczące dwóch księŜyców Saturna. Przyjmij, Ŝe księŜyce poruszają się po orbitach kołowych.
Nazwa księŜyca
Kalipso
Epimeteus
Promień orbity w km
2,95 · 105
1,52 · 105
Okres obiegu w dniach
1,90
a) Oblicz okres obiegu Epimeteusa.
b) Zapisz formułę matematyczną, dzięki której moŜna obliczyć masę Saturna wykorzystując
dane zawarte w tabeli.
Dla tych spośród Was, którzy dobrze sobie radzą z fizyką, proponuję trochę trudniejsze zadanie dotyczące czasu ruchu obiektu poruszającego się po orbicie eliptycznej.
Zadanie 4
Jak długo będzie trwała podróŜ sondy kosmicznej do Urana po orbicie eliptycznej, której peryhelium jest na orbicie Ziemi, a aphelium znajduje się na orbicie Urana? Przyjmij, Ŝe Uran
porusza się po orbicie bliskiej kołowej, a jego średnia odległość od Słońca wynosi 19,2 AU
(AU oznacza tzw. jednostkę astronomiczną). Pomiń czas rozpędzania sondy w pobliŜu Ziemi.
W tym momencie warto odszukać (moŜna w sieci!) podstawowe informacje na temat niezwykłej misji sond Voyager 1 i 2. Ile czasu zajęło jednej z nich dotarcie do Urana? Dlaczego ten
czas jest istotnie krótszy od czasu otrzymanego jako wynik zadania 4?
Do tej pory nie poruszaliśmy aspektów energetycznych. Dla satelity krąŜącego po orbicie
kołowej energia potencjalna i kinetyczna są ze sobą powiązane w bardzo szczególny sposób.
Przypomina o tym kolejne zadanie.
Zadanie 5
Wykonując odpowiednie obliczenia na ogólnych oznaczeniach, sprawdź, Ŝe wartość bezwzględna energii potencjalnej satelity obiegającego planetę po orbicie kołowej jest dwa razy
większa od jego energii kinetycznej (wynik nie zaleŜy od wartości promienia orbity!).
Na zakończenie tych materiałów przytaczam zadanie z finału ostatniej edycji konkursu „Rok
przed maturą”, który został przeprowadzony w Instytucie Fizyki UMCS w Lublinie tuz przed
wakacjami. Zadanie zawiera długą część wstępną, która przypomina o naukowych zmaganiach Keplera z problemem kształtu orbity Marsa oraz zawiera podstawowe informacje o elipsie.
Zadanie 6
Rok 2009 został ogłoszony Międzynarodowym Rokiem Astronomii. Jest to związane z dwoma
waŜnymi rocznicami. 400 lat temu Galileusz, uŜywając własnoręcznie skonstruowanej lunety, dokonał
pierwszych obserwacji powierzchni KsięŜyca. W tym samym roku w Pradze ukazało się wielkie
dzieło Johanna Keplera „Astronomia Nova”, w którym zawarty jest opis poszukiwania kształtu orbit
planet na przykładzie Marsa nazywanego często Czerwoną Planetą. Zanim Kepler odkrył, Ŝe Mars
porusza się po orbicie eliptycznej, podjął kilkadziesiąt prób dopasowania róŜnego kształtu orbit do
danych obserwacyjnych uzyskanych przez Tychona Brahe.
Podając odległości w układzie Słonecznym często uŜywamy jednostki astronomicznej (w skrócie AU),
która jest równa średniej odległości RZ Ziemi od Słońca, a więc wynosi około 150 mln km. W punkcie
najbliŜszym Słońcu (punkt przysłoneczny albo inaczej peryhelium) Mars znajduje się w odległości
Rp = 1,38 AU od niego, natomiast jego największa odległość (w punkcie zwanym aphelium) wynosi
Ra = 1,67 AU.
Podstawowe informacje na temat elipsy. Elipsa moŜe być definiowana na wiele równowaŜnych sposobów. MoŜemy ją otrzymać np.
jako wynik równomiernego spłaszczenia okręgu (litery a i b na rysunku obok oznaczają długości tzw. duŜej i małej półosi elipsy).
Często elipsę określa się jako zbiór punktów płaszczyzny, których
suma odległości od dwóch punktów zwanych ogniskami, jest stała: r1 + r2 = 2a (wynikająca
stąd metoda kreślenia elipsy jest pokazana na drugim rysunku). Wykorzystując równowaŜność obu definicji moŜna uzasadnić, Ŝe odległość ogniska od środka elipsy wynosi c = a 2 − b 2 , Jak łatwo widać, suma a i c daje
największą odległość punktu elipsy od ogniska, zaś ich róŜnica –
odległość najmniejszą.
a) W którym punkcie orbity Mars osiąga największą prędkość? Podaj dwa niezaleŜne uzasadnienia swojej odpowiedzi, odwołując się do odpowiednich praw (przytocz ich nazwy).
b) Oblicz wartość stosunku prędkości maksymalnej Czerwonej Planety do jej prędkości minimalnej.
c) Wykorzystując informacje zawarte w treści zadania wylicz (w jednostkach astronomicznych) długości półosi a i b dla orbity Marsa.
d) Ziemia obiega Słońce w ciągu około 365 dni, poruszając się po orbicie, którą w przybliŜeniu moŜna uznać za kołową o promieniu RZ. Oblicz, w dobach ziemskich, okres obiegu
Marsa.
e) Przeczytaj uwaŜnie poniŜszy fragment rozwiązania pewnego zadania.
Skomentuj uzyskane wyraŜenia na energie. Jaki błąd został popełniony w powyŜszym
rozumowaniu?
Nie ma na to rady: czas powrotu do szkoły jest bliski. Zakładam, Ŝe zanim pojawicie się
w szkole, zajrzycie do tych materiałów i spróbujecie rozwiązać przygotowane dla Was
zadania zadania.
Powodzenia!
Waldemar Berej