Wykład 5 Molowe ciepło właściwe gazu doskonałego

Wykład 5
Molowe ciepło właściwe gazu doskonałego przy
stałej objętości, CV
Zależność stosunku CV/R dla gazu doskonałego od
temperatury, interpretacja kwantowa
Molowe ciepło właściwe gazu doskonałego przy
stałym ciśnieniu, Cp
Stosunek Cp do CV dla gazu doskonałego
Przemiana adiabatyczna
1
Molowe ciepło właściwe gazu doskonałego przy stałej objętości
n moli gazu doskonałego w zbiorniku o stałej objętości
jest ogrzewane od temperatury T do T + ΔT.
Dostarczamy ciepło Q. Układ nie wykonuje pracy.
Q  nC V T
gdzie CV to molowe ciepło właściwe.
Z pierwszej zasady termodynamiki:
a ponieważ W = 0, mamy:
U  Q  W ,
U  Q  nC V T.
Dla gazu jednoatomowego:
U
3
3
3
NkT  nN AkT  nRT
2
2
2
3
U  nRT
2
3
J
CV  R  12,5
2
mol  K
a więc:
Halliday, Resnick, Walker, Podstawy fizyki, Copyright ©
Wydawnictwo Naukowe PWN SA, Warszawa 2003
co oznacza, że:
gaz jednoatomowy
2
Dla dowolnego gazu doskonałego, z zależności:
U  nC V T,
otrzymujemy: U  nC V T, co pozwala wykorzystać otrzymane wcześniej
wyrażenia na energię wewnętrzną różnych gazów przy różnych
założeniach. Wartości liczbowe tych wyrażeń można porównać z
doświadczeniem.
Cząsteczka
gaz
CV [J/(mol.K)]
jednoatomowa
doskonały
rzeczywisty, He
Ar
doskonały
rzeczywisty, N2
O2
doskonały
rzeczywisty, NH4
CO2
(3/2)R = 12,5
12,5
12,6
(5/2)R = 20,8
20,7
20,8
3R = 24,9
29,0
29,7
dwuatomowa
wieloatomowa
3
Zmiana energii wewnętrznej: U  nC V T, gazu doskonałego
zamkniętego w pojemniku, zależy tylko od zmiany temperatury, nie zależy
natomiast od typu procesu, w wyniku którego nastąpiła zmiana
temperatury.
Dla trzech procesów 1, 2, 3 pokazanych na
rysunku, przeprowadzających gaz
doskonały ze stanu początkowego i leżącego
na izotermie T do stanów końcowych f
leżących na izotermie T + ΔT, zmiana energii
wewnętrznej ma tę samą wartość podobnie
jak w każdym innym procesie, który
powoduje taką samą zmianę temperatury.
Nie jest istotne, że wartości ciepła Q, pracy
W są różne, że różne są także objętości i
ciśnienia dla stanów f, ważna jest tylko
zmiana temperatury.
Copyright 2005 John Wiley and Sons, Inc
4
Zależność stosunku CV/R od temperatury dla gazu doskonałego,
interpretacja kwantowa
Halliday, Resnick, Walker,
Podstawy fizyki, Copyright ©
Wydawnictwo Naukowe
PWN SA, Warszawa 2003
Wykres zależności stosunku CV/R od temperatury dla wodoru. Wartość tego stosunku
zmienia się od wartości charakteryzującej ruch postępowy do wartości zawierającej
wkład do energii wewnętrznej od ruchu obrotowego i, dla wyższych temperatur, także
dla ruchu oscylacyjnego. Dla niskich temperatur średnia energia oscylatora jest
mniejsza od kT. Zrozumienie zależności tego typu od temperatury nie jest możliwe
na gruncie teorii klasycznej i wymaga teorii kwantowej.
5
Dla klasycznego jednowymiarowego oscylatora harmonicznego mamy:
m
d 2x
2
 kx; x  x 0 cos t; v  x 0 sin t;  
dt
mv 2 1
Ek in 
 m 2 x 02 sin 2 t;
2
2
kx2 1
Epot 
 m 2 x 02 cos 2 t;
2
2
Ek in
Epot
1
 m 2 x 02
4
1
 m 2 x 02
4
k
m
cos 2 x  sin2 x 
1
2
Ekin  Epot
Energia całkowita klasycznego oscylatora harmonicznego
jest ciągła; wszystkie wartości są dozwolone:
Ecalk 
1
m2x02
2
Z zasady ekwipartycji energii, średnia energia całkowita jednego oscylatora
jednowymiarowego (jeden stopień swobody), w zbiorze wielu oscylatorów
wymieniających energię, w równowadze termodynamicznej:
1
E  2  Ekin  2  kT  kT
2
ze względu na konieczność uwzględnienia energii potencjalnej
6
Dla jednowymiarowego kwantowego
oscylatora harmonicznego energia
całkowita jest skwantowana, a dozwolone
wartości energii całkowitej oscylatora
wynoszą:
Ecalk.,n  n  
Copyright © 1963, California Institute of Technology,
Polish translation by permission of Addison-Wesley
Publishing Company, Inc., Reading, Mass, USA
Jaka będzie średnia energia
oscylatora w dużym zbiorze N
oscylatorów, z których każdy
drga z częstością ω a
prawdopodobieństwa
obsadzenia kolejnych stanów
będą opisane prawem
Boltzmanna?
Prawdopodobieństwo zajęcia poziomu o
energii E wynosi:
PE   e  E kT
prawo
Boltzmanna


2
3
Ecalk N 0 0  x  2x  3x  ...
E 

N calk
N 0 1  x  x 2  x 3  ...


gdzie:
x  e  kT;
N  N 0  N1  N 2  ...
7


2
3
Ecalk N 0 0  x  2x  3x  ...
E 

N calk
N 0 1  x  x 2  x 3  ...

n
Szereg geometryczny. Suma wyrazów
nieskończonego szeregu geometrycznego
jest równa:
Mianownik, szereg geometryczny o
ilorazie x i pierwszym wyrazie 1.
Licznik, nieskończona suma szeregów
geometrycznych, jak pokazano po
prawej.
Wynik po obliczeniu sum szeregów:
x
1  x
1
1 x

 a 0 xn 
n0
x  x 2  x 3  x 4  ...
x
1

1 x 1
1
x
x
1- x
0  x  x  x  ...
0  0  x 3  x 4  ...
x3

1- x
3
4
0  0  0  x  ...


x2

1- x
2
4
2
a0
1 x
x4

1 x
8


2
3
Ecalk N 0 0  x  2x  3x  ...
E 

N calk
N 0 1  x  x 2  x 3  ...
Dla wysokich temperatur, stosując
rozwinięcie eksponenty (ex = 1 + x/1!
+x2/2! + …), biorąc dwa pierwsze wyrazy
otrzymujemy:
Dla temperatury zmierzającej do zera, w
granicy, otrzymujemy:



E 
E 


e kT  1

 kT

1
1
kT

0




exp
 1
 kT 
W ten sposób otrzymujemy „wymrażanie” w niższych temperaturach
drgań i obrotów o wyższych częstościach; nie dają one wkładu do ciepła
właściwego.
9
Molowe ciepło właściwe gazu doskonałego przy stałym ciśnieniu
W zbiorniku znajduje się n moli gazu doskonałego.
Gaz jest ogrzewany od temperatury T do T + ΔT. Do
układu dostarczamy ciepło Q. Jednocześnie układ
wykonuje pracę podnosząc obciążony tłok.
Q  nC p T
gdzie Cp to molowe ciepło właściwe.
Z pierwszej zasady termodynamiki: U  Q  W ,
a ponieważ: W  pV  nR T, oraz:
mamy:
C V  Cp  R
U  nC V T,
Cp  C V  R
Cp musi być większe od CV. Część ciepła
dostarczonego do układu jest wykorzystana na
wykonanie pracy przez układ
10
Copyright 2005 John Wiley and Sons, Inc
Stosunek ciepła właściwego (lub molowego) przy stałym ciśnieniu do ciepła
właściwego (molowego) przy stałej objętości jest ważnym parametrem,
oznaczonym γ i nazywanym „cp do cv”.
Ze związku:

Ponieważ:
Cp  CV  R , po podzieleniu przez CV, otrzymamy:
Cp
Cv
 1
R
;
CV
U  nC V T,
CV
1

;
R
 1
U  CV T
CV T
T

R
 1
mamy dalej
dla jednego mola gazu. Dla n moli, mamy:
RT    1U
nRT  NkT    1U
gdzie N to całkowita liczba cząsteczek w rozważanej próbce gazu, a U jest
jej całkowitą energią wewnętrzną.
1
kT, skąd znając liczbę aktywnych
Dla pojedynczej cząsteczki: U 
 1
stopni swobody można wyliczyć γ, czyli cp do cv, lub odwrotnie…
11
Przemiana adiabatyczna gazu doskonałego
Copyright 2005 John Wiley and Sons, Inc
Jeśli mamy do czynienia z procesem, w którym nie zachodzi wymiana ciepła
(proces jest bardzo szybki, lub układ jest bardzo dobrze izolowany) to
proces taki nazywamy przemianą adiabatyczną.
Na wykresie p-V adiabata musi przecinać izotermy; podczas rozprężania
gazu dopływ ciepła utrzymuje stałą temperaturę (w przemianie
izotermicznej) i podwyższa ciśnienie (dla tej samej objętości, w porównaniu
12
z przemianą adiabatyczną).
Przemiana adiabatyczna gazu doskonałego
Po ujęciu części śrutu tłok
przesuwa się do góry wykonując
pracę pdV. Ponieważ nie ma
dopływu ciepła, z I zasady
termodynamiki odbywa się to
kosztem energii wewnętrznej:
Copyright 2005 John Wiley and Sons, Inc
dU  pdV
Ponieważ:
i, z równania stanu gazu doskonałego:
Zbierając razem:
   1pdV  pdV  Vdp ;
 pdV  nC V
dU  nC VdT
nRdT  d(pV )  pdV  Vdp
CV
pdV  Vdp
pdV  Vdp 

nR
Cp  C V
 pdV  Vdp ;
-
dV dp

V
p
13
   1pdV  pdV  Vdp ;
-  ln V  ln p  C;
 pdV  Vdp ;
 
ln pV   C;
p
Z równania gazu doskonałego:
Po podstawieniu:
 nRT  

V  const;
 V 
a także:
 nRT 
  const;
p
 p 
-
dV dp

V
p
pV   const
nRT
.
V
TV  -1  const

T  p1   const
i, dla przemiany adiabatycznej:
pV   const;
TV  -1  const;
T-  p  1  const
14
Zadanie 1
Dętka rowerowa jest napełniona powietrzem do ciśnienia 4,4 atm za pomocą
pompki pobierającej powietrze pod ciśnieniem atmosferycznym (1 atm), w
temperaturze 20°C (293 K). Jaką temperaturę w skali Celsjusza ma
powietrze opuszczające pompkę, jeżeli γ = 1,40? Pomiń straty ciepła na
ogrzanie ścianek pompki.
Odp. 173°C
Zadanie 2
Dwa gazy, A i B, zajmujące takie same początkowe objętości V0 i mające
takie same początkowe ciśnienie P0 zostały gwałtownie sprężone
adiabatycznie, każdy do połowy swojej początkowej objętości. Jakie będą
stosunki ich ciśnień końcowych do ciśnienia początkowego, jeżeli γA jest
równe 5/3 (gaz jednoatomowy), a γB -7/5 (gaz dwuatomowy)?
Odp. PA = P0×3,17, PB = P0×2,64
15
Sprawdzian
Copyright 2005 John Wiley and Sons, Inc
Uszereguj zaznaczone na wykresie przemiany według ilości ciepła
przekazywanego do gazu. Zacznij od wielkości największej
16
Podsumowanie dla czterech wybranych przemian
Przemiana
stała
wielkość
nazwa
przemiany
równania
1
p
izobaryczna
Q = nCpΔT
W = pΔV
2
T
izotermiczna
ΔU = 0, Q = W =
nRT ln(Vkonc/Vpocz)
3
pVγ, TVγ-1,
Tγp1-γ
adiabatyczna
Q = 0, ΔU = W
4
V
izochoryczna
Q = ΔU = nCVΔT;
W=0
17
Copyright 2005 John Wiley and Sons, Inc