funkcje - Interkl@sa

FUNKCJE
Opracował:
Karol Kara
1
Czego się dowiesz i co poznasz:







Pojęcie funkcji, dziedzina i przeciwdziedzina
Zbiór wartości funkcji
Sposoby określania funkcji
Wykres funkcji
Odczytywanie własności funkcji z wykresu
Przykłady funkcji
>Funkcja liczbowa
>Funkcja linowa
>Funkcje nieliniowe
Jednomian drugiego stopnia
Trójmian drugiego stopnia
>Funkcja wykładnicza
Zastosowanie funkcji
2
Pojęcie funkcji
Niech będą dane dwa zbiory A i B.
Jeśli każdemu elementowi zbioru
A przyporządkujemy dokładnie jeden
element ze zbioru B, to mówimy, że na
zbiorze A została określona funkcja f o
wartościach w zbiorze B. Zbiór A
nazywamy wtedy dziedziną funkcji
(i oznaczamy D f), elementy tego zbioru
nazywamy argumentami funkcji, zaś
zbiór B nazywamy przeciwdziedziną
funkcji.
3
Zbiór wartości funkcji


Funkcje oznaczamy małymi literami
(na ogół f, g, h …). Zbiór, do którego należą
wszystkie wartości przyjmowane przez
funkcję nazywamy zbiorem wartości funkcji.
Jeśli f jest funkcją z A w B i a  A, to
symbol f(a) oznacza wartość funkcji f dla
argumentu a. Zapis f: x  f(x) czytamy: „f
jest funkcją, która argumentowi x
przyporządkowuje wartość f(x)”.
4
Sposoby określania funkcji
Funkcję można określić za pomocą:

grafu

przepisu słownego
Każdej liczbie całkowitej x
większej od -4 i mniejsyej od 4
przyporządkowujemy liczb y o dwa
mniejszą od połowy kwadratu liczby x.
wykresu


wzoru lub kilku wzorów
tabelki
5
Wykres funkcji
Wykresem funkcji nazywamy zbiór
tych wszystkich punktów płaszczyzny
o współrzędnych (x, y), dla których x
należy do dziedziny funkcji, a y jest
wartością funkcji dla argumentu x.
6
Odczytywanie własności funkcji z wykresu
Z wykresu funkcji można łatwo odczytać, dla jakich
argumentów funkcja przyjmuje wartości dodatnie. W tym celu
wystarczy znaleźć te argumenty, dla których wykres znajduje
się nad osią x. Dla tych argumentów, dla których wykres
znajduje się pod osią x, funkcja przyjmuje wartości ujemne.
 Argumentami tej funkcji są
liczby: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3;
 Wartościami
tej funkcji są
liczby: 2 1 , 0, 1 1 , -2;
2
2
 Funkcja ta argumentowi
x=1 przyporządkowuje wartość
y = 1 1 ;
2
1
2
 Funkcja przyjmuje wartość y =
2
dla argumentów x = -3 i x = 3.
7
Przykłady funkcji
Funkcja liczbowa
Funkcję, której argumentami
i wartościami są liczby
rzeczywiste, nazywamy
funkcją rzeczywistą zmiennej
rzeczywistej lub funkcją
liczbową.
8
Funkcja liniowa




Funkcję określoną wzorem: y = ax + b, gdzie a i b są
współczynnikami liczbowymi, nazywamy funkcją liniową.
Dziedziną tej funkcji jest zbiór wszystkich liczb
rzeczywistych.
Wykresem jest linia prosta. Aby narysować tę prostą,
wystarczy znaleźć dwa dowolne jej punkty.
Współczynnik a jest współczynnikiem kierunkowym
prostej.
9
O czym mówią współczynniki funkcji liniowej?

Jeżeli a > 0, to funkcja
y = ax+ b jest rosnąca:


Jeżeli a < 0, to funkcja
y = ax+ b jest malejąca:
Jeżeli a = 0, to funkcja y = ax+ b jest stała:
10
Funkcje nieliniowe
Funkcja kwadratowa:
Jednomian drugiego stopnia y = ax2
Jednomianem drugiego stopnia
nazywamy funkcję daną wzorem:
y=ax2, gdzie x jest zmienną
niezależną, a jest stałym
współczynnikiem różnym od zera.
Dziedziną tej funkcji jest zbiór R
wszystkich liczb rzeczywistych.
Wykres funkcji y = ax2, dla a > 0
nazywamy parabolą. Ponieważ
najmniejszą wartość, y = 0 funkcja
przybiera dla x = 0, więc
wierzchołkiem tej paraboli jest
punkt (0,0). Zmienia się jedynie
kształt paraboli: dla 0 < a < 1
parabola jest szersza niż parabola y
=x2, dla a > 1 parabola jest węższa.
11
Porównanie funkcji:
y = ax2 oraz y = - ax2, a  0.
Skoro do wykresu funkcji y = ax2 należy punkt o współrzędnych (x1, y1), to
do wykresu funkcji y = - ax2należy punkt o współrzędnych (x1, -y1). Wynika
z tego, że wykres funkcji y = - ax2 jest symetryczny względem osi OX do
wykresu funkcji y = ax2 .
Dla a < 0 funkcja y =ax2 ma następujące własności:

Funkcja przybiera wartości niedodatnie: dla x = 0 jest ax2 = 0, dla x  0 jest
ax2 < 0 ;

Funkcja przybiera wartości ujemne o dowolnie wielkiej wartości
bezwzględnej, byleby x była dostatecznie wielka. Mówi się, że gdy
x  + lub x  - , to wartość funkcji y  - ;

Dla x = 0 funkcja przybiera największą wartość (maksimum absolutne)
równą zeru, nie istnieje natomiast najmniejsza wartość funkcji;

Dla przeciwnych wartości zmiennej niezależnej funkcja przybiera te same
wartości: ax2 = a(-x) 2, czyli f(x) = f (-x);

Dla dodatnich wartości zmiennej niezależnej funkcja jest malejąca, dla
ujemnych jest rosnąca.

Punkt, którego rzędna jest równa maksymalnej wartości funkcji nazywamy
wierzchołkiem paraboli. Dla tych wszystkich parabol wierzchołkiem jest
punkt (0,0).
12
Trójmian drugiego stopnia
Funkcję określoną wzorem y = ax 2+bx +c nazywamy
trójmianem kwadratowym, postać kanoniczna tego
2
wzoru to y = a (x -p) +q, gdzie p, q – współrzędne
wierzchołka paraboli.
Przykład. Rozpatrzmy dwie funkcje:

y = 2x – 3

y = 2x 2
Porównując te funkcje można zauważyć, że tym samym
wartościom zmiennej x odpowiadają w funkcji 1) wartości o trzy
mniejsze niż w funkcji 2). Znaczy to, że wykres 1) powstaje
przez przesunięcie wykresu funkcji 2) o wektor równoległy do
osi OY i takie, że q = -3. Wierzchołek paraboli ma współrzędne
(0, -3). Wartość y = -3 jest najmniejszą wartością funkcji. 13
Funkcja wykładnicza
Funkcję: y = a x , gdzie aє R+\{1}
nazywamy funkcją wykładniczą.
14
Zastosowanie funkcji


Za pomocą funkcji opisujemy zwykle,
w jaki sposób zmienia się jedna wielkość
w zależności od drugiej;
Za pomocą funkcji można przedstawić
matematycznie wiele związków fizycznych
i technicznych, np. wyznaczyć, jaki wynik
otrzyma się na podstawie wszystkich
możliwych wartości początkowych.
15