Zadanie 1 Zmienna losowa X ma rozkład wykładniczy

31.05.2010 r.
Prawdopodobieństwo i statystyka
___________________________________________________________________________
Zadanie 1
Zmienna losowa X ma rozkład wykładniczy o wartości oczekiwanej 1, a zmienna losowa Y
rozkład wykładniczy o wartości oczekiwanej 2. Obie zmienne są niezależne. Oblicz
E (Y | X + Y = 3) .
(A)
1,86
(B)
2,16
(C)
1,50
(D)
2,00
(E)
2,50
1
31.05.2010 r.
Prawdopodobieństwo i statystyka
___________________________________________________________________________
Zadanie 2
Niech X 0 , X 1 ,K, X n ,K będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie jednostajnym
na przedziale (0,2). Niech zmienna losowa N oznacza numer pierwszej ze zmiennych
losowych X 1 , X 2 ,K, X n ,K o wartości większej niż X 0 , zatem
N = inf {n : n ∈ {1,2,K} ∧ X n > X 0 }.
Wtedy EX N jest równa
(A)
1
(B)
1
2
(C)
3
2
(D)
2
3
(E)
5
4
2
31.05.2010 r.
Prawdopodobieństwo i statystyka
___________________________________________________________________________
Zadanie 3
Niech X 1 , X 2 , K , X n będą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu normalnego
N (m + θ ,1) , a Y1 , Y2 ,K, Yn będą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu normalnego
N (m − θ ,1) . Wszystkie zmienne są niezależne. Parametry m i θ są nieznane. Weryfikujemy
hipotezę H 0 : θ = 0 przy alternatywie H1 : θ = 0,5 za pomocą testu opartego na ilorazie
wiarogodności na poziomie istotności 0,05. Moc tego testu przy n = 18 jest równa
(A)
0,899
(B)
0,950
(C)
0,913
(D)
0,995
(E)
0,500
3
31.05.2010 r.
Prawdopodobieństwo i statystyka
___________________________________________________________________________
Zadanie 4
Zmienna losowa N ma rozkład Poissona z parametrem λ > 0 . Rozważamy losową liczbę
zmiennych losowych X 1 , X 2 ,K, X N , przy czym zmienne losowe X 1 , X 2 ,K, X N są niezależne
wzajemnie i niezależne od zmiennej losowej N. Każda ze zmiennych losowych X i ma
rozkład Pareto o gęstości
⎧ θ
⎪
gdy x > 1
,
pθ ( x) = ⎨ xθ +1
⎪⎩ 0
gdy x ≤ 1
gdzie θ > 0 jest nieznanym parametrem. Obserwujemy tylko te spośród zmiennych
X 1 , X 2 ,K, X N , które są większe od znanej liczby w>1. Nie wiemy ile jest pozostałych
zmiennych ani jakie są ich wartości.
Niech y1 , y2 ,K, yk będą zaobserwowanymi
wartościami. Na podstawie tych danych wyznaczyć estymatory największej wiarogodności
parametrów θ i λ .
(A)
θˆ =
k
k
∑ ln y
i
i =1
(B)
θˆ =
∑ ln y
− 2k ln w
k
i
i
i =1
(C)
θˆ =
k
∑ ln y
i =1
(D)
θˆ =
(E)
θˆ =
k
∑ ln y − ln w
λˆ = kwθ
ˆ
λˆ = kwθ
ˆ
i
λˆ = k ( wθ − 1)
i
λˆ = kwθ
ˆ
i
k
k
∑ ln y − k ln w
i =1
i
ˆ
i
k
i =1
λˆ = k ( wθ − 1)
− 2k ln w
k
k
i
ˆ
i
4
31.05.2010 r.
Prawdopodobieństwo i statystyka
___________________________________________________________________________
Zadanie 5
Łańcuch Markowa ma trzy stany: E1 , E2 , E3 , i macierz przejścia
3⎤
⎡1
⎢4 0 4⎥
⎢
1 1⎥
⎢0
⎥ .
2 2⎥
⎢
⎢1 1 0⎥
⎢⎣ 2 2
⎥⎦
Niech X n oznacza stan, w którym znajduje się łańcuch po dokonaniu n kroków, n = 0,1,K .
Funkcję f na zbiorze stanów określamy wzorem: f ( Ei ) = i dla i = 1,2,3.
Niech c = lim Cov[ f ( X n ), f ( X n +1 )]. Granica c jest równa
n→∞
(A)
−
(B)
17
64
0
(C)
−
15
64
(D)
−
21
64
(E)
−
19
64
5
31.05.2010 r.
Prawdopodobieństwo i statystyka
___________________________________________________________________________
Zadanie 6
Rozważmy zmienne losowe N, X, Y. Wiadomo, że rozkład warunkowy zmiennej losowej N,
gdy X = x i Y = y jest rozkładem Poissona o wartości oczekiwanej x. Rozkład warunkowy
zmiennej losowej X, gdy Y = y jest rozkładem Gamma(2, y ) , a rozkład zmiennej Y jest
rozkładem Gamma(4,3), gdzie rozkład Gamma(α , β ) ma gęstość
⎧ β α α −1 − βx
⎪
x e
pα , β ( x) = ⎨ Γ(α )
⎪⎩
0
gdy x > 0
gdy x ≤ 0.
Wtedy wariancja VarN jest równa
(A)
2
(B)
7
(C)
3
(D)
6
(E)
5
6
31.05.2010 r.
Prawdopodobieństwo i statystyka
___________________________________________________________________________
Zadanie 7
Niech X 1 , X 2 ,K, X 13 będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie
normalnym N (m,1). Parametr m jest nieznany i jest realizacją zmiennej losowej o rozkładzie
normalnym N (1,3). Wyznaczamy estymator bayesowski parametru m przy funkcji straty
LINEX danej wzorem
L(m, a ) = e m − a − (m − a) − 1 ,
gdzie a oznacza wartość estymatora.
13
Załóżmy, że w wyniku doświadczenia uzyskano próbkę losową taką, że
∑X
i =1
Wtedy estymator bayesowski przyjmuje wartość
(A)
27
20
(B)
37
32
(C)
18
16
(D)
23
20
(E)
19
16
7
i
= 15.
31.05.2010 r.
Prawdopodobieństwo i statystyka
___________________________________________________________________________
Zadanie 8
W pewnej populacji prawdopodobieństwo tego, że osobnik przeżyje pierwszy rok jest równe
(1 − θ 2 ) . Jeżeli osobnik przeżył pierwszy rok, to prawdopodobieństwo warunkowe tego, że
2θ
przeżyje następny rok jest równe
.
1+θ
W próbce losowej liczącej n osobników z tej populacji zanotowano:
• n0 przypadków, kiedy osobnik nie przeżył pierwszego roku,
• n1 przypadków, kiedy osobnik przeżył pierwszy rok, ale nie przeżył drugiego roku,
• n2 przypadków, kiedy osobnik przeżył dwa lata.
Błąd średniokwadratowy estymatora największej wiarogodności parametru θ wyraża się
wzorem:
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
θ 2 (1 − θ 2 )
2n
θ (1 − θ )(1 + 2θ 2 )
2n
θ (1 − θ )
2n
θ 2 (1 − θ 2 )
n
θ (1 − θ )
n
8
31.05.2010 r.
Prawdopodobieństwo i statystyka
___________________________________________________________________________
Zadanie 9
Mamy próbę prostą (( X 1 , Y1 ), ( X 2 , Y2 ),K, ( X 10 , Y10 )) z rozkładu normalnego dwuwymiarowego
o nieznanych parametrach:
EX i = EYi = μ , VarX i = VarYi = σ 2 ,
Cov( X i , Yi ) = σ 2 ρ .
Niech
1 10
1 10
2
2
Z i = X i + Yi ,
Ri = X i − Yi ,
SZ =
(Z i − Z )2 , S R =
( Ri − R) 2 ,
∑
∑
n − 1 i =1
n − 1 i =1
1
gdzie Z oraz R to odpowiednie średnie z próbki. Do testowania hipotezy H 0 : ρ =
3
1
przeciwko alternatywie H1 : ρ ≠ możemy użyć testu o obszarze krytycznym postaci:
3
2
2
SZ
SZ
<
k
lub
> k2 ,
1
2
2
SR
SR
przy czym liczby k1 i k 2 dobrane są tak, aby przy założeniu, że H 0 jest prawdziwa
⎛S 2
⎞
⎛S 2
⎞
P⎜⎜ Z 2 < k1 ⎟⎟ = P⎜⎜ z 2 > k2 ⎟⎟ = 0,05 .
⎝ SR
⎠
⎝ SR
⎠
Liczby k1 i k 2 są równe:
(A)
k1 = 0,157
i
k 2 = 1,589
(B)
k1 = 0,440
i
k 2 = 4,451
(C)
k1 = 0,225
i
k 2 = 2,271
(D)
k1 = 0,629
i
k2 = 6,358
(E)
k1 = 0,672
i
k2 = 5,956
9
31.05.2010 r.
Prawdopodobieństwo i statystyka
___________________________________________________________________________
Zadanie 10
Z urny, w której jest 6 kul czarnych i 4 białe losujemy kolejno bez zwracania po jednej kuli
tak długo, aż wylosujemy kulę czarną. Wartość oczekiwana liczby wylosowanych kul białych
jest równa
(A)
1
(B)
4
7
(C)
11
7
(D)
4
6
(E)
10
6
10
31.05.2010 r.
Prawdopodobieństwo i statystyka
___________________________________________________________________________
Egzamin dla Aktuariuszy z 31 maja 2010 r.
Prawdopodobieństwo i Statystyka
Arkusz odpowiedzi * T
Imię i nazwisko : .........................K L U C Z O D P O W I E D Z I....................................
Pesel ...........................................
Zadanie nr
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
*
♦
Odpowiedź
A
C
C
E
D
B
E
C
D
B
Punktacja ♦
Oceniane są wyłącznie odpowiedzi umieszczone w Arkuszu odpowiedzi.
Wypełnia Komisja Egzaminacyjna.
11