mmc pıtagorasek - Konkurs Matematyczny PANGEA

BANACH
Konkurs Matematyczny „MERIDIAN”
wtorek, 6 marca 2012
Czas pracy: 120 minut
Maksymalna liczba punktów do uzyskania: 120
W czasie testu nie wolno używać kalkulatorów ani innych pomocy naukowych.
1.
Zasady punktowania poprawnych odpowiedzi
są następujące:
 pytania 1-10 po 3 punkty
 pytania 11-20 po 4 punkty
 pytania 21-30 po 5 punktów.
PUNKTY UJEMNE:
Każda zła odpowiedź odejmuje następującą ilość
punktów:

0.75 punktu w pytaniach 1-10

1 punkt w pytaniach 11-20

1.25 punktu w pytaniach 21-30
2.
Zadania mają formę testu jednokrotnego
wyboru. Na każde pytanie jest 5 odpowiedzi: a, b, c,
d, e, z których tylko jedna jest prawidłowa.
7.
W razie jakichkolwiek niejasności ostateczna
decyzja należeć będzie do komisji konkursowej
Meridian.
8.
Instrukcje wypełniania karty odpowiedzi
przez ucznia:
a) Na karcie odpowiedzi podaj wpisując po jednej
cyfrze w prostokącik. Następnie poniżej każdego
z prostokątów zamaluj kółeczko odpowiadające
cyfrze wpisanej w prostokąt.
b) Na karcie odpowiedzi możesz używać tylko
ołówka- czarnego, B, 2B lub ciemniejszego.
c) Niejednoznaczne wskazanie odpowiedzi będzie
traktowane jako jej brak.
3.
Dodatkowe obliczenia możesz wykonać w
miejscu opatrzonym napisem brudnopis. Zapisy
w brudnopisie nie będą sprawdzane i oceniane.
4.
Odpowiedzi zakreślane są na specjalnej karcie
odpowiedzi. Zawodnik otrzymuje tylko jedną kartę
odpowiedzi, której nie należy zgniać, zgniatać ani
miąć. Po zakończeniu konkursu karty odpowiedzi
zbiera nauczyciel.
5.
Wyniki dostępne będą w internecie na
stronie mmc.edu.pl
6.
Wszystkie wybierane odpowiedzi muszą być
zaznaczone w karcie odpowiedzi.
9.
Musisz oddać tę kartę odpowiedzi osobie
nadzorującej konkurs.
POWODZENIA!
MMC BANACH – FINAŁ
6 marca 2012
CZĘŚĆ I (Zadania 1-10 za 3 pkt)
1. Jeśli zaczniesz od jedynki i będziesz wymieniał kolejne liczby większe o 3, otrzymasz:
1,4,7,10,13 itd. Jaka będzie setna liczba w tym ciągu?
(A) 298
(B) 301
(C) 304
(D) 307
(E) 310
2. Ile jest różnych dróg z punktu A do punktu B, jeśli możemy poruszać się tylko w prawo lub w górę?
(A) 4
(B) 6
(C) 8
(D) 10
(E) 12
3. Piętnaście monet jest rozdzielone na cztery stosy tak że każdy stos zawiera inną liczbę monet.
Najmniejsza liczba monet, jaką możemy otrzymać w największym stosie, to
(A) 5
(B) 6
(C) 7
(D) 8
(E) 9
4. M oraz N są dwiema różnymi liczbami całkowitymi wybranymi z zakresu od 1 do 50. Największa
możliwa wartość wyrażenia
(A) 51
(B) 99
jest równa
(C) 109
(D) 125
(E) 144
5. Do sporządzenia pomarańczowej farby należy zmieszać 3 jednostki farby czerwonej z 2 jednostkami
farby żółtej. Do sporządzenia zielonej farby należy zmieszać 2 jednostki farby niebieskiej oraz 1
jednostkę farby żółtej. Jaką cześć mikstury stanowi farba żółta w mieszaninie, w której połowę objętości
stanowi farba pomarańczowa, a połowę farba zielona?
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
6. Restauracja może przyjąć do 400 ludzi, wliczając w to gości i kelnerów. Każdy kelner może obsłużyć
maksymalnie 12 gości. Największą liczbą gości, która może być obsłużona, jest
(A) 358
(B) 360
(C) 369
(D) 372
(E) 375
2
MMC BANACH – FINAŁ
6 marca 2012
7. Na rysunku, ST jest styczna do mniejszego z dwóch okręgów współśrodkowych. Długość ST jest równa
40 cm. Jakie jest pole, w cm2, zacieniowanego obszaru pomiędzy dwoma okręgami?
(A) 144π
(B) 196 π
(C) 225 π
(D) 324 π
(E) 400 π
8. Iloczyn dwóch liczb dodatnich jest równy 10000. Jeśli żadna z tych liczb nie kończy się na 0, wtedy ich
suma jest równa?
(A) 641
(B) 625
(C) 525
(D) 657
(E) 689
9. Kilka pierwszych liczb w ciągu Fibonacciego to 1,1,2,3,5,8,13,21,.. Dwie identyczne kości do gry mają
napisane na swoich ściankach pierwsze sześć z tych liczb na swoich ściankach. Jakie jest
prawdopodobieństwo, że w rzucie tymi dwiema kośćmi otrzymamy sumę, która również będzie liczbą
Fibonacciego?
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
10.Potęgą liczby 10, która jest najbliższa liczby 17 18 19 20 21 22 23 jest
(A) 106
(B) 107
(C) 108
(D) 109
(E) 1010
CZĘŚĆ II (Zadania 11-20 za 4 pkt)
11. W koło o promieniu 1 wpisano kwadrat. Jakie będzie pole zacieniowanego obszaru, jeśli zagniemy koło
wzdłuż boków kwadratu jak na rysunku ?
(A)
(B)
(C)
√
(D) 4
π
(E) 2
3
MMC BANACH – FINAŁ
6 marca 2012
12. Dwie dodatnie liczby całkowite M i N spełniają równość M2-N2=2011. Ile jest równe N?
(A) 99
(B) 1005
(C) 1011
(D) 1200
(E) 1584
13. Oznaczenie
oznacza iloczyn wszystkich liczb naturalnych od 1 do n. Jeśli dzielimy
liczby 3 bez reszty, to największym wykładnikiem tej potęgi jest liczba
(A) 33
(B) 39
(C) 42
(D) 45
przez potęgę
(E) 48
14. Walt zaprojektował postać rysunkową złożoną z dużego okręgu I dwóch stycznych do niego mniejszych
okręgów. Wszystkie trzy okręgi można umieścić w kwadracie tak, że będą do niego styczne, jak
pokazano na rysunku. Jeśli małe koła mają promień 3, zaś bok okręgu ma długość 14, to promień
dużego okręgu jest równy
(A) 19/4
(B) 13/3
(C) 24/5
(D) 9/2
(E) 32/7
15. Niech x będzie dowolną liczbą rzeczywistą. Największą możliwą wartością wyrażenia 3 x-9x jest
(A)
(B)
√
(C)
√
16. Pięć liczb {√
√
√
Liczba, która jest w takim porządku trzecia, to
(A) √
√
(B) √
(C)
(D)
√
√
(E) √
} porządkujemy od najmniejszej do największej.
(D)
√
(E)
√
17. W turnieju szachowym gracz zdobywa 1 punkt za zwycięstwo, punktu za remis oraz 0 punktów za
porażkę. Niedawno odbył się turniej, w którym każdy z graczy zagrał z każdym dokładnie jeden raz, 4
najwyższe wyniki były równe
. Najniższy wynik na tym turnieju był równy
4
MMC BANACH – FINAŁ
(A)
6 marca 2012
(B) 1
(C)
(D) 0
(E) nie można tego określić
18.Suma kątów ostrych na diagramie, których wierzchołki są końcami ramion gwiazdy, jest równa
(A) 90°
(B) 135°
(C) 150°
(D) 180°
(E) 360°
19. James płynął w rzece pod prąd i zgubił okulary pływackie. Przez 10 minut płynął dalej. Po tym czasie
zdecydował się zawrócić i odzyskać je. Znalazł swoje okulary, które płynęły z prądem rzeki ze stałą
prędkością, w odległości 500 metrów od miejsca, w którym je zgubił. James płynął ze stałą siłą przez
cały czas. Prędkość prądu rzeki wynosiła
(A) 0.5 km/h
(B) 1 km/h
(C) 1.5 km/h
(D) 2 km/h
(E) 3 km/h
20. Cztery pary, w tym ja i mój narzeczony, spotkały się na lunchu. Uścisnęliśmy sobie ręce. Nikt nie
uścisnął ręki sobie ani swojemu partnerowi i nikt nikomu nie uścisnął ręki więcej niż raz. Na koniec
zapytałam każdą z osób, w tym mojego męża, ile rąk uścisnęła. Każda z tych osób podałą inną
odpowiedź. Ile rąk uścisnęłam?
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) 6
CZĘŚĆ III (Zadania 21-30 za 5 pkt)
21. Sześciokąt ABCDEF jest opisany na okręgu. Jeśli wszystkie boki są równe, a kąt A ma miarę 130°, wtedy
kąt D jest równy:
(A) 100°
(B) 125°
(C) 120°
(D) 115°
(E) 110°
22. Dany jest okrąg w układzie współrzędnych o środku w punkcie
należy punkt
jest równy
(A) 0
, gdzie
. Jeśli do okręgu
, wtedy współczynnikiem kierunkowym prostej stycznej do okręgu w punkcie
(B) 1
(C) -1
(D) 2
(E) nie można jednoznacznie określić
5
MMC BANACH – FINAŁ
6 marca 2012
23. Funkcja f spełnia równanie:
( )
dla każdego x różnego od 0. Wartość funkcji w punkcie 2 jest równa
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D)
(E)
24. Na rysunku obok przedstawiony jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnej BC równej 1, kącie
prostym BCA oraz kącie ostrym ABC równym 30° . Z punktu C prowadzimy odcinek prostopadły do
przyprostokątnej AB o końcu w punkcie D leżącym na tej przeciwprostokątnej. Wtedy z punktu D
kreślimy odcinek DE prostopadły do boku AC. Kontynujemy rysowanie lini prostopadłych otrzymując
kolejne odcinki: EF, FG, GH, HI itd. Suma długości CD+DE+EF+FG+…
jest równa:
(A) 1
(B) √
(D) √
(C)
25. Dla ilu liczb całkowitych wartość wyrażenia
(A) 7
(B) 8
(C) 1
(D)
(E) suma długości jest nieskończona
też jest liczbą całkowitą?
(E) 9
26. Do pomalowania liter w słowie MATEMATYKA użyliśmy 4 różnych kolorów w ten sposób, żeby:
 te same litery były pomalowane jednakowym kolorem
 żadne dwie sąsiednie litery nie miały tego samego koloru
Na ile sposobów możemy pomalować w ten sposób słowo MATEMATYKA?
(A) 864
(B) 1296
(C) 1728
(D) 2592
(E) 3888
27. Spośród liczb {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} losujemy bez zwracania 8 liczb. Jakie jest prawdopodobieństwo, że
suma tych ośmiu liczb jest podzielna przez 4?
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
6
MMC BANACH – FINAŁ
6 marca 2012
28.Trzy przystające koła, są umieszczone wewnątrz trójkąta równoboczego tak, że są wzajemnie do siebie
styczne i każdy z nich jest styczny do innego boku tego trójkąta (patrz rysunek). Boki trójkata mają
długość 1. Ile jest równy promień każdego z kół?
(A)
√
(B)
√
(C)
√
(D)
√
(E)
√
29. Wierzchołki trójkąta równobocznego XYZ leżą na bokach większego trójkąta równobocznego ABC o
bokach długości 2. Pola trójkąta XYZ stanowi 75 procent trójkąta ABC. Jeśli wierzchołek Z leży na boku
AC bliżej wierzchołka A, to długość boku AZ jest równa
(A)
(B)
√
(C)
√
(D)
√
(E)
√
30. Cztery kolejne liczby całkowite należą do przedziału [1000;2000]. Najmniejsza z nich jest
wielokrotnością 5, kolejna jest wielokrotnością 7, trzecia jest wielokrotnością 9, a największa jest
wielokrotnością 11. Te liczby leżą w przedziale:
(A) [1000;1200]
(B) [1201; 1400]
(D)[1601;1800]
(E) [1801;2000]
(C) [1401;1600]
7