Jak szukamy liczb pierwszych ? Liczby całkowite

0,11111111111111111111111111...
1
a+bi
e
5
8
3,567
-3241
257689

903847134
1,23456789101112131411516171819202122232425262728293031...
SPIS TREŚCI
• podział liczb rzeczywistych
• liczba 
• liczby naturalne
• złota liczba 
• liczby całkowite
• liczby wymierne
• liczba e
• liczby niewymierne
• zbiór liczb rzeczywistych
na diagramach Venna
• zbiór liczb rzeczywistych
a oś liczbowa
• liczby zespolone
• kwaterniony
• liczby zaprzyjaźnione
• liczby doskonałe
• liczby bliźniacze
• najpiękniejszy wzór
matematyki
Podział liczb rzeczywistych
rzeczywiste
wymierne
całkowite
całkowite ujemne
niewymierne
wymierne
niecałkowite
naturalne
naturalne
dodatnie
zero
jeden
złożone
pierwsze
Liczby naturalne
Leopold Kronecker
(1823 – 1891)
"Liczby naturalne stworzył dobry Bóg, a całą
resztę wymyślili ludzie" - powiedział wybitny
matematyk niemiecki XIX wieku,
Leopold Kronecker.
Liczby naturalne ( 1, 2, 3, 4, 5...) znano od
niepamiętnych czasów,
jako że mają one związek z praktyczną
działalnością człowieka, czyli liczeniem
przedmiotów.
Wielu matematyków zalicza do liczb
naturalnych również liczbę 0,
która oznacza moc (liczbę elementów)
zbioru pustego.
Zbiór liczb naturalnych dodatnich
zapisujemy następująco:
N   1,2,3,4,5,6,...
Zbiór wszystkich liczb naturalnych
zapisujemy następująco:
N   0,1,2,3,4,5,...
Liczby naturalne mogą także wyrażać porządek – następna liczba naturalna n
ustawia się za swoją poprzedniczką, czyli liczbą (n – 1)
podążając drogą ku nieskończoności.
Symbole cyfrowe, których używamy obecnie do
zapisywania liczb naturalnych ( i nie tylko)
zawdzięczamy Arabom.
To oni „przywieźli” cyfry zwane dziś
„arabskimi” z północnych Indii,
gdzie znane były od V wieku n.e.
W Europie hindusko – arabski
system liczbowy propagował
w XIII wieku Leonardo z Pizy
(Fibonacci).
Liczby pierwsze
Liczbą pierwszą nazywamy każdą liczbę naturalną n większą od 1,
której jedynymi dzielnikami są 1 oraz n.
Początkowe liczby pierwsze to : 2,3,5,7,11,13,17,19,... .
Euklides
ok. 365 p.n.e – ok. 300 p.n.e
Już grecki matematyk Euklides wykazał,
że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych.
Posłużył się w tym celu tzw. dowodem „nie wprost” .
Liczby pierwsze w matematyce mają podobne
znaczenie , jak w fizyce cząsteczki materii.
To cegiełki, podstawowe klocki, z których można
zbudować liczby złożone, czyli liczby naturalne
większe od 1, które nie są liczbami pierwszymi.
Euklides udowodnił, że:
np.
12 = 2.2.3
75900 = 2.2.3.5.5.11.23
Pobity został kolejny rekord
poszukiwań liczb pierwszych.
Dwudziestoletni Kanadyjczyk
Michael Cameron znalazł
największą taką liczbę ze znanych
obecnie.
Odkrycie zostało dokonane
14 listopada 2001 r.
Liczba ta składa się z 4053946 cyfr
i ma postać
213466917 - 1,
Gdyby spróbować wydrukować ją w książce formatu A – 5, to książka ta
musiałaby mieć co najmniej 1000 stron.
Jak szukamy liczb pierwszych ?
Przepis, obecnie nazywany sitem
Eratostenesa, stosowano już
w starożytności i... tak naprawdę to do
dziś praktycznie nie wymyślono nic
szybszego i bardziej skutecznego. Metoda
jest bardzo prosta: wypisujemy kolejne
liczby naturalne, począwszy od dwójki
(dopóty, dopóki nam starczy cierpliwości).
Następnie skreślamy wszystkie liczby
podzielne przez dwa, oprócz niej samej.
Potem wybieramy pierwszą nie skreśloną
liczbę (będzie to oczywiście 3) i skreślamy
wszystkie większe liczby przez nią
podzielne i tak dalej. Sito Eratostenesa
"przesiewa" wszystkie liczby naturalne
mniejsze od pewnej ustalonej liczby
i pozostawia tylko liczby pierwsze, choć to
przesiewanie jest dosyć żmudne.
Liczby całkowite
W zbiorze liczb naturalnych nie jest wykonalne odejmowanie.
Zaistniała więc konieczność utworzenia zbioru, do którego należałyby,
oprócz liczb naturalnych, wszystkie ich różnice, np. 2 – 7, 0 – 1000.
W ten sposób powstał zbiór liczb całkowitych.
Zbiór liczb całkowitych oznaczamy C.
C = { ..., -4, -3, -2, -1 }  N
C = { ..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
C = { ..., -4, -3, -2, -1 }  { 0 }  { 1, 2, 3, 4, ... }
C = C-  { 0 }  C+
1
2
3
4
5
6
Liczby wymierne
Liczbę nazywamy wymierną, jeżeli można przedstawić ją w postaci
ułamka zwykłego, którego licznik i mianownik są liczbami całkowitymi
i mianownik jest różny od zera.
Zbiór liczb wymiernych
zapisujemy następująco:
Przykłady liczb wymiernych:
p

W  Q   : p, q  C  q  0
q

1
,
3
2
,
7
1
9

,
2
2
 20
 10 
,
2
0
0
0, bo np. 0 

1
3
4
Liczby wymierne można przedstawiać także w postaci
rozwinięcia dziesiętnego skończonego (a)
albo nieskończonego i okresowego (b).
Przykłady:
(a)
1
5

 0,5
2 10
3
75
 
 0,75
4
100
3
 3 : 8  0,375
8
(b)
2
 0,6666666...
3
7239

 7,3121212...
990
23
 0,23232323...
99
W rozwinięciu dziesiętnym okresowym po przecinku powtarza się cyfra lub grupa cyfr
tzw. okres rozwinięcia dziesiętnego.
Zbiór liczb wymiernych jest gęsty tzn. między dowolnymi dwiema
liczbami wymiernymi zawsze znajdziemy liczbę wymierną.
-1
0 0,5 1
2
Liczby niewymierne
W V w. p.n.e. Pitagoras i jego uczniowie dokonali prawdziwie
dramatycznego odkrycia.Stwierdzili bowiem, że długość przekątnej
kwadratu o boku jednostkowym nie jest liczbą wymierną. To burzyło ich
dotychczasowy porządek i boskie proporcje świata, który - jak wierzyli –
powinien dać się opisać liczbami wymiernymi.
„Wszystko jest liczbą ?!”
Pitagoras (ok. 572 - 497 p.n.e)
Pitagorejczycy postanowili trzymać w tajemnicy fakt odkrycia liczb
niewymiernych, ale jeden z członków Związku Pitagorejskiego,
Hippasus, zdradził ów sekret. Według legendy został za karę utopiony
przez kolegów matematyków.
Liczby niewymiernej nie możemy
zapisać w postaci ułamka zwykłego.
2
1
1
Każdą liczbę niewymierną możemy
przedstawić w postaci nieskończonego
i nieokresowego rozwinięcia
dziesiętnego.
Zbiór liczb niewymiernych oznaczamy
NW lub IQ.
2  1,4142135623...
Przykłady innych liczb niewymiernych (1)
• liczba Archimedesa:

L – długość okręgu
L
r – promień okręgu
l
 
 3,141592...
2r
2r
Archimedes z Syrakuz (ok. 287 – 212 p.n.e.) - najwybitniejszy
matematyk, fizyk i inżynier starożytnej Grecji, prekursor rachunku
całkowego. Obliczył objętość kuli. Twórca nowych metod
w arytmetyce i teorii dźwigni, wyporu, rzutu pionowego
i ukośnego. Wprowadził pojęcie środka ciężkości.
Przykłady innych liczb niewymiernych (2)
• liczba Nepera: e = 2,718281828459045235360287471352662497757...
John Neper ( Napier) żył w latach 1550 – 1617 ;
matematyk szkocki, wynalazca logarytmów.
Sporządził tablice logarytmów (dziesiętnych)
liczb i funkcji trygonometrycznych.
Przykłady innych liczb niewymiernych (3)
a)
0,1234567891011121314151617181920212223242526272829...
b)
1,010110111011110111110111111011111110111111110111111111...
Pamiętaj!
Rozwinięcie dziesiętne liczby niewymiernej jest
zawsze nieskończone i nieokresowe.
Zbiór liczb rzeczywistych i jego podzbiory
R
W
NW
C
N
N+
R – zbiór liczb rzeczywistych
W – zbiór liczb wymiernych
NW – zbiór liczb niewymiernych
C - zbiór liczb całkowitych
N – zbiór liczb naturalnych
N+ – zbiór liczb naturalnych dodatnich
Oś liczbowa – prosta, na której wyróżniono
punkt początkowy (0), odcinek
jednostkowy i zwrot.
Każdej liczbie rzeczywistej
przyporządkowany jest dokładnie
jeden punkt na prostej (osi liczbowej),
i odwrotnie.
np.
-1
0 0,5 1
2
2
R
Liczby zespolone
Liczbą zespoloną z nazywamy uporządkowaną parę liczb rzeczywistych (a, b).
Liczbę z możemy zapisać w postaci sumy:
z = a + bi, gdzie a,b są liczbami rzeczywistymi,
a liczba i jest tzw. jednostką urojoną.
Jednostka urojona i ma niespotykaną w zbiorze R własność:
i2 = -1.
z = a + bi
a- część rzeczywista liczby
zespolonej(Re z)
b- część urojona liczby
zespolonej(Im z)
Liczb
zespolonych nie
można
przedstawić
jednej na osi
liczbowej.
Potrzebują one
całej
płaszczyzny,
wyznaczonej
przez dwie osie.
Liczby zespolone interpretujemy geometrycznie jako punkty płaszczyzny.
Liczbie zespolonej a + bi odpowiada punkt o współrzędnych (a,b)
płaszczyzny z prostokątnym układem współrzędnych.
Punktom osi OX odpowiadają liczby rzeczywiste,
a punktom osi OY liczby urojone.
Płaszczyznę, na której umieściliśmy liczby zespolone,
nazywamy płaszczyzną Gaussa.
Kwaterniony
Kwaternion - uogólnienie liczby zespolonej postaci u=a+b⋅i+c⋅j+d⋅k,
gdzie a,b,c,d - liczby rzeczywiste, i,j,k spełniają układ równań:
i2=j2=k2=-1, ij=-ji=k, ki=-ik=j, jk=-kj=i.
Termin kwaternionu wprowadził
jako wielowymiarowe uogólnienie liczby zespolonej
William Rowan Hamilton.
Sir William Rowan Hamilton
(1805-1865),
irlandzki matematyk, astronom
i fizyk teoretyczny.
Liczba  - krótki kurs historii
W królestwie liczb nie ma równości. Prym wiodą arystokratki,
z których najbardziej znana jest liczba  zwana też liczbą Archimedesa.
Czym zasłużyła sobie na te honory? Cóż, potrafi znaleźć się
w każdej sytuacji i ma nadzwyczajną moc opisywania świata.
W zasadzie  jest w użyciu od czasu
wynalezienia koła.
Na ślad  natrafiamy w starożytnym Egipcie
w tzw. papirusie Rhinda z XVIII w. p.n.e.
uchodzącym za najstarszy podręcznik
matematyki.
Ahmes ( XVII w. p.n.e. ) – nadworny
pisarz faraona Rha-a-usa, był autorem
jednej z najstarszych prac
matematycznych, zwanej papirusem
Rhinda ( od nazwiska angielskiego
egiptologa, który ją odnalazł) lub
papirusem Ahmesa. Papirus ten
zawiera 85 zadań matematycznych
o charakterze praktycznym i ich
rozwiązania. 11 zadań prowadzi do
rozwiązania prostych równań. Ahmes
niewiadomą oznacza słowem hau
(stos). Papirus zawiera m.in. obliczenia
pól figur płaskich. Autor przyjmował,
że pole koła równa się polu kwadratu
o boku równym 8/9 średnicy koła,
z czego wynika, że u Ahmesa
 = 3,16049.
Dokładność, jak na owe czasy,
zdumiewająca.
Liczba  to stała matematyczna określająca również stosunek
długości okręgu koła do długości jego średnicy.
Używany dzisiaj symbol  wprowadził w 1706 roku William Jones w książce
pt. „Synopsis Palmariorum Matheseos”
( pochodzi od pierwszej litery greckiego słowa "peryferia",
czyli obwód, okrąg).
Symbol  został spopularyzowany
w połowie XVIII w.
przez matematyka i fizyka szwajcarskiego
Leonarda Eulera (1707-1783).
Liczba  nazywana jest też ludolfiną .
Nazwa ludolfina pochodzi od imienia Ludolfa van Ceulena (1540 – 1610),
pierwszego nowożytnego badacza , który, aż do swej śmierci, próbował obliczyć
wartość liczby . Sądził bowiem, podobnie jak współcześni jemu matematycy,
że  jest liczbą wymierną.Udało mu się podać 35 początkowych cyfr rozwinięcia
dziesiętnego.Niestety, po śmierci Ceulena okazało się, że tylko pierwszych 20 cyfr
wyznaczył prawidłowo.
Dopiero 1767 roku matematyk, fizyk,
astronom i filozof szwajcarski,
Johann Heinrich Lambert (1728-1777),
udowodnił, że :

jest liczbą niewymierną !
Na przestrzeni tysiącleci ludzie znajdowali
coraz lepsze przybliżenia liczby .
Dla niejednego matematyka wyznaczenie
wartości  z jak największą dokładnością
stało się celem życia.
Efekty pracy matematyków znajdziesz w tabeli.
W drugiej połowie XX wieku rozpoczęła się era pierwszych komputerów. Miała ona ogromny
wpływ również na matematykę, a w szczególności na historię kolejnych przybliżeń liczby .
W ciągu ostatnich 50 lat, liczba poznanych cyfr dziesiętnych liczby  zmieniała się bardzo
dynamicznie. W 1949 roku znano 1120 cyfr, zaś w 1997 roku już ponad 50 milionów razy więcej.
Autorzy
George Reitwiesner i jego współpracownicy
S.C. Nicholson i J. Jeenel
G.E. Felton
Francois Genuys
G.E. Felton
Guilloud
W. Shanks i J.W. Wrench
Guilloud i Filliatre
Guilloud i Dichampt
Guilloud i Bouyer
Miyoshi i Kanada
Yoshiaki Tamura
Yoshiaki Tamura i Yasumasa Kanada
Kanada, Yoshino i Tamura
William Gosper
Bailey
Yasumasa Kanada i Yoshiaki Tamura
Kanada, Tamura, Kubo i inni
Yasumasa Kanada i Yoshiaki Tamura
Gregory i David Chudnovsky
Yasumasa Kanada i Yoshiaki Tamura
Gregory i David Chudnovsky
Daisuke Takahashi i Yasumasa Kanada
Yasumasa Kanada
Rok
1949
1954
1957
1958
1958
1959
1961
1966
1967
1973
1981
1982
1982
1982
1985
1986
1986
1987
1988
1989
1989
1989
1995
1997
Liczba cyfr
2037
3092
7480
10000
10021
16167
100265
250000
500000
1001250
2000036
2097144
4194288
16777206
17526200
29360111
33554414
134217700
201326551
480000000
536870898
2260000000
4294967286
51539600000
Poszukiwania coraz dokładniejszych rozwinięć dziesiętnych
liczby  nadal trwają.
Yasumasa Kanada 20 VIII 1999 roku podał ponad 206 miliardów cyfr
rozwinięcia dziesiętnego ludolfiny (być może do tej pory ów rekord został
pobity).
Liczba  jest też ,,bohaterką" wiersza laureatki Nagrody Nobla Wisławy Szymborskiej.
Liczba Pi
Podziwu godna liczba Pi
trzy koma jeden cztery jeden.
Wszystkie jej dalsze cyfry też są początkowe,
pięć dziewięć dwa ponieważ nigdy się nie kończy.
Nie pozwala się objąć sześć pięć trzy pięć spojrzeniem
osiem dziewięć obliczeniem
siedem dziewięć wyobraźnią,
a nawet trzy dwa trzy osiem żartem, czyli porównaniem
cztery sześć do czegokolwiek
dwa sześć cztery trzy na świecie.
Najdłuższy ziemski wąż po kilkunastu metrach się urywa
podobnie, choć trochę później, czynią węże bajeczne.
Korowód cyfr składających się na liczbę Pi
nie zatrzymuje się na brzegu kartki,
potrafi ciągnąc się po stole, przez powietrze,
przez mur, liść, gniazdo ptasie, chmury, prosto w niebo,
przez całą nieba wzdętość i bezdenność.
O, jak krótki, wprost mysi, jest warkocz komety!
Jak wątły promień gwiazdy, że zakrzywia się w lada przestrzeni!
A tu dwa trzy piętnaście trzysta dziewiętnaście mój numer telefonu twój numer koszuli
rok tysiąc dziewięćset siedemdziesiąty trzeci szóste piętro
ilość mieszkańców sześćdziesiąt pięć groszy
obwód w biodrach dwa palce szarada i szyfr,
w którym słowiczku mój a leć, a piej
oraz uprasza się zachować spokój,
a także ziemia i niebo przeminą,
ale nie liczba Pi, co to to nie,
0na wciąż swoje niezłe jeszcze pięć,
nie byle jakie osiem,
nieostatnie siedem,
przynaglając, ach, przynaglając gnuśną wieczność
do trwania.
Z liczbą  związany jest nierozerwalnie najsłynniejszy problem
geometryczny w dziejach matematyki, czyli kwadratura koła - konstrukcja za pomocą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym
polu danego koła.
Czy taka konstrukcja jest możliwa ?
Dziś już wiemy, że nie,
ale niegdyś wydawało się inaczej.
Przez całe wieki matematycy uzbrojeni
w cyrkle i linijki biedzili się nad kwadraturą koła.
Cały problem sprowadzał się w istocie do wykreślenia
odcinka o długości .
Swój wkład w rozwiązanie
problemu kwadratury koła mają
także Polacy.
Znaną na całym świecie
przybliżoną kwadraturę koła
przeprowadził pod koniec
XVII w.
Adam Adamandy Kochański,
nadworny matematyk króla
Jana III Sobieskiego.
Jest ona prosta i elegancka,
a zarazem niezwykle dokładna.
Daje  = 3,14153,
czyli z dokładnością do
czterech cyfr dziesiętnych.
W 1883 r. niemiecki matematyk Ferdynand Lindemann
udowodnił,że ludolfina jest tzw. liczbą przestępną,
tzn. nie można wykonać konstrukcji odcinka
o długości  za pomocą cyrkla i linijki.
Był to kres nadziei na możliwość kwadratury koła.
Od tamtego czasu zainteresowanie tym problemem
spadło niemal do zera.Pracują nad nim tylko ci,
którzy wierzą też w możliwość konstrukcji
perpetuum mobile.
Ferdynand Lindemann
(1852 – 1939)
Słynny pi - emat
Przez wiele lat ludzie zastanawiali się, jak najprościej
zapamiętywać liczbę .
Najczęściej używaną sztuczką mnemotechniczną jest
zapamiętanie wierszyka, w którym liczba liter kolejnego słowa to
cyfra w rozwinięciu dziesiętnym . Znane są takie wierszyki
w języku angielskim, francuskim, rosyjskim...
Po polsku rozpowszechniony jest wierszyk z 1930 roku
autorstwa Kazimierza Cwojdzińskiego:
„Kuć i orać w dzień zawzięcie,
bo plonów niema bez trudu!
Złocisty szczęścia okręcie,
Kołyszesz...
Kuć! My nie czekajmy cudu.
Robota to potęga ludu.
Uwaga, „niema” pisało się wówczas razem.
Święto liczby 
Czy liczba może mieć swoje święto?
Okazuje się, że tak.
Święto liczby  przypada 14 marca,
bo pisząc tę datę po angielsku
otrzymujemy 3,14,
a więc  z dokładnością
do dwóch cyfr po przecinku.
Przypadkiem 14 marca jest również dniem
urodzin Alberta Einsteina.
Albert Einstein
(1879 – 1955)
Złota liczba  ( fi )
Złota liczba wyraża proporcję zwaną złotym lub boskim podziałem,
kiedy całość odcinka ma się do jego większej części tak,
jak ta większa część do mniejszej.
A
B
AC AB

AB BC

C
5 1
2
1 , 61
20
. ..
Złota liczba jest niewymierna i jej rozwinięcie dziesiętne wynosi:
8
80
4
8
339
4
8874989
Pierwszy wyrysował złoty podział Hippasus, jeden
z członków Związku Pitagorejczyków, w V w. p.n.e.
Symbolem tego związku był pentagram,
czyli pięcioramienna gwiazda, której każde ramię pozostawało
w złotej proporcji z sąsiednim krótszym odcinkiem.
b
b

a
a
b
Boską proporcję oznacza się dziś
przez 
od pierwszej litery imienia greckiego
rzeźbiarza Fidiasza,
który - jak wieść głosi –
stosował w swych rzeźbach zasadę
złotej proporcji.
Fidiasz,
Atena Lemnia
Starożytni Grecy uważali, że właśnie złota proporcja jest
najprzyjemniejsza dla ludzkiego oka i chętnie stosowali
jej zasadę także w architekturze.
Według tej zasady zbudowali Partenon.
Partenon, stan obecny
Obecnie złoty podział jest też często stosowany, np. wymiary znormalizowanego zeszytu
pozostają w stosunku w przybliżeniu równym stosunkowi złotego podziału.
Podobno zasadą boskiej proporcji kierowali się także
Leonardo da Vinci i Albrecht Dürer, precyzyjnie
dzieląc plany swych obrazów, tak, aby dobrze się komponowały.
Leonardo da Vinci
(1452 – 1519)
Leonardo da Vinci,
Studium ludzkiego ciała
Albrecht Dürer
(1471 – 1528)
Albrecht Dürer,
Melancholia
Czy faktycznie pępek idealnie zbudowanego
człowieka dzieli jego wysokość w złotej proporcji,
jak w przypadku tych antycznych rzeźb ?
Kuros
Michał Anioł,
Dawid
Ciekawe własności liczby 
Przypomnijmy:
  1,618033988...
1

1
1
1
1
1
    1  2,618033988...
2
  lim 1  1  1  1  ...
n 
1

1
1  ...
   1  0,618033988...
Przybliżeniem złotej proporcji jest stosunek 8:5, jeszcze lepszym 13:8
albo 21:13, 34:21, 55:34, 89:55 itd. .
Liczby tworzące te stosunki to wyrazy znanego od XII wieku ciągu
liczbowego zwanego ciągiem Fibonacciego.
Leonardo z Pizy (Fibonacci)
(ok. 1180 – ok. 1250)
Ciąg Fibonacciego to
ulubiony ciąg przyrody
np. róże tego smakowitego
kalafiora, poczynając od czubka,
układają się spiralnie.
Jeśli policzymy liczbę lewo –
i prawoskrętnych spiral,
to okaże się, że są to wyrazy ciągu
Fibonacciego.
Podobną liczbę spiral tworzą ziarna
słonecznika i łuski szyszki.
Liczba e
Liczba e zwana inaczej liczbą Nepera
jest granicą nieskończonego ciągu
liczbowego:
n
1

e  lim 1 
 n
n 

n  N
Liczba Nepera jest także podstawą logarytmów naturalnych: log e x  ln x
podstawą funkcji wykładniczej:
i sumą szeregu:
f x   e x

e   n1!
n 0
Jej nazwa pochodzi od nazwiska Johna Nepera żyjącego na przełomie XVI i XVII w. Był to
szkocki matematyk, dążący do uproszczenia skomplikowanych sposobów obliczeń w astronomii
i geodezji. W tym celu wprowadził logarytmy i opublikował ich tablice. Swoje odkrycie opisał on
w dwóch książkach: ,,Mirifici logarithmorum canonis descriptio" (Opis zadziwiających tablic
logarytmów) z 1614 roku i ,,Mirifici logarithmorum canonis constructio" (Budowa zadziwiających
tablic logarytmów) z 1620 roku.
Logarytmy pozwalały zamienić mnożenie na dodawanie.
Przez setki lat ta ,,cudowna własność" logarytmów,
dzięki której, z pomocą tablic (lub suwaka logarytmicznego),
można było dodawać zamiast mnożyć
(i mimo to uzyskiwać w rezultacie iloczyn)
ułatwiała ludziom życie. Dziś, w epoce
komputerów, to zastosowanie
logarytmów straciło
swoje znaczenie.
Oznaczenie liczby e wprowadził w 1736 roku
matematyk szwajcarski Leonard Euler.
Liczby bliźniacze
Liczbami bliźniaczymi nazywamy dwie liczby pierwsze różniące się o 2.
Przykładami par takich liczb są: 3i5, 5i7, 11i13, 17i19.
Do chwili obecnej nie wiadomo, czy istnieje nieskończenie wiele par liczb
bliźniaczych.
Parą największych liczb bliźniaczych są:
260497545 . 2 6625 –1
260497545 . 2 6625 +1
Liczby doskonałe
Liczbami doskonałymi nazywamy liczby naturalne n, które są równe sumie
wszystkich swoich dzielników mniejszych od n.
Przykładami takich liczb są:
6 = 1+2+3,
28 = 1+2+4+7+14,
496 = 1+2+4+8+16+31+62+124+248,
8128 (Sprawdź sam(a) !!!).
Cztery podane liczby znał już matematyk grecki Euklides (IV w. p.n.e.).
Nie wiadomo, czy istnieje nieskończenie wiele
liczb doskonałych, nie wiadomo też,
czy istnieje, choć jedna liczba
doskonała nieparzysta.
Ewentualna liczba doskonała nieparzysta
musi być większa od 10 300.
Przyjaźń między liczbami
Liczby zaprzyjaźnione to takie liczby naturalne m i n,
które spełniają następujący warunek:
suma wszystkich, mniejszych od m, dzielników naturalnych liczby m
równa jest n i jednocześnie
suma wszystkich, mniejszych od n, dzielników naturalnych liczby n
równa jest m.
Warto zauważyć, że każda liczba doskonała jest zaprzyjaźniona sama ze sobą.
Parą najmniejszych różnych liczb
zaprzyjaźnionych jest para (220, 284).
Dzielnikami liczby 220 mniejszymi od niej są:
1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110.
1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110 = 284.
Dzielnikami liczby 284 mniejszymi od niej są:
1, 2, 4, 71, 142.
1+2+4+71+142 = 220.
Liczby zaprzyjaźnione były znane już w czasach Pitagorasa,
przypisywano im znaczenie mistyczne.
Starożytni Grecy wierzyli, że amulety z wygrawerowanymi
liczbami zaprzyjaźnionymi zapewniają szczęście .
NAJPIĘKNIEJSZY WZÓR MATEMATYKI
i
e 1  0
Cóż w nim takiego szczególnego?
Dlaczego wielu matematyków sądzi,
że jest on "ładniejszy " od, na przykład,
niewątpliwie prawdziwego związku "2+2 = 4"?
Wzór e i +1=0 w zadziwiająco prosty sposób łączy w sobie
pięć najsłynniejszych stałych matematycznych, które odkryto
niezależnie – w różnym czasie i zagadnieniach.
Niezwykłe związki między liczbami mogą skłaniać do ogólniejszych refleksji;
do zastanawiania się nad znaczeniem pojęcia liczby, nad naturą i potęgą
matematyki.
Wielu ludzi ma liczby, które darzy
sympatią, czy też takie, które uważa
za nieprzyjazne.
Dla matematyka każda liczba
jest wyjątkowa i wszystkie są ciekawe.