Wykład 17
advertisement
Piotr Posmykiewicz – Wykład z fizyki 1 Wykład 17 17.1 Prąd elektryczny, natężenie i gęstośd prądu. Prądem elektrycznym nazywamy dowolny, uporządkowany (skierowany) ruch ładunków elektrycznych. Jeżeli w przewodniku podtrzymywad zewnętrzne pole elektryczne 𝑬, to swobodne ładunki zaczną się w nim przemieszczad: dodatnie – zgodnie z polem, ujemne – przeciwnie do kierunku pola - mówimy wtedy, że w przewodniku płynie prąd. Dla powstania i istnienia prądu konieczne jest, z jednej strony, istnienie swobodnych nośników prądu – naładowanych cząstek, a z drugiej strony, obecnośd pola elektrycznego, którego energia była by wykorzystana do utrzymania ładunków w ruchu. Za kierunek prądu przyjmuje się kierunek ruchu dodatnich ładunków. Przyjrzyjmy się dokładniej co się dzieje, jeżeli przyłożyd stałe pole 𝑬 do przewodnika. Naładowana cząstka (taka jak elektron) zacznie się poruszad pod wpływem działania na nią stałej siły 𝑭 = 𝑞𝑬. Taka cząsteczka w trakcie swojego ruchu będzie podlega częstym zderzeniom z masywnymi jonami Rysunek 17.1 przewodnika. Podczas tych zderzeo kierunek ruchu cząsteczki będzie ulegał gwałtownym zmianom. Wypadkowe działanie pola elektrycznego sprowadzi się do tego, że cząsteczki oprócz chaotycznego ruchu między zderzeniami będą poruszad się ze stosunkowo małą wypadkową prędkością w kierunku działającej siły 𝑭 = 𝑞𝑬 (Rysunek 2.1). Prędkośd tego ruchu nazywamy prędkością dryfu (unoszenia) cząsteczek 𝐯𝐝 . Średnia prędkośd chaotycznego ruchu naładowanych cząsteczek jest duża rzędu 106m/s, podczas gdy prędkośd dryfu dla typowych natężeo prądu jest rzędu 10 -4m/s. Może się to wydawad na pierwszy rzut oka dziwne w konfrontacji z naszym codziennym doświadczeniem pokazującym, że natychmiast po wciśnięciu włącznika zapala się światło. Dzieje się tak dlatego, że pole elektryczne w przewodach rozprzestrzenia się z prędkością porównywalną z prędkością światła w próżni, a to oznacza, iż elektrony zostaną wprawione w ruch wzdłuż całego przewodu w praktycznie w jednej chwili. Piotr Posmykiewicz – Wykład z fizyki 2 Dryf naładowanych cząsteczek w przewodniku można rozpatrywad w pojęciach pracy i energii. Pole elektryczne 𝑬 wykonuje pracę nad poruszającymi się ładunkami, w wyniku czego uzyskują one energię kinetyczną. Energia ta przekazywana jest do materiału przewodnika poprzez zderzenia z jonami, które drgają wokół swych położeo równowagi w węzłach siatki kryształu. Przekazywana energia zwiększa średnią energię tych drgao i tym samym temperaturę przewodnika. A zatem większośd pracy wykonanej przez pole idzie na ogrzewanie przewodnika, a nie na zwiększanie prędkości nośników ładunku. Ciepło to czasami jest pożyteczne jak na przykład w czajniku elektrycznym, jednak najczęściej jest nieuniknionym dodatkiem towarzyszącym przepływowi prądu. W zależności od rodzaju przewodnika przewodzącego prąd nośnikami mogą byd ładunki dodatnie i ujemne. W metalach nośnikami ładunku są zawsze elektrony, podczas gdy w zjonizowanych gazach (plazmie) lub w roztworach jonowych nośnikami mogą byd zarówno elektrony jak i dodatnie jony. Rysunek 17.2 przedstawia dwa odcinki różnych przewodzących materiałów. Na rysunku 17.2a poruszającymi się cząsteczkami w kierunku pola są dodatnie ładunki i prędkośd dryfu 𝐯𝐝 jest skierowana z lewa na prawo. Na rysunku 17.2b poruszają się ładunki ujemne w kierunku przeciwnym do pola Rysunek 17.2 i prędkośd dryfu 𝐯𝐝 skierowana jest z prawa na lewo. W każdym z tych przypadków mamy do czynienia z wypadkowym przepływem ładunków dodatnich z lewa na prawo. Kierunek prądu definiuje się umownie jako kierunek przepływu ładunków dodatnich. Dlatego też kierunek prądu I na obu rysunkach 17.2a i 17.2b jest taki sam. Wprowadza się umowny kierunek prądu i przyjmuje się, że jest on spowodowany dodatnimi ładunkami, nawet jeżeli rzeczywisty przepływ Rysunek 17.3 związany jest z ruchem elektronów. Rysunek 17.3 przedstawia odcinek przewodnika, w którym płynie prąd. Miarą ilościową prądu elektrycznego jest natężenie prądu elektrycznego I. I jest fizyczną wielkością skalarną Piotr Posmykiewicz – Wykład z fizyki 3 określającą wielkośd ładunku przechodzącego przez poprzeczny przekrój przewodnika w jednostce czasu: 𝐝𝐐 𝐈= 17.1 𝐝𝐭 Definicja natężenia prądu. Prąd, którego natężenie i kierunek nie zmienia się w czasie nazywamy stałym. Jednostką natężenia prądu jest amper (A = 1C/s). Przeanalizujmy sytuację przedstawioną na rysunku 17.3. Mamy przewodnik o przekroju poprzecznym A, pole 𝐄 skierowane na prawo, a nośnikami ładunku są ładunki dodatnie. Niech w jednostce objętości znajduje się n ładunków. n nazywamy koncentracją i w układzie SI jej jednostką jest jeden przez m3. Załóżmy, że wszystkie ładunki poruszają się z prędkością dryfu vd. W przedziale czasu dt każda cząstka przebędzie drogę vddt. Cząstki, które wypływają z prawej podstawy zacienionego cylindra o długości vddt są cząstkami, które były wewnątrz cylindra na początku przedziału czasu dt. Objętośd tego cylindra jest równa Av ddt, a ilośd cząsteczek zawarta w nim wynosi nAvddt. Jeżeli każda cząsteczka posiada ładunek q, to ładunek, który wypłynie z prawej strony cylindra w czasie dt będzie równy: 𝑑𝑄 = 𝑞 𝑛𝐴𝑣𝑑 𝑑𝑡 = 𝑛𝑞𝑣𝑑 𝐴𝑑𝑡, a prąd będzie równy: 𝐼= 𝑑𝑄 𝑑𝑡 = 𝑛𝑞𝑣𝑑 𝐴. Gęstością prądu nazywamy fizyczną wielkośd określoną przez natężenie prądu przepływającego przez jednostkę powierzchni przekroju przewodnika prostopadłą do kierunku prądu: 𝐼 𝐽 = 𝐴 = 𝑛𝑞𝑣𝑑 Jeżeli poruszającymi się ładunkami są ładunki ujemne, a nie dodatnie, jak na rysunku 17.2b, wtedy prędkośd dryfu jest przeciwna do kierunku pola 𝐄. Jednak prąd będzie mied ciągle ten sam kierunek jak 𝐄 w każdym punkcie przewodnika. W związku z tym natężenie prądu I i gęstośd prądu J nie zależą od znaku ładunku i w związku z tym w wyrażeniach na I i J q możemy zamienid na q : 𝐈= 𝐝𝐐 𝐝𝐭 = 𝐧 𝐪 𝐯𝐝 𝐀 Ogólne wyrażenie na natężenie prądu. 17.2 Piotr Posmykiewicz – Wykład z fizyki 4 𝐈 𝐉 = 𝐀 = 𝐧 𝐪 𝐯𝐝 17.3 Ogólne wyrażenie na gęstośd prądu. Gęstośd prądu jest wektorem skierowanym tak jak przepływ prądu, tzn. zwrot wektora j pokrywa się z kierunkiem uporządkowanego ruchu ładunków dodatnich. 𝐉 = 𝐧𝐪𝐯𝐝 17.4 Wektor gęstości prądu. Jednostką gęstości prądu jest amper na metr kwadrat (A/m2). 17.2 Prawo Ohma. Opór przewodników. Niemiecki fizyk Georg Simon Ohm dowiódł eksperymentalnie, że natężenie prądu I płynącego przez jednorodny metalowy przewodnik (tj. przez przewodnik, w którym nie występują siły uboczne) jest proporcjonalne do napięcia na koocach tego przewodnika (Rysunek 17.4): 𝐔 𝐈=𝐑 17.5 Prawo Ohma. gdzie R jest współczynnikiem proporcjonalności zwanym oporem przewodnika. Równanie 17.5 przedstawia prawo Ohma dla jednorodnego odcinka obwodu: Natężenie prądu w przewodniku jest wprost proporcjonalna do przyłożonego napięcia i odwrotnie proporcjonalna do oporu przewodnika. Wzór 17.5 pozwala określid jednostkę oporu – om (Ω): 1Ω jest to opór takiego przewodnika, w którym przy napięciu 1V płynie prąd 1A. Wielkośd G = 1/R nosi nazwę przewodnictwa elektrycznego przewodnika. Jednostką przewodnictwa jest simens (S),równy 1/Ω. Opór przewodnika zależy od jego rozmiarów i kształtu, a także od materiału, z którego zrobiony jest przewodnik. Dla przewodnika o kształcie cylindrycznym opór przewodnika jest równy: 𝐋 𝐑 = 𝛒𝐀 17.6 gdzie ρ jest współczynnikiem proporcjonalności nazywanym oporem właściwym i zależy on od rodzaju materiału. Jednostką oporu właściwego jest 1Ωm. Najmniejszy opór właściwy posiada srebro ( 1,6 108 m ) i miedź ( 1,7 108 m ). W praktyce, oprócz przewodów Piotr Posmykiewicz – Wykład z fizyki 5 miedzianych stosuje się przewody aluminiowe, chociaż aluminium posiada większy opór właściwy ( 2,6 108 m ), to ma mniejszą gęstośd w porównaniu z miedzią. Niższy potencjał R Wyższy potencjał Prawo Ohma można przedstawid w postaci różniczkowej. U Załóżmy, że dany jest przewód o polu przekroju A i długości L (Rysunek 17.4). Niech U będzie różnicą potencjałów między koocem o wyższym potencjale i koocem o niższym potencjale Rysunek 17.4 (U > 0). Wtedy podstawiając wyrażenie na opór 17.6 do prawa Ohma (17.5) otrzymujemy: I 1U 17.7 S ρL gdzie 𝛄 = 𝟏/𝛒 nazywa się przewodnością właściwą materiału przewodnika. Uwzględniając, że U/L = E – natężenie pola elektrycznego w przewodniku, I/S = J – gęstośd prądu, wzór 17.7 można zapisad w postaci: J = γE 17.8 Ponieważ nośniki prądu w każdym punkcie poruszają się w kierunku wektora 𝐄, to kierunki 𝐉 i 𝐄 pokrywają się. Dlatego powyższy wzór można zapisad w postaci wektorowej 𝐉 = 𝛄𝐄 17.9 Prawo Ohma w postaci różniczkowej. Prawo to jest również słuszne dla prądów zmiennych. Dla szeregowego połączenia oporów ich opory dodają się: R = R1 +R2 +...+Rn A dla równoległego połączenia odwrotnośd oporu całkowitego jest równa sumie odwrotności poszczególnych oporów: 1/R = 1/R1+1/R2+...+1/R Wykaż prawdziwośd dwu ostatnich wzorów. Opór metali prawie zawsze wzrasta wraz ze wzrostem temperatury jak pokazuje to rysunek 17.5a. W miarę jak wzrasta temperatura jony przewodnika drgają z coraz większą amplitudą i zderzenia elektronów z nimi stają się coraz bardziej prawdopodobne; wyhamowuje to dryf elektronów w przewodniku, a tym samym powoduje zmniejszenie natężenia prądu. Doświadczenie pokazuje, że w małych przedziałach temperatur (od 00C do Piotr Posmykiewicz – Wykład z fizyki 6 około 1000C) opór właściwy, a co za tym idzie opór przewodników Nachylenie = ρ0α (metali) zmieniają się liniowo wraz z temperaturą: 𝝆 𝑻 = 𝝆𝟎 𝟏 + 𝜶 𝑻 − 𝑻𝟎 𝑹 𝑻 = 𝑹𝟎 𝟏 + 𝜶 𝑻 − 𝑻𝟎 a. Metal gdzie: ρ i ρ0, R i R0 odpowiednio oporności właściwe i opory w temperaturach T i T0 (T0 często przyjmuje się równą 00C lub 200C), α – temperaturowy współczynnik oporu. Współczynnik α zmienia się w granicach od 0,00001(0C)-1 dla konstantanu do 0.0050(0C)-1 b. Półprzewodnik dla żelaza. Opornośd grafitu (nie metalu) zmniejsza się wraz ze wzrostem temperatury, ponieważ w wyższych temperaturach więcej elektronów „uwalnia się” od atomów i może poruszad się w objętości próbki grafitu. Podobne zjawisko zachodzi w c. Nadprzewodnik półprzewodnikach (Rysunku 17.5b), przy czym bardzo niewielkie Rysunek 17.5 zmiany temperatury powodują istotne zmiany oporu. Jakościowa zależnośd oporu przewodnika od temperatury jest przedstawiona na Rysunku 17.5a. Odkryto jednak, że opór wielu metali (np. Al., Pb, Zn, i innych) i ich stopów w bardzo niskich temperaturach Tk (0,14-20K) zwanych krytycznymi (Rysunek 17.5c), charakterystycznych dla każdej substancji, skokowo maleje do zera!, tzn. metal staje się przewodnikiem idealnym. Po raz pierwszy zjawisko to, zwane nadprzewodnictwem, było odkryte przez Kammerlingha – Onnesa w 1911roku w rtęci. Zjawisko nadprzewodnictwa daje się wyjaśnid na gruncie teorii kwantowej. Obecnie (2003) otrzymywane są materiały nadprzewodnikowe z temperaturą krytyczną około 160K i trwają poszukiwania materiałów, które byłyby nadprzewodnikami w temperaturach pokojowych. Korzyści tego typu odkryd dla systemów przesyłania energii, komputerów, transportu wydają się ogromne. Jak na razie nadprzewodniki stosuje się elektromagnesach chłodzonych ciekłym helem, które są używane w akceleratorach cząstek i w eksperymentalnych liniach pociągów lewitujących na poduszce magnetycznej nad torem jazdy. Na zależności oporu elektrycznego od temperatury oparte jest działanie termometrów oporowych, które pozwalają zmierzyd temperaturę z dokładnością do 0,003K. Jednak wykorzystanie jako substancji roboczej w termometrze półprzewodników, przygotowanych Piotr Posmykiewicz – Wykład z fizyki 7 w specjalny sposób tzw. termistorów, pozwala mierzyd temperaturę z dokładnością do milionowych części kelvina i umożliwia pomiary temperatury bardzo małych obiektów (ze względu na małe rozmiary półprzewodników). 17.3 Siły uboczne. Siła elektromotoryczna. Jeżeli dwa różnoimienne Kierunek prądu I V2 przewodniki A i B naładowad V1 do potencjałów V1 i V2 i połączyd (Rysunek przewodnikiem 17.6) to, C C A pod B Siła uboczna wpływem pola zacznie się przemieszczanie wzdłuż ACB, elektronów tzn. Rysunek 17.6 wzdłuż przewodnika zacznie płynąd prąd w kierunku BCA. W czasie przepływu prądu będzie zachodzid wyrównywanie się potencjałów i natężenie pola wewnątrz przewodnika zmaleje do zera i prąd przestanie płynąd. W celu podtrzymania stałego prądu w przewodniku należałoby mied specjalne urządzenie, wewnątrz którego zachodziłoby ciągłe rozdzielanie różnoimiennych ładunków i przenoszenie ich do odpowiednich przewodników (ładunki dodatnie do przewodnika B, a ujemne do przewodnika A). Takie urządzenie zwane źródłem prądu (lub generatorem) powinno działad na elektrony (lub ogólnie na ładunki) siłami pochodzenia nieelektrostatycznego. Siły pochodzenia nieelektrostatycznego działające na ładunki w źródłach prądu nazywamy ubocznymi. Natura sił ubocznych może byd różna. Na przykład, w bateriach galwanicznych siły te powstają dzięki energii reakcji chemicznych między elektrodami a elektrolitami; w generatorach prądu stałego dzięki energii pola magnetycznego i energii mechanicznej obracającego się rotora itp. Rola źródła prądu w obwodzie elektrycznym jest taka jak, mówiąc obrazowo, rola pompy, która jest konieczna do przepompowania cieczy w układzie hydraulicznym. Dzięki powstałemu polu sił ubocznych, ładunki elektryczne wewnątrz źródła poruszają się w kierunku przeciwnym do kierunku pola elektrostatycznego i dzięki temu na koocach obwodu zewnętrznego podtrzymywana jest różnica potencjałów i w obwodzie płynie stały prąd elektryczny. Piotr Posmykiewicz – Wykład z fizyki 8 Siły uboczne przesuwając ładunki wykonują pracę. Wielkośd fizyczna określona pracą wykonaną przez siły uboczne podczas przenoszenia jednostki dodatniego ładunku nazywa się siłą elektromotoryczną (SEM) E działającą w obwodzie: 𝓔= 𝐖𝐮 17.10 𝐐𝟎 Siła ElektroMotoryczna (SEM). Praca ta jest wykonana kosztem energii traconej w źródle prądu. Jednostką SEM jest volt (1V =J/C). Rysunek 17.7 przedstawia schemat idealnego źródła SEM, które utrzymuje stałą różnicę potencjałów między przewodnikami a i b zwanymi biegunami źródła. Biegun a oznaczony + posiada wyższy potencjał niż biegun b oznaczony - . Z tą różnicą potencjałów związane jest pole elektryczne 𝐄, które znajduje się zarówno wewnątrz jak i na zewnątrz źródła. u Rysunek 17.7 Pole elektryczne wewnątrz źródła jest skierowane od a do b. Na ładunek q wewnątrz źródła działa siła elektryczna Fe = qE. Jednak samo źródło również wprowadza dodatkowe działanie reprezentowane przez siłę uboczną 𝐅𝐮 . Siła ta działając wewnątrz źródła wpycha ładunek od b do a w kierunku „do góry” przeciwnie do kierunku działania siły elektrycznej 𝐅𝐞 . W ten sposób 𝐅𝐮 utrzymuje różnicę potencjałów między biegunami. Jeżeli nie byłoby siły 𝐅𝐮 ładunek przepływał by między biegunami aż potencjały wyrównałyby się. Jeżeli ładunek dodatni jest przenoszony z b do a wewnątrz źródła, wtedy siła uboczna 𝐅𝐮 wykonuje dodatnią pracę Wu = qℰ nad ładunkiem. Takie przemieszczenie odbywa się w kierunku przeciwnym do siły elektrostatycznej 𝐅𝐞 w związku z czym energia potencjalna związana z ładunkiem zwiększa się o wartośd qUab, gdzie Uab = Va – Vb jest potencjałem punktu a(dodatnią) względem punktu b. Dla idealnego źródła SEM opisanego wyżej 𝐅𝐞 i 𝐅𝐮 są równe co do wartości, ale mają przeciwne zwroty, a zatem całkowita praca wykonana nad ładunkiem jest równa zero; następuje wzrost energii potencjalnej, a energia kinetyczna ładunku nie zmienia się. Można to porównad do podnoszenia książki z podłogi na półkę ze stałą prędkością. Wzrost energii potencjalnej jest równy pracy wykonanej przez siłę uboczną Wu ; qℰ = qUab , lub Uab = ℰ (idealne źródło SEM) 17.11 Piotr Posmykiewicz – Wykład z fizyki 9 Zamknijmy teraz obwód poprzez połączenie biegunów źródła oporem R (Rysunek 17.8). Różnica potencjałów między biegunami a i b wytwarza pole elektryczne w przewodniku; a to u wywołuje przepływ prądu w pętli z a do b, od wyższego do niższego potencjału. Z prawa Ohma wiemy, że różnica potencjałów na koocach Rysunek 17.8 przewodu jest wynosi Uab = IR. Porównując to z 17.11 otrzymujemy: ℰ = Uab = IR (idealne źródło SEM) 17.12 Oznacza to, że jeżeli dodatni ładunek q płynie w obwodzie, wtedy wzrost potencjału ℰ przy przechodzeniu ładunku przez źródło jest równy spadkowi potencjału Uab = IR, kiedy ładunek przepływa przez pozostałą częśd obwodu. Jeżeli znane są tylko ℰ i R, to znany jest również prąd I. Opór wewnętrzny. Rzeczywiste źródła prądu zachowują się jednak trochę inaczej; różnica potencjałów na biegunach realnego źródła nie jest równa SEM jak w przypadku 17.12. Powodem tego jest fakt, że w ładunek przepływając przez normalne źródło prądu napotyka na opór. Opór ten nazywa się oporem wewnętrznym i oznaczmy go przez r. Przepływowi prądu przez opór wewnętrzny towarzyszy spadek potencjału Ir. W rezultacie kiedy prąd płynie przez źródło od bieguna ujemnego b do bieguna dodatniego, wtedy różnica potencjałów między biegunami wynosi 𝐔𝐚𝐛 = 𝓔 − 𝐈𝐫 17.13 Napięcie na biegunach źródła zamkniętego. To napięcie jest mniejsze niż SEM ℰ z powodu spadku potencjału na oporze wewnętrznym r. Można to wyrazid w inny sposób: wzrost energii potencjalnej qU ab ładunku kiedy przechodzi on z b do a wewnątrz źródła jest mniejszy niż praca wykonana przez siły uboczne qℰ, ponieważ częśd energii potencjalnej jest tracona podczas pokonywania oporu wewnętrznego. Bateria półtora – woltowa posiada SEM równą 1,5V, jednak napięcie na zaciskach ogniwa zamkniętego jest mniejsze. Prąd płynący w obwodzie zewnętrznym połączonym z biegunami a i b ogniwa jest w dalszym ciągu określony przez Uab = IR. Łącząc to z 17.14 otrzymujemy: Piotr Posmykiewicz – Wykład z fizyki 10 ℰ − Ir = IR lub ℇ I = R+r 17.14 Wypadkowa zmiana energii potencjalnej ładunku q pokonującego drogę wzdłuż całego obwodu zamkniętego musi byd równa zero. W związku z tym wypadkowa zmiana potencjału wzdłuż całego obwodu też musi byd równa zero; innymi słowy: algebraiczna suma różnic potencjałów i SEM wokół obwodu musi byd równa zero. Widad to jeżeli przepiszemy równanie 17.14 w postaci: ℰ − Ir − IR = 0 Wzrost potencjału o ℰ związany jest z SEM, a spadek potencjału o Ir i IR związany jest z opornością wewnętrzną i opornością obwodu. Rysunek 17.9 pokazuje jak zmienia się potencjał w trakcie obchodzenia obwodu. Jeżeli przyjmiemy, że potencjał jest równy zero w miejscu bieguna ujemnego ogniwa, wtedy mamy najpierw wzrost potencjału o ℰ i spadek o Ir w obrębie ogniwa i dodatkowe zmniejszenie potencjału o IR na oporze zewnętrznym i kiedy kooczymy obchodzenie obwodu potencjał jest znów równy początkowemu czyli zero. Różnica między nową baterią np. 1,5V, a starą zużytą nie polega na tym, że w starej SEM jest niższa (zmienia się ona tylko trochę), a na tym, że w starej opór wewnętrzny zwiększa się znacznie (może on się zmienid na przykład z 1Ω w nowej baterii do nawet Rysunek 17.9 1000 Ω w starej). Podobnie akumulator samochodowy może dostarczad mniej prądu w zimny poranek dlatego, że opór wewnętrzny akumulatora w sposób istotny zależy od temperatury, wzrastając znacznie przy niskiej temperaturze. Dlatego też czasami stosuje się różnego rodzaju ocieplacze akumulatorów. 17.4 Praca i moc prądu. Przeanalizujmy związek zachodzący między energią i mocą w obwodzie elektrycznym. Niech prostokąt na rysunku 17.10 reprezentuje fragment obwodu elektrycznego, między koocami którego istnieje napięcie (różnica potencjałów) Uab = Va – Vb przez który, płynie Piotr Posmykiewicz – Wykład z fizyki 11 Va prąd I. W fragmencie tym może znajdowad się zarówno opornik jak i źródło prądu. Gdy ładunek przepływa przez ten element, wtedy Vb Element obwodu I I siły a b elektrostatyczne 𝐅𝐞 lub (i) siły uboczne 𝐅𝐮 wykonują pracę nad tym ładunkiem. Rysunek 17.10 Jeżeli przez ten element obwodu przepłynie ładunek q, wtedy zmiana energii potencjalnej wyniesie qUab. Na przykład, jeżeli q > 0 i Uab = Va – Vb jest dodatnie, to energia potencjalna zmaleje, gdy ładunek „spadnie” z potencjału Va na poziom o potencjale Vb. Poruszający się ładunek nie zwiększy jednak swojej energii kinetycznej, ponieważ prędkośd przepływu ładunku jest wszędzie taka sama. Zamiast tego qUab będzie energią przekazaną do elementu obwodu na przykład w postaci energii cieplnej (spirala grzewcza w czajniku elektrycznym). Może się zdarzyd, że potencjał w b będzie wyższy niż w a. W takim przypadku Uab będzie ujemne i nastąpi wypływ energii z elementu obwodu. Wtedy taki element działa jak źródło dostarczając energię do obwodu, do którego jest podłączony. Sytuacja taka jest typowa dla ogniwa, które przekształca energię chemiczną w energię elektryczną i przekazuje ją dalej do obwodu zewnętrznego. Zatem qUab może oznaczad zarówno energię dostarczoną do elementu obwodu, jak i energię wydzieloną z tego elementu. W przypadku obwodów elektrycznych interesuje nas najczęściej szybkośd z jaką energia jest dostarczana do elementu obwodu lub wydzielana z niego. Jeżeli prąd płynący przez element wynosi I, wtedy w czasie dt przez ten element przepłynie ładunek dQ = Idt. Zmiana energii potencjalnej takiej ilości ładunku będzie równa UabdQ = UabIdt. Dzieląc to wyrażenie przez dt otrzymamy szybkośd z jaką energia jest przekazywana do lub z danego elementu. Ta czasowa szybkośd przekazywania energii jest mocą P: 𝐏 = 𝐔𝐚𝐛 𝐈 17.15 Szybkośd z jaką energia przekazywana jest do lub z elementu obwodu. Jednostką napięcia jest volt, lub dżul na kulomb, a jednostką prądu amper czyli kulomb na sekundę. Stąd jednostką P jest wat: (1J/C)(1C/s) = 1J/s = 1W Jeżeli natężenie prądu wyrażone jest w amperach, napięcie w woltach, a opór w omach, to praca prądu wyrażona jest w dżulach. Stosuje się również jednostkę pracy kilowatogodzinę – 1kWh 1kW 1h 1000W 3600s 3,6 106 J . Piotr Posmykiewicz – Wykład z fizyki 12 Przeanalizujmy szczególne przypadki. Czysty opór. Jeżeli elementem obwodu z rysunku 17.10 jest opornik, wtedy różnica potencjałów wynosi Uab = IR. Zatem moc dostarczona do opornika przez obwód wyniesie na podstawie 17.15: 𝐏 = 𝐔𝐚𝐛 𝐈 = 𝐈𝟐 𝐑 = 𝟐 𝐔𝐚𝐛 17.16 𝐑 Moc dostarczona do opornika. W tym przypadku potencjał w punkcie a (gdzie prąd wpływa do opornika) jest zawsze wyższy niż w punkcie b i równanie 17.16 przedstawia szybkośd przekazywania elektrycznej energii Ogniwo potencjalnej do elementu obwodu. Co dzieje się z tą energią? Poruszające się ładunki zderzają się z Obwód zewnętrzny atomami w oporniku i przekazują częśd swojej energii atomom, zwiększając tym samym energię wewnętrzną materiału. W wyniku tego może wzrosnąd temperatura opornika lub ciepło może byd przekazywane na zewnątrz lub oba te zjawiska mogą zachodzid Akumulator równocześnie. W każdym z tych przypadków mówimy, że energia ulega rozpraszaniu w oporniku z szybkością I2R. Każdy opornik posiada tzw. moc znamionową, która określa maksymalną moc, która może byd rozpraszana w oporniku bez spowodowania jego uszkodzenia. Reflektor Rysunek 17.11 Moc wychodząca ze źródła. Wyższy prostokąt na rysunku 17.11a reprezentuje źródło o SEM ℰ i oprze wewnętrznym r połączone za pomocą idealnych przewodów (bezoporowe) z zewnętrznym obwodem reprezentowanym przez dolny prostokąt. Może byd to schemat połączenia akumulatora samochodowego z reflektorami (Rysunek17.11b). Punkt a ma wyższy Akumulator mała SEM potencjał niż punkt b, czyli Va > Vb i Uab jest dodatnie. Zwródmy uwagę, że prąd I wypływa z bieguna o wyższym potencjale (chociaż może byd odwrotnie). Energia jest dostarczana do obwodu zewnętrznego, a szybkośd dostarczania tej energii określona jest wzorem 17.15: Alternator duża SEM Rysunek 17.12 Piotr Posmykiewicz – Wykład z fizyki 13 P = Uab I Dla źródła, które może byd scharakteryzowane za pomocą SEM ℰ i oporu wewnętrznego r możemy użyd 17.13: Uab = ℰ − Ir W rezultacie otrzymamy: P = Uab I = ℰI − I2 r Co oznaczają człony ℰI i I2 r? jednostkę ładunku 17.17 Poprzednio zdefiniowaliśmy SEM ℰ jako pracę na wykonaną nad ładunkami przez siłę o pochodzeniu nieelektrostatycznym (siłę uboczną) w trakcie ich wpychania „pod górę” od b do a. W czasie dt ładunek dQ = Idt przepłynie przez źródło; praca wykonana przez siły uboczne nad tym ładunkiem będzie równa ℰdQ = ℰIdt. Zatem ℰI określa szybkośd z jaką wykonywana jest praca nad poruszającymi się ładunkami przez jakiś czynnik wywołujący siłę uboczną w źródle. Czynnik ten określa szybkość z jaką przekształcana jest energia nie elektryczna w energię elektryczną w obrębie źródła. Czynnik I2r określa szybkość z jaką energia jest rozpraszana w oporze wewnętrznym źródła. Zatem różnica ℰI - I2 r określa wypadkową moc wychodzącą ze źródła – tzn. szybkość z jaką źródło dostarcza energię elektryczną do pozostałej części obwodu. Moc wchodząca do źródła. Załóżmy, że niższy prostokąt z rysunku 17.11a sam jest źródłem posiadającym SEM większą niż górne źródło i jego SEM włączona jest przeciwnie do źródła górnego. Rysunek 17.12 przedstawia praktyczny przykład – akumulator samochodowy podłączony do samochodowego alternatora. Prąd w tym obwodzie płynie w kierunku przeciwnym niż ten z rysunku 17.11; dolne źródło zmusza prąd do ruchu do tyłu w kierunku górnego źródła. Z powodu tego prądu o przeciwnym kierunku zamiast równania 17.13 dla górnego źródła mamy: Uab = ℰ + Ir , a zamiast równania 17.17 otrzymujemy: P = Uab I = ℰI + I2 r 17.18 Praca w górnym źródle jest wykonana nad czynnikiem wywołującym siły uboczne a nie przez ten czynnik. W tym wypadku w górnym źródle ma miejsce zamiana energii elektrycznej na energię nieelektryczną, która zachodzi z szybkością ℰI. Czynnik I2r w równaniu 17.18 jest ponownie szybkością rozpraszania energii w oporze wewnętrznym górnego źródła, a suma ℰI + I2 r całkowitą mocą wejściową dla górnego źródła. Taka sytuacja występuje, Piotr Posmykiewicz – Wykład z fizyki 14 jeżeli podłączyć akumulatorek do ładowarki. Ładowarka dostarcza energię elektryczną do baterii; część tej energii jest zamieniana na energię chemiczną, które ponownie później zostanie zamieniona na energię elektryczną, a reszta jest tracona poprzez rozproszenie jej w oporze wewnętrznym możemy to poczuć, ponieważ akumulatorek w czasie ładowania nagrzewa się . 17.5 Prawo Joule’a – Lenza. Wyrażenia 17.16 są prawdziwe zarówno dla prądu stałego jak i zmiennego, przy czym dla prądu zmiennego należy podstawid do tych wyrażeo wielkości chwilowe. Jeżeli prąd płynie przez nieruchomy metalowy przewodnik, to cała praca jest tracona na jego ogrzanie, i z zasady zachowania energii dQ dW 17.19 Wykorzystując wyrażenia 2.13 otrzymujemy dQ IUdt I 2 Rdt U2 dt R 17.20 Wyrażenia 17.20 przedstawiają prawo Joule’a –Lenza. Wydzielmy w przewodniku nieskooczenie małą, cylindryczną objętośd dV = dAdL, której opór wynosi R ρdL/dA . Zgodnie z prawem Joule’a –Lenza w ciągu czasu dt w objętości tej wydzieli się dV-objętość ciepło dQ I 2 Rdt dL ρdl jdA 2 dt ρj2dVdt dA Ilośd ciepła wydzielona w jednostce czasu, w jednostce objętości 𝐝𝐐 jest właściwą mocą cieplną prądu 𝐰 = 𝐝𝐭𝐝𝐕 i jest jak widad równa: w ρj2 dU dA Rysunek 17.13 17.21 Korzystając z różniczkowego prawa Ohma (j = γE) i podstawiając ρ= 1/γ otrzymujemy w jE γE 2 17.22 Wzory 17.21 i 17.22 wyrażają uogólnione prawo Joule’a - Lenza w postaci różniczkowej, prawdziwe dla prądu stałego i zmiennego. 17.6 Prawo Ohma dla niejednorodnego odcinka obwodu. Piotr Posmykiewicz – Wykład z fizyki 15 Rozpatrzmy niejednorodny odcinek obwodu, tzn. taki, w którym na odcinku 1-2 występuje siła elektromotoryczna E12 i na koocach którego, różnica potencjałów wynosi V1 – V 2. Jeżeli prąd przepływa przez nieruchomy odcinek 1-2 obwodu, to praca dW12 wszystkich sił (ubocznych i elektrostatycznych) wykonana nad nośnikami ładunku, zgodnie z zasadą zachowania energii jest równa ciepłu dQ wydzielonemu w tym odcinku. Ładunek dQ0 przenoszony w czasie dt wzdłuż przewodnika jest równy Idt. Praca sił wykonana przy przesunięciu tego ładunku na odcinku 1-2 zgodnie z 2.6 wynosi: 𝑑𝑊12 = 𝑑𝑄0 ℇ12 + 𝑑𝑄0 𝑉1 − 𝑉2 17.23 Siła elektromotoryczna ℇ12 jak i natężenie prądu jest wielkością skalarną. Należy ją przyjmowad albo ze znakiem plus, albo minus w zależności od znaku pracy wykonanej przez siły uboczne. Jeżeli SEM sprzyja ruchowi dodatnich ładunków w wybranym kierunku ( w kierunku 1-2), to ℇ12 > 0. Jeżeli SEM przeszkadza w ruchu dodatnich ładunków w wybranym kierunku to ℇ12 < 0. W czasie dt w przewodniku wydziela się ciepło dQ: dQ I2 Rdt IRIdt IRdQ0 17.24 Ze wzorów 17.24 i 17.23 otrzymujemy: IR = V1 − V2 + ℇ12 17.25 skąd 𝐈= 𝐕𝟏 −𝐕𝟐 +ℇ𝟏𝟐 𝐑 17.26 Prawo Ohma dla niejednorodnego odcinka obwodu, które jest uogólnionym prawem Ohma. Jeżeli na danym odcinku obwodu nie ma źródła prądu (ℇ12 = 0), to z 17.26 wynika, że otrzymujemy prawo Ohma dla jednorodnego odcinka prądu 17.5: I V1 V2 /R U/R Jeżeli obwód elektryczny jest zamknięty to punkty 1 i 2 pokrywają się, V1 = V2 i trzymujemy prawo Ohma dla zamkniętego obwodu: 𝐈= ℇ𝟏𝟐 𝐑 gdzie ℇ12 jest siłą elektromotoryczną działającą w obwodzie, a R jest całkowitym oporem obwodu. W ogólnym przypadku R = r + R1, gdzie r – opór wewnętrzny źródła, a R1 – opór zewnętrznej części. W związku z tym prawo Ohma dla danego obwodu będzie miało postad: Piotr Posmykiewicz – Wykład z fizyki 16 ℇ 𝟏𝟐 𝐈 = 𝐑+𝐫 Jeżeli obwód jest rozwarty i co za tym idzie, nie płynie w nim prąd (I = 0), to z prawa Ohma 2.21 otrzymujemy, że E12 = V1 – V2, tzn. SEM w otwartym obwodzie jest równa różnicy potencjałów na jego koocach. W rezultacie, jeżeli chcemy znaleźd SEM źródła prądu, to należy zmierzyd różnicę potencjałów na jego zaciskach. 17.7 Prawa Kirchhoffa dla rozgałęzionych obwodów. Uogólnione prawo Ohma można z powodzeniem stosowad do dowolnie złożonego obwodu z prądem. Jednak bezpośrednie rozwiązanie dla rozgałęzionego obwodu, zawierającego kilka zamkniętych obwodów (oczek – oczka mogą mied wspólne części, a każde oczko może zawierad kilka źródeł prądu) jest na ogół I1 I5 dośd złożone. Obliczenia upraszczają się znacznie, jeżeli Węzeł zastosowad dwa prawa Kirchhoffa. Dowolny punkt rozgałęzienia obwodu, w którym spotykają I2 I4 I3 się co najmniej trzy przewodniki z prądem nazywamy węzłem. Jeżeli prąd wpływa do węzła, to przyjmuje się, że jest dodatni, Rysunek 17.14 jeżeli wypływa z węzła, to przyjmuje się, że jest ujemny. Pierwsze prawo Kirchhoffa: algebraiczna suma prądów, spotykających się w węźle jest równa zero: 𝐢 𝐈𝐢 =𝟎 17.27 Na przykład dla sytuacji z Rysunku 17.14 pierwsze prawo Kirchhoffa zapisuje się: I1 – I2 + I3 – I4 – I5 = 0 Pierwsze prawo Kirchhoffa wynika bezpośrednio z zasady zachowania ładunku. Drugie prawo Kirchhoffa otrzymuje się z uogólnienia prawa Ohma dla rozgałęzionych obwodów. Rozważmy obwód składający się z trzech odcinków (Rysunek 17.14). Przyjmijmy, że dodatni kierunek obchodzenia tego obwodu odbywa się zgodnie z kierunkiem wskazówek zegara (przy czym wybór nasz jest całkowicie dowolny). Wszystkie prądy, których kierunek zgadza się z kierunkiem obchodzenia obwodu przyjmujemy za dodatnie, a te które są przeciwne – za ujemne. SEM źródeł prądu uważamy za dodatnie, jeżeli wytwarzają one prąd Piotr Posmykiewicz – Wykład z fizyki 17 zgodny z kierunkiem obchodzenia obwodu. Stosując prawo Ohma do odcinków (2.20) możemy zapisad: I1R1 VA VB E1 I2 R 2 VB VC E 2 I3R 3 VC VA E3 Dodając stronami te wyrażenia otrzymujemy I1R1 I 2 R2 I3 R3 E1 E2 E3 17.28 I1R1 I 2 R2 I 3 R3 E1 E2 E3 0 lub Równanie 2.22 przedstawia drugie prawo Kirchhoffa: dla dowolnego oczka wybranego z rozgałęzionego obwodu suma algebraiczna iloczynów natężeo prądów I i i oporów Ri na danych odcinkach oczka plus suma algebraiczna SEM ℇ𝐊 występujących w tym oczku jest zawsze równa zero: 𝐢 𝐈𝐢 𝐑 𝐢 + 𝐤 ℇ𝐤 =𝟎 17.29 Podczas obliczeo z zastosowaniem praw Kirchhoffa dla złożonego obwodu należy: 1. Wybrad dowolnie kierunki natężeo prądów: właściwy kierunek prądów określimy następująco:, jeżeli po rozwiązaniu równao otrzymane natężenie będzie dodatnie tzn., że przyjęty kierunek był prawidłowy, jeżeli otrzymana wartośd natężenia prądu będzie ujemna oznacza to, że kierunek rzeczywisty jest przeciwny do przyjętego 2. Wybrad kierunek obchodzenia B obwodu; iloczyny IR przyjmujemy za dodatnie, jeżeli E1 wzrostu potencjału na oporniku pokrywa się z E2 kierunek I1R1 R2 R1 I2R2 kierunkiem obchodzenia i odwrotnie; SEM będziemy uważad za dodatnie, jeżeli działają one w kierunku I1 I2 A E3 R3 I3R3 I3 C Rysunek 17.15 obchodzenia obwodu (wzrasta potencjał) i odwrotnie. 3. Zapisad tyle równao, aby ich ilośd była równa ilości szukanych wielkości; każde rozpatrywane oczko powinno zawierad chociaż jeden element, który nie wystąpił w rozpatrywanych wcześniej oczkach. Piotr Posmykiewicz – Wykład z fizyki 18 Znaleźd, korzystając z praw Kirchhoffa, nieznany opór R1 dla obwodu – mostka Wheatstone’a. Po zapisaniu praw Kirchhoffa założyd, że tak dobieramy opory, iż przez galwanometr nie płynie prąd (Rysunek 17.16). Rysunek 17.16 17.8 Klasyczna teoria metali. Nośnikami ładunku w przewodnikach są swobodne elektrony. Istnienie swobodnych elektronów w przewodniku można wyjaśnid w następujący sposób: Podczas tworzenia się siatki krystalicznej metalu (w wyniku zbliżania oddzielnych atomów) elektrony walencyjne, które są stosunkowo słabo związane z jądrami atomowymi, stają się swobodne i mogą poruszad się po całej objętości kryształu. W rezultacie, w węzłach siatki krystalicznej znajdują się jony, a między nimi poruszają się chaotycznie elektrony, posiadające według elektronowej teorii metali własności takie jak gaz doskonały. Swobodne elektrony podczas ruchu zderzają się z jonami w siatce krystalicznej i w wyniku tego ustala się pewien stan równowagi cieplnej między elektronami, a siatką krystaliczną. Zgodnie z teorią Drude’a - Lorenza elektrony posiadają taką samą energię ruchu cieplnego jak cząsteczki gazu jednoatomowego. Dlatego stosując wnioski z teorii kinetycznomolekularnej można znaleźd średnią prędkośd ruchu cieplnego elektronów 5 u sr 8kT/πm0 , która dla temperatury T = 300K wynosi u sr 1,08 10 m/s . Cieplny ruch elektronów jest chaotyczny i nie może spowodowad powstania prądu. Jeżeli przyłożyd zewnętrzne pole do metalowego przewodnika, to oprócz ruchu cieplnego powstaje ruch uporządkowany tzn. przepływ prądu. W rezultacie prędkośd średnią <v> można ocenid korzystając ze wzoru 17.3 J = nevd . Jeżeli za gęstośd prądu j podstawimy maksymalną dopuszczalną gęstośd dla przewodów miedzianych - 107 A/m2 , to przy gęstości elektronów n 8 1028 m3 otrzymamy, że średnia prędkośd uporządkowanego ruchu 4 elektronów wyniesie vd 7,8 10 m/s . Widad, zatem, że vd << usr, tzn., że nawet dla bardzo dużych prądów średnia prędkośd uporządkowanego ruchu elektronów jest znacznie mniejsza od ich prędkości ruchu cieplnego. Wydawałoby się, że otrzymany wynik przeczy znanemu faktowi, iż prędkośd rozchodzenia się prądu elektrycznego jest olbrzymia - rzędu prędkości rozchodzenia się światła a w próżni ( c 3 108 m/s ). Jest to tylko pozorna Piotr Posmykiewicz – Wykład z fizyki sprzecznośd, ponieważ 19 prędkośd c jest prędkością rozprzestrzeniania się pola elektromagnetycznego wzdłuż przewodów. 17.9 Wyprowadzenie podstawowych praw elektryczności z klasycznej teorii metali. 1. Prawo Ohma. Niech w metalowym przewodniku istnieje pole elektryczne o stałym natężeniu E = const. Od strony pola na elektron działa siła F = eE i uzyskuje on przyspieszenie rezultacie, a w =F/m czasie = eE/m. W swobodnego przemieszczenia elektrony poruszają się z jednakowym przyspieszeniem i na koocu tej Średnie przemieszczenie Typowy tor elektronu, 𝐸=0 (a) drogi uzyskują prędkośd Typowy tor elektronu, 𝐸≠0 (b) Rysunek 17.17 vmax eEt sr /m gdzie tsr - średni czas między dwoma kolejnymi zderzeniami elektronu z jonami siatki. Zgodnie z teorią Drude’a, na koocu swobodnego przejścia, elektron zderzając się z jonem siatki oddaje mu zgromadzoną w polu energię, w wyniku, czego jego prędkośd spada do zera. W rezultacie średnia prędkośd ukierunkowanego ruchu elektronu (prędkośd dryfu) będzie równa vsr vd u max 0/2 eEt sr / 2m 17.30 Średni czas tśr swobodnego przebiegu będzie określony przez średnią długośd swobodnego przebiegu lśr (Rysunek 17.17b) i przez średnią prędkośd ruchu elektronów względem siatki krystalicznej uśr + vd (uśr - średnia prędkośd ruchu cieplnego elektronów). Z poprzedniego paragrafu wiadomo, że vd << uśr, i dlatego t sr lsr /u sr Podstawiając wartośd to do 17.30 otrzymujemy: vd eEl sr / 2mu sr Gęstośd prądu w metalicznym przewodniku jest równa J nev d ne 2lsr E 2mu sr 17.31 Piotr Posmykiewicz – Wykład z fizyki 20 Widad, że gęstośd prądu jest proporcjonalna do natężenia pola, tzn. otrzymaliśmy prawo Ohma w postaci różniczkowej (wzór 17.3). Współczynnik proporcjonalności między J i E jest, zatem przewodnością właściwą metalu γ ne 2lsr , 2mu sr 17.32 która jest tym większa im większa jest gęstośd swobodnych elektronów i im większa średnia długośd ich swobodnego przebiegu. 2. Prawo Joule’a – Lenza. Na koocu swobodnego przebiegu elektron uzyskuje dodatkową energię kinetyczną: Ek mv 2max e 2lsr2 2 E 2 2mu sr2 17.33 Podczas zderzenia elektronu z jonem energia ta przekazywana jest całkowicie siatce i idzie na zwiększenie energii wewnętrznej metalu, tzn. jego nagrzanie. W jednostce czasu elektron doznaje średnio z zderzeo z węzłami siatki z u sr /l sr 17.34 Jeżeli n jest gęstością elektronów, to w jednostce czasu zajdzie nz zderzeo i siatce zostanie przekazana energia w nz E k 17.35 która idzie na nagrzanie przewodnika. Podstawiając2.25 i 2.26 do 2.27 otrzymujemy w ne 2lsr 2 E 2mu sr 17.36 gdzie w jest mocą właściwą prądu. Współczynnik proporcjonalności między w i E2 zgodnie z 17.32 jest przewodnictwem właściwym γ; w rezultacie wyrażenie 17.36 określa prawo Joule’a - Lenza w postaci różniczkowej (patrz równanie 17.22). 4. Prawo Wiedemanna-Franza. Metale charakteryzują się zarówno dużym przewodnictwem elektrycznym jak i wysokim przewodnictwem cieplnym. Wynika to z tego, iż nośnikami prądu i ciepła są te same nośniki – swobodne elektrony. Na drodze doświadczalnej Wiedemann i Franz podali prawo, zgodnie, z którym stosunek przewodności cieplej (λ) i przewodności właściwej (γ) dla wszystkich metali w tej samej temperaturze jest jednakowy i zwiększa się proporcjonalnie do temperatury bezwzględnej λ/γ = βT Piotr Posmykiewicz – Wykład z fizyki 21 gdzie β – stała nie zależna od rodzaju metalu. Z klasycznej teorii metali, po uwzględnieniu rozkładu prędkości elektronów, wynika, że β = 2(k/e2). Tymczasem dane doświadczalne pokazują, że β jest raczej równe 3(k/e2). Tak więc, klasyczna teoria tylko jakościowo wyjaśnia prawo Wiedemanna – Franza. Oprócz tego teoria klasyczna metali napotyka jeszcze inne trudności. Rozpatrzmy niektóre z nich. Zależnośd oporu od temperatury. Ze wzoru (17.32) na przewodnośd właściwą metali wynika, że opór metali tzn., wielkośd odwrotna do γ, powinna wzrastad proporcjonalnie do T ( w 17.32 n i lśr nie zależą od temperatury, a uśr ~ T). Przeczy to jednak danym doświadczalnym, które pokazują, że R~T. Ocena średniej długości swobodnego przebiegu elektronów. Aby γ ze wzoru zgadzało się zdanymi eksperymentalnymi należy przyjąd, że lśr jest znacznie większe od rzeczywistych, innymi słowy, należy założyd, że elektron przebywa bez zderzeo z jonami siatki drogę setek odległości międzywęzłowych. Takie założenie z kolei nie zgadza się z teorią Drude’a Lorenza. Pojemnośd cieplna metali. Pojemnośd cieplna metalu składa się z pojemności cieplnej jego siatki krystalicznej i pojemności cieplej gazu elektronowego. Dlatego też pojemnośd cieplna przypadająca na jeden mol metalu powinna byd znacznie większa od takiej pojemności dielektryka, które nie posiadają swobodnych elektronów. Zgodnie z prawem Dulonga-Petit pojemnośd cieplna jednoatomowego kryształu wynosi 3R. Uwzględniając, że chaotyczny ruch elektronów charakteryzuje się trzema stopniami swobody otrzymamy, że pojemnośd cieplna gazu elektronowego wyniesie 3/2R. W rezultacie pojemnośd cieplna jednego mola metalu powinna byd równa 4,5R. Jednak doświadczenie pokazuje, że wynosi ona 3R tzn. zarówno dla metali jak i dielektryków spełnione jest prawo Dulonga - Petit. Tak, więc obecnośd swobodnych elektronów nie ma wpływu na pojemnośd cieplną. Jest to niezrozumiałe z punktu widzenia klasycznej teorii metali. Otrzymane rozbieżności teorii z doświadczeniem można wyjaśnid tym, iż ruch elektronów w metalach podlega nie prawom mechaniki klasycznej, a prawom mechaniki kwantowej, a zatem zachowanie elektronów przewodzenia w metalu jest opisane nie przez statystykę Maxwella – Boltzmanna, a przez statystykę kwantową. Zgodnie z wnioskami wynikającymi z teorii kwantowej w przypadku idealnego kryształu, w którym wszystkie atomy znajdują się na swoich miejscach, elektrony nie powinny doznawad w ogóle zderzeo z jonami. Jednak w przypadku T > 0 atomy drgają wokół swoich położeo równowagi. Gdy temperatura wzrasta, Piotr Posmykiewicz – Wykład z fizyki 22 wzrasta amplituda drgao i zderzenia stają się częstsze i średnia droga swobodna maleje. W rezultacie opór wzrasta wraz z temperaturą.
