Algorytm RSA Klucz publiczny

INFORMATYKA
WYBRANE ALGORYTMY OPTYMALIZACYJNE
KRYPTOLOGIA
http://www.infoceram.agh.edu.pl
Klasy metod algorytmicznych
Metoda TOP-DOWN
(zstępująca, analityczna)
Metoda BOTTOM-UP
(wstępująca, syntetyczna)
• Problem jest dzielony na
• Wszystkie (elementarne)
podproblemy,
podproblemy, które mogą
• Podproblemy są
być potrzebne, są
rozwiązywane, a rezultaty
rozwiązywane najpierw,
zapamiętywane, jeżeli będą • Ich rezultaty są następnie
użyte później;
używane do rozwiązywania
• Używana jest rekurencja i
większych podproblemów.
zapamiętywanie.
Rekurencja
Rekurencja (rekursja) to odwoływanie się funkcji
(podprogramu, programu) do samej siebie
Efekt Droste
Efekt Droste to termin
określający specjalny
rodzaj rekurencyjnego
obrazu. Obraz ukazujący
efekt Droste zawiera
mniejszą wersję samego
siebie. Ta mniejsza
wersja zawiera jeszcze
mniejszą wersję w tym
samym miejscu i tak
dalej.
Silnia
Function silnia(x As Double) As Double
If x = 1 Then
silnia = 1
Else
silnia = x * silnia(x - 1)
End If
End Function
Podstawowe metody
rozwiązywania algorytmów
• Metoda „Dziel i zwyciężaj”
(divide and conquer)
• Metoda „zachłanna” (greedy method)
• Programowanie dynamiczne
Dziel i zwyciężaj – jedna z głównych metod projektowania
algorytmów w informatyce, prowadząca do bardzo
efektywnych rozwiązań. Nazwa pochodzi od łacińskiej
sentencji dziel i rządź (łac. divide et impera). W strategii tej
problem dzieli się rekurencyjnie na dwa lub więcej mniejszych
podproblemów tego samego (lub podobnego) typu tak długo,
aż fragmenty staną się wystarczająco proste do
bezpośredniego rozwiązania. Z kolei rozwiązania otrzymane
dla podproblemów scala się, uzyskując rozwiązanie całego
zadania.
Algorytm zachłanny – algorytm, który w celu wyznaczenia
rozwiązania w każdym kroku dokonuje zachłannego, tj.
najlepiej rokującego w danym momencie wyboru rozwiązania
częściowego. Innymi słowy algorytm zachłanny nie dokonuje
oceny czy w kolejnych krokach jest sens wykonywać dane
działanie, dokonuje decyzji lokalnie optymalnej, dokonuje on
wyboru wydającego się w danej chwili najlepszym,
kontynuując rozwiązanie podproblemu wynikającego z
podjętej decyzji
Programowanie dynamiczne – opiera się na podziale
rozwiązywanego problemu na podproblemy względem kilku
parametrów. W odróżnieniu od techniki dziel i zwyciężaj
podproblemy w programowaniu dynamicznym nie są
rozłączne.
Podstawowe metody
rozwiązywania algorytmów
Algorytmy optymalizacyjne
• Metoda „zachłanna” (greedy method)
• Programowanie dynamiczne
Algorytmy zachłanne
• Własność zachłannego wyboru
– Za pomocą lokalnie optymalnych
(zachłannych) wyborów można uzyskać
optymalne rozwiązanie całego zadania.
– Optymalny wybór nie zależy od wyborów
kolejnych
• Metoda zachłanna
– Dokonuje decyzji lokalnie optymalnej (w danej
chwili najlepszej)
Programowanie dynamiczne
• W każdym kroku rozważamy wszystkie
kombinacje powstałe z:
– Dokonania konkretnego wyboru (zazwyczaj
zachłannego)
– Znalezienia optymalnych rozwiązań dla pozostałych
wyborów
• Optymalny wybór dokonany przez metodę
programowania dynamicznego może zależeć od
poprzednich wyborów oraz od wyborów
kolejnych – wtedy rozwiązanie optymalne jest
modyfikowane.
Dyskretny problem plecakowy
Złodziej rabuje mieszkanie W. Skibińskiego.
Znalazł on N towarów; j-ty przedmiot jest
wart cj oraz waży wj. Złodziej dąży do
zabrania ze sobą jak najwartościowszego
łupu, przy czym nie może zabrać więcej niż B
kilogramów. Nie może też zabierać
ułamkowej części przedmiotów (byłoby to
możliwe w ciągłym problemie plecakowym).
Torba ma pojemność 15 kg
j
przedmiot
waga, wj
wartość, cj
1
gitara
16
500
2
PS3
7
800
3
PS Vita
2
200
4
telefon
1
500
5
laptop
8
900
6
parasol
2
100
7
trampki
4
100
8
wino
2
100
Rozwiązanie zachłanne
W wersji zachłannej algorytm
aproksymacyjny sortuje elementy w
kolejności malejącej porównując stosunek
wartości do wagi elementu
hj 
cj
wj
i następnie wstawia je kolejno.
Rozwiązanie zachłanne
j
przedmiot
waga, wj
wartość, cj
hj
1
telefon
1
500
500
2
PS3
7
800
114.3
3
laptop
8
900
112.5
4
PS Vita
2
200
100
5
wino
2
100
50
6
parasol
2
100
50
7
gitara
16
500
31,25
8
trampki
4
100
25
Rozwiązanie zachłanne
j
przedmiot
waga, wj
wartość, cj
hj
1
telefon
1
500
500
2
PS3
7
800
114.3
3
laptop
8
900
112.5
4
PS Vita
2
200
100
5
wino
2
100
50
6
parasol
2
100
50
7
gitara
16
500
31,25
8
trampki
4
100
25
Waga plecaka – 14 kg
Wartość – 1700 zł
Rozwiązanie dynamiczne
Polega na rozważeniu wszystkich możliwych
opcji i wybraniu najbardziej optymalnej
j
1
1i2
1i3
1i4
1i5
1i6
…
waga
1
8
9
3
3
3
…
wartość
500
1300
1400
700
600
600
…
Rozwiązanie optymalne
j
przedmiot
waga, wj
wartość, cj
hj
1
telefon
1
500
500
2
PS3
7
800
114.3
3
laptop
8
900
112.5
4
PS Vita
2
200
100
5
wino
2
100
50
6
parasol
2
100
50
7
gitara
16
500
31,25
8
trampki
4
100
25
Waga plecaka – 15 kg
Wartość – 1800 zł
Problem wydawania reszty
Problem polegający na wybraniu z danego
zbioru monet o określonych nominałach takiej
konfiguracji, by wydać żądaną kwotę przy
użyciu minimalnej liczby monet.
Przykładowe zadanie
• Dane są trzy nominały – 1 zł, 2 zł i 5 zł.
• Ile minimalnie monet potrzeba, żeby wydać
13 zł?
• zał. Posiadamy nieskończony zbiór monet
Algorytm zachłanny
k – żądana kwota = 13 zł
n – największy dostępny (mniejszy od żądanej
kwoty) nominał
x – liczba potrzebnych monet
k
13
8
3
1
n
5
5
2
1
x
1
2
3
4
Algorytm zachłanny – zbiór
nominałów 2 zł, 5 zł
k – żądana kwota = 6 zł
n – największy dostępny (mniejszy od żądanej
kwoty) nominał
x – liczba potrzebnych monet
k
6
1
n
5
?????
x
1
?????
BRAK ROZWIĄZANIA?
Programowanie dynamiczne
Dzięki wykorzystaniu programowania
dynamicznego jest możliwe znalezienie bezbłędnego
rozwiązania dla tego problemu przy dowolnym
zbiorze nominałów i dowolnej kwocie. Algorytm
polega na przetwarzaniu kolejnych nominałów i
obliczeniu minimalnej liczby potrzebnych monet dla
wydania kwot od 0 do k. Przy analizie kolejnego
nominału wykorzystywane są informacje pozyskane
w czasie wcześniejszych analiz.
Programowanie dynamiczne
k – żądana kwota = 13 zł
n – dostępne nominały
n
T
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
-
0
∞
∞
∞
∞
∞
∞
∞
∞
∞
∞
∞
∞
∞
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1, 2
0
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
6
7
1,2,5
0
1
1
2
2
1
2
2
3
3
2
3
3
4
Czy w takim razie algorytmy
zachłanne mają sens?
Metoda zachłanna daje optymalne
rozwiązanie w niektórych algorytmach:
• Algorytm Prima
• Algorytm Kruskala
• Ciągły problem plecakowy
Daje wynik w dużo krótszym czasie niż
programowanie dynamiczne.
Graf
Zbiór wierzchołków, które mogą być połączone
krawędziami, w taki sposób, że każda krawędź
kończy się i zaczyna w którymś z wierzchołków
Graf
Algorytm Prima
• Zbuduj drzewo zdegenerowane, składające
się z najtańszej krawędzi grafu;
• W każdym kolejnym kroku dodaj do już
istniejącego drzewa najtańszą krawędź z
krawędzi dotąd nie wziętych pod uwagę;
• Dodanie nowej krawędzi nie może
prowadzić do powstania cyklu, w takim
przypadku przejdź do nowej krawędzi w
porządku rosnących etykiet
Programowanie (planowanie) dynamiczne
Algorytm znajdowania najkrótszej ścieżki w grafie
Jeśli węzłami są C1, .., CN i ścieżka ma się
rozpocząć w C1 i skończyć w CN, to algorytm
wymaga obliczenia optymalnej ścieżki częściowej
L(CI), przedstawiającej najkrótszą ścieżkę z CI do CN, dla
każdego I=1..N:
L(CI) == min( odległość(CI,CK) + L(CK) )
przy czym CK to wszystkie węzły, do których prowadzą
bezpośrednio krawędzie z CI.
Z założenia graf jest acykliczny, możliwe jest więc
obliczenie wszystkich L(CI), posuwając się z B do tyłu:
1. Obliczamy L(F) = 7, L(E) = 5, L(G) = 6
2. Obliczamy L(C) = min(2 + L(F), 3 + L(E)) =
3 + L(E) = 8
3. Obliczamy L(D) = min(11 + L(C), 6 + L(G)) =
6 + L(G) = 12
4. Obliczamy L(A) = min(5 +L(C), 3 + L(D), 14 + L(G)) =
5 + L(C) = 13
Optymalna ścieżka z A do B to: A  C  E  B
2
C
3
5
A
11
F
E
3
7
5
D
14
B
7
6
6
G
KRYPTOLOGIA
Systemy kryptograficzne
Kryptologia (z gr. κρυπτός – kryptos – "ukryty" i λόγος –
logos – "słowo") – nauka o przekazywaniu informacji w
sposób zabezpieczony przed niepowołanym dostępem.
Najwcześniejsze formy utajniania pisemnych wiadomości – z
uwagi na fakt, że większość ludzi i tak nie umiała czytać –
wymagały niewiele więcej niż ówczesnego odpowiednika pióra
i papieru.
Systemy kryptograficzne
Zwiększenie się umiejętności czytania i pisania, szczególnie u
przeciwnika, przyczyniło się do powstania rzeczywistej
kryptografii.
Szyfry antyczne dzieli się na dwie główne grupy:
szyfry przestawieniowe, za pomocą których zmieniano
kolejność liter w wiadomości (przykład najprostszego
przestawienia – "pomóż mi" staje się "opómż im") oraz
szyfry podstawieniowe, które polegały na zastępowaniu
pojedynczych liter lub ich grup, odpowiednio: innymi literami lub
ich grupami (np. "natychmiastowy wylot" staje się
"obuzdinjvbtupxz xzmpu" w najprostszym podstawieniu za
daną literę – następnej litery alfabetu łacińskiego).
Systemy kryptograficzne
W prostych wersjach obydwa szyfry oferują niewielki stopień
utajnienia przed przeciwnikiem. Jednym z najwcześniejszych
szyfrów podstawieniowych był szyfr Cezara, w którym każda
litera tekstu jawnego zastępowana była literą oddaloną o
pewną ustaloną liczbę pozycji w alfabecie. Szyfr ten został
nazwany na cześć Juliusza Cezara, który używał go (z
przesunięciem o 3) do komunikacji ze swoimi generałami
podczas kampanii wojskowych.
Po odkryciu metod kryptoanalizy statystycznej przez
arabskiego uczonego Al-Kindiego w IX wieku n.e. stało się
możliwe, z mniejszymi lub większymi trudnościami, złamanie
prawie każdego z takich szyfrów
Systemy kryptograficzne
Sytuacja bezbronności szyfrów wobec kryptoanalizy panowała
do momentu opracowania szyfrów polialfabetycznych około
roku 1467. Pomysł polegał na użyciu różnych szyfrów (np.
szyfrów podstawieniowych) dla różnych części wiadomości –
często innego szyfru dla każdej z osobna litery tekstu jawnego.
Algorytm RSA
W roku 1977 trzej profesorowie z MIT w USA, Ronald L. Rivest,
Adi Shamir i Leonard Adleman, opublikowali nowy rodzaj
szyfrowania danych, który nazwano od pierwszych liter ich
nazwisk systemem RSA.
Jest to niesymetryczny algorytm szyfrujący, którego
zasadniczą cechą są dwa klucze: publiczny do kodowania
informacji oraz prywatny do jej odczytywania.
Szyfrowanie asymetryczne (ang. asymmetric encryption) —
sposób szyfrowania, w którym szyfrowanie przebiega za pomocą
jednego klucza, a odtworzenie wiadomości (deszyfrowanie) za
pomocą drugiego.
Algorytm RSA
Klucz publiczny (można go udostępniać wszystkim
zainteresowanym) umożliwia jedynie zaszyfrowanie danych i w
żaden sposób nie ułatwia ich odczytania, nie musi więc być
chroniony. Dzięki temu firmy dokonujące transakcji poprzez sieć
Internet mogą zapewnić swoim klientom poufność i
bezpieczeństwo.
Drugi klucz (prywatny, przechowywany pod nadzorem) służy
do odczytywania informacji zakodowanych przy pomocy
pierwszego klucza. Klucz ten nie jest udostępniany publicznie.
System RSA umożliwia bezpieczne przesyłanie danych w
środowisku, w którym może dochodzić do różnych nadużyć.
Bezpieczeństwo oparte jest na trudności rozkładu dużych liczb
na czynniki pierwsze.
RSA – przykład
Załóżmy, iż dysponujemy superszybkim komputerem, który jest w
stanie sprawdzić podzielność miliarda dużych liczb w ciągu
jednej sekundy.
Aby złamać szyfr RSA należy rozbić klucz publiczny na dwie
liczby pierwsze będące jego dzielnikami. Znajomość tych liczb
pozwala rozszyfrować każdą informację zakodowaną kluczem
prywatnym i publicznym.
Statystyczne do złamania klucza 128 bitowego potrzeba będzie
146 lat!!!
Fazy Algorytmu RSA
1. Generacja klucza publicznego i tajnego.
Klucz publiczny jest przekazywany wszystkim
zainteresowanym i umożliwia zaszyfrowanie danych.
Klucz tajny umożliwia rozszyfrowanie danych zakodowanych
kluczem publicznym. Jest trzymany w ścisłej tajemnicy.
Fazy Algorytmu RSA
2. Użytkownik po otrzymaniu klucza publicznego, np.
poprzez sieć Internet, koduje za jego pomocą swoje dane i
przesyła je w postaci szyfru RSA do adresata
dysponującego kluczem tajnym, np. do banku, firmy
komercyjnej, tajnych służb.
Klucz publiczny nie musi być chroniony, ponieważ
nie umożliwia on rozszyfrowania informacji - proces
szyfrowania nie jest odwracalny przy pomocy tego
klucza. Zatem nie ma potrzeby jego ochrony i może
on być powierzany wszystkim zainteresowanym
bez ryzyka złamania kodu.
3. Adresat po otrzymaniu zaszyfrowanej wiadomości
odczytuje ją za pomocą klucza tajnego
Tworzenie kluczy RSA
1. Znajdź dwie duże liczby pierwsze (mające np. po 1024 bity). Oznacz je
jako p i q. Istnieją specjalne algorytmy generujące duże liczby pierwsze.
2. Oblicz:
Ø = (p - 1) (q - 1)
oraz
n=pq
Wygenerowane liczby pierwsze usuń, aby nie wpadły w niepowołane ręce.
Ø to tzw. funkcja Eulera, n jest modułem.
3. Wykorzystując odpowiednio algorytm Euklidesa znajdź liczbę e, która
jest względnie pierwsza z wyliczoną wartością funkcji Eulera Ø (tzn.
NWD(e, Ø) = 1) Liczba ta powinna również spełniać nierówność 1 < e < n .
Nie musi ona być pierwsza lecz nieparzysta.
Tworzenie kluczy RSA
4. Oblicz liczbę odwrotną modulo Ø do liczby e, czyli
spełniającą równanie
(d e) mod Ø = 1.
5. Klucz publiczny jest parą liczb (e, n), gdzie e nazywa się
publicznym wykładnikiem. Możesz go przekazywać wszystkim
zainteresowanym.
6. Klucz tajny to (d, n), gdzie d nazywa się prywatnym
wykładnikiem. Klucz ten należy przechowywać pod ścisłym
nadzorem.
Tworzenie kluczy RSA - przykład
Szyfrowanie danych kluczem publicznym RSA
1. Otrzymujesz od adresata klucz publiczny w postaci pary
liczb (e, n).
2. Wiadomość do zaszyfrowania zamieniasz na liczby
naturalne t, które muszą spełniać nierówność
0<t<n
Można tutaj skorzystać np. z łączenia kodów znaków.
Oczywiście adresat musi znać użyty przez ciebie sposób
przekształcenia tekstu w liczbę, aby mógł on później odtworzyć
otrzymaną wiadomość. Zwykle nie ma z tym problemu,
ponieważ nadawca i odbiorca stosują wspólne
oprogramowanie, które troszczy się za ciebie o takie szczegóły
techniczne.
Szyfrowanie danych kluczem publicznym RSA
3. Na tak otrzymanych liczbach wykonujesz operację
szyfrowania i otrzymujesz liczby
c = te mod n.
4. Liczby c są zaszyfrowaną postacią liczb t i przekazuje się je
adresatowi wiadomości. Klucz (e, n) umożliwił ich
zaszyfrowanie, lecz nie pozwala ich rozszyfrować.
Szyfrowanie danych kluczem publicznym RSA przykład
Rozszyfrowywanie danych kluczem prywatnym
RSA
1. Jesteś adresatem zaszyfrowanych wiadomości. Wcześniej
wszystkim korespondentom przesłałeś wygenerowany klucz
publiczny (e,n), za pomocą którego mogą oni szyfrować i
przesyłać ci swoje dane. Otrzymujesz więc zaszyfrowaną
wiadomość w postaci liczb naturalnych c, które muszą spełniać
warunek:
0<c<n
2. Liczbę c przekształcasz na pierwotną wartość t stosując
wzór:
t = cd mod n
3. Z otrzymanej liczby t odtwarzasz według ustalonego
systemu znaki tekstu. Teraz możesz odczytać przesłaną
wiadomość.
Rozszyfrowywanie danych kluczem prywatnym
RSA - przykład