wojewódzki

Kod ucznia .............................................
MAŁOPOLSKI KONKURS MATEMATYCZNY
dla gimnazjalistów
Rok szkolny 2010 / 2011
ETAP WOJEWÓDZKI – 4 marca 2011 roku
1. Przed Tobą zestaw 15 zadań konkursowych. Za bezbłędne rozwiązanie wszystkich
zadań możesz uzyskać 36 punków.
2. Na ich rozwiązanie masz 120 minut. Piętnaście minut przed upływem tego czasu
zostaniesz o tym poinformowany przez członka Komisji Konkursowej.
3. W zadaniach 1. – 5. przedstaw pełne rozwiązania, każde na oddzielnej kartce,
pamiętając o wszystkich obliczeniach, potrzebnych uzasadnieniach i odpowiedziach
(w czystopisie).
Za poprawne rozwiązanie każdego z zadań od 6. do 10. otrzymasz 1 punkt. Za
poprawne rozwiązanie każdego z zadań od 11. do 15. otrzymasz 2 punkty. Spośród
5 proponowanych odpowiedzi tylko jedna jest poprawna.
4. Odpowiedzi do zadań 6. – 15. zaznacz symbolem X w tabeli odpowiedzi, która
znajduje się na końcu arkusza. Tylko odpowiedzi zaznaczone w tabeli będą
oceniane. Jeśli się pomylisz, błędne zaznaczenie otocz kółkiem i zaznacz symbolem
X inną odpowiedź. Brak wyboru odpowiedzi będzie traktowany jako błędna
odpowiedź.
5. Pisz długopisem lub piórem, nie używaj korektora. Jedną kartkę z tych, które
otrzymasz, możesz poświęcić na brudnopis. Brudnopis nie podlega ocenie.
6. Podczas pracy nie możesz korzystać z kalkulatora.
7. Wyłącz telefon komórkowy, jeśli go posiadasz.
8. Stwierdzenie niesamodzielności pracy lub przeszkadzanie innym, spowoduje
wykluczenie Ciebie z udziału w Konkursie.
Życzymy Ci powodzenia
Zadanie 1. / 3 pkt /
Wyznacz wszystkie trójki liczb pierwszych x, y, z dla których x2 = y2 + z.
Zadanie 2. / 3 pkt /
Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b, c spełniona jest nierówność
a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ac
Zadanie 3. / 4 pkt /
W trapezie ABCD o podstawach długości |AB| = 11 i |CD| = 3 oraz ramionach długości |AD| = 9
i |BC|= 7 poprowadzono wysokość DE . Oblicz długości wysokości i najdłuższej przekątnej
trapezu ABCD.
Zadanie 4. / 5 pkt /
Czworokąt ABCD jest prostokątem,
C
w którym |AB|= 60 cm i |BC|= 30 cm. Trójkąt ABM jest
równoboczny.
B
K
a) Uzasadnij, że trójkąt KLM jest równoboczny.
b) Oblicz pole trójkąta KLM.
M
L
D
A
Zadanie 5. / 6 pkt /
Rysunek przedstawia projekt szkolnego basenu pływackiego. Głębokość basenu w najpłytszym
miejscu ma wynosić 160 cm, a w najgłębszym 300 cm. Pozostałe wymiary pokazane na rysunku
wynoszą: m = 12 m ; n = 20 m ; b = 5 m.
n
m
b
a
Oblicz długość odcinka a i objętość V basenu.
a
Zadanie 6. / 1 pkt /
O ile jest mniejsza suma cyfr liczby 1010 +54 od sumy cyfr liczby 1010 – 54 ?
A. o 50
B. o 49
C. o 1250
D. o 63
E. o 64.
Zadanie 7. / 1 pkt /
Funkcja f określona jest wzorem
Funkcja g(x) = f(x) 1
A.
B.
C.
D.
E.
ma dokładnie jedno miejsce zerowe .
ma dokładnie dwa miejsca zerowe.
ma nieskończenie wiele miejsc zerowych.
nie ma miejsc zerowych.
jest stała.
Zadanie 8. / 1 pkt /
Dane są liczby:
A.
B.
C.
D.
(
)
-1
i b=
+
.Wskaż zdanie prawdziwe.
Liczby a i b są równe.
Liczba a jest o 1 większa od liczby b.
Liczba b jest o 1 większa od liczby a.
Liczba a jest o
większa od liczby b.
E. Liczba b jest o
większa od liczby a.
Zadanie 9. / 1 pkt /
Przekątne pięciokąta foremnego wychodzące z jednego wierzchołka tworzą kąt o mierze
A. 72o
B. 60o
C. 54o
D. 36o
E. 18o
Zadanie 10. / 1 pkt /
Która z wymienionych poniżej liczb jest średnią arytmetyczną dwóch kolejnych liczb
pierwszych?
A. 14
B. 20
C. 27
D. 34
E. 37
Zadanie 11. / 2 pkt /
Ile jest dwucyfrowych liczb naturalnych, które są równe sześcianowi sumy swoich cyfr?
A.
B.
C.
D.
E.
Jedna .
Dwie.
Trzy.
Cztery.
Nie ma takich liczb.
Zadanie 12. / 2 pkt /
Liczby m i n są całkowite. Jeśli m2 – n2 jest liczbą parzystą, to jest ona zawsze podzielna przez
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
E. 7
Zadanie 13. / 2 pkt /
Pole kwadratu P1 jest 9 razy większe od pola kwadratu P2. Jaka jest długość przekątnej
mniejszego kwadratu, jeśli suma długości obwodów obu kwadratów jest równa 160 cm?
A. 6
cm
B. 8
cm
C. 10
cm
D. 16
cm
E. 20
cm
Zadanie 14. / 2 pkt /
Od 1 stycznia cena pewnego towaru została podwyższona. Niestety, w wyniku tej podwyżki,
sprzedaż tego towaru bardzo spadła. Właściciel postanowił obniżyć jego cenę o 37,5% i
powrócił w ten sposób do początkowej ceny. O ile procent podwyższono, od 1 stycznia,
początkową cenę tego towaru?
A. o 62,5 %
B. o 60 %
C. o 52,5%
D. o 50 %
E. o 40 %
Zadanie 15. / 2 pkt /
Wykres funkcji f (x) = – x + 3 tworzy z osiami układu współrzędnych trójkąt. Wysokość tego
trójkąta opuszczona z wierzchołka (0,0) ma długość
A. 6
B.
C.
D.
E. 3
Tabela odpowiedzi
Zad.6 Zad.7 Zad.8 Zad.9 Zad.10 Zad.11 Zad.12 Zad.13 Zad.14 Zad.15
1 pkt 1 pkt 1 pkt 1 pkt 1 pkt
2 pkt
2 pkt
2 pkt
2 pkt
2 pkt
A.
A.
A.
A.
A.
A.
A.
A.
A.
A.
B.
B.
B.
B.
B.
B.
B.
B.
B.
B.
C.
C.
C.
C.
C.
C.
C.
C.
C.
C.
D.
D.
D.
D.
D.
D.
D.
D.
D.
D.
E.
E.
E.
E.
E.
E.
E.
E.
E.
E.