wyklad2

WIADOMOŚCI PODSTAWOWE
O POLU ELEKTROMAGNETYCZNYM
Pole
Obszar, w którym występuje zależna od miejsca i czasu określona wielkość
fizyczna, np.: siła, potencjał elektryczny, temperatura, prędkość.
Z uwagi na zależność od czasu:
- pola stacjonarne
- pola niestacjonarne
Z uwagi na cechy badanej wielkości fizycznej:
- pola skalarne (np. pole temperatur)
- pola wektorowe (pole sił, pole gęstości prądu)
RÓWNANIA PODSTAWOWE OPISUJĄCE POLE ELEKTROMAGNETYCZNE
Zjawiska elektromagnetyczne przebiegają w czasie i w przestrzeni i z tego powodu
wielkości opisujące te zjawiska są funkcjami współrzędnych u, v, w i czasu t.
Jednym z podstawowych przejawów istnienia pola elektromagnetycznego jest siła
Lorentza:

  
F  q( E  v  B)


z jaką pole elektryczne ( E ) i magnetyczne ( B ) działają na ładunek.
(1.1)
Właściwości przestrzeni, w której zachodzą zjawiska elektromagnetyczne są
opisywane następującymi wielkościami:
D/E
- przenikalnością elektryczną
- przenikalnością magnetyczną   B / H
J/E
- konduktywnością (przewodnością właściwą)
gdzie:

D - wektor indukcji pola elektrostatycznego określony równaniem Gaussa:
 
 D  dS  q
(1.2)
S

przy
 czym S - powierzchnia, przez którą przenika pole elektryczne,
H - wektor natężenia pola magnetycznego określony prawem przepływu (postać
całkowa pierwszego równania Maxwella):
 
 H  dl  I
(1.3)
l

J - wektor gęstości prądu określony zależnością:
 
 J  dS  I
S
(1.4)
Pole elektromagnetyczne w środowisku nieruchomym względem źródeł pola
elektrycznego i magnetycznego opisują następujące równania podstawowe:

  D
rotH  J 
t


B
rotE  
t

divB  0

divD  
(1.5)
(1.6)
(1.7)
(1.8)
gdzie:  - gęstość objętościowa ładunku.
Powyższe równania należy uzupełnić zasadą zachowania ładunku

J  0
t
(1.9)
Pierwsze dwa równania (1.5) i (1.6) wskazujące na fizyczną jedność zjawisk elektrycznych
i magnetycznych nazwano równaniami Maxwella. Niektórzy autorzy wszystkie cztery
równania nazywają równaniami Maxwella. Przed odkryciem dokonanym przez Maxwella
były znane tylko niektóre związki między zjawiskami elektrycznymi i magnetycznymi, np.
prawa Faradaya i Biota - Savarta. Maxwell poszedł jednak dalej, założył bowiem a priori,
że każda zmiana pola elektrycznego powoduje powstanie pola magnetycznego
niezależnie od środowiska, w którym to zjawisko zachodzi, oraz że zmiana pola
magnetycznego wywołuje pole elektryczne. Późniejsze doświadczenia potwierdziły
słuszność tej hipotezy. Doprowadziły one do powstania nowych dziedzin techniki, np.
radiotechniki.
Z równań Maxwella wynika, że zmienne pole magnetyczne nie zależy od wyboru
układu współrzędnych. Oznacza to, ze nie może istnieć taki układ współrzędnych, w
którym ono znika. Mogą jednak istnieć takie układy współrzędnych, w których znikają pola
elektryczne lub magnetyczne. Przykładem potwierdzającym powyższą hipotezę może być
wzór (1.1). Dla obserwatora poruszającego się razem z ładunkiem ze stałą prędkością
liniową wzór (1.1) przyjmuje postać


F  qE
Obserwator ten stwierdza istnienie tylko pola elektrycznego.
(1.10)
INTERPRETACJA RÓWNAŃ MAXWELLA

  D
Z równania: rotH  J 
wynika, że każdy prąd wywołuje pole magnetyczne.
t
Po obustronnym obliczeniu dywergencji:


 D
div rotH  div( J 
)
t
otrzymamy prawo ciągłości wektora gęstości prądu:

 D
div( J 
)0
t
(1.11)
ponieważ dywergencja rotacji każdego wektora jest równa zeru. Jest to pierwsze prawo
Kirchhoffa w postaci wektorowej.
Prąd może mieć różną naturę.
Gdy zjawisko przepływu prądu zachodzi w przewodniku, występuje prąd
przewodzenia:


(1.12)
J przew  E
Zależność ta jest wektorową postacią prawa Ohma.

v w polu o
W bardziej
 ogólnej postaci (w przypadku ciał poruszających się z prędkością
indukcji B ) równanie (1.12) można zapisać jako:
 

 
J przew   ( E  Eob  v  B)
(1.12a)
Występująca we wzorze składowa natężenia pola elektrycznego nazywana jest obcą lub
postronną. Spowodowana ona może być obcymi siłami elektromotorycznymi pochodzenia
nieelektrycznego, np. w skutek nierównomiernej koncentracji ładunków powodującej
powstanie prądów dyfuzji, sił termoelektrycznych, i tp. Np. przy różnicy koncentracji
ładunków  lub temperatury :

Eob  dgrad

Eob  bgrad
przy czym:
d - współczynnik dyfuzji,
b - współczynnik termoelektryczny.
Dielektryki można podzielić na polarne i niepolarne. W dielektrykach polarnych
pojedyncza cząstka ma łączny ładunek równy zeru, lecz ma moment dipolowy. Pojedyncze
cząstki dielektryka niepolarnego mają równy zeru nie tylko łączny ładunek, lecz także
moment dipolowy. Cząstki dielektryków niepolarnych są najpierw polaryzowane, a
następnie pod wpływem zmiennego pola elektrycznego przeorientowywane. Z tego
powodu przenikalność elektryczna  dielektryków polarnych jest większa od przenikalności
dielektryków niepolarnych (tablica z wykł. dla V r - stary).
W każdym dielektryku występuje prąd przesunięcia wywołany zmiennym polem
elektrycznym:





D 
E P
J przes 
 E   0

t t
t
t
w którym:

 
D  0E  P

gdzie: P - wektor polaryzacji cząstek dielektryka.
(1.13)
(1.14)
Prąd przesunięcia płynie tylko pod wpływem zmiennego w czasie pola elektrycznego.

P
Składnik
jest związany ze zmianą wektora indukcji pola elektrycznego w próżni, a

t

P
składnik
ze zmianą polaryzacji cząstek. Oznacza gęstość prądu uwarunkowanego
t
uporządkowanym ruchem ładunków elektrycznych w dielektryku (przesunięciem ładunków lub
obrót dipoli). Jest to prąd polaryzacji. W próżni

P
jest równe 0.
W celu wyjaśnienia sensu fizycznego prądu przesunięcia rozpatrzymy przepływ prądu zmiennego
w gałęzi zawierającej kondensator (patrz rys. 1).
W przewodach dołączonych do okładek kondensatora istnieje przepływ ładunków, wobec
czego płynie prąd przewodzenia określony jako pochodna czasowa ładunku
przepływającego przez dowolny przekrój przewodu, czyli: i 
dq
. Załóżmy, że między
dt
okładkami kondensatora znajduje się idealny dielektryk, w którym prąd przewodzenia
płynąć nie może. W przestrzeni miedzy okładkami kondensatora istnieje pole elektryczne.
Linie pola zaczynające się na jednej okładce a kończące się na drugiej, tworzą strumień
 
DdS
elektryczny 
przenikający powierzchnię S. Prąd przesunięcia istniejący między
okładkami wynosi:
i przes 
S
  
DdS
t S
Stanowi on zatem przedłużenie przepływu prądu w obszarze między okładkami
kondensatora, gdzie nie ma przepływu prądu przesunięcia. W ten sposób realizuje się
przepływ prądu wzdłuż drogi zamkniętej, bowiem w przewodach płynie prąd
przewodzenia, a w obszarze miedzy okładkami kondensatora istnieje prąd przesunięcia.
Prąd przesunięcia przybiera bardzo znaczne wartości przy bardzo szybkich zmianach
czasowych pola elektromagnetycznego, czyli przy bardzo dużych częstotliwościach. Przy
niezbyt dużych częstotliwościach prąd przesunięcia jest nieznaczny w porównaniu z
prądem przewodzenia i często może być pominięty.
Zgodnie z teorią Maxwella prąd przesunięcia stanowi analogicznie di prądów
przewodzenia źródło pola magnetycznego. Prąd przesunięcia nawet gdy nie istnieją inne
rodzaje prądów, wytwarza wokół siebie wirowe pole magnetyczne.
W przestrzeni zawierającej ładunki swobodne płynie prąd konwekcji:


J kon  v
przy czym  - gęstość objętościowa ładunku.
(1.15)

Pole elektryczne o natężeniu E działając na ładunki, powoduje ich ruch.
 Prędkość
poruszania się ładunków jest funkcją natężenia pola elektrycznego E , drogi swobodnego
przebiegu i masy ładunku. W poszczególnych przypadkach występowania prądu
konwekcyjnego, spotykanych w układach fizycznych i technicznych,
 są podawane wzory
określające jego gęstość w funkcji natężenia pola elektrycznego E lub (i) temperatury .
Przykładem może być wzór Richardsona:

J kon  a0 2 exp( b0 /  )
określający gestość prądu w lampie elektronowej.
Reasumując należy na podstawie I równania Maxwella stwierdzić, że prąd
elektryczny (niezależnie od środowiska i sposobu powstania) jest to takie zjawisko,
któremu towarzyszy pole magnetyczne.


B
Z równania rotE  
wynika, że zmiennemu polu magnetycznemu towarzyszy pole
t
elektryczne.
Znak minus wyraża znaną regułę bezwładności elektromagnetycznej Lenza:
W obwodach elektrycznych istnieje tendencja do zachowania w stanie niezmiennym
strumieni skojarzonych z tymi obwodami. Przy wszelkiej próbie zmiany strumienia
w obwodach powstają siły elektromotoryczne działajace w kierunku
przeciwstawienia się tym zmianom.
Dwa pierwsze równania świadczą o jedności zjawisk elektromagnetycznych, nie mogą
bowiem oddzielnie istnieć zmienne pole elektryczne i zmienne pole magnetyczne.

divB  0

B . Wynika z niego, że nie
Równanie
opisuje ciągłość wektora indukcji
istnieją oddzielne ładunki magnetyczne, a jedynie dipole. Oznacza to, że pole
magnetyczne jest polem bezźródłowym, a linie pola magnetycznego są liniami
zamkniętymi.
Jeżeli będziemy operować strumieniem magnetycznym zamkniętej powierzchni, to
otrzymamy równanie:   0 .

Z równania divD   wynika, że w obszarach
 zawierających ładunek, wektor
indukcji elektrycznej jest nieciągły. Linie wektora D zaczynają się na ładunkach
dodatnich (źródłach) i kończą się na ładunkach ujemnych (odbiornikach). Linie pola
elektrycznego nie są liniami zamkniętymi.
Używane oznaczenia operacji różniczkowych: rot (rotacja = wirowość), div
(diwergencja = rozbieżność, źródłowość) i grad (gradient = stromość, nachylenie)
sugerują równocześnie interpretację fizyczną powyższych związków.
Bardziej jednolity pod względem formalno - matematycznym jest zapis tych równań przy
użyciu pomocniczego wektora:
     
(1.16)
i
x
j
y
k
z
zwanego operatorem różniczkowym nabla (operator Hamiltona).
Możemy wtedy napisać:


rotH    H


divB    B
(1.17)
gradP  P
laplasjan ze skalara:
2
2
2

F

F

F
2
 F 2  2  2
x
y
z
(1.18)
laplasjan z wektora:
 2
  2
 2
 A  i  Ax  j  Ay  k  Az
(1.19)
2
•
Podstawowe związki
Pole
Funkcja
pola
Działanie na
funkcji pola
Skalarne
skalar 
gradient skalara
     
grad  i
j
k
x
y
z
wektor
wektorowe
wektor
dywergencja
wektora
 Ax Ay Az
divA 


x
y
z



i
j
k




rotA 
x y z
Ax Ay Az
skalar

A
rotacja wektora
Oznaczenie działania i
określenie
Wynik
działania
wektor
Równania Maxwella opisują w sposób ogólny zależności zachodzące pomiędzy polami
elektrycznym i magnetycznym.
Poruszać się będziemy w obszarze elektrodynamiki. Jest to nauka o ruchu materii
zachodzącym pod wpływem sił występujących w polu elektrycznym i magnetycznym.
W świetle tej definicji elektrostatyka i magnetostatyka mogą być rozpatrywane jako
szczególne i najprostsze przypadki elektrodynamiki.
Zjawiska elektrostatyczne i magnetostatyczne
podlegają tym samym prawom Maxwella,


B D

 0 ) poza obrębem źródeł i prądów (
które przy założeniu pól stałych (
t
t

J  0 ),
dla nieruchomych środowisk, przybierają postać:
dla elektrostatyki:

rotE  0;

divD   ;


D  E
(1.20)

divB  0;


B  H
(1.21)
dla magnetostatyki:

rotH  0;
Pola te jak widać mogą istnieć i być badane zupełnie niezależnie od siebie.


Równania rotE  0 i rotH  0 świadczą o tym, że pola te są bezwirowe. Pola takie są
polami potencjalnymi, tzn. dla ich opisania można wprowadzić funkcje skalarne miejsca
V ( x, y, z ) i Vm ( x, y, z) zwane potencjałami elektrycznym i magnetycznym, które spełniają
następujące związki:

E   gradV

H   gradVm
(1.22)
(1.23)
Następnym przypadkiem szczególnym elektrodynamiki jest pole elektroprzepływowe.
Jest to pole elektryczne prądów stałych.
Zakładając:


B D

 0 oraz
t
t

J 0
otrzymamy podstawowe równania pola
elektroprzepływowego (dla ciał nieruchomych, przewodzących)
 



rotH  J ; rotE = 0; divB  0; divD  0
ponadto:

 
J   ( E  Eob )

divJ  0
(prawo zachowania ładunku)