Algebra z Teoria Liczb

Algebra I
Notatki do wykładu w semestrze zimowym 2012/2013
Ewa Cygan
Wersja z 4 października 2012
Spis treści
Oznaczenia, konwencje i podstawowe twierdzenia . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 Podstawy teorii liczb
1.1 Podzielność w Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 NWD i NWW w Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Rozszerzenie algorytmu Euklidesa . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 O liczbach pierwszych i ich własnościach . . . . . . . . . . .
1.5 Kongruencje i ich własności, twierdzenie chińskie o resztach .
1.6 Funkcja Eulera, jej własności i zastosowania . . . . . . . . .
1.7 Małe twierdzenie Fermata i twierdzenie Eulera . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
i
1
1
2
5
6
9
12
14
2 Działania i ich własności
16
2.1 Podstawowe przykłady działań . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3 Elementy teorii grup
3.1 Podstawowe definicje i przykłady . .
3.2 Homomorfizmy grup . . . . . . . . .
3.3 Generatory grup . . . . . . . . . . .
3.4 Grupa ilorazowa . . . . . . . . . . . .
3.5 Twierdzenia o homomorfizmach grup
3.6 Grupy permutacji Sn . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
A Aneks - teoria liczb
A.1 Algorytm Euklidesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.2 O identyczności Bezouta słów kilka. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.3 O równania diofantycznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.4 O zasadniczym twierdzeniu arytmetyki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.5 O chińskim twierdzeniu o resztach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.6 Małe twierdzenie Fermata i Twierdzenie Eulera-Fermata, historia, dowody i
zastosowania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
22
28
31
39
45
46
51
51
53
54
54
55
55
B Przykłady zadań
59
B.1 Przykłady z rozwiązaniami do części I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
B.2 Przykładowy zestaw zadań na 1 sprawdzian . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
i
ii
Spis treści
Oznaczenia, konwencje i podstawowe twierdzenia
1. Moc zbioru X oznaczamy przez |X| lub #X.
2. Funkcja „signum” jest określona na R następująco


−1, gdy a < 0,
sgn(a) := 0,
a = 0,


1,
gdy a > 0.
Ponadto przyjmujemy oznaczenia:
P
N
N0
Z
Q
R
C
=
=
=
=
=
=
=
zbiór
zbiór
zbiór
zbiór
zbiór
zbiór
zbiór
liczb
liczb
liczb
liczb
liczb
liczb
liczb
pierwszych = {2, 3, 5, . . .},
naturalnych = {1, 2, . . .},
naturalnych z zerem = {0, 1, 2, . . .},
całkowitych,
Z? = Z \ {0}
wymiernych,
Q? = Q \ {0}
rzeczywistych, R? = R \ {0}
zespolonych,
C? = C \ {0}.
Wypowiemy teraz podstawowe 2 twierdzenia, których znajomość zakładamy dalej.
Twierdzenie 0.0.1 (zasada indukcji matematycznej). Jeśli dla pewnego k0 ∈ N0 zachodzi
własność W (k0 ) oraz dla każdego k > k0 : [jeśli zachodzi W (k) to zachodzi W (k + 1)] (czyli
z prawdziwości własności dla k wynika prawdziwość tej własności dla (k + 1)) to własność
W zachodzi dla dowolnej liczby naturalnej n > k0 .
Twierdzenie 0.0.2 (zasada minimum). Każdy niepusty podzbiór zbioru liczb naturalnych
posiada element najmniejszy, (tzn. mniejszy lub równy od każdej liczby z tego zbioru)
Rozdział 1
Podstawy teorii liczb
1.1
Podzielność w Z
Definicja 1.1.1 (podzielność w Z). Niech a, b ∈ Z. Mówimy, że b dzieli a (lub inaczej b
jest dzielnikiem a) gdy istnieje c ∈ Z : a = bc.
Oznaczenie: b|a.
Uwaga 1.1.2 (własności podzielności w Z). Niech a, b, c, m, n - liczby całkowite. Wtedy:
(a) 1|a, a|0,
(b) jeśli 0|a, to a = 0,
(c) relacja podzielności na Z? jest zwrotna i przechodnia,
(d) (b|a i a|b) wtedy i tylko wtedy, gdy |a| = |b|,
(e) jeśli c|a, c|b, to c|(am + nb),
(f) jeśli a|b i b 6= 0, to 1 6 |a| 6 |b|.
Twierdzenie 1.1.3 (algorytm dzielenia z resztą). Niech a, b - liczby całkowite, b 6= 0.
Wtedy istnieje para (q, r) ∈ Z × Z:
(1) a = bq + r,
(2) |r| < |b|.
Liczbę q nazywamy wynikiem dzielenia zaś r resztą z dzielenia.
Twierdzenie 1.1.4 (algorytm dzielenia z resztą - wersja B). Niech a, b - liczby całkowite,
b 6= 0. Wtedy:
(•) istnieje dokładnie jedna para (q, r) ∈ Z × Z taka, że:
(1) a = bq + r,
(2) 0 6 r < |b|.
(•) jeśli dodatkowo b - a, to istnieją dokładnie dwie pary (q, r) takie, że
(1) a = bq + r,
(2) |r| < |b|.
Dowód. Udowodnimy pierwszą część twierdzenia 1.1.4 (wynika z niej natychmiast tw. 1.1.3).
Istnienie reszty
Niech S := {a − kb, k ∈ Z, a − kb > 0} - jest to niepusty podzbiór N0 , wobec tego
ma on element najmniejszy,(0.0.2) który oznaczymy jako r. Element ten jest więc postaci
1
2
Podstawy teorii liczb
r = a − qb dla pewnego q całkowitego i automatycznie spełnia nierówność: 0 6 r oraz
a = qb + r.
Pozostaje jedynie pytanie, czy r < |b|. Udowodnimy tę część niewprost. Gdyby r > |b|,
to r − |b| > 0 oraz r − |b| = a − qb − |b| = a − (q + sgn(b))b, więc r − |b| ∈ S oraz r − |b| < r,
(skoro b 6= 0 to |b| to co najmniej 1), sprzeczność z wyborem r.
Jednoznaczność reszty nieujemnej
Przypuśćmy, (dla dowodu niewprost) że a = bq1 +r1 = bq2 +r2 , 0 6 r1 < |b|, 0 6 r2 < |b|
i niech np. r1 < r2 , czyli q1 − q2 6= 0. Wtedy b(q1 − q2 ) = r2 − r1 i mamy: |b| 6 |b||q1 − q2 | =
|r2 − r1 | = (r2 − r1 ) < |b| sprzeczność.
Zachęcam do udowodnienia we własnym zakresie drugiej części twierdzenia 1.1.4.
1.2
NWD i NWW w Z
W szkole średniej spotkaliśmy się z pewnością z pojęciem największego wspólnego dzielnika i najmniejszej wspólnej wielokrotności. Przypomnimy tu więc znaną definicję w wersji
teorioliczbowej. Trzeba jednak pamiętać, że odpowiednie pojęcia w wersji algebraicznej definiowane będą nieco inaczej ze względu na podstawowy problem: rozważając struktury
algebraiczne nie możemy na ogół mówić pojęciu ”najmniejszy”, czy ”największy”, musimy
przy definicjach uciekać się do innych własności.
Definicja 1.2.1 (NWD, NWW, względna pierwszość). (•) Największym wspólnym dzielnikiem liczb a1 , . . . , ar ∈ Z, (zakładamy, że przynajmniej jedna z liczb jest niezerowa)
nazywamy największą liczbę całkowitą, która dzieli wszystkie a1 , . . . , ar . 1
Oznaczenie : NWD(a1 , . . . , ar ) (w literaturze również: (a1 , . . . , ar ))
(•) Najmniejszą wspólną wielokrotnością niezerowych liczb całkowitych a1 , . . . , ar nazywamy najmniejszą liczbę całkowitą dodatnią, która jest podzielna przez każdą z liczb
a1 , . . . , a r .
Oznaczenie : NWW(a1 , . . . , ar ) (w literaturze również: [a1 , . . . , ar ])
(•) (liczby względnie pierwsze) Liczby a1 , . . . , ar ∈ Z, a1 6= 0 nazywamy względnie
pierwszymi, gdy NWD(a1 , . . . , ar ) = 1.
Przypomnimy teraz jak można obliczać największy wspólny dzielnik. Rozważmy przypadek dwóch liczb: a, b ∈ Z. Oczywiście, jeśli a ∈ Z? , b = 0, to NWD(a, b) = |a|. Załóżmy
więc, że obie liczby są niezerowe i przypomnijmy algorytm służący do wyliczania wówczas
NWD. Choć omawiany niżej algorytm nie jest algorytmem we współczesnym sensie tego
słowa, to jednak zgodnie z tradycją zachował swą nazwę: algorytm Euklidesa. Więcej o
algorytmie poczytać można w aneksie A.1
(1 )Zauważmy, że stwierdzenie ’największa’ ma tutaj sens: rozważamy naturalny porządek w zbiorze liczb
całkowitych, zaś potencjalne dzielniki są ograniczone z góry przez |ai |
1.2. NWD i NWW w Z
Uwaga 1.2.2 (Algorytm).
3
2
Euklidesa3 dla liczb całkowitych.
Ustalmy dwie liczby całkowite a, b ∈ Z? . Przyjmijmy: r−1 := a, r0 := |b|.
Krok 1: Zgodnie z algorytmem dzielenia z resztą (1.3.(B) (•)) istnieją liczby całkowite
q1 , r1 ∈ Z takie, że:
(1) a = r−1 = q1 |b| + r1 ,
(2) 0 6 r1 < |r0 | = |b|.
Jeśli r1 = 0, kończymy algorytm. Jeśli r1 6= 0, to wykonujemy Krok 2.
Krok 2: Istnieją liczby całkowite q2 , r2 ∈ Z :
(1) r0 = q2 r1 + r2 ,
(2) 0 6 r2 < r1 < |r0 | = |b|.
Jeśli r2 = 0, to kończymy algorytm. Jeśli r2 6= 0, to kontynuujemy analogicznie.
Ogólnie, mając ri−2 , ri−1 takie, że ri−1 6= 0, wykonujemy kolejny krok:
Krok (i>1): Istnieją liczby całkowite qi , ri ∈ Z:
(1) ri−2 = qi ri−1 + ri ,
(2) 0 6 ri < ri−1 .
Ze względu na nierówności: 0 6 ri < ri−1 istnieje N (a, b) ∈ N takie, że rN (a,b)+1 = 0 ale
rN (a,b) 6= 0.
Liczbę N (a, b) ∈ N będziemy nazywać dalej długością algorytmu dla liczb a i b,
(długość może być równa zero, gdy b|a), zaś r(a, b) := rN (a,b) wynikiem tego algorytmu.
W tak opisanym algorytmie r(a, b) jest największym wspólnym dzielnikiem liczb a, b. Z
dowodem tego faktu zapoznać się można np. w A.1. Jest to jednak dla nas krok pomocniczy,
celem jest udowodnienie tożsamości Bacheta-Bezouta. 1.2.4
Warto w tym momencie zwrócić uwagę na jeden fakt, który znajdzie swoje uogólnienie w
teorii pierścieni. Nie bez przyczyny przypominamy znany algorytm Euklidesa tak dokładnie.
Przyglądając się bowiem uważnie przebiegowi algorytmu zauważymy, że reszty pojawiające
się w każdym kroku spełniają zależność: |ri+1 | < |ri |, słowem za każdym razem obniżana jest
wartość funkcji | · | dla reszty. W przyszłości będziemy chcieli prześledzić taki sam algorytm
w pierścieniach (gdzie w analogii do dodawania i mnożenia liczb będziemy mieć zadane w
pewien sposób ’dodawanie’ i ’mnożenie’ elementów) tzw. euklidesowych, zastępując moduł
wartością pojawiającej się tam funkcji ϕ. Zauważymy wówczas, że w taki sam jak wyżej sposób będziemy mogli znaleźć NWD elementów pierścienia euklidesowego, (choć należy zwrócić
uwagę na różnicę w definicji tych pojęć w sensie algebraicznym i w sensie teorioliczbowym).
Studiując teorię pierścieni euklidesowych warto wrócić do dowodów przedstawianych poniżej
i zauważyć, iż możemy je przeprowadzić w analogiczny sposób w sytuacji algebraicznej.
(2 )Nazwa algorytm pochodzi od brzmienia fragmentu nazwiska arabskiego matematyka Muhammada
ibn Musa al.-Chorezmiego, którego uznaje się za prekursora metod obliczeniowych w matematyce. Żył on
na przełomie VIII i IX wieku, przyczynił się do upowszechnienia systemu dziesiętnego oraz wprowadził
stosowanie zera jako symbolu oznaczającego ”nic”
(3 )Euklides: matematyk grecki, głównie działający w Aleksandrii, (ok.364-300 p.n.e. dokładne daty nie
są znane), autor jednego z najbardziej znanych dzieł matematycznych: Elementy
4
Podstawy teorii liczb
Twierdzenie 1.2.3. Z: a, b ∈ Z?
T: (1) r(a, b) = NWD(a, b),
(2) Istnieją liczby k, l ∈ Z takie, że r(a, b) = ka + lb, (szczególny przypadek identyczności Bacheta-Bezouta 1.2.4.
Dowód. A.1
Przejdziemy teraz do wspomnianej identyczności Bezouta, (zob. A.2)
Twierdzenie 1.2.4 (identyczność Bacheta-Bezouta). Z: a1 , . . . , an ∈ Z, (co najmniej jedna
z nich jest niezerowa)
T: Istnieją liczby k1 , . . . , kn ∈ Z:
NWD(a1 , . . . , an ) = k1 a1 + . . . + kn an .
Dowód. Najpierw udowodnimy naszą własność dla dwóch liczb a, b z których co najmniej
jedna jest niezerowa. Rozważmy zbiór T = {ax + by : ax + by > 0, x, y ∈ Z}. Oczywiście,
jedna z liczb ±a, ±b należy do naszego zbioru bo któraś z liczb a, b jest niezerowa. Wobec
tego zbiór ten jest niepusty, zawiera wyłącznie liczby naturalne, posiada w takim razie
element najmniejszy, 0.0.1 powiedzmy d. Istnieją więc liczby x0 , y0 ∈ Z takie, że d =
ax0 + by0 . Udowodnimy, że d jest poszukiwanym największym wspólnym dzielnikiem a i b.
Udowodnimy najpierw, że d|a. Z algorytmu dzielenia z resztą wiemy, że istnieją q, r
takie, że 0 6 r < d, że a = dq + r. Wobec tego
r = a − dq = a(1 − qx0 ) − bqy0 .
Jeśli r > 0, to r ∈ T i jest to element mniejszy od d, sprzeczność. W takim razie r = 0 i
oznacza to, że d|a. Analogicznie dowodzimy, że d|b.
Załóżmy teraz, że 0 < t jest taką liczbą całkowitą, która dzieli i a i b. To oznacza, że
a = tm, b = tn, skąd d = ax0 + by0 = t(mx0 + ny0 ) czyli t|d, wobec czego t 6 d.
Przypuśćmy teraz, że n > 2 i twierdzenie mamy udowodnione dla mniej niż n liczb.
Wprowadźmy następujące oznaczenia:
d0 := NW D(a1 , . . . , an−1 ) > 0,
d := NW D(NW D(a1 , . . . , an−1 ), an ) > 0.
Zgodnie z założeniem indukcyjnym wiemy, że istnieją l1 , . . . , ln−1 , k, l ∈ Z takie, że
(?) d0 = l1 a1 + . . . + ln−1 an−1 ,
d = kd0 + lan .
Udowodnimy, że d jest największym wspólnym dzielnikiem liczb a1 , . . . , an , (przy okazji
udowodnimy własność rekurencyjnego obliczania NWD).
Z definicji wynika, że d dzieli d0 oraz an . Ponieważ d0 dzieli każde ai dla i = 1, . . . , n−1, z
przechodniości relacji podzielności d jest wspólnym dzielnikiem wszystkich liczb a1 , . . . , an .
Z drugiej strony jeśli d˜ ∈ N? jest wspólnym dzielnikiem a1 , . . . , an , to z (?) mamy, że
˜ 0 a tym samym dzieli d. Oznacza to, że d˜ 6 d i wobec tego d =NWD(a1 , . . . , an ).
d|d
1.2. NWD i NWW w Z
5
Jednocześnie ponownie dzięki (?) wiemy, że d = kd0 + lan = k(l1 a1 + . . . + ln−1 an−1 ) + lan
i przyjmując ki := kli dla i = 1, . . . , n − 1 i kn := l mamy tezę.
Bezpośrednio, z dowodu i twierdzenia otrzymujemy kolejne wnioski.
Wniosek 1.2.5. Z: a1 , . . . , ar ∈ Z, a1 6= 0.
T: (1) Liczby a1 , . . . , ar są względnie pierwsze wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją liczby
całkowite k1 , . . . , kr takie, że:
(?)
1 = k1 a1 + . . . + kr ar .
(2) Jeśli r > 2, to NWD(NWD(a1 , . . . , ar−1 ), ar )=NWD(a1 , . . . , ar ),
(3) Jeśli (a, b) = 1 i a|bc, to a|c.
Odnotujmy jeszcze w tym miejscu, że wyznaczanie NWD liczb całkowitych można też
przeprowadzić za pomocą ich rozkładu na liczby pierwsze, jeśli a = sgn(a)pk11 · . . . · pks s zaś
b = sgn(b)pl11 · . . . · plss , (zakładamy, że pi 6= pj dla i 6= j, ki > 0 oraz ti =max(ki , li ) > 0 dla
każdego i) to NWD(a, b) = pt11 · . . . · ptss . Nie wspominamy dokładniej o tej metodzie, gdyż
odwołuje się ona do zasadniczego twierdzenia arytmetyki, o którym opowiemy za chwilę.
Z podstawowych informacji odnotujmy na zakończenie wniosek o zależności NWD(a, b) i
NWW(a, b).
Wniosek 1.2.6. Dla liczb a, b ∈ N? zachodzi równość: NWD(a, b)·NWW(a, b) = ab.
Dowód. A.2
Zastosowania tożsamości Bezouta: liniowe równania diofantyczne.
Nazwą liniowe równanie diofantyczne określamy równanie postaci:
ax + by = c
gdzie a, b, c są liczbami całkowitymi, zaś poszukiwane rozwiązania też należą do Z.
Bezpośrednio z identyczności Bezouta łatwo wynika wniosek dotyczący istnienia rozwiązań liniowych równań diofantycznych, (zob. A.3).
Wniosek 1.2.7. Liniowe równanie diofantyczne ax + by = c posiada rozwiązanie wtedy i
tylko wtedy, gdy d =NWD(a, b)|c.
Oczywiście równanie takie, jeśli posiada rozwiązanie, to ma ich nieskończenie wiele znając jedno szczególne (x0 , y0 ) otrzymujemy postać ogólną: (x0 + kb
, y0 + ka
), k ∈ Z.
d
d
6
Podstawy teorii liczb
1.3
Rozszerzenie algorytmu Euklidesa
Pod pojęciem rozszerzenia algorytmu Euklidesa kryje się bądź to wzbogacanie algorytmu o
dodatkowe informacje jakie przy jego wykonywaniu otrzymamy, bądź też jego modyfikacje
prowadzące do wniosków algebraicznych w szerszych strukturach.
W tej wstępnej części omówimy najprostsze rozszerzenie: pozwalające wyliczać jednocześnie przedstawienie Bezouta liczb a i b i tym samym też często wykorzystywaną, zwłaszcza
w kryptografii odwrotność modulo zadanej liczby, (o ile oczywiście taka istnieje).
Przedstawienie NWD dwóch liczb za pomocą kombinacji liczb wyjściowych można oczywiście uzyskać ”wracając” krok po kroku drogą wykonywanego algorytmu, ale jest to jednak
dość żmudna operacja. Możemy uprościć sobie nieco tę procedurę wyrażając w każdym kroku powstałą resztę jako kombinację liczb a i b. Procedurę tę opiszemy na przykładzie:
Przykład 1.3.1. Chcemy wyliczyć NWD(720, 546) oraz przedstawić je w postaci Bezouta,
(tak nazywać będziemy poszukiwaną kombinację).
Wypiszmy, dla przejrzystości kolejne kroki w tabeli:
720
546
720
1
0
546
0
1
Wiemy teraz, że 720 = 1 · 546 + 174, mnożymy więc drugi wiersz przez 1 i odejmujemy
od pierwszego dostając:
546
174
720
0
1
546
1
−1
Jak widać dostajemy przedstawienie reszty: 174 = 1·720+(−1)·546 w postaci kombinacji
wyjściowych liczb. Dalej powtarzamy procedurę zgodnie z algorytmem Euklidesa i wiemy,
że 546 = 3 · 174 + 24. Ponownie więc mnożymy drugi wiersz ostatniej tabeli przez 3 i
odejmujemy od pierwszego.
174
24
720
1
−3
546
−1
4
skąd 24 = (−13) · 720 + 4 · 546. Kontynuujemy biorąc pod uwagę, że 174 = 7 · 24 + 6 i
otrzymamy:
24
6
720
−3
22
546
4
−29
Jak widać teraz już po wydzieleniu 24 przez 6 jako resztę otrzymamy zero, wobec tego
NWD(720, 546) = 6 i otrzymaliśmy też: 6 = 22 · 720 + (−29) · 546.
1.4. O liczbach pierwszych i ich własnościach
1.4
7
O liczbach pierwszych i ich własnościach
Zacznijmy od przypomnienia definicji liczby pierwszej - podstawowej ”cegiełki” budującej
liczbę całkowitą.
Definicja 1.4.1 (liczba pierwsza). Liczbę całkowitą p ∈ Z nazywamy liczbą pierwszą, jeśli
(1) p > 1 oraz (2) d|p, d > 0 =⇒ d = 1 lub d = p.
Zbiór wszystkich liczb pierwszych oznaczamy dalej przez P.
Każdą liczbę naturalną większą od jedynki, nie będącą liczbą pierwszą nazywamy liczbą
złożoną.
Pamiętajmy dalej o umowie, iż liczba jeden nie jest ani liczbą pierwszą ani też liczbą
złożoną.
Definicja liczby pierwszej i proste zastosowanie identyczności Bezouta prowadzi nas do
następującego wniosku.
Własność 1.4.2. (1) Jeśli p ∈ P, k ∈ Z, to NWD(p, k) = 1 lub NWD(p, k) = p.
(2) Jeśli p ∈ P, k1 , . . . , kn ∈ Z, p|k1 · . . . · kn , to p|ki dla pewnego i = 1, . . . , n.
Warto zaznaczyć, że 1.4.2(2) jest własnością charakteryzującą liczby pierwsze - moglibyśmy stosując tę własność wprowadzić definicję liczby pierwszej. Jest to o tyle ciekawe z
naszego punktu widzenia, że w przyszłości własność ”braku istotnego rozkładu” elementu
(jak to jest w przypadku liczby pierwszej, gdzie rozkłada się ona wyłącznie na iloczyn p · 1,
względnie (−p) · (−1)) oraz 1.4.2(2) okażą się być niestety nierównoważne w ogólniejszych
strukturach. Doprowadzą nas one do definicji odpowiednio elementów nierozkładalnych i
elementów pierwszych, (por. III).
Własność 1.4.2(2) w wersji dla n = 2 to nic innego jak wspomniany wcześniej Lemat Euklidesa, który pojawia się w VII Księdze Elementów, sformułowany dla przypadku
dwóch liczb. Gauss 4 w swoim dziele Disquisitiones arithmeticae wypowiada lemat Euklidesa
i dowodzi przy jego pomocy twierdzenie o rozkładzie liczb całkowitych na liczby pierwsze,
z którego to twierdzenia bezpośrednio wynika też gaussowskie uogólnienie lematu Euklidesa.
Jak się często podkreśla ”lemat Gaussa” pojawia się już jednak wcześniej w pracy ”Nouveaux
éléments de mathématiques” Jeana Presteta 5 z XVII wieku.
Definicja, którą wprowadzimy teraz zapewne będzie lekko razić przerostem formy nad
treścią. Znów wytłumaczeniem niech będą nasze przyszłe zamierzenia, gdzie słowo ”jedność”
oznaczać będzie znacznie szerszą klasę elementów niż jest to w przypadku zbioru Z.
Definicja 1.4.3 (jedność w Z). Jednościami w Z nazywamy liczby −1 i 1. Zbiór jedności
w Z będziemy oznaczać przez U (Z) := {−1, 1}.
(4 )Carl Friedrich Gauss: matematyk, fizyk i astronom niemiecki, (1777-1855), ”książę matematyków”
(5 )Jean Prestet: matematyk francuski, (1648-1690)
8
Podstawy teorii liczb
Definicja 1.4.4 (rozkład jednoznaczny). Niech k ∈ Z? . Mówimy, że k posiada jednoznaczny
rozkład na iloczyn liczb pierwszych, jeśli
(1) istnieją p1 , . . . , pr ∈ P, u ∈ U (Z) takie, że k = u · p1 · . . . · pr ,
(2) dla dowolnych dwóch układów p1 , . . . , pr ∈ P, q1 , . . . , qs ∈ P, u, v ∈ U (Z) takich, że
k = u · p1 · . . . · pr = v · q1 · . . . · q s
mamy r = s oraz istnieje σ - bijekcja zbioru {1, . . . , r} na siebie taka, że: ∀ i ∈ {1, . . . , r} :
pi = qσ(i) .
Twierdzenie 1.4.5 (Zasadnicze twierdzenie arytmetyki). A.4 Każda niezerowa liczba całkowita, nie będąca jednością w Z posiada jednoznaczny rozkład na iloczyn liczb pierwszych.
Dowód. Wystarczy oczywiście wykazać twierdzenie dla liczb naturalnych większych od jedynki. W naturalny sposób dowód rozbija się na dwie części: wykazanie istnienia rozkładu
i wykazanie jego jednoznaczności.
Istnienie. Indukcja względem n: dla n = 2 teza jest spełniona.
Załóżmy tezę dla liczb naturalnych m takich, że 1 < m < n.
Jeśli n jest liczbą pierwszą, to dowód zakończony.
Jeśli n nie jest liczbą pierwszą, to n = ab, gdzie 1 < a < n i 1 < b < n wobec tego z
założenia indukcyjnego a i b są liczbami pierwszymi bądź iloczynami takich. Stąd również
n jest iloczynem liczb pierwszych.
Jednoznaczność Ponownie indukcja względem n.
Dla n = 2 jednoznaczność rozkładu jest oczywista ze względu na pierwszość tej liczby.
Zakładając tezę dla liczb mniejszych lub równych (n − 1) gdzie n > 2 przypuśćmy, że
dla n, mamy dwa rozkłady:
n = p1 · . . . · pr = q1 · . . . · qs
gdzie pi , qj ∈ P oraz p1 6 . . . 6 pr , q1 6 . . . 6 qs . Oczywiście możemy przyjąć, że r > 1 w
przeciwnym razie mamy do czynienia z liczbą pierwszą.
Niech p będzie najmniejszą liczbą pierwszą dzielącą n, skąd p dzieli pi dla pewnego i,
(1.4.2(2)) skąd p = pi czyli z minimalności p mamy p = p1 , analogicznie p = q1 .
Niech teraz m :=
n
p
< n. Wobec tego mamy rozkład:
m = p2 · . . . · pr = q2 · . . . · qs .
Z założenia indukcyjnego otrzymujemy r = s i istnieje bijekcja σ
e zbioru {2, . . . , n} na
siebie, (permutacja tego zbioru) taka, że ∀ i ∈ {2, . . . , r} pi = qσe(i) . Przyjmując σ(1) = 1,
σ(i) = σ
e(i), dla i > 1 otrzymujemy poszukiwaną permutację zbioru {1, . . . , n}.
Twierdzenie 1.4.6 (Euklides). Istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych.
1.4. O liczbach pierwszych i ich własnościach
9
Dowód. Przypuśćmy dla dowodu niewprost, że P = {p1 , . . . , pr }.
Przyjmijmy m := p1 · . . . · pr + 1. Żadne pi nie dzieli liczby m, (w przeciwnym razie
dzieliłoby jedynkę). Niech p będzie liczbą pierwszą dzielącą m, (taka istnieje na mocy 1.4.5).
Wobec tego p ∈
/ P i p jest liczbą pierwszą, co prowadzi do sprzeczności.
W tej chwili istnieje całe multum dowodów nieskończoności zbioru wszystkich liczb
pierwszych. Zaprezentowany powyżej dowód, w dość podobnej wersji jak w Elementach jest
uznawany za pierwszy zapisany dowód przeprowadzony metodą niewprost i choćby z tego
powodu jest tym dowodem, z którym warto się zapoznać.
Liczby pierwsze obecnie to punkt wyjścia do analizy całego bogactwa problemów nie tylko
stricte teorioliczbowych, o których nie sposób opowiedzieć w kilku słowach. Wspomnieć jednak wypada o wciąż udoskonalanych testach pierwszości, których celem jest zbadanie pierwszości zadanej liczby, (nie zaś jej rozkład na liczby pierwsze co jest zagadnieniem znacznie
trudniejszym). Już w okolicach 200 p.n.e. grecki matematyk Eratosthenes 6 wprowadził metodę wyznaczania liczb pierwszych nie większych od ustalonej liczby n zwaną odtąd ”sitem
Eratosthenesa”. Jej działanie jest niezwykle proste - wypisujemy wszystkie liczby od 2 do
n następnie zakreślamy 2 jako liczbę pierwszą i wykreślamy jej wszystkie wielokrotności.
Potem zakreślamy pierwszą pozostałą liczbę i wykreślamy wszystkie jej wielokrotności
i tak
√
kontynuujemy aż nie ma ”nietkniętych” liczb mniejszych lub równych od n. W ten sposób
otrzymamy tablicę liczb pierwszych nie większych od liczby wyjściowej.
Obecne, o wiele bardziej zaawansowane metody testowania pierwszości dzielą się na dwa
rodzaje: testy deterministyczne i probablistyczne. Do tych pierwszych zaliczyć można m.in.
test Lucasa-Lehmera, 7 (przy użyciu tego testu znaleziono największe liczby pierwsze, test
dotyczy badania pierwszości tzw. liczb Mersenne’a) 8 , czy niektóre testy oparte na krzywych
eliptycznych. Testy probablistyczne, choć nie pozwalają na zdecydowanie z pewnością, czy
dana liczba jest pierwsza mają tę przewagę, że zwykle są dużo szybsze od testów deterministycznych. Liczby, którym udaje się przejść pozytywnie test probablistyczny, ale mimo to
okazują się być jednak liczbami złożonymi znane są w kontekście liczb ”pseudopierwszych”.
Istnieje wiele różnych rodzajów takich liczb, z których bodaj najbardziej znane to liczby pseudopierwsze Fermata, które mimo iż pozostają liczbami złożonymi to spełniają założenia Małego Twierdzenia Fermata, o którym opowiemy dalej. Przy okazji testów probablistycznych
wypada wspomnieć o dwóch testach: teście Rabina-Millera, który jest wyjątkowo efektywnym
testem probablistycznym oraz o tzw. teście AKS (od nazwisk twórców: Manindra Agrawala,
Neeraja Kayala i Nitina Saxena, 2002), który to test deterministyczny sprawdza pierwszość
zadanej liczby w czasie wielomianowym, słowem jego czas działania jest ograniczony za pomocą zależności wielomianowej od rozmiaru danych wejściowych. Do czasu pojawienia się
tego testu zasadniczo nie było dowodu na to, iż test pierwszości zadanej liczby jest problemem
rozwiązywalnym w czasie wielomianowym mimo, iż uważano że taka możliwość istnieje.
(6 )Eratosthenes: grecki matematyk, poeta, geograf, astronom i filozof (276-194 p.n.e.)
(7 )Edouard Lucas, matematyk francuski 1842-1891, Derrick Henry Lehmer, matematyk amerykański,
1905-1991
(8 )Liczby Mersenne’a: liczby postaci 2p −1, gdzie p jest liczbą pierwszą, nazwane tak na cześć matematyka
francuskiego Marina Mersenne’a, autora pierwszej tablicy liczb pierwszych tego typu, (niestety zawierającą
błędy) - Marin Mersenne: matematyk, filozof i teolog francuski, (1588-1648)
10
Podstawy teorii liczb
1.5
Kongruencje i ich własności, twierdzenie chińskie
o resztach
Na pierwszej stronie swego dzieła ”Disquisitiones Arithmeticae” Gauss wprowadza pojęcie
”kongruencji”, czyli jak to określać będziemy dalej ”przystawania”. Dzięki zastosowaniu tej
notacji wiele własności i twierdzeń otrzymało prostszą postać, ale też znacznie ułatwiło to
przeprowadzanie wielu operacji matematycznych.
Definicja 1.5.1 (relacja przystawania modulo). Niech m ∈ N? . Mówimy, że liczby całkowite
k, l przystają modulo m, gdy m|(k − l).
Oznaczenie: k ≡ l(mod m).
Liczbę m nazywa się modułem kongruencji.
Uwaga 1.5.2. Relacja przystawania modulo m jest relacją równoważności w zbiorze liczb
całkowitych.
Klasę równoważności liczby k ∈ Z w relacji modulo m oznaczamy [k]m zaś zbiór wszystkich klas równoważności w relacji modulo m oznaczamy Zm .
Często zapisujemy po prostu Zm = {0, . . . , m − 1} mając na myśli za każdym razem
klasę równoważności reprezentowaną przez daną liczbę, (na podstawie algorytmu dzielenia
z resztą wiemy, że liczby 0, . . . , m − 1 wyczerpują wszystkie klasy równoważności).
Pierwsza bardzo istotna dla dalszego ciągu uwaga, to fakt, że relacja przystawania modulo, jak łatwo sprawdzić jest zgodna z działaniami dodawania i mnożenia, co pozwoli dalej
określić poprawnie takie właśnie działania na zbiorze Zm . Konkretnie mówią nam o tym
własności 1.5.3
Własność 1.5.3. Z: n ∈ N? , k, l, k 0 , l0 ∈ Z takie, że k ≡ k 0 (mod n) i l ≡ l0 (mod n).
T: (1) k ± l ≡ k 0 ± l0 (mod n),
(2) kl ≡ k 0 l0 (mod n).
Dowód. Ćwiczenie.
Kolejny zestaw podstawowych własności kongruencji będziemy wykorzystywać dalej
m.in. w rozwiązywaniu układów równań kongruencyjnych. Własności te łatwo wynikają
z zastosowania zasadniczego twierdzenia arytmetyki 1.4.5 lub np. tożsamości Bezouta. 1.2.4
Własność 1.5.4. (1) Jeśli k, l ∈ Z, m ∈ Z? takie, że m|kl oraz m i k są względnie pierwsze,
to m|l. (lemat Gaussa)
(2) Jeśli a, m ∈ N? , k, l ∈ Z to ak ≡ al(mod am) ⇐⇒ k ≡ l(mod m),
(3) Jeśli m ∈ N? , a, k, l ∈ Z takie, że NWD(a, m) = 1, to ak ≡ al(mod m) ⇐⇒ k ≡
l(mod m).
(4) Jeśli a1 , . . . , ar ∈ Z, k ∈ Z względnie pierwsza z ai dla i = 1, . . . , r, to k jest względnie
pierwsza z iloczynem a1 · . . . · ar .
1.5. Kongruencje i ich własności, twierdzenie chińskie o resztach
11
(5) Jeśli m1 , . . . , mr ∈ Z? - parami względnie pierwsze, k ∈ Z taka, że mi |k dla każdego
i = 1, . . . , r, to m1 · . . . · mr |k.
Dowód. Ćwiczenie.
Przejdziemy teraz do rozważania równań oraz układów równań kongruencyjnych. Łatwo sprawdzić kiedy jedno równanie postaci ax ≡ b(mod m) posiada rozwiązanie całkowite - warunkiem koniecznym i wystarczającym na podstawie tożsamości Bezouta jest, aby
NWD(a, m)|b.
Własność 1.5.5. Niech a, b ∈ Z, m ∈ N? . Wtedy istnieje rozwiązanie kongruencji ax ≡
b(mod m) wtedy i tylko wtedy, gdy NWD(a, m)|b.
Dowód. Zauważmy, że istnienie rozwiązania naszej kongruencji jest równoważne temu, że
istnieje x ∈ Z takie, że m|ax − b co z kolei jest równoważne stwierdzeniu, iż istnieje y ∈ Z
takie, że ax − b = my czyli ax − my = b.
Jeśli więc NWD(a, m) nie dzieli b to lewa strona jest podzielna przez d zaś prawa nie,
więc nie może istnieć rozwiązanie naszej kongruncji.
Z drugiej strony jeśli b = cd to wystarczy zastosować identyczność Bezouta i znaleźć
α, β ∈ Z takie, że d = αa + βm. Domnażając obie strony przez c dostajemy równość:
b = cαa + cβm, czyli x = cα jest rozwiązaniem naszej kongruencji.
Interesować nas będzie teraz poszukiwanie rozwiązania układów równań kongruencyjnych, (liniowych). Podstawowym tutaj twierdzeniem jest wspomniane w tytule chińskie
twierdzenie o resztach.
Twierdzenie 1.5.6 (chińskie o resztach, TCR). A.5 Z: m1 , . . . , mr ∈ N? - parami względnie
pierwsze, k1 , . . . , kr ∈ Z.
T: (1) Istnieje l ∈ Z takie, że l ≡ ki (mod mi ) dla każdego i = 1, . . . , r.
(2) Jeśli l, l0 spełniają (1), to l ≡ l0 (mod m) gdzie m = m1 · . . . · mr .
Dowód. Niech m := m1 · . . . · mr oraz si := mmi . Wtedy si jest iloczynem liczb mj dla j 6= i
wobec tego jest iloczynem liczb względnie pierwszych z mi . Z 1.5.4(4) wynika, że również
mi i si są względnie pierwsze. Wobec tego istnieją a1 , . . . , ar , b1 , . . . , br ∈ Z takie, że
ai mi + bi si = 1 dla i = 1, . . . , r.
Określmy teraz l := k1 (b1 s1 ) + . . . + kr (br sr ). Wykażemy, że takie właśnie l spełnia warunki
tezy.
Ustalmy i0 ∈ {1, . . . , r}. Wtedy
l − ki0 = k1 (b1 s1 ) + . . . + ki0 (bi0 si0 − 1) + . . . + kr (br sr ).
Ale mi0 |ai0 mi0 = 1 − bi0 si0 oraz si dla i 6= i0 są podzielne przez mi0 czyli l ≡ ki0 (mod mi0 ),
czego oczekiwaliśmy.
Niech teraz l0 spełnia również tę kongruencję, to oznacza, że l0 − l jest podzielne przez
każde mi . Wobec tego z 1.5.4(5) wynika, że l0 − l jest podzielne przez iloczyn m1 · . . . · mr i
mamy tezę.
12
Podstawy teorii liczb
Zauważmy przy okazji, że dowód twierdzenia chińskiego o resztach dostarcza nam konkretnego algorytmu znajdowania rozwiązania układu kongruencji.
Przykład zastosowania TCR: Rozwiązać układ kongruencji:


x ≡ 2 (mod 3)
x ≡ 3 (mod 5)


x ≡ 1 (mod 7)
Podać rozwiązanie ogólne oraz znaleźć najmniejszą liczbę naturalną będącą rozwiązaniem
szczególnym.
Co zrobić, gdy moduły kongruencji nie są parami względnie pierwsze ? Oczywiście zawsze
można sprowadzić układ do sytuacji, gdy moduły kongruencji są potęgami liczb pierwszych,
a następnie ”pozbyć” się zbędnych potęg, (o ile oczywiście układ otrzymany nie okazuje się
sprzeczny). Można też stosować metody, które pozwalają na rozwiązywanie takich układów
bez ich wcześniejszego sprowadzania do sytuacji parami względnie pierwszych modułów
kongruencji.
Przykład 1.5.7.


x ≡ 7 (mod 8)
x ≡ 9 (mod 10)


x ≡ 14 (mod 15)
Układ ten jest równoważny układowi


x ≡ 7 (mod 8)
x ≡ 4 (mod 5)


x ≡ 2 (mod 3)
Możemy też startowy układ, (bez jego równoważnego przekształcania) rozwiązać następująco: x = 7 + 8k, czyli 7 + 8k ≡ 9 (mod 10) skąd 8k ≡ 2 (mod 10) co daje 4k ≡ 1 (mod 5).
Mnożymy obie strony kongruencji przez 4 i mamy k ≡ 4 (mod 5), skąd k = 4 + 5l i
x = 39 + 40l. Podstawiamy do ostatniego równania i dostajemy 39 + 40l ≡ 14 (mod 15),
skąd 10l ≡ 5 (mod 5) co jest równoważne 2l ≡ 1 (mod 3). Mnożąc przez 2 mamy wreszcie
l = 2 + 3s i ostatecznie x = 119 + 120s, s ∈ Z.
Oczywiście w przypadku tego akurat układu łatwo zgadnąć jedno z rozwiązań, ale nie
zawsze jest to od razu możliwe:)
1.6
Funkcja Eulera, jej własności i zastosowania
Zaczniemy od zapoznania się z najważniejszą dla naszych dalszych zastosowań, (w szczególności w teorii grup oraz w wykorzystaniu dalej m.in. w teorii ciał, teorii Galois) funkcją
arytmetyczną 9 . Funkcję tę można definiować na różne sposoby, ale postawimy tu standardową definicję teorioliczbową.
(9 )funkcja o dziedzinie N? i wartościach zespolonych
1.6. Funkcja Eulera, jej własności i zastosowania
13
Definicja 1.6.1 (funkcja Eulera). Niech ϕ : N? −→ N? będzie funkcją
przypisującą liczbie n liczbę względnie pierwszych z nią liczb całkowitych
k ∈ [0, n). Funkcję ϕ nazywamy funkcją Eulera.
Własność 1.6.2. (1) ϕ(1) = 1, (zero jest względnie pierwsze z jedynką).
(2) Niech p - liczba pierwsza. Wtedy: ϕ(p) = p − 1 = p(1 − p1 ), (tylko zero nie jest
względnie pierwsze z p).
(3) Niech p - liczba pierwsza, k ∈ N? . Wtedy ϕ(pk ) = pk − pk−1 = pk (1 − p1 ), gdyż mamy
pk−1 liczb całkowitych takich, że 0 6 l < pk , które są podzielne przez p.
Udowodnimy teraz, że funkcja ϕ jest funkcją multliplikatywną (uwaga: nie jest to funkcja
całkowicie multiplikatywna - tzn. jej multiplikatywność ogranicza się do względnie pierwszych argumentów, takie rozróżnienie w teorii liczb jest bardzo ważne). W dowodzie wykorzystamy twierdzenie chińskie o resztach.
Twierdzenie 1.6.3 (multiplikatywność funkcji Eulera). Z: m, n ∈ N? - względnie pierwsze.
T: ϕ(mn) = ϕ(m)ϕ(n).
Dowód. Niech I := {k ∈ [0, m) : NWD(k, m) = 1}, J := {l ∈ [0, n) : NWD(l, n) = 1}
A := {s ∈ [0, m · n) : NWD(s, m · n) = 1}.
Wtedy oczywiście #(I × J) = ϕ(m)ϕ(n), zaś #(A) = ϕ(mn). Skonstruujemy bijekcję
między zbiorami I × J i A.
Zgodnie z twierdzeniem chińskim o resztach dla dowolnej pary liczb (k, l) ∈ I ×J istnieje
dokładnie jedna liczba zk,l taka, że 0 6 zk,l < mn oraz
(
zk,l ≡ k(mod m)
zk,l ≡ l (mod n)
(jedyność wynika z żądania, aby 0 6 zk,l < mn). Liczba ta jest względnie pierwsza z m (bo
k była) oraz z n (bo l była) stąd jest względnie pierwsza z mn.
Mamy więc dobrze określone odwzorowanie:
Φ : I × J 3 (k, l) −→ zk,l ∈ A.
(1) Φ jest injekcją.
Niech bowiem zk,l = zk0 ,l0 i na przykład 0 6 k < k 0 < m. Wtedy m|(zk,l −k) i m|(zk,l −k 0 )
skąd m|(k 0 − k), co prowadzi do sprzeczności.
(2) Φ jest surjekcją.
Jeśli bowiem z ∈ A, to z = Φ(k, l) gdzie k := z(mod m) zaś l := z(mod n). Łatwo
sprawdzić, że (k, l) ∈ I × J.
Wobec tego ϕ(m)ϕ(n) = #(I) · #(J) = #(I × J) = #(A) = ϕ(mn).
Q 1
Wniosek 1.6.4. ϕ(n) = n
1 − p , dla dowolnego n ∈ N? .
p|n, p∈P
14
Podstawy teorii liczb
Udowodnimy teraz własność funkcji Eulera, która wykorzystana zostanie w drugiej części
wykładu przy badaniu własności tak zwanej grupy multiplikatywnej ciała skończonego 10
Własność 1.6.5. Z: n ∈ N? , ϕ - funkcja Eulera.
P
T:
ϕ(d) = n.
d|n
Dowód. Zauważmy, że n to moc zbioru A = {0, 1, 2, . . . , n − 1}. Rozbijemy zbiór A na sumę
rozłącznych podzbiorów mocy ϕ(d), po wszystkich naturalnych dzielnikach d liczby n.
Dla 0 < d, d|n określmy Nd := {x ∈ [0, n) : NWD(x,
n) =
S
rozbicie A na zbiory rozłączne, więc n = #A = #(
Nd ) =
d|n, 0<d
n
}. Zbiory
dP
te stanowią
#Nd . Wystarczy
d|n, 0<d
wobec tego wykazać, że #Nd = ϕ(d).
Ustalmy d i zauważmy, że x ∈ Nd wtedy i tylko wtedy, gdy n = nd · d, x = nd · k, dla
pewnego k takiego, że 0 6 k < d (bo x < n) oraz NWD(k, d) = 1, bo nd jest największym
wspólnym dzielnikiem x i n.
Wobec tego takich x-ów jest ϕ(d), czyli #Nd = ϕ(d).
1.7
Małe twierdzenie Fermata i twierdzenie Eulera
Zaczniemy od sformułowania tzw. ”Małego Twierdzenia Fermata”, którego w tym momencie
dowodzić nie będziemy, ale któremu (wraz z wybranymi dowodami) poświęcimy osobną
opowieść w aneksie. W tej chwili wykorzystamy fakt, że dziś możemy na niego patrzeć jak
na wniosek z ogólniejszego twierdzenia Eulera, choć historycznie rzecz ujmując to MTF było
pierwszą udowodnioną własnością. Więcej o tym ”małym” wielkim twierdzeniu poczytać
można w rozdziale A.6
Twierdzenie 1.7.1 (Małe twierdzenie Fermata=MTF). Jeśli p - liczba pierwsza, k ∈ Z to
(1) Jeśli k jest wzgędnie pierwsza z p, to k p−1 ≡ 1(mod p) (2) k p ≡ k(mod p).
Uogólnieniem powyższej własności jest następne Twierdzenie Eulera (nazywane też
Twierdzeniem Eulera-Fermata), które wykorzystuje wprowadzone wcześniej pojęcie funkcji
Eulera.
Twierdzenie 1.7.2 (Twierdzenie Eulera). Jeśli m ∈ N? , k ∈ Z - względnie pierwsza z m,
to k ϕ(m) ≡ 1(mod m).
Dowód. Jest to oczywiste gdy m = 1, wobec tego załóżmy, że m > 1.
Niech I := {j ∈ [0, m) : NWD(j, m) = 1}. Wówczas #I = ϕ(m).
Jeśli j jest liczbą względnie pierwszą z m, to także kj ma tę własność. Dla każdego
j ∈ I istnieje 0 6 rj < m takie, że kj = mqj + rj , dla pewnego qj . Oczywiście z tej równości
wynika, że rj ∈ I. Zauważmy, że
I 3 j −→ rj ∈ I
(10 )Jeśli K ciało, to jest to grupa (K ? , ·)
1.7. Małe twierdzenie Fermata i twierdzenie Eulera
15
jest bijekcją. Istotnie dla i < j ze zbioru I reszty ri , rj muszą być różne, gdyż w przeciwnym
wypadku k(j − i) = m(qj − qi ), czyli k(j − i) byłoby podzielne przez m - sprzeczność.
Q
Q
Wobec tego z =
j=
rj i jest to liczba względnie pierwsza z m. Otrzymujemy w
j∈I
j∈I
ten sposób układ ϕ(m) kongruencji kj ≡ rj (mod m).
Mnożąc stronami kongruencje kj ≡ rj (mod m) dla wszystkich j ∈ I dostajemy:
k ϕ(m) z ≡ z(mod p)
gdzie z jest iloczynem wszystkich liczb całkowitych z I. Ale z jest względnie pierwsza z m,
skąd z własności kongruencji mamy k ϕ(m) ≡ 1(mod m).
Jak widać, jeśli m jest liczbą pierwszą jak w Twierdzeniu Fermata, dostajemy dokładnie
tezę tego twierdzenia, gdyż ϕ(m) wtedy jest równe m − 1.
Rozdział 2
Działania i ich własności
Definicja 2.0.3 (działanie). Niech X będzie zbiorem niepustym, zaś X × X := {(x, y) :
x ∈ X, y ∈ X} iloczynem kartezjańskim tego zbioru przez siebie. Każde odwzorowanie
przypisujące parze elementów z X, (czyli elementowi z X × X) element z X:
? : X × X 3 (x, y) −→ x ? y ∈ X
nazywamy działaniem na zbiorze X. (1 )
Przykład 2.0.4. (i) R × R 3 (x, y) −→ x · y ∈ R jest działaniem na zbiorze liczb rzeczywistych, (iloczyn liczb rzeczywistych jest liczbą rzeczywistą)
(ii) N × N 3 (x, y) −→ x − y ∈ Z NIE jest działaniem na zbiorze N gdyż może parze liczb
naturalnych przypisać liczbę ujemną.
Definicja 2.0.5 (rodzaje działań). Niech ? : X ×X 3 (x, y) −→ x?y ∈ X będzie działaniem
na zbiorze X.
(i) Działanie ’?’ nazywamy łącznym gdy ∀ x, y, z ∈ X : (x ? y) ? z = x ? (y ? z)
(ii) Działanie ’?’ nazywamy przemiennym gdy ∀ x, y ∈ X : x ? y = y ? x
(iii) Element e ∈ X nazywamy elementem neutralnym działania ’?’ gdy ∀ x ∈ X :
x ? e = e ? x = x (2 )
(iv) Jeśli dla działania ’?’ istnieje element neutralny e, to dla dowolnego x ∈ X element x
nazywamy elementem symetrycznym do elementu x względem działania ’?’ jeśli
x ? x = x ? x = e, (3 )
(v) Jeśli na zbiorze X zadane są dwa działania: ? oraz • to działanie • nazywamy rozdzielnym względem działania ? gdy:
∀ x, y, z ∈ X : (x ? y) • z = (x • z) ? (y • z) i z • (x ? y) = (z • x) ? (z • y)
(1 )czasem fakt, że para punktów z X przechodzi na punkt z X nazywa się wewnętrznością działania
(2 )uwaga: element neutralny nie zawsze musi istnieć, np. w N nie istnieje element neutralny dodawania
(3 )uwaga: element symetryczny może dla pewnych elementów istnieć, dla innych nie np. w zbiorze Z z
działaniem mnożenia dla 1 element symetryczny istnieje ale nie istnieje np. dla 2
16
2.1. Podstawowe przykłady działań
2.1
17
Podstawowe przykłady działań
I. Kanoniczne przykłady liczbowe
(1) Działania dodawania wprowadzone na zbiorach N, Z, Q, R, C.
(2) Działania mnożenia wprowadzone na zbiorach Z? , Q? , R? , C? .
II. Działania w zbiorach macierzy
Bardzo ważnym typem działania jest działanie mnożenia w tzw. zbiorach macierzy. Będziemy rozważać dwa podstawowe działania na macierzach, które znają Państwo z algebry
liniowej. Najczęściej pracować będziemy z macierzami o wartościach liczbowych, (tzn. całkowitych, wymiernych, rzeczywistych lub zespolonych).
Zbiór wszystkim macierzy kwadratowych wymiaru n nad pewnym zbiorem liczbowym A
będziemy oznaczać przez Mn (A). Na zbiorze tym rozważać będziemy działanie dodawania
macierzy.
Zbiór wszystkich macierzy nieosobliwych 4 wymiaru n nad pewnym zbiorem liczbowym
A oznaczać będziemy GLn (A). W zbiorze tym rozważać będziemy działanie mnożenia macierzy.
III. Zbiory odwzorowań i działania na nich
Definicja 2.1.1 (permutacje zbioru). Jeśli X jest zbiorem niepustym, zaś f : X −→ X jest
bijekcją zbioru X na samego siebie to odwzorowanie takie będziemy nazywać permutacją
zbioru X.
Zbiór wszystkich permutacji zbioru X będziemy oznaczać przez S(X).
Szczególnym przypadkiem permutacji są permutacje zbioru skończonego.
Definicja 2.1.2 (permutacje). Rozważmy zbiór n-elementowy: {1, 2, . . . , n}. Każde odwzorowanie tego zbioru przypisujące jego elementowi dokładnie jeden element tego zbioru
nazywać będziemy permutacją zbioru {1, . . . , n} i zwyczajowo oznaczać będziemy takie
odwzorowania przez greckie literki np. σ
Każde z takich odwozorowań oznaczać będziemy dalej następująco:
1
2
...
n
σ=
σ(1) σ(2) . . . σ(n)
gdzie oznaczenie to mówi, że nasze odwzorowanie σ przeprowadza 1 na σ(1), 2 na σ(2) itd.
aż do n na σ(n).
Zbiór permutacji zbioru X będziemy zawsze rozważać z działaniem składania tzn.
g ? f := g ◦ f .
Zbiór wszystkich permutacji zbioru {1, . . . , n} będziemy dalej oznaczać przez Sn .
(4 )Pamiętamy, że macierz nieosobliwa to macierz o wyznaczniku różnym od zera
18
Działania i ich własności
Tabela działania na zbiorze
Częstym sposobem zapisu działania na zbiorze skończonym jest tabela tego działania tzw. tabliczka Cayleya. Arthur Cayley - matematyk i prawnik angielski (1821-1895) znany
m.in. z prac na temat teorii grup, o której zaczniemy mówić na kolejnym wykładzie. Od
niego pochodzi m.in. dowód faktu, że każda grupa (zbiór z działaniem łącznym, dla którego
istnieje element neutralny i każdy z elementów posiada symetryczny) może być traktowana
jako ’część’ grupy permutacji.
Ułóżmy dla przykładu tabelę działania w grupie permutacji:
Tabela działania składania/mnożenia permutacji
3 elementowych
1 2 3
S3 = {σ1 , σ2 , . . . , σ6 } gdzie σ1 = id, σ2 =
, σ3 =
2 1 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
, σ4 =
, σ5 =
, σ6 =
3 2 1
1 3 2
3 1 2
2 3 1
◦
σ1
σ2
σ3
σ4
σ5
σ6
σ1
σ1
σ2
σ3
σ4
σ5
σ6
σ2
σ2
σ1
σ6
σ5
σ4
σ3
σ3
σ3
σ5
σ1
σ6
σ2
σ4
σ4
σ4
σ6
σ5
σ1
σ3
σ2
σ5
σ5
σ3
σ4
σ2
σ6
σ1
σ6
σ6
σ4
σ2
σ3
σ1
σ5
IV. Kongruencje i działania modulo
Definicja 2.1.3 (zbiór reszt modulo). Niech m ∈ N, k ∈ Z. Zbiór takich liczb całkowitych
l które dają tę samą resztę z dzielenia przez m jak liczba k, (inaczej: l ≡ k (mod m))
nazywamy klasą równoważności liczby k modulo m i oznaczać ją będziemy dalej [l]m .
Zbiór wszystkich takich klas oznaczamy Zm .
Uwaga 2.1.4. (i) Każdy ze zbiorów Zm jest m-elementowy jako, że mamy m różnych
reszt z dzielenia przez m.
(ii) Często piszemy Zm = {0, 1, 2, . . . , m − 1} zamiast Zm = {[0]m , [1]m , . . . , [m − 1]m } pamiętać jednak należy, że wtedy oznaczenie 0 00 mówi, że mamy na myśli wszystkie
liczby podzielne przez m itd.
Na zbiorze Zm będziemy wprowadzać dwa działania: dodawania i mnożenia.
Definicja 2.1.5.
(i) Dla [k]m , [l]m ∈ Zm definiujemy: [k]m + [l]m := [k + l]m
(ii) Dla [km ], [l]m ∈ Z? definiujemy: [k]m · [l]m := [k · l]m
Uwaga 2.1.6. Zauważmy, że działania wykonujemy więc w ten sposób, że dodajemy/mnożymy zadane liczby i potem bierzemy resztę z dzielenia wyniku przez m. Powyższa definicja
działań w Zm ma sens, tzn. jeśli weźmiemy liczby reprezentujące te same klasy z Zm to
wynik działania będzie taki sam - jak wiemy to z części poświęconej teorii liczb.
2.1. Podstawowe przykłady działań
19
Zobaczmy to na przykładzie:
[3]5 = [8]5 , [2]5 = [12]5 - gdy wymnożymy mamy: [3]5 · [2]5 = [6]5 = [1]5 i analogicznie
[8]5 · [12]5 = [96]5 = [1]5 .
(?) Tabela działania mnożenia modulo 5 w Z?5 = {1, 2, 3, 4}
?
1
2
3
4
1
1
2
3
4
2
2
4
1
3
3
3
1
4
2
4
4
3
2
1
Ćwiczenia do części 2
(pytania o własności działań dotyczą własności z def. 2.0.5)
Ćwiczenie 2.1. Sprawdzić, które z poniższych odwzorowań są działaniami na zbiorze X.
W przypadku gdy jest to działanie sprawdzić jakie własności spełnia.
x−y
,
(1) X = R, x ? y := 2
x + y2
(2) X = Z, m ? n := (m + n)/2,
(3) X = Z, m ? n := 1,
(4) X = Q,
a c
2ad + 3bc
? :=
.
b d
bd
Ćwiczenie 2.2. W przypadku poniższych działań sprawdzić, czy są one łączne, przemienne, posiadają w podanych zbiorach element neutralny, a w przypadku gdy tak jest czy każdy
z elementów posiada element symetryczny:
(1) x ? y := y na R,
(2) m ? n := 3mn na N,
(3) x ? y := 2x − 2y + 6 na R \ {2}.
(4) x ? y :=
y
x
na Q+ .
Ćwiczenie 2.3. Niech T := {A ∈ M2 (R) : A =
a 0
0 0
, dla pewnego a ∈ R}.
(a) sprawdzić, że mnożenie macierzy jest działaniem na T ,
(b) wykazać, że mnożenie macierzy w M2 (R) nie jest przemienne ale działanie to jest
przemienne na T ,
(c) sprawdzić, czy w obu zbiorach istnieją elementy neutralne względem mnożenia.
Ćwiczenie 2.4. Sprawdzić, które własności działania zachodzą dla zbioru funkcji X =
{fa,b (x) = ax + b, a ∈ R? , b ∈ R} z działaniem składania funkcji tzn. (f ◦ g)(x) = f (g(x)).
Ćwiczenie 2.5. Sprawdzić dla jakich n ∈ N działanie składania permutacji w zbiorze Sn
jest przemienne.
20
Działania i ich własności
Ćwiczenie 2.6. Niech P będzie zbiorem wszystkich odwzorowań ze zbioru Z w Z. Na
zbiorze P określimy dwa działania: dodawania odwzorowań - (f + g)(x) := f (x) + g(x)
oraz składania odwzorowań - (f ◦ g)(x) := f (g(x)). Sprawdzić, czy zachodzi tu rozdzielność
dodawania względem składania.
Ćwiczenie 2.7. W zbiorze Z[i] = {a + bi, a, b ∈ Z} wprowadzamy dwa działania:
dodawanie i mnożenie liczb zespolonych. Sprawdzić, które z własności spełniają te działania.
Wyznaczyć wszystkie elementy, które posiadają element symetryczny względem mnożenia.
Ćwiczenie 2.8. Sprawdzić, które własności działania zachodzą dla dodawania modulo
m w Zm oraz które własności działania mnożenia modulo m zachodzą dla dowolnego Z?m
oraz osobno w przypadku gdy m jest liczbą pierwszą (tzn. jedynymi jej podzielnikami są m
i 1).
Ćwiczenie 2.9. Rozważmy zbiór wektorów: R3 := {(a, b, c) : a, b, c ∈ R}. Na zbiorze
tym określimy mnożenie wektorów w następujący sposób (iloczyn wektorowy):
v2 v3
v1 v3
v1 v2
(v1 , v2 , v3 ) × (w1 , w2 , w3 ) := det
, − det
, det
w2 w3
w1 w3
w1 w2
Tak określone działanie na R3 nazywamy iloczynem wektorowym - jego efektem jest
wektor prostopadły do obu wyjściowych wektorów. Sprawdzić, czy jest to działanie łączne
i czy jest to działanie przemienne.
Ćwiczenie 2.10. (a) Udowodnić, że jeśli dane działanie jest łączne i posiada element
neutralny, to element ten jest jedyny.
(b) Udowodnić, że jeśli dane działanie jest łączne, posiada element neutralny zaś element
x posiada element symetryczny to element ten jest jedyny.
Rozdział 3
Elementy teorii grup
Korzeni teorii grup doszukiwać się należy bardzo głęboko w rozwoju relacji między pojęciami
klasycznej algebry, arytmetyki i geometrii - do powstania podstaw pojęcia grupy doprowadziły w dużej mierze próby znalezienia wspólnego opisu własności teorioliczbowych i geometrycznych. Te dwa elementy, wspierane bodźcem poszukiwania rozwiązań równań wyższych
stopni zostały w końcu sprowadzone do wspólnej płaszczyzny tworząc zręby m.in. języka
teorii grup. Postęp czyniony w badaniach geometrii nieeuklidesowych, dalej prace Gaussa,
Eulera, Lagrange’a (1 ) i wielu innych nad rozwiązalnością równań stopnia co najmniej 5 legły
u podstaw badań Galois (2 ) i Abela. (3 ) Od czasu tych dwóch matematyków całe pokolenia
następców podejmowały idee przez nich zapoczątkowane rozwijając teorię grup i ciał - by
wspomnieć Dedekinda, (4 ) Kroneckera,(5 ) Jordana, (6 ) . . .. To oni wzbogacili wprowadzane
wcześniej pojęcia i stosowali już teorię grup w mniej lub bardziej znanej nam dziś formie.
Konkretny wkład każdego z nich (albo większości) poznamy w dalszym ciągu wykładu.
W przeciągu wieków pojęcie grupy przeszło długą ewolucję zanim nabrało współczesnego
kształtu, a i dziś możliwe są dwa różne podejścia do charakteryzacji struktury grupowej.
My oprzemy się na aksjomatycznym pojęciu grupy. (7 )
(1 )Joseph Louis Lagrange - matematyk i astronom włoskiego pochodzenia, pracujący głównie we Francji,
(1736-1813)
(2 )Evariste Galois: matematyk francuski, ”Mozart matematyki”, zginął mając zaledwie 21 lat, (1811-1832)
pozostawiając po sobie ogromny wkład w rozwój teorii grup i nowoczesnej teorii równań algebraicznych
(3 )Niels Henrik Abel - matematyk norweski (1802-1829)
(4 )Julius Wilhelm Richard Dedekind - matematyk niemiecki, (1831-1916)
(5 )Leopold Kronecker - matematyk niemiecki (1823-1891)
(6 )Marie Eddemond Camille Jordan - matematyk francuski, (1838-1922)
(7 )Pojęcie grupy, jeszcze nienazwane, wystąpiło po raz pierwszy u Lagrange’a (grupa permutacji n elementów). W swoim ”Disquisitiones” Gauss wykorzystuje grupę addytywną i multiplikatywną pierścienia
reszt modulo m, bada też grupy klas form kwadratowych. Dość często autorstwo terminu ”grupa” przypisuje się Galois tym niemniej nie jest to chyba do końca poprawne, gdyż co prawda użył on w jednym ze
swoich rękopisów określenia ”groupe”, ale tę samą nazwę zastosował do tego, co dziś określamy jako warstwy
grupy względem podgrupy (będzie o tym mowa dalej na wykładzie), miał więc chyba bardziej na myśli po
prostu ’zbiór’ niż to co my rozumiemy jako grupę, czyli zbiór z działaniem o konkretnych własnościach. Z
pewnością formalnym twórcą pojęcia grupy abstrakcyjnej jest Arthur Cayley, który zdefiniował je w 1854
roku w swoim pierwszym artykule o teorii grup opublikowanym w Philosophical Magazine. Do tego czasu
zajmowano się jedynie grupami permutacji n elementów. Dalej należy obecną formę pojęcia grupy wiązać
z pracami Kroneckera, Burnside’a, von Dycka i H.M. Webera.
21
22
Elementy teorii grup
3.1
Podstawowe definicje i przykłady
Pojęcie grupy
Definicja 3.1.1 (grupa). Niech G będzie zbiorem niepustym, zaś
? : G × G 3 (x, y) −→ x ? y ∈ G
działaniem (2.0.3) na G, dla którego zachodzą następujące własności:
(1) jest ono łączne,
(2) posiada element neutralny e ∈ G,
(3) każdy element x ∈ G posiada element symetryczny x ∈ G.
Wtedy parę (G, ?) nazywamy grupą z działaniem ?. Jeśli nie będzie to prowadziło do
nieporozumień będziemy często pisali po prostu grupa G zamiast grupa (G, ?). W domyśle
jednak grupa jest zawsze zbiorem wraz z działaniem.
Jeśli dodatkowo działanie ? jest przemienne grupę nazywamy przemienną lub abelową.
Uwaga 3.1.2. (i) Jeśli określone na G działanie spełnia jedynie warunek łączności, to
parę (G, ?) nazywamy półgrupą
(ii) Jeśli (G, ?) jest półgrupą i dodatkowo istnieje w G element neutralny działania ? to
(G, ?) nazywamy monoidem
Definicja 3.1.3 (rząd grupy). O grupie G mówimy, że jest skończona, gdy zbiór G ma
skończoną ilość elementów. Wówczas ilość tę, czyli #G nazywamy rzędem grupy G i
oznaczamy |G|.
Jeśli zbiór G ma nieskończoną ilość elementów, to mówimy, że G jest grupą o rzędzie
nieskończonym i piszemy: |G| = ∞.
Przykład 3.1.4. (i) (Z, +), (Q, +), (R, +), C, +)
liczba przeciwna - grupy abelowe.
(ii) (Q? , ·), (R? , ·), (C? , ·)
abelowe z mnożeniem.
e = 0, element symetryczny =
e = 1, element symetryczny = odwrotność liczby, - grupy
(iii) Grupy reszt modulo:
(Zn , +n ), gdzie [k]n +n [l]n := [k + l]n - grupa abelowa.
(Z?n , ·n ), gdzie [k]n ·n [l]n := [k · l]n - grupa abelowa wtedy i tylko wtedy, gdy n ∈ P,
(U (Zn ), ·n ) - grupa reszt modulo n liczb względnie pierwszych z n (tzn. takich, których
największy wspólny dzielnik z n jest równy 1).
W dalszej części wykładu, jeśli będziemy mieć do czynienia z elementami zbioru Zn to
ich dodawanie i mnożenie oznaczać będziemy zwykłymi znakami: ”+” i ”·” pamiętając
o tym, że oznacza to wykonywanie tych działań modulo n.
3.1. Podstawowe definicje i przykłady
23
(iv) Grupy macierzy: (Mn (G), +) - grupa macierzy kwadratowych wymiaru n o wspøłczynnikach z G, gdzie G oznacza grupy addytywne Z, Q, R lub C, (działanie: dodawanie
macierzy).
Jeśli F = Q, R, C to (GLn (F ), ·) - grupa nieosobliwych macierzy kwadratowych wymiaru n o współczynnikach z F ,
(v) Grupy symetryczne (ogólne grupy permutacji):
Niech E 6= ∅ oraz S(E) := SE := {f : E −→ E : f bijekcja}. Wtedy (SE , ◦) jest
grupą nazywaną grupą symetryczną.
Dla E := {1, . . . , n} grupę SE oznaczamy Sn i nazywamy grupą permutacji nelementowych. Elementy grupy Sn nazywamy permutacjami i zazwyczaj oznaczamy
małymi literami greckimi. (8 )
W przypadku gdy E jest zbiorem n-elementowym grupę SE oznaczać będziemy przez
Sn - grupa permutacji n-elementowych.
Warto pamiętać, że często pod pojęciem ”grupy permutacji” rozumie się dowolną
grupę, której elementy tworzą permutacje zadanego zbioru a działanie jest ich składaniem.
(vi) Grupa diedralna (dihedral(9 )) - grupa symetrii wielokąta foremnego z działaniem składania. Można spotkać się z dwoma notacjami dla tej grupy: Dn oraz D2n gdzie ta
ostatnia związana jest z liczbą elementów grupy symetrii n-kąta foremnego, (grupa
taka złożona jest z n odbić i n-obrotów, (w tym obrotu o 360 stopni - identyczność).
W teorii grup używa się klasycznie dwóch notacji: multiplikatywnej i addytywnej.
Nazwa
Oznaczenie
Działanie
mnożenie
x · y lub xy
Element neutralny
jedynka grupy
1G lub 1
Element symetryczny
element odwrotny
x−1
Tabela 3.1: Notacja multiplikatywna.
Nazwa
Oznaczenie
Działanie
dodawanie
x+y
Element neutralny
zero grupy
0G lub 0
Element symetryczny
element przeciwny
−x
Tabela 3.2: Notacja addytywna.
Często notacja addytywna stosowana jest w przypadku, gdy grupa jest abelowa. Na
wykładzie w dalszym ciągu teorii grup będziemy stosować notację multiplikatywną, (za wyjątkiem jednego rozdziału) oraz skrótowo operować wyrażeniem ”grupa G” zamiast ”grupa
(8 )Taka notacja przyjęła się za klasycznym podręcznikiem H.Wielandta,F inite Permutation Groups, Academic Press, New York, 1964
(9 )Dihedral group - określenie to oznacza dokładnie ”grupę dwuścianu”
24
Elementy teorii grup
(G, ?)” oraz znakiem mnożenia ·, (często w ogóle pomijanym) zamiast ? . Nie należy jednak
zapominać o tym, że grupa to zawsze zbiór z działaniem.
Definicja 3.1.5 (iloczyn standardowy). Niech G będzie grupą, a1 , . . . , an ∈ G. Wtedy
n
Q
określamy iloczyn elementów
ai = a1 · . . . · an następująco:
i=1
n
Y
i=1

,
a
1n−1 Q
ai = a1 · . . . · an :=

ai an ,
dla n = 1
dla n > 1.
i=1
Własność 3.1.6. Niech G będzie grupą, niech a, b, c ∈ G oraz niech a1 , . . . , an ∈ G.
(1) Element neutralny w G oraz element symetryczny do danego elementu są wyznaczone
jednoznacznie.
(2) Zachodzi uogólnione prawo łączności, tzn. (a1 · . . . · ak )(ak+1 · . . . · an ) = a1 · . . . · an dla
dowolnego 0 < k < n.
−1
(3) Zachodzi wzór (a1 · . . . · an )−1 = a−1
n · . . . · a1 .
(4) Zachodzi prawo skracania, tzn. jeśli ac = bc lub ca = cb, to wtedy a = b.
(5) Jeśli dodatkowo grupa G jest przemienna, to zachodzi uogólnione prawo przemienności, tzn. aσ(1) · . . . · aσ(n) = a1 · . . . · an dla dowolnej permutacji σ ∈ Sn .
Dowód.
(1) Jeśli e ∈ G oraz e0 ∈ G są elementami neutralnymi, to e0 = e0 e = e. Jeśli zaś x̄ ∈ G oraz
x̃ ∈ G są elementami symetrycznymi względem x ∈ G, to
x̃ = x̃e = x̃(xx̄) = (x̃x)x̄ = ex̄ = x̄.
(2) Indukcja względem n. Gdy n = 1 lub n = 2, to teza jest oczywista, a jeśli n > 2, to
(a1 · . . . · ak )(ak+1 · . . . · an ) = (a1 · . . . · ak ) (ak+1 · . . . · an−1 )an
= (a1 · . . . · ak )(ak+1 · . . . · an−1 ) an
= (a1 · . . . · an−1 )an
= a1 · . . . · an .
−1
(3) Dowód indukcyjny względem n. Dla n = 2 mamy (a1 a2 )(a−1
2 a1 ) = 1, czyli z jedyności
elementu odwrotnego mamy tezę. Jeśli n > 2 oraz teza jest prawdziwa dla n − 1, to
−1
−1
(a1 · . . . · an )−1 = a−1
= a−1
n (a1 · . . . · an−1 )
n · . . . · a1 .
(4) Wynika z łączności i istnienia elementu odwrotnego do c.
3.1. Podstawowe definicje i przykłady
25
(5) Dowód indukcyjny względem n. Dla n = 2 teza jest oczywista. Niech więc n > 2 oraz
niech 1 ¬ j ¬ n będzie takie, że σ(j) = n. Możemy założyć, że 1 < j < n (z sytuacją j = 1
lub j = n radzimy sobie prosto). Mamy teraz
aσ(1) · . . . · aσ(n) = (aσ(1) · . . . · aσ(j−1) )an (aσ(j+1) · . . . · aσ(n) )
= (aσ(1) · . . . · aσ(j−1) aσ(j+1) · . . . · aσ(n) )an
= (a%(1) · . . . · a%(n−1) )an
= (a1 · . . . · an−1 )an
= a1 · . . . · an ,
gdzie permutacja % ∈ Sn−1 dana jest wzorem
(
σ(k),
gdy 1 ¬ k ¬ j − 1,
%(k) =
σ(k + 1), gdy j ¬ k ¬ n − 1.
’Opisowo’ możemy streścić powyższe rozumowanie następująco: szukamy miejsca, w którym
jest an a następnie korzystając z łączności i przemienności grupy (bierzemy jako jeden
element an a jako drugi iloczyn tych które stoją ’za nim’) przesuwamy go na koniec. Do
pierwszej części, która jest permutacją (n − 1)-elementową stosujemy założenie indukcyjne.
Warto tu znów przypomnieć fakt, o którym pisaliśmy już w notce historycznej przy
okazji definicji wprowadzonej przez Webera. Mianowicie prawo skracania jest równoważne
istnieniu elementu odwrotnego w przypadku gdy zbiór G jest skończony. Nie jest to trudne
do wykonania ćwiczenie. Warto jednocześnie poszukać przykładu takiego monoidu nieskończonego nie będącego grupą, w którym zachodzi prawo skracania.
Definicja 3.1.7 (potęgowanie). Gdy G jest grupą, a ∈ G oraz n ∈ Z, to określamy
Q
n

gdy n > 0,

i=1 a,
n
a := 1,
gdy n = 0,


 −1 −n
(a ) , gdy n < 0.
Inaczej ostatnią równość możemy zapisać a−n = (a−1 )n dla n > 0. Zauważmy, że w półgrupie możliwe jest potęgowanie z wykładnikiem > 0, natomiast w monoidzie określone są
potęgi o wykładniku ­ 0.
Własność 3.1.8. Jeśli G jest grupą, a ∈ G oraz k, l ∈ Z, to ak al = ak+l oraz (ak )l = akl .
Dowód. Są to bezpośrednie wnioski z własności 3.1.6.
Podgrupy
Definicja 3.1.9 (podgrupa). Jeśli (G, ?) jest grupą, to podzbiór H ⊆ G nazywamy podgrupą grupy G, gdy:
(1) H 6= ∅,
26
Elementy teorii grup
(2) zawężenie ?|H×H przyjmuje wartości w H,
(3) (H, ?|H×H ) ma strukturę grupy.
Działanie ? po zawężeniu do H ×H nazywamy działaniem indukowanym. Inaczej mówiąc
H jest podgrupą G, jeśli jest grupą z działaniem indukowanym z G. Piszemy wtedy H < G.
Własność 3.1.10. Gdy G jest grupą oraz H ⊆ G, to następujące warunki są równoważne:
(i) H jest podgrupą G,
(ii) H 6= ∅ oraz spełnione są dwa warunki:
(1) xy ∈ H dla dowolnych x, y ∈ H,
(2) x−1 ∈ H dla dowolnego x ∈ H.
(iii) H 6= ∅ oraz spełniony jest warunek:
(1) xy −1 ∈ H dla dowolnych x, y ∈ H,
Gdy H jest skończonym i niepustym podzbiorem grupy G, to wystarczy wykazać warunek wewnętrzności (1), aby H było podgrupą w G.
Przykład 3.1.11.
(1) (Z, +) < (Q, +) < (R, +) < (C, +).
(2) (Q∗ , · ) < (R∗ , · ) < (C∗ , · ).
(3) Dla n > 0 określamy Un (C) = {z ∈ C : z n = 1}. Wtedy (Un (C), · ) < (C∗ , · ).
(4) Jeśli G jest grupą, to podzbiór
C(G) := {x ∈ G : xa = ax dla wszystkich a ∈ G}(10 )
nazywamy centrum grupy G. Oczywiście centrum C(G) jest podgrupą w G.
Własność 3.1.12 (charakteryzacja podgrup w Z). Niepusty podzbiór H zbioru liczb całkowitych Z jest podgrupą grupy (Z, +) wtedy i tylko wtedy, gdy H = nZ dla pewnego n ∈ N0 .
Dowód. Sprawdzenie, że każdy podzbiór postaci nZ jest podgrupą pozostawiamy jako proste ćwiczenie. Udowodnimy teraz, że każda podgrupa ma taką postać. Jeśli H = {0}, to
wystarczy przyjąć n = 0. Załóżmy więc, że H 6= {0} i przyjmijmy (korzystamy z 0.0.2)
n = min{k > 0 : k ∈ H}.
Ponieważ n ∈ H, więc nZ ⊆ H. Jeśli zaś k ∈ H, to możemy podzielić k przez n z resztą
(por. 1.1.4) otrzymując takie (q, r) ∈ Z × Z, że k = qn + r oraz 0 ¬ r < n. Oczywiście
r = k − qn ∈ H, co wobec minimalności n daje r = 0. W takich razie k = qn ∈ nZ oraz
H ⊆ nZ.
(10 )zdarza się, że w podręcznikach centrum grupy jest oznaczane przez Z(G) - pochodzi to od notacji z
wersji niemieckiej
3.1. Podstawowe definicje i przykłady
27
Uwaga 3.1.13.
(1) Każda grupa G posiada zawsze dwie (czasem równe) podgrupy trywialne: całą grupę G
oraz podgrupę {1G } złożoną tylko z elementu neutralnego. Podgrupę G nazywamy podgrupą
niewłaściwą grupy G. Każdą podgrupę H < G różną od G nazywamy podgrupą właściwą.
(2) Jeśli G jest grupą, K < H oraz H < G, to wtedy K < G.
(3) Jeśli G jest grupą, {Hi }i∈I jest niepustą rodziną podgrup G, to przecięcie
\
Hi := {x ∈ G : x ∈ Hi , ∀ i ∈ I}
i∈I
również jest podgrupą G.
(4) Suma mnogościowa podgrup nie musi być podgrupą. Przykładowo H1 = 2Z oraz H2 = 3Z
są podgrupami Z, jednak H1 ∪ H2 nie jest podgrupą Z, bo 5 = 2 + 3 ∈
/ H1 ∪ H2 .
Ćwiczenia do części 3
Ćwiczenie 3.1. Sprawdzić, czy zbiór G = R+ \ {1} z działaniem a ? b := aln b tworzy
grupę.
Ćwiczenie 3.2. Udowodnić, że (Zn , +n ) jest grupą abelową dla dowolnego n ∈ N oraz,
że (U (Zn ), ·n ) też jest grupą abelową.
Ćwiczenie 3.3. Udowodnić, że jeśli w zbiorze skończonym mamy określone działanie
łączne, dla którego zachodzi prawo skracania, (3.1.6(4)) to zbiór z tym działaniem tworzy
grupę. Podać przykład, że własność taka nie zachodzi bez założenia skończoności zbioru.
Ćwiczenie 3.4. Wykazać własność 3.1.10.
Ćwiczenie 3.5. Wykazać, że centrum grupy (3.1.11) jest jej podgrupą.
Ćwiczenie 3.6. Udowodnić, że przecięcie niepustej rodziny podgrup jest podgrupą, (por.
3.1.13(3))
Ćwiczenie 3.7. Dowieść, że jeśli dla dowolnego elementu a w grupie G zachodzi: a2 = 1G ,
to G jest abelowa. Odpowiedzieć na pytanie, czy warunek a4 = 1G (dla dowolnego a ∈ G)
także implikuje abelowość G, (ogólnie: dla jakich n ∈ N warunek an = 1G spełniony dla
każdego a ∈ G pociąga abelowość grupy ?)
Ćwiczenie 3.8. Niech G będzie grupą. Udowodnić, że następujące warunki są równoważne:
(1) G jest abelowa
(2) ∀ (x, y) ∈ G × G : (xy)2 = x2 y 2 ,
(3) ∀ (x, y) ∈ G × G : (xy)−1 = x−1 y −1 .
Ćwiczenie 3.9. Niech G będzie grupą, H, K jej podgrupami. Udowodnić, że H ∪ K jest
podgrupą G wtedy i tylko wtedy, gdy H ⊂ K lub K ⊂ H.
Ćwiczenie 3.10. Udowodnić, że żadnej grupy G nie da się przedstawić w postaci sumy
mnogościowej dwóch nietrywialnych podgrup właściwych, (por. 3.1.13)
28
Elementy teorii grup
3.2
Homomorfizmy grup
Jednym z najbardziej skutecznych narzędzi badania własności danej grupy jest porównywanie jej z innymi znanymi już wcześniej grupami. Aby móc to wykonać trzeba wiedzieć kiedy
dwie grupy posiadają dokładnie takie same struktury — służyć nam do tego będą tak zwane
homomorfizmy grup, czyli odwzorowania między grupami o specjalnych własnościach.
Definicja 3.2.1 (homomorfizm grup). Jeśli (G, ?) oraz (G0 , •) są grupami, to odwzorowanie
f : G → G0 nazywamy homomorfizmem grup G oraz G0 , gdy
f (x ? y) = f (x) • f (y)
dla dowolnych x, y ∈ G.
Zbiór wszystkich homomorfizmów grupy G w grupę G0 oznaczamy Hom(G, G0 ).
Przykład 3.2.2. Rozważmy odwzorowanie następujące: f : R 3 x 7−→ 3x ∈ R? . Zauważmy, że ponieważ w R mamy działanie dodawania, a w R? mnożenia odwzorowanie to jest
homomorfizmem gdyż:
f (x + y) = 3x+y = 3x 3y = f (x) · f (y)
To odwzorowanie pozwala nam ’zamieniać’ dodawania na mnożenie. Odwrotna transformacja może zostać przeprowadzona za pomocą logarytmu - są to ważne odwzorowania z
punktu widzenia zastosowań. W wielu przypadkach mnożenie jest znacznie łatwiejsze do
wykonania niż dodawania, warto więc wówczas wykorzystać taką zamianę.
Definicja 3.2.3 (injekcja, surjekcja, bijekcja). Niech f : X −→ Y . Wówczas odwzorowanie
f nazywamy:
(1) iniekcją gdy zachodzi implikacja: f (x) = f (y) =⇒ x = y, (różnowartościowość odwzorowania),
(2) surjekcją gdy ∀ y ∈ Y ∃ x ∈ X : f (x) = y,
(3) bijekcją gdy jest to injekcja i surjekcja.
Wyróżniamy ponadto następujące rodzaje homomorfizmów:
monomorfizm
epimorfizm
izomorfizm
endomorfizm
automorfizm
=
=
=
=
=
homomorfizm injektywny,
homomorfizm surjektywny,
homomorfizm bijektywny,
homomorfizm z grupy w nią samą,
endomorfizm bijektywny.
Zbiór izomorfizmów grupy G w G0 oznaczamy Iso(G, G0 ). Zbiór endomorfizmów grupy G
oznaczamy End(G), natomiast zbiór automorfizmów grupy G zapisujemy jako Aut(G).
Przykład 3.2.4. Przyjrzyjmy się przykładom:
(1) f : R? 3 x −→ x2 ∈ R+ jest epimorfizmem ale nie jest injekcją.
3.2. Homomorfizmy grup
29
(2) g : R ∈ x −→ 2x ∈ R? jest monomorfizmem ale nie jest surjekcją.
Obserwacja 3.2.5. Jeśli f : G → G0 oraz g : G0 → G00 są homomorfizmami grup, to również
g ◦ f : G → G00 jest homomorfizmem grup. Ponadto, jeśli f jest bijekcją, to f −1 także jest
homomorfizmem grup.
Dowód. Pierwsza część tezy jest oczywista. Dla dowodu części drugiej niech x0 , y 0 ∈ G0 .
Wówczas istnieją jedyne takie elementy x, y ∈ G, że x0 = f (x) i y 0 = f (y). Wobec tego
f −1 (x0 y 0 ) = f −1 (f (x)f (y)) = f −1 (f (xy)) = xy = f −1 (x0 )f −1 (y 0 ).
Definicja 3.2.6 (grupy izomorficzne). Grupy G, G0 nazywamy izomorficznymi, jeśli istnieje
izomorfizm grupy G na grupę G0 . Fakt, że grupy G, G0 są izomorficzne oznaczamy G ∼
= G0 .
Pojęcie grup izomorficznych jest niezwykle istotnym pojęciem dla badania ich własności.
Grupy izomorficzne bowiem, z punktu widzenia własności algebraicznych są nie do rozróżnienia na poziomie struktury grupowej.
Przykład 3.2.7.
(1) Jeśli H jest podgrupą grupy G, to zanurzenie ı : H 3 x 7→ x ∈ G jest monomorfizmem.
(2) Zbiór Aut(G) automorfizmów grupy G z działaniem składania ma strukturę grupy, ponadto każde odwzorowanie postaci
ϕa : G 3 x 7→ axa−1 ∈ G
gdzie a ∈ G jest automorfizmem grupy G. Odwzorowania takie nazywamy automorfizmami wewnętrznymi grupy G. Zbiór Inn(G) automorfizmów wewnętrznych grupy G jest
podgrupą w Aut(G).
Uwaga 3.2.8. Rozważmy następujący zbiór Z2 × Z2 := {(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)} - na tym
zbiorze wprowadzamy działanie dodawania modulo 2 ’po współrzędnych’ tzn. np. (1, 1) +
(1, 0) = (0, 1) itd. Łatwo ułożyć tabelę takiego działania i zobaczyć, że mamy do czynienia
z grupą, (szczególny przypadek tzw. sumy prostej grupy o czym nieco później).
Zauważmy, że grupa ta ma 4 elementy, podobnie jak grupa Z4 - wobec tego łatwo wypisać
odwzorowanie, które będzie bijekcją między tymi zbiorami - te zbiory są równoliczne. Jednak
jak się okazuje żadna z wypisany bijekcji nie będzie homomorfizmem, o czym przekonamy
się dalej. Fakt ten bierze się stąd, iż jak łatwo widać każdy element Z4 jest potęgą (w
sensie dodawania !) elementu 1. Natomiast w Z2 × Z2 nie istnieje odpowiednik elementu o
takiej własności. Jeśli potęgujemy np. (1, 1) to dostaniemy: (1, 1) i (0, 0) - żadnego innego
elementu. Podobnie jest z pozostałymi, nie ma więc jednego elementu którego potęgą byłyby
wszystkie inne.
Twierdzenie 3.2.9. [podstawowe własności homomorfizmu] Niech f : G → G0 będzie homomorfizmem grup.
(i) f (1G ) = 1G0 .
(ii) Jeśli x ∈ G, to wtedy f (x−1 ) = f (x)−1 .
30
Elementy teorii grup
(iii) Jeśli H < G, to wtedy f (H) < G0 .
(iv) Jeśli H 0 < G0 , to wtedy f −1 (H 0 ) < G.
Dowód.
(i) Zauważmy, że f (1G )f (1G ) = f (1G · 1G ) = f (1G ), stąd z prawa skracania mamy f (1G ) =
1G0 .
(ii) Jeśli x ∈ G, to mamy f (x)f (x−1 ) = f (xx−1 ) = f (1G ) = 1G0 i analogicznie f (x−1 )f (x) =
1G0 , zatem z jedyności elementu odwrotnego mamy f (x)−1 = f (x−1 ).
(iii) Skorzystamy z własności 3.1.10. Wobec 1G ∈ H mamy 1G0 = f (1G ) ∈ f (H), czyli
f (H) 6= ∅. Jeśli teraz x0 , y 0 ∈ f (H), to istnieją takie x, y ∈ H, że x0 = f (x) oraz y 0 = f (y),
stąd zaś
x0 y 0−1 = f (x)f (y)−1 = f (x)f (y −1 ) = f (xy −1 ) ∈ f (H),
gdyż xy −1 ∈ H.
(iv) Dowód przeprowadzimy analogicznie jak w przypadku obrazu. Ponieważ H 0 jest podgrupą G0 więc 1G0 ∈ H 0 . Na podstawie punktu (1) wiemy, że f (1G ) = 1G0 czyli 1G ∈ f −1 (1G0 )
więc H 0 jest zbiorem niepustym. Niech teraz x, y ∈ f −1 (H 0 ) co oznacza zgodnie z definicją,
że f (x), f (y) ∈ H 0 , skoro zaś H 0 to podgrupa to wiemy, że f (x)(f (y))−1 ∈ H 0 . Zgodnie z
własnościami które już poznaliśmy wiemy jednak, że f (x)f (y)−1 = f (xy −1 ) skąd mamy, że
xy −1 ∈ f −1 (H 0 ) co kończy dowód.
Określimy teraz dwa podstawowe obiekty, które będą nam służyć do badania własności
homomorfizmów grup.
Definicja 3.2.10 (jądro i obraz homomorfizmu). Jeśli f : G → G0 jest homomorfizmem
grup, to obrazem f nazywamy zbiór
Im f := f (G) = {y ∈ G0 : ∃ x ∈ G : f (x) = y},
zaś jądrem f nazywamy zbiór
Ker f := f −1 (1G0 ) = {x ∈ G : f (x) = 1G0 }.
Wniosek 3.2.11. Jeśli G, G0 są grupami, zaś f : G → G0 jest homomorfizmem grup, to
wtedy Ker f < G oraz Im f < G0 .
Kolejne twierdzenie jest doskonałym narzędziem badania własności homomorfizmów
grup i będzie nam bardzo przydatne w dalszej części wykładu.
Twierdzenie 3.2.12. Niech f : G → G0 będzie homomorfizmem grup.
(i) f jest monomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy Ker f = {1G }.
(ii) f jest epimorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy Im f = G0 .
Dowód. Punkt (ii) to po prostu definicja surjekcji. Przypuśćmy teraz, że f jest injekcją oraz,
że x ∈ Ker f . Wtedy f (x) = f (1G ) = 1G0 , czyli x = 1G . Wobec tego Ker f ⊆ {1G }, jednak
1G ∈ Ker f , więc mamy równość. Załóżmy teraz równość Ker f = {1G }. Jeśli x, y ∈ G są
takie, że f (x) = f (y), to 1G0 = f (x)f (y)−1 = f (xy −1 ), czyli xy −1 ∈ Ker f , zatem x = y.
3.3. Generatory grup
31
Przykład 3.2.13. Odwzorowanie GL2 (R) 3 A 7→ det A ∈ R∗ jest homomorfizmem grup.
Jego jądro oznaczamy przez SL2 (R) i nazywamy specjalną grupą liniową.
Bardzo ważnym twierdzeniem w teorii grup jest twierdzenie, które mówi, że każda grupa
może być traktowana w pewnym sensie jak grupa permutacji elementów swojego zbioru.
Twierdzenie 3.2.14 (Cayley). Każda grupa jest izomorficzna z podgrupą swojej grupy
symetrycznej.
Dowód. Jeśli G jest grupą, zaś a ∈ G, to rozważmy odwzorowanie
ψa : G 3 x 7→ ax ∈ G.
Zauważmy, że jest to odwzorowanie bijektywne, z odwrotnym ψa−1 . Możemy zatem określić
Ψ : G 3 a 7→ ψa ∈ SG .
Wystarczy teraz udowodnić, że jest to monomorfizm grup. Istotnie, jeśli a, b ∈ G, to dla
dowolnego x ∈ G mamy
Ψ(ab)(x) = ψab (x) = (ab)x = a(bx) = ψa (bx)
= ψa (ψb (x)) = (ψa ◦ ψb )(x) = (Ψ(a) ◦ Ψ(b))(x),
skąd otrzymujemy równość Ψ(ab) = Ψ(a) ◦ Ψ(b). Jeśli teraz Ψ(a) = idG , to
1 = Ψ(a)(1) = ψa (1) = a · 1 = a,
czyli Ψ rzeczywiście jest monomorfizmem.
3.3
Generatory grup
Podgrupy generowane przez zbiór
Przyjrzyjmy się bliżej naszemu podstawowemu przykładowi, jakim jest (Z, +). Zauważmy,
że każdy element tego zbioru można otrzymać dodając do siebie stosowną liczbę jedynek.
W sytuacji takiej powiemy, że element 1 generuje grupę Z.
Rozważmy teraz zbiór liczb naturalnych parzystych. Jest to podzbiór Z ale nie jest to
podgrupa. Aby dostać podgrupę musimy „dorzucić” ujemne liczby parzyste. W ten sposób
otrzymamy 2Z — najmniejszą podgrupę Z, która zawiera 2N. Jest to tak zwana podgrupa
generowana przez zbiór 2N.
Definicja 3.3.1 (podgrupa generowana przez zbiór, generatory). Jeśli G jest grupą, zaś
S ⊆ G, to zbiór
\
hSi :=
H
H<G,S⊆H
nazywamy podgrupą generowaną przez zbiór S (11 ). Jeśli zachodzi hSi = G, to elementy
zbioru S nazywamy generatorami grupy G.
(11 )dzięki uwadze 3.3.1(3) wiemy, że istotnie jest to podgrupa.
32
Elementy teorii grup
Własność 3.3.2. Jeśli G jest grupą oraz ∅ 6= S ⊆ G, to wtedy
hSi = {sk11 · . . . · sknn : s1 , . . . , sn ∈ S, k1 , . . . , kn ∈ Z, n ∈ N}.
Dowód. Oznaczmy przez H = {sk11 · . . . · sknn , n ∈ N, ki ∈ Z, si ∈ S}.
Oczywiście S ⊂ H, łatwo też wykazać, że jest to podgrupa korzystając z 3.1.10. Jest
to bowiem zbiór niepusty bo zawiera niepusty zbiór S, zaś biorąc dwa elementy H postaci:
l
−l
x = sk11 · . . . · sknn , y = r1l1 · . . . · rpp otrzymujemy: xy −1 = sk11 · . . . · sknn · rp p · . . . · r1−l1 czyli
element z H, bo −l1 , . . . , −lp ∈ Z.
Wobec tego zachodzi zawieranie hSi ⊂ H (skoro hSi to przecięcie wszystkich podgrup
zawierających S).
Ponieważ jednocześnie każda podgrupa G, która zawiera S musi zawierać też H, (dzięki
wewnętrzności działania oraz przynależności elementu odwrotnego), więc hSi = H.
Wniosek 3.3.3. Jeśli G jest grupą oraz a ∈ G, to wtedy hai = {ak : k ∈ Z}.
Przykład 3.3.4.
(1) Zbiór generatorów na ogół nie jest jedyny — na przykład dla grupy (Z, +) otrzymujemy
Z = h1i = h−1i. Dodatkowo zawsze jest hGi = G.
(2) W grupie (Z, +) podgrupą generowaną przez A = {6, 15} jest hAi = {6k + 15l : k, l ∈ Z}
i łatwo pokazać, że jest to 3Z, czyli podgrupa generowana przez największy wspólny dzielnik
liczb 6 i 15.
(3) Grupa (Q, +) może być wygenerowana przez każdy ze zbiorów Ak = {1/n : n ­ k} dla
k = 1, 2, 3, . . . Jednocześnie okazuje się, że jest to grupa, która nie posiada skończonego
układu generatorów. Można też pokazać, że każda skończenie generowana podgrupa grupy
Q da się wygenerować za pomocą jednego generatora.
(4) Grupa (Q∗ , · ) jest generowana przez zbiór liczb pierwszych i −1 i nietrudno sprawdzić,
że jest to minimalny układ jej generatorów.
(5) Mieliśmy już przykład dwóch grup równolicznych, które nie były izomorficzne (patrz
uwaga 3.2.8). Jednak grupy te nie miały tej samej minimalnej liczby generatorów. Dwie
grupy tego samego rzędu o takiej samej minimalnej liczbie generatorów też nie muszą być
izomorficzne. Niech
0 1
0 i
0 1
a=
,
b=
,
c=
.
−1 0
i 0
1 0
Rozważmy teraz dwie grupy:
Q = ha, bi ⊆ GL2 (C),
H = ha, ci ⊆ GL2 (C).
Obie te grupy są ośmioelementowe, nie dadzą się wygenerować przez jeden element i nie są
izomorficzne. Grupa Q nazywana jest grupą kwaternionów, gdyż jest izomorficzna z grupą
jedności {±1, ±i, ±j, ±k} rzeczywistej algebry kwaternionów H.
3.3. Generatory grup
33
Ćwiczenia do części 3
Ćwiczenie 3.11. Sprawdzić, czy odwzorowanie f : R+ 3 x −→ ln x ∈ R jest homomorfizmem grup. Wyznaczyć obraz tego odwzorowania oraz w przypadku gdy jest to homomorfizm
także jego jądro.
Ćwiczenie 3.12. Sprawdzić, czy odwzorowanie g : C 3 z −→ 3R(z) ∈ R? jest homomorfizmem. Wyznaczyć obraz tego odwzorowania oraz w przypadku gdy jest to homomorfizm
także jego jądro.
Ćwiczenie 3.13. Sprawdzić, czy odwzorowanie h : C 3 z −→ |z| ∈ R jest homomorfizmem grup. Wyznaczyć obraz tego odwzorowania oraz w przypadku gdy jest to homomorfizm
także jego jądro.
Ćwiczenie 3.14. Wykazać, że grupa G jest abelowa wtedy i tylko wtedy, gdy odwzorowanie G 3 a 7−→ a−1 ∈ G jest homomorfizmem grup.
Ćwiczenie 3.15. Wykazać, że każdy automorfizm wewnętrzny (3.2.7) jest rzeczywiście
automorfizmem oraz, że zbiór tych automorfizmów tworzy podgrupę grupy wszystkich automorfizmów grupy G.
Ćwiczenie 3.16. Wyznaczyć wszystkie automorfizmy grupy Z.
Ćwiczenie 3.17. Sprawdzić jaką ilość elementów zawiera najmniejszy układ generatorów
grupy izometrii prostokąta.
Ćwiczenie 3.18. Udowodnić, że grupy (Q, +) nie da się wygenerować przez jeden element
4 7
, 10 > tej grupy.
oraz znaleźć jeden generator dla podgrupy H =< 15
Ćwiczenie 3.19. Znaleźć wszystkie generatory grupy Z4 oraz grupy Z?5 i wyznaczyć
wszystkie izomorfizmy grupy Z4 na grupę Z?5 .
Ćwiczenie 3.20. Udowodnić, że grupy Z4 i Z2 ⊕ Z2 nie są izomorficzne.
Rząd elementu w grupie, grupy cykliczne
Definicja 3.3.5 (rząd elementu). Jeśli G jest grupą, to rzędem elementu a ∈ G nazywamy rząd grupy hai. Rząd elementu a oznaczamy przez |a|.
Uwaga 3.3.6.
(1) Jeśli G jest grupą i a ∈ G, to |a| ¬ |G|. Ponadto |a| = 1 wtedy i tylko wtedy, gdy a = 1.
(2) W grupie (Z, +) każdy niezerowy element ma rząd nieskończony ale nie każdy taki element generuje całą grupę Z.
Lemat 3.3.7. Niech G będzie grupą, niech a ∈ G oraz Hn (a) = {1, a, . . . , an−1 } dla n > 0.
(i) Jeśli an = 1, to wtedy Hn (a) ¬ G oraz |a| ¬ n.
(ii) Jeśli |a| = n, to wtedy |Hn (a)| = n oraz hai = Hn (a).
Dowód.
34
Elementy teorii grup
(i) Wprost z definicji mamy 1 ∈ Hn (a). Jeśli teraz x, y ∈ Hn (a), to istnieją takie 0 ¬ p, q < n,
że x = ap oraz y = aq . Pisząc p + q = kn + r, gdzie 0 ¬ r < n otrzymujemy
xy = ap aq = ap+q = akn+r = (an )k ar = ar ∈ Hn (a).
Ponadto
x−1 = a−p = an a−p = an−p ∈ Hn (a).
Jednocześnie a ∈ Hn (a), stąd hai ⊆ Hn (a), czyli |a| ¬ |Hn (a)| ¬ n.
(ii) Pokażemy, że jeśli |Hn (a)| < n, to |a| < n. Istotnie, jeśli |Hn (a)| < n, to oznacza to, że
istnieją takie 0 ¬ p < q < n, że ap = aq , czyli ar = 1, gdzie 0 < r = q − p < n. Na podstawie
(i) mamy więc |a| ¬ r < n. Teraz jeśli |a| = n, to Hn (a) ⊆ hai i oba te zbiory mają tę samą
liczbę elementów, skąd ich równość.
Twierdzenie 3.3.8. Jeśli G jest grupą, a ∈ G oraz |a| < ∞, to |a| = min{n > 0 : an = 1},
zaś < a >= {1G , a, a2 , . . . , an−1 }.
Dowód. Dzięki założeniu |a| < ∞ zbiór względem którego bierzemy minimum jest niepusty.
Oznaczmy zatem
n0 = min{n > 0 : an = 1},
n = |a|.
Chcemy pokazać, że n = n0 . Po pierwsze an0 = 1, więc na podstawie lematu 3.3.7 jest
n ¬ n0 . Ponadto hai = Hn (a) = {1, . . . , an−1 }, więc istnieje takie 0 ¬ p < n, że an = ap
i wtedy an−p = 1. Korzystając znów z lematu 3.3.7 mamy n ¬ n − p, a tym samym p = 0
i an = 1. Jest więc również n0 ¬ n z minimalności liczby n0 .
Druga część to dokładnie lemat 3.3.7.
Wniosek 3.3.9. Niech G będzie grupą, a ∈ G spełnia |a| = n oraz niech k, l ∈ Z.
(i) ak = 1 wtedy i tylko wtedy, gdy n | k.
(ii) ak = al wtedy i tylko wtedy, gdy k ≡ l (mod n).
Dowód.
(i) Oczywiście jeśli n | k, to mamy ak = 1. Niech więc ak = 1. Podzielmy k z resztą przez n,
wtedy k = qn + r, gdzie 0 ¬ r < n. Wobec tego
1 = ak = aqn+r = (an )q ar = ar ,
czyli r = 0 i n | k.
(ii) Jest to bezpośredni wniosek z (i).
Przyjrzyjmy się jak na prostym przykładzie pracuje twierdzenie 3.3.8. Rozważmy grupę
(Z8 , +) oraz element 2 ∈ Z8 . Jeśli chcemy wygenerować podgrupę h2i w naszej grupie,
to musimy zgodnie z udowodnionymi własnościami „potęgować” element 2 aż otrzymamy
element neutralny grupy, czyli h2i = {0, 2, 4, 6}. Jest to element rzędu 4, tzn. |2| = 4 w Z8 .
3.3. Generatory grup
35
Grupy cykliczne
Szczególnie ciekawą a jednocześnie dość łatwą w analizie klasą grup są tzw. grupy cykliczne,
czyli takie, które generowane są przez jeden element. Inaczej mówiąc każdy element takiej
grupy jest uzyskiwany jako potęga jednego ustalonego elementu. Tak jest, jak łatwo widać
dla grup (Z, +) i (Zn , +), gdzie 1 generuje w każdym przypadku całą grupę.
Definicja 3.3.10 (grupa cykliczna). Grupę G nazywamy cykliczną, jeśli jest ona generowana przez jeden element, tzn. istnieje takie a ∈ G, że G = hai.
Omówimy teraz najprostsze własności grup cyklicznych.
Obserwacja 3.3.11. [podstawowe własności grup cyklicznych] Niech f : G → G0 będzie
homomorfizmem grupy cyklicznej G o generatorze a ∈ G w grupę G0 oraz niech H będzie
podgrupą grupy G.
(i) G jest grupą abelową.
(ii) Im f jest grupą cykliczną.
(iii) H jest grupą cykliczną.
Dowód.
(i) Jeśli x, y ∈ G, to istnieją wtedy takie k, l ∈ Z, że x = ak oraz y = al . Teraz mamy
xy = ak al = ak+l = al+k = al ak = yx.
(ii) Oczywiście f (G) = hf (a)i. Jeśli bowiem y ∈ f (G), to y = f (ak ) = f (a)k dla pewnego
k ∈ Z, zatem f (G) ⊆ hf (a)i. Zawieranie w drugą stronę jest oczywiste.
(iii) Jeśli H = {1}, to mamy tezę. Załóżmy więc, że H nie jest trywialna i określmy
s = min{n ∈ N : an ∈ H}.
Wykażemy, że H = has i. Jeżeli x ∈ H, to dzięki cykliczności G wiemy, że x = ak dla
pewnego k ­ s. Jeśli k = qs + r, gdzie 0 ¬ r < s, to
x = ak = aqs+r = (as )q ar ,
stąd ar = x(as )−q ∈ H, czyli z minimalności s musi być r = 0. Ostatecznie x = (as )q ∈ has i,
czyli H ⊆ has i. Inkluzja w drugą stronę jest oczywista.
Przy okazji tych własności warto zapytać: Czy prawdą jest, że jeśli grupa G da się
wygenerować przez n elementów, to do wygenerowania dowolnej jej podgrupy też wystarcza
n elementów? Jak widać w przypadku grup cyklicznych odpowiedź brzmi „tak”.
Dowód własności dotyczącej podgrupy grupy cyklicznej można przeprowadzić inaczej
— wykorzystując twierdzenie o klasyfikacji grup cyklicznych (udowodnimy je za chwilę)
i postać podgrup w (Z, +), którą znamy. Jednak przedstawiony dowód ma tę zaletę, że
pokazuje bezpośrednio jak znaleźć element generujący podgrupę w grupie cyklicznej.
Jak się okazuje grupy cykliczne można bardzo dokładnie opisać — oczywiście pamiętając
o tym, że „opis” w sensie algebraicznym oznacza opis z dokładnością do izomorfizmu.
36
Elementy teorii grup
Twierdzenie 3.3.12 (klasyfikacja grup cyklicznych). Niech G będzie grupą cykliczną.
(i) Jeśli |G| = ∞, to wtedy G ∼
= Z.
(ii) Jeśli |G| = n, to wtedy G ∼
= Zn .
Dowód. Niech a ∈ G będzie generatorem grupy G.
(i) Określmy
φ : Z 3 n 7→ an ∈ G.
Wprost z definicji wynika, że jest to epimorfizm. Jeśli teraz φ(n) = 1, to mamy an = 1.
Wtedy również a−n = 1. Gdyby n 6= 0, to k = |n| > 0 i ak = 1, zatem z lematu 3.3.7 mamy
|G| = |a| ¬ k, sprzeczność. Ostatecznie n = 0 oraz φ jest izomorfizmem.
(ii) Niech |G| = n. Tym razem określmy odwzorowanie
ψ : Zn 3 [k]n 7→ ak ∈ G.
Po pierwsze zauważmy, że jest ono poprawnie określone. Istotnie, k ≡ l (mod n) wtedy
i tylko wtedy, gdy ak = al , zatem jest to również injekcja. Fakt, że odwzorowanie ψ jest
epimorfizmem jest oczywisty. Łącznie ψ jest izomorfizmem.
Często grupy cykliczne rzędu n oznaczane są przez Cn , zaś nieskończona grupa cykliczna
przez C∞ .
Jak dowiemy się dalej, jeśli mamy do czynienia z dowolną grupą, której rząd jest liczbą
pierwszą p, to taka grupa musi już być cykliczna rzędu p, a tym samym na podstawie
poprzedniego twierdzenia jedyną (z dokładnością do izomorfizmu) grupą o zadanym rzędzie
będącym liczbą pierwszą p jest grupa Cp .
Ciekawym problemem jest pytanie o to dla jakich jeszcze innych liczb n, oprócz liczb
pierwszych, zachodzi taka własność, że jedyną grupą rzędu n jest grupa cykliczna Cn . Okazuje się, że liczby takie mają dość prostą charakteryzację (liczby takie nazywa się liczbami
cyklicznymi). Otóż zachodzi twierdzenie: Grupa Cn jest jedyną grupą rzędu n wtedy i tylko
wtedy, gdy gcd(n, ϕ(n)) = 1, gdzie ϕ oznacza funkcję Eulera
Zauważmy, że na przykład dla n = 4 mamy ϕ(4) = 2, czyli zgodnie z tym twierdzeniem
istnieją co najmniej dwie grupy rzędu 4. Można wykazać, że istnieją dokładnie dwie grupy
rzędu cztery: C4 oraz C2 × C2 .
Dotychczasowe rozważania prowadzą też do wniosków mówiących coś o postaci generatorów dowolnej grupy cyklicznej.
Wniosek 3.3.13. Niech G będzie grupą cykliczną o generatorze a ∈ G.
(i) Jeśli |G| = ∞, to jedynymi generatorami grupy G są elementy a oraz a−1 .
(ii) Jeśli |G| = n, to dla k ∈ Z jest G = ak wtedy i tylko wtedy, gdy gcd(n, k) = 1.
(iii) Jeśli |G| = n, to liczba generatorów grupy G jest równa ϕ(n) 1.6.1
Dowód.
(i) Skoro G ∼
= Z, to dzięki twierdzeniu 3.3.12 tylko obrazy elementów ±1 mogą generować
G (gdyż tylko ±1 generują Z). Obrazami tymi są oczywiście a oraz a−1 .
3.3. Generatory grup
37
(ii) Jeśli ak (0 ¬ k < n) jest generatorem, to a = (ak )p = akp dla pewnego p ∈ Z, zatem
akp−1 = 1, czyli n | kp − 1. Istnieje więc takie q ∈ Z, że pk + qn = 1, czyli gcd(n, k) = 1.
Odwrotnie, jeśli gcd(n, k) = 1, to z wniosku 1.2.5 wynika, że istnieją takie p, q ∈ Z, że
pk + qn = 1. Teraz
a = apk+qn = (ak )p (an )q = (ak )q ,
czyli za pomocą ak jesteśmy w stanie otrzymać generator grupy G, więc również całą grupę.
Jednym z przykładów grup cyklicznych ważnych z punktu widzenia dalszych zastosowań
są grupy Un (C) — zespolonych pierwiastków n-tego stopnia z jedynki. Każda taka grupa
jest grupą cykliczną. Generatory grupy Un (C) nazywamy n-tymi pierwiastkami pierwotnymi
z jedynki. Z naszego twierdzenia wynika, że jeśli ζ ∈ Un (C) jest pierwiastkiem pierwotnym
z jedynki stopnia n, to element ζ k jest pierwiastkiem pierwotnym z jedynki stopnia n wtedy
i tylko wtedy, gdy gcd(n, k) = 1.
Grupy cykliczne odgrywają ogromną rolę, na przykład w klasyfikacji grup skończonych.
Są one bowiem „cegiełkami”, z których zbudowane są na przykład wszystkie skończone
grupy abelowe.
Twierdzenie o klasyfikacji takich grup wypowiemy bez dowodu. Zanim jednak to zrobimy
musimy wprowadzić pojęcie iloczynu/sumy prostej grup.
Definicja 3.3.14 (produkt
Q grup). Iloczynem prostym (produktem) niepustej rodziny grup
{Gi }i∈I nazywamy zbiór i∈I Gi wraz z działaniem
(ai )i∈I (bi )i∈I := (ai bi )i∈I ,
(ai )i∈I , (bi )i∈I ∈
Y
Gi .
i∈I
Definicja 3.3.15 (suma prosta grup). Sumą prostą niepustej rodziny grup {Gi }i∈I nazywamy zbiór
n
o
M
Y
Gi := (ai )i∈I ∈
Gi : ai = 1 dla prawie wszystkich i ∈ I
i∈I
i∈I
wraz z działaniem
(ai )i∈I (bi )i∈I := (ai bi )i∈I ,
(ai )i∈I , (bi )i∈I ∈
M
Gi .
i∈I
Jeśli I = {1, . . . , n}, to piszemy
n
Y
i=1
Gi = G1 × · · · × Gn
oraz
n
M
Gi = G1 ⊕ · · · ⊕ Gn .
i=1
Ponadto zauważmy, że G1 × · · · × Gn = G1 ⊕ · · · ⊕ Gn .
Mając taki zestaw informacji możemy pokusić się najpierw o klasyfikację grup niskich
rzędów - też przeprowadzimy ją bez dowodu.
Uwaga 3.3.16.
38
Elementy teorii grup
(1) Jeśli n1 , . . . , nr > 0 oraz n = n1 · · · nr , to Cn ∼
= Cn1 × · · · × Cnr wtedy i tylko wtedy, gdy
liczby n1 , . . . , nr są parami względnie pierwsze.
(2) Jeśli n = pk11 · · · pkr r jest rozkładem liczby naturalnej n na iloczyn liczb pierwszych
p1 , . . . , pr ∈ P parami różnych, to
Cn ∼
= Cpk1 × · · · × Cpkr r .
1
Uwaga 3.3.17 (klasyfikacja grup rzędu ¬ 10). Jeśli G jest grupą rzędu ¬ 10, to jest ona
izomorficzna (jest w klasie izomorfizmu) jednej z poniższych grup.
Rząd grupy
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Klasy izomorfizmu
0 (grupa jednoelementowa)
C2
C3
C2 × C2 (pierwsza grupa niecykliczna), C4
C5
C2 × C3 , S3 (pierwsza grupa nieprzemienna)
C7
C2 × C2 × C2 , C2 × C4 , C8 , D4 , Q (grupa kwaternionów)
C3 × C3 , C9
C2 × C5 , D5
Tabela 3.3: Klasyfikacja grup rzędu ¬ 10.
Przypadek gdy rząd jest liczbą pierwszą omówimy niebawem. Pozostałym warto przyjrzeć się w ramach ćwiczeń. Nieprzypadkowo gdy n = 4 lub n = 9 dostajemy dokładnie dwie
grupy. Rezultat ten można uogólnić: Jeśli p ∈ P, to jedynymi grupami rzędu p2 są Cp × Cp
oraz Cp2 , w szczególności grupa rzędu p2 jest abelowa.
Twierdzenie 3.3.18. Jeśli G jest skończoną grupą abelową, to istnieją takie p1 , . . . , pr ∈ P
oraz k1 , . . . , kr > 0, że G ∼
= Cpk1 × · · · × Cpkr r .
1
Inaczej mówiąc każda skończona grupa abelowa jest sumą prostą grup cyklicznych. Jak
się okazuje własność taka dotyczy również grup abelowych skończenie generowanych.
Twierdzenie 3.3.19. Każda skończenie generowana grupa abelowa jest izomorficzna z grud
pą postaci Cd1 × · · · × Cdr × C∞
, gdzie liczby d1 , . . . , dr > 1 spełniają dodatkowo di | di+1
dla i = 1, . . . , r − 1 oraz d ­ 0.
Ćwiczenia do części 3
Ćwiczenie 3.21. Znaleźć rząd elementu a w grupie G gdzie:
1 2 3
?
(a) a = (2, 5), G = Z4 ⊕ Z11 ,
(b) a =
, G = S3 ,
3 1 2
G = GL2 (R).
(c) a =
1 1
,
0 1
3.4. Grupa ilorazowa
39
0 1
0
1
Ćwiczenie 3.22. (a) Sprawdzić, że elementy: A =
iB =
mają
−1 0
−1 −1
rzędy skończone w G = GL2 (R) ale ich iloczyn nie jest elementem rzędu skończonego.
Ćwiczenie 3.23. Podać przykład grupy i dwóch elementów tej grupy, których rzędy są
względnie pierwsze ale rząd ich iloczynu nie jest równy iloczynowi rzędów. Zbadać co się
stanie gdy założymy dodatkowo przemienność elementów.
Ćwiczenie 3.24. Obliczyć liczbę elementów rzędu 2, 4, 8 i 16 w Z16 ⊕ Z16 .
Ćwiczenie 3.25. Wykazać, że jeśli G jest grupą abelową, to H := {a ∈ G : |a| < ∞}
jest podgrupą G.
Ćwiczenie 3.26. (a) Udowodnić, że jeśli dwie grupy są izomorficzne to mają tę samą ilość
elementów tych samych rzędów.
(b) Podać przykład dwóch grup, w których liczba elementów tych samych rzędów jest
taka sama ale nie są one izomorficzne.
Ćwiczenie 3.27. Rozważmy grupę (Q, +). Udowodnić, że grupa Q ⊕ Q nie jest cykliczna.
Ćwiczenie 3.28. Udowodnić, że Zn ⊕Zm jest cykliczna wtedy i tylko wtedy, gdy (n, m) =
1.
Ćwiczenie 3.29. Udowodnić, że w grupie G cyklicznej rzędu n dla każdej liczby naturalnej
d dzielącej n istnieje dokładnie jedna podgrupa G rzędu d.
Ćwiczenie 3.30. Odpowiedzieć na pytanie, czy jeśli dana grupa G daje się wygenerować
przez 2 elementy, to każda jej podgrupa też musi dać się wygenerować przez co najwyżej 2
elementy.
Wymagane minimum:
(1) Umiejętność obliczania rzędu elementu i wykazywania podstawowych własności rzędu.
(2) Badanie cykliczności zadanej grupy.
3.4
Grupa ilorazowa
Warstwy grupy względem jej podgrup
Gdy G jest grupą, zaś H jej podgrupą, to na zbiorze G określamy następujące relacje
aH Rb : ⇐⇒ a−1 b ∈ H,
aRH b : ⇐⇒ ab−1 ∈ H.
Twierdzenie 3.4.1. Niech G będzie grupą, niech H < G oraz niech a ∈ G.
(i) Relacje H R oraz RH są relacjami równoważności, tzn. są zwrotne, symetryczne i przechodnie.
40
Elementy teorii grup
(ii) Klasami równoważności elementu a (czyli zbiorami elementów, które są z nim w relacji) względem relacji H R oraz RH są zbiory
[a]H R = aH = {ah : h ∈ H},
[a]RH = Ha = {ha : h ∈ H}
odpowiednio.
(iii) aH = H = Ha wtedy i tylko wtedy, gdy a ∈ H.
Dowód.
(i) Zwrotność wynika z 1 ∈ H. Symetryczność z faktu, że jeśli x ∈ H, to również x−1 ∈ H.
Natomiast przechodniość jest zapewniona przez własność: jeśli x, y ∈ H, to xy ∈ H.
(ii) Przykładowo aH Rb wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje takie h ∈ H, że a−1 b = h, a to ma
miejsce tylko wtedy, gdy b = ah ∈ aH. Podobnie postępujemy dla relacji RH .
(iii) Jeśli aH = H = Ha, to a ∈ aH = H (gdyż 1 ∈ H). Gdy zaś a ∈ H, to aH ⊆ H oraz
Ha ⊆ H. Jeżeli natomiast h ∈ H, to h = a(a−1 h) = (ha−1 )a ∈ aH ∩ Ha (bo a−1 h ∈ H
oraz ha−1 ∈ H), zatem H ⊆ aH ∩ Ha. Łącznie mamy aH = H = Ha.
Definicja 3.4.2 (relacje równoważności względem podgrupy, warstwy). Jeśli G jest grupą, zaś H jej podgrupą, to relacje równoważności H R oraz RH nazywamy odpowiednio
lewostronną i prawostronną relacją równoważności grupy G względem podgrupy H. Klasę
równoważności elementu grupy G względem tych relacji nazywamy odpowiednio warstwą
lewostronną i prawostronną tego elementu względem podgrupy H.
Wróćmy do przykładu grupy (Z, +). Weźmy dowolną podgrupę H w tej grupie — wiemy,
że jest ona postaci H = nZ dla pewnego n ∈ N. Wówczas kRH l wtedy i tylko wtedy, gdy
k − l ∈ nZ, a to ma miejsce dokładnie wtedy, gdy k ≡ l (mod n). Stąd zbiór warstw, który
otrzymujemy w ten sposób, to nic innego jak zbiór reszt modulo n.
Twierdzenie 3.4.3. Niech H będzie podgrupą grupy G oraz niech a, b ∈ H.
S
S
(i) a∈G aH = G = a∈G Ha.
(ii) Albo aH = bH albo aH ∩ bH = ∅, podobnie dla warstw prawostronnych.
(iii) Każda warstwa lewostronna (prawostronna) względem podgrupy H jest równoliczna
z podgrupą H.
(iv) Zbiór (G/H)l := {aH : a ∈ G} jest równoliczny ze zbiorem (G/H)r := {Ha : a ∈ G}.
Dowód. Zauważmy, że (i) oraz (ii) wynikają z faktu, że warstwy są klasami abstrakcji
względem pewnej relacji równoważności na zbiorze G. Dowód (iii) oraz (iv) przeprowadzimy
dla warstw lewostronnych, analogicznie przebiega on dla warstw prawostronnych.
(iii) Skonstruujemy bijekcję między warstwą elementu a ∈ G a podgrupą H. Niech
ϕ : H 3 x 7→ ax ∈ aH.
Jest jasne, że odwzorowanie to jest surjekcją. Jest ono również injekcją, bo gdy ax = ay, to
mnożąc przez a−1 z lewej strony otrzymujemy x = y. Wobec tego oba zbiory są równoliczne.
3.4. Grupa ilorazowa
41
(iv) Skonstruujemy znów bijekcję między oboma zbiorami warstw
Φ : (G/H)l 3 aH 7→ Ha−1 ∈ (G/H)r .
Najpierw sprawdzimy poprawną określoność i zarazem injektywność naszego odwzorowania:
aH = bH ⇐⇒ a−1 b ∈ H ⇐⇒ b−1 a ∈ H ⇐⇒ Hb−1 = Ha−1 .
Ponadto Ha = Φ(a−1 H), co zapewnia surjektywność naszego odwzorowania. Wobec tego
oba zbiory są równoliczne.
Powyższe twierdzenie pozwala nam wprowadzić jedną z ważniejszych definicji w teorii
grup, definicje indeksu podgrupy w grupie oraz udowodnić bazowe twierdzenie tej teorii.
Definicja 3.4.4 (indeks podgrupy w grupie). Indeksem grupy G względem jej podgrupy
H (indeksem podgrupy H w grupie G) nazywamy liczbę warstw lewostronnych (prawostronnych) grupy G względem podgrupy H (jeśli liczba ta jest skończona), w przeciwnym
wypadku mówimy, że indeks jest nieskończony. Innymi słowy
[G : H] := |(G/H)l | = |(G/H)r |.
Twierdzenie 3.4.5 (Lagrange). Jeśli H jest podgrupą grupy G, to |G| = [G : H]|H|.
Dowód. Dla dowodu rozważać będziemy warstwy lewostronne grupy G względem podgrupy
H, czyli jak wiemy zbiory postaci aH. Zauważmy najpierw, że każdy
S element a ∈ G jest
elementem swojej warstwy tzn. a = a · 1G ∈ aH, wobec tego G =
aH. Łatwo też widać,
a∈G
(co wiemy też z teorii mnogości) że warstwy dwóch różnych elementów są albo rozłączne
albo się pokrywają, (gdy jakiś element c leży w przecięciu warstw aH i bH to jest w relacji
zarówno z elementem a jak i z elementem b a to z przechodniości relacji oznacza, że elementy
a i b same są w relacji więc ich klasy są równe). Wobec tego możemy założyć, iż z każdej warstwy wybieramy
jednego ’reprezentanta’ i przedstawiamy G jako sumę rozłącznych warstw
S
tzn. G =
aH gdzie S oznacza zbiór pojedynczych reprezentantów wszystkich warstw,
a∈S
czyli #S S
= [G : H].PWiemy już, P
że każda warstwa jest równoliczna z H, czyli w ten sposób
|G| = #
aH =
#(aH) =
|H| = [G : H]|H| co chcieliśmy dowieść. a∈S
a∈S
a∈S
Wniosek 3.4.6. Niech G będzie grupą skończoną rzędu n, niech H < G oraz niech a ∈ G.
(i) |H| | |G| oraz |a| | |G|.
(ii) Jeśli n ∈ P, to wtedy G ∼
= Cn .
Dowód.
(i) To bezpośrednia konsekwencja twierdzenia Lagrange’a.
(ii) Jeśli n ∈ P, to istnieje w G element różny od neutralnego, powiedzmy a. Wtedy jego
rząd jest dzielnikiem |G| = n i jest różny od 1, skąd |a| = n i hai = G. Jest więc G grupą
cykliczna rzędu n, czyli jak wiemy z twierdzenia klasyfikacyjnego 3.3.12 jest G ∼
= Cn .
42
Elementy teorii grup
Podgrupy normalne
Zauważmy, że w poprzedniej części udowodniliśmy, że liczba warstw lewo- i prawostronnych
grupy G względem jej podgrupy H jest taka sama ale nie oznacza to wcale, że te warstwy
muszą być takie same! Rozważmy grupę S3 i jej podgrupę H = {1, (1, 2)}. Łatwo sprawdzić,
że warstwy prawostronne i lewostronne grupy S3 względem podgrupy H są różne. Taka
sytuacja prowadzi nas do następnej bardzo ważnej definicji w teorii grup — podgrupy
normalnej.
Definicja 3.4.7 (podgrupa normalna). Podgrupę H grupy G nazywamy normalną, jeśli
zachodzi równość relacji H R = RH . Piszemy wtedy H C G.
Wiemy już jak wyglądają klasy równoważności względem obu relacji. Wobec tego równoważnie możemy powiedzieć, że podgrupa H jest normalna, gdy dla dowolnego a ∈ G jest
aH = Ha i taką wersję definicji normalności będziemy wykorzystywać częściej.
Wygodnym sposobem sprawdzania, czy dana podgrupa jest normalna jest warunek równoważny, który wykażemy teraz.
Własność 3.4.8. Niech G będzie grupą oraz H < G. Wówcza H jest normalna w G wtedy
i tylko wtedy, gdy ∀ a ∈ G ∀ h ∈ H : aha−1 ∈ H.
Dowód. Załóżmy najpierw, że H jest podgrupą normalną G i ustalmy dowolne a ∈ G oraz
h ∈ H. Wtedy element ah należy do zbioru aH o którym z normalności wiemy, że aH = Ha
czyli istnieje h0 ∈ H takie, że ah = h0 a skąd zaś aha−1 = h0 ∈ H więc warunek nasz jest
spełniony.
Załóżmy teraz, że warunek który proponujemy jest spełniony. Chcemy pokazać, że aH =
Ha. Niech więc ah będzie elementem aH. Zgodnie z naszym warunkiem wiemy, że aha−1 ∈
H czyli istnieje h0 ∈ H takie, że aha−1 = h0 skąd ah = h0 a ∈ Ha więc mamy zawieranie
aH ⊂ Ha.
Niech teraz ha ∈ Ha. Zwróćmy uwagę, że nasz warunek ma ’duży kwantyfikator’ czyli
dla dowolnego elementu z grupy G zachodzi bHb−1 ⊂ H. Jako element b przyjmijmy więc
a−1 i dostaniemy, że a−1 ha ∈ H skąd więc a−1 ha = h0 dla pewnego h0 ∈ H i ha = ah0 ∈ aH
więc mamy zawieranie w drugą stronę.
Uwaga 3.4.9. Niech K ⊆ H będą podgrupami grupy G.
(1) Zawsze mamy {1G } C G oraz G C G.
(2) Jeśli K C G, to wtedy K C H.
(3) Każda podgrupa grupy abelowej jest jej podgrupą normalną.
(4) Jeżeli [G : H] = 2, to H jest podgrupą normalną. Wynika to z faktu, że jedną z warstw
(zarówno lewo- jak i prawostronnych) jest warstwa elementu neutralnego równa H.
(5) Grupa kwaternionów jest nieabelowa ale każda jej podgrupa jest normalna.
Obserwacja 3.4.10. Niech f : G → G0 będzie homomorfizmem grup, niech H, Hi C G dla
i ∈ I oraz niech H 0 C G0 .
T
(i) i∈I Hi C G.
3.4. Grupa ilorazowa
43
(ii) f (H) C f (G) (12 ).
(iii) f −1 (H 0 ) C G.
Dowód. Wystarczy w każdym przypadku zastosować na przykład warunek z 3.4.8 i wykorzystać własności znane z wcześniejszej teorii dla podgrup.
Konstrukcja grupy ilorazowej
Niech G będzie dowolną grupą, zaś H jej podgrupą normalną. Wprowadzimy teraz strukturę
grupy na zbiorze wszystkich warstw grupy G względem podgrupy H.
Niech G/H oznacza zbiór wszystkich warstw lewostronnych (prawostronnych) grupy G
względem podgrupy H. Innymi słowy
G/H = {aH : a ∈ G} = {Ha : a ∈ G}.
Na zbiorze tym zadajemy następujące działanie
(aH)(bH) := (ab)H,
a, b ∈ G.
Twierdzenie 3.4.11. Niech H będzie podgrupą normalną grupy G.
(i) Zbiór G/H z wprowadzonym wyżej działaniem ma strukturę grupy.
(ii) Odwzorowanie πH : G 3 a 7→ aH ∈ G/H jest epimorfizmem grup, ponadto mamy
Ker πH = H.
Dowód.
(i) Zauważmy, że relacja równoważności względem podgrupy normalnej jest zgodna z działaniem w tej grupie. Istotnie, jeśli aLH a0 oraz bLH b0 , to a−1 a0 ∈ H i b−1 b0 ∈ H, zatem
(ab)−1 (a0 b0 ) = b−1 a−1 a0 b0 = [b−1 (a−1 a0 )b][b−1 b0 ] ∈ H,
czyli abLH a0 b0 , co oznacza zgodność relacji z działaniem. Łączność działania w G/H wynika
z łączności działa w G. Widać, że warstwa 1H = H jest elementem neutralnym określonego
działania. Ponadto łatwo sprawdzić, że (aH)−1 = a−1 H dla dowolnej warstwy aH ∈ G/H.
(ii) Fakt, że πH jest homomorfizmem grup wynika bezpośrednio z określenia działania w grupie G/H. Ponieważ każdy element grupy G/H jest postaci aH dla pewnego a ∈ G, więc jest
to oczywiście surjekcja. Jeśli a ∈ G, to πH (a) = 1G/H wtedy i tylko wtedy, gdy aH = H,
zaś równość ta ma miejsce dokładnie wtedy, gdy a ∈ H. Skąd wynika teza o jądrze.
Definicja 3.4.12 (grupa ilorazowa). Jeśli G jest grupą, zaś H jej podgrupą normalną, to
zbiór G/H z wprowadzonym wyżej działaniem nazywamy grupą ilorazową grupy G przez
podgrupę H. Odwzorowanie πH nazywamy odwzorowaniem (rzutowaniem) kanonicznym
(naturalnym) grupy G na grupę G/H.
(12 )Niekoniecznie w G0 .
44
Elementy teorii grup
Jednym z podstawowych przykładów grup, które można otrzymać jako grupy ilorazowe,
to znane nam grupy reszt modulo n. Wykażemy, że dla n > 0 grupa (Zn , +) jest izomorficzna
z grupą ilorazową grupy Z przez jej podgrupę nZ, czyli z (Z/nZ, +). W tym celu określmy
odwzorowanie
ϕ : Z/nZ 3 k + nZ 7→ [k]n ∈ Zn .
Proste przeliczenie wykazuje, że ϕ jest izomorfizmem grup.
W języku grupy ilorazowej możemy wyrazić jeszcze jeden przydatny warunek równoważny na to, aby podgrupa była normalna.
Obserwacja 3.4.13. Podgrupa H grupy G jest jej podgrupą normalną wtedy i tylko wtedy,
gdy istnieje grupa G0 oraz taki homomorfizm grup f : G → G0 , że H = Ker f .
Dowód. Jeśli H jest podgrupą normalną grupy G, to zgodnie z twierdzeniem 3.4.11 wystarczy przyjąć G0 = G/H oraz f = πH . Odwrotnie, jądro homomorfizmu jest zawsze podgrupą
normalną — jako przeciwobraz podgrupy normalnej, jaką jest podgrupa trywialna.
Ćwiczenia do części 3
Ćwiczenie 3.31. W grupie (C, +) rozważmy podgrupę H = {z ∈ C : <(z) = 2=(z)}.
Opisać jak wyglądają warstwy grupy C względem podgrupy H oraz odpowiedzieć na pytanie
jaki jest indeks H w C.
1 2 3
Ćwiczenie 3.32. W grupie S3 wygenerować podgrupę przez σ =
, sprawdzić
2 1 3
jej normalność oraz wyliczyć indeks.
Ćwiczenie 3.33. Rozważmy grupę (C? , ·) oraz jej podgrupę H = R+ . Odpowiedzieć
na pytanie jaki podzbiór płaszczyzny tworzy warstwa ustalonej liczby z ∈ C? względem
podgrupy H.
Ćwiczenie 3.34. W grupie G izometrii własnych trójkąta równobocznego (z działaniem składania) wyznaczyć podgrupę generowaną przez dowolną ustaloną symetrię osiową
i sprawdzić, czy jest to podgrupa normalna.
Ćwiczenie 3.35. Rozstrzygnąć dla jakich n > 1 naturalnych podgrupa Hn = {σ ∈ Sn :
σ(2) = 2} jest normalna w Sn .
Ćwiczenie 3.36. Niech G będzie grupą rzędu n ∈ N. Wykazać, że jeśli H jest podgrupą
G o rzędzie większym lub równym n2 to jest to podgrupa normalna G.
Ćwiczenie 3.37. Wykazać, że w grupie kwaternionów wszystkie podgrupy są normalne
choć grupa nie jest abelowa.
Ćwiczenie 3.38. Wykazać, że jeśli f : G −→ G0 jest homomorfizmem grup to jądro tego
homomorfizmu jest normalną podgrupą G.
Ćwiczenie 3.39. Wykazać, że każda grupa o rzędzie będącym liczbą pierwszą jest grupą
cykliczną.
Ćwiczenie 3.40. Wykazać, że centrum jest normalną podgrupą grupy G oraz, że grupa
G jest abelowa wtedy i tylko wtedy gdy G/C(G) jest cykliczna.
3.5. Twierdzenia o homomorfizmach grup
45
Wymagane minimum:
(1) Wyznaczanie warstw grupy względem podgrupy i tym samym grupy ilorazowej.
(2) Sprawdzanie normalności zadanej podgrupy.
3.5
Twierdzenia o homomorfizmach grup
Twierdzenie 3.5.1 (twierdzenie o przenoszeni podgrup). Jeśli f : G → G0 jest epimorfizmem grup, G jest rodzinę podgrup w G zawierających Ker f , zaś G 0 jest rodziną wszystkich
podgrup w G0 , to odwzorowania
Φ : G 3 H 7→ f (H) ∈ G 0 ,
Ψ : G 0 3 H 0 7→ f −1 (H 0 ) ∈ G
są wzajemnie odwrotnymi bijekcjami. Bijekcje te zachowują również podgrupy normalne.
Dowód. Zauważmy najpierw, że powyższe odwzorowania są poprawnie określone, również
w przypadku podgrup normalnych. Dzięki surjektywności f mamy f (f −1 (A)) = A dla
dowolnego A ⊆ G, w szczególności jest Φ ◦ Ψ = id. Wiemy również, że dla dowolnego A ⊆ G
jest A ⊆ f −1 (f (A)), zatem jeśli Ker f ⊆ H ¬ G, to pozostaje wykazać, że f −1 (f (H)) ⊆ H.
Istotnie, jeśli x ∈ f −1 (f (H)), to f (x) ∈ f (H), zatem istnieje takie h ∈ H, że f (x) = f (h),
czyli h−1 x ∈ Ker f . Ostatecznie jest więc x ∈ h Ker f ⊆ hH = H, czyli Ψ ◦ Φ = id oraz Φ
i Ψ są wzajemnie odwrotnymi bijekcjami.
Dobrą ilustracją zastosowania twierdzenia 3.5.1 jest wyznaczenie postaci podgrup w grupach reszt modulo n. Rozważamy epimorfizm
f : Z 3 k 7→ [k]n ∈ Zn .
Dla przykładu z twierdzenia tego otrzymujemy, że wszystkie podgrupy w grupie (Z8 , +), to
{0}, {0, 4}, {0, 2, 4, 6} i cała grupa.
Twierdzenie 3.5.2 (Podstawowe twierdzenie o izomorfizmie). Jeśli f : G → G0 jest homomorfizmem grup, to wtedy G/ Ker f ∼
= Im f .
Dowód. Izomorfizm skonstruujemy bezpośrednio. Rozważmy odwzorowanie:
F : G/ Ker f 3 a Ker f 7−→ f (a) ∈ Im f
Sprawdzimy, że jest ono poprawnie określonym izomorfizmem, (w oczywisty sposób jest to
surjekcja).
Zauważmy, że mamy następujący ciąg równoważności:
a Ker f = b Ker f ⇐⇒ b−1 a ∈ Ker f ⇐⇒ f (b−1 a) = 1G0 ⇐⇒ [f (b)]−1 f (a) = 1G0 ⇐⇒
f (b) = f (a) ⇐⇒ F (b Ker f ) = F (a Ker f ).
Wynikanie od strony lewej do prawej dowodzi poprawnej określoności odwzorowania,
zaś od prawej do lewej jego injektywności.
Sprawdźmy jeszcze homomorfizm:
F [(a Ker f ) · (b Ker f )] = F ((ab) Ker f ) = f (ab) = f (a)f (b) = F (a Ker f )F (b Ker f ).
46
Elementy teorii grup
3.6
Grupy permutacji Sn
W tej części będziemy rozważać grupy permutacji zbioru {1, . . . , n} dla n > 0. Elementy
zbioru Sn będziemy oznaczać na dwa sposoby: albo jako odwzorowania
σ : {1, . . . , n} → {1, . . . , n}
albo symbolem
σ=
1
···
n
.
σ(1) · · · σ(n)
Oczywiście jak wiemy zbiór Sn z działaniem składania (mnożenia) permutacji tworzy grupę
(nieprzemienną dla n > 2).
Definicja 3.6.1 (cykl k-elementowy, transpozycja). Jeśli {a1 , . . . , ak } ⊆ {1, . . . , n} jest
zbiorem k-elementowym, gdzie 1 < k ¬ n, to permutację % ∈ Sn określoną wzorem
%(a1 ) = a2 , . . . , %(ak−1 ) = ak , %(ak ) = a1 ,
%(j) = j,
j∈
/ {a1 , . . . , ak }
nazywamy cyklem k-elementowym i zapisujemy % = (a1 , a2 , . . . , ak ). Liczbę k nazywamy
długością cyklu %. Permutację identycznościową traktujemy jako cykl długości 1. Cykl dwuelementowy nazywamy transpozycją.
Przykładem cyklu jest permutacja ( 13 27 35 44 52 66 71 ) = (1, 3, 5, 2, 7), natomiast permutacja
( 13 25 37 46 52 64 71 ) nie jest cyklem.
Definicja 3.6.2 (cykle rozłączne). Cykle σ = (a1 , . . . , ak ) ∈ Sn oraz % = (b1 , . . . , bl ) ∈ Sn
nazywamy rozłącznymi, jeśli {a1 , . . . , ak } ∩ {b1 , . . . , bl } = ∅.
Przykładowo cykle (1, 2, 3, 4) oraz (5, 6) są rozłączne, natomiast cykle (1, 3) oraz (3, 5, 4)
rozłączne nie są. Zauważmy ponadto, że (1, 2, 3, 4)(5, 6) = ( 12 23 34 41 56 65 ) = (5, 6)(1, 2, 3, 4)
natomiast (1, 3)(3, 5, 4) = (1, 3, 5, 4) 6= (1, 5, 4, 3) = (3, 5, 4)(1, 3) (13 ).
Obserwacja 3.6.3. Cykle rozłączne są przemienne.
Dowód. Niech σ = (a1 , . . . , ak ) ∈ Sn oraz % = (b1 , . . . , bl ) ∈ Sn będą cyklami rozłącznymi.
Wybierzmy 1 ¬ i ¬ n. Jeśli i ∈
/ {a1 , . . . , ak } ∪ {b1 , . . . , bl }, to σ(i) = %(i) = i, zatem
(σ ◦ %)(i) = i = (% ◦ σ)(i). Jeśli zaś i ∈ {a1 , . . . , ak }, to i ∈
/ {b1 , . . . , bl }, w szczególności
σ(i) ∈ {a1 , . . . , ak } oraz (σ ◦ %)(i) = σ(i) = (% ◦ σ)(i). Podobnie gdy i ∈ {b1 , . . . , bl }, to
mamy (σ ◦ %)(i) = %(i) = (% ◦ σ)(i). Łącznie jest więc σ ◦ % = % ◦ σ.
Twierdzenie 3.6.4. Każda permutacja ma jednoznaczny rozkład na cykle rozłączne.
Dowód. Niech σ ∈ Sn . Istnienie rozkładu permutacji σ na cykle rozłączne wykażemy indukcyjnie względem n. Dla n = 1, 2 jest to oczywiste. Przypuśćmy więc, że n > 2 oraz,
że każda permutacja zbioru o co najwyżej (n − 1)-elementach jest cyklem lub iloczynem
cykli rozłącznych. Możemy założyć, że σ 6= 1. Wobec tego istnieje takie a ∈ {1, . . . , n}, że
σ(a) 6= a. Oznaczmy a1 = a, a2 = σ(a1 ), itd. Wtedy a1 6= a2 . Ponieważ zbiór {1, . . . , n}
jest skończony, to istnieją takie 1 ¬ i < j ¬ n, że ai = aj . Wybierzmy minimalną liczbę
(13 )Zwykle w takim zapisie pomijamy znak składania ◦ pomiędzy permutacjami.
3.6. Grupy permutacji Sn
47
o tej własności i oznaczmy ją przez j0 . Niech teraz 1 ¬ i0 < j0 ¬ n spełnia aj0 = ai0 . Jeśli
wykażemy, że i0 = 1, to otrzymamy pierwszy cykl. Przypuśćmy więc, że i0 > 1, wtedy jednak σ(aj0 −1 ) = aj0 = ai0 = σ(ai0 −1 ), czyli dzięki injektywności σ jest aj0 −1 = ai0 −1 i mamy
sprzeczność z minimalnością j0 . Wobec tego i0 = 1, czyli permutację σ możemy zapisać
następująco
a1 · · · aj0 −1
bj0
···
bn
σ=
◦ %,
%=
,
a2 · · · a1
σ(bj0 ) · · · σ(bn )
gdzie {bj0 , . . . , bn } = {1, . . . , n} \ {a1 , . . . , aj0 −1 }. Korzystając z założenia indukcyjnego
otrzymujemy dalszy rozkład na cykle rozłączne permutacji %, a tym samym rozkład na
cykle rozłączne permutacji σ. Niech teraz
σ = σ1 ◦ · · · ◦ σs = %1 ◦ · · · ◦ %r
będą rozkładami permutacji σ na cykle rozłączne. Jeśli σ1 = (a1 , . . . , ak ), to a1 występuje
w dokładnie jednym z cykli %i dla i = 1, . . . , r. Możemy założyć, że a1 występuje w cyklu
%1 = (b1 , . . . , bl ) oraz, że a1 = b1 (możemy cyklicznie przestawić elementy b1 , . . . , bl tak, aby
a1 znalazł się jako pierwszy w zapisie). Mamy a2 = σ(a1 ) = σ(b1 ) = b2 , itd. Musi więc być
k = l oraz σ1 = %1 , zatem
σ2 ◦ · · · ◦ σs = %2 ◦ · · · ◦ %r .
Teraz zwykła indukcja kończy dowód.
6 7 8 9 10 11 ). Łatwo sprawdzić, że otrzymujemy rozRozważmy permutację σ = ( 13 21 37 48 56 11
2 4 9 10 5
kład na cykle rozłączne postaci σ = (1, 3, 7, 2)(4, 8)(5, 6, 11).
Wniosek 3.6.5. Niech n > 1 oraz σ ∈ Sn .
(i) Każda permutacja n-elementowa jest iloczynem transpozycji (14 ).
(ii) Jeśli w jednym z rozkładów na transpozycje permutacji σ występuje parzysta (nieparzysta) liczba transpozycji, to jest tak również w dowolnym innym rozkładzie na
transpozycje tej permutacji.
Dowód.
(i) Dla identyczności mamy np. 1 = (i, j)(i, j), gdzie i 6= j. Dalej wystarczy ograniczyć się
do cykli długości 1 < r ¬ n i zauważyć, że (a1 , . . . , ar ) = (a1 , ar )(a1 , ar−1 ) · · · (a1 , a2 ).
(ii) Określmy liczbę zwaną wyróżnikiem permutacji σ następująco
Y
∆(σ) :=
σ(j) − σ(i) .
1¬i<j¬n
Oczywiście jeśli τ ∈ Sn jest transpozycją, to ∆(σ ◦ τ ) = −∆(σ). Niech teraz
σ = σ1 ◦ · · · ◦ σs = τ1 ◦ · · · ◦ τr ,
gdzie σ1 , . . . , σs ∈ Sn oraz τ1 , . . . , τr ∈ Sn są transpozycjami. Mamy
∆(σ) = (−1)s ∆(1) = (−1)r ∆(1).
Ponieważ ∆(1) 6= 0, to (−1)s = (−1)r , czyli r oraz s są tej samej parzystości.
(14 )Transpozycje te jednak nie muszą być rozłączne.
48
Elementy teorii grup
Definicja 3.6.6 (znak permutacji). Permutację σ ∈ Sn (n > 1) nazywamy parzystą (nieparzystą), jeśli w jej rozkładzie na transpozycje liczba transpozycji jest parzysta (nieparzysta).
Jeśli liczba transpozycji występujących w pewnym rozkładzie permutacji σ jest równa s, to
liczbę sgn(σ) = (−1)s nazywamy znakiem permutacji σ. Gdy n = 1, to przyjmujemy, że
jedyna permutacja identycznościowa jest permutacją parzystą.
Dzięki wnioskowi 3.6.5 wiemy, że znak permutacji z definicji 3.6.6 jest poprawnie określony. Ponadto odwzorowanie
sgn : Sn 3 σ 7→ sgn(σ) ∈ {−1, 1}
jest epimorfizmem o jądrze An — będącym zbiorem wszystkich permutacji parzystych.
Definicja 3.6.7 (grupa alternująca). Grupę An złożoną ze wszystkich n-elementowych
permutacji parzystych nazywamy grupą alternującą stopnia n.
Obserwacja 3.6.8. An jest podgrupą normalną w Sn . Ponadto |An | = n!/2 dla n > 1.
Dowód. Fakt, że An C Sn wynika stąd, że An jest jądrem homomorfizmu sgn. Jeśli n > 1,
to na podstawie I Twierdzenia o Izomorfizmie mamy Sn /An ∼
= {−1, 1} ∼
= C2 , skąd wynika
równość [Sn : An ] = |Sn /An | = 2 i z twierdzenia Lagrange’a |An | = |Sn |/2 = n!/2.
Definicja 3.6.9 (grupa prosta). Grupę nie zawierającą nietrywialnych podgrup normalnych
nazywamy prostą.
Twierdzenie 3.6.10. Grupa An jest prosta dla n ­ 5.
Dowód. Niech {1} 6= H C An oraz ustalmy σ ∈ H \ {1}. Dowód przedstawimy w dwóch
krokach.
Krok 1. Pokażemy, że H zawiera iloczyn pewnych dwóch transpozycji rozłącznych. Rozłóżmy σ na iloczyn cykli rozłącznych. Mamy wtedy cztery możliwości:
(1) w rozkładzie σ nie występuje cykl o długości mniejszej niż 4,
(2) w rozkładzie σ występują co najmniej dwa cykle i jeden z nich jest długości 3 ,
(3) σ jest cyklem długości 3,
(4) σ jest iloczynem parzystej liczby rozłącznych transpozycji.
W każdym z przypadków dobierzemy pewną permutację τ ∈ An tak, aby z dokładnością do
ewentualnej zmiany numeracji elementów wszystkie sytuacje przedstawiała tabela:
Przypadek
(1)
(2)
(3)
(4)
σ∈H
(1, 2, 3, 4, . . .)σ̄
(1, 2, 3)(4, 5, . . .)σ̄
(1, 2, 3)
(1, 2)(3, 4)σ̄
τ ∈ An
(1, 2, 3)
(1, 2, 4)
(1, 2, 4)
(1, 2, 3)
στ σ −1 τ −1 ∈ H
(1, 4, 2)
(1, 4, 3, 5, 2)
(1, 2)(3, 4)
(1, 3)(2, 4)
Jak widać do H zawsze należy iloczyn dwóch rozłącznych transpozycji. W przypadku (3)
i (4) jest to oczywiste, przypadek (1) sprowadza się do (3) skoro otrzymaliśmy cykl długości
3, zaś przypadek (2) sprowadza się do (1), zatem również do (3).
3.6. Grupy permutacji Sn
49
Krok 2. Korzystając z kroku 1 ustalmy σ = (1, 2)(3, 4) ∈ H. Wykażemy, że iloczyn
dowolnych dwóch transpozycji należy do H, co będzie oznaczało, że H = An . Rozważmy
najpierw iloczyn dwóch transpozycji rozłącznych (i, j)(k, l). Niech
1 2 3 4 5 ··· n
τ=
.
i j k l τ (5) · · · τ (n)
Wówczas τ ∈ An lub π = (1, 2)τ ∈ An , zatem τ στ −1 ∈ H lub πσπ −1 = τ στ −1 ∈ H. Tak czy
inaczej % = τ στ −1 ∈ H oraz % = τ στ −1 = (i, j)(k, l). Gdy natomiast mamy do czynienia
z permutacją (i, j)(i, k), gdzie j 6= k, to istnieją takie l, m ∈ {1, . . . , n} \ {i, j, k}, że l 6= m
oraz mamy (i, j)(i, k) = [(i, j)(l, m)][(l, m)(i, k)] ∈ H.
Wniosek 3.6.11. Dla dowolnego n > 1 grupa An jest jedyną podgrupą indeksu 2 w Sn .
Dowód. Dla n < 5 można sprawdzić to bezpośrednim rachunkiem. Niech n ­ 5 oraz H ¬ Sn
będzie podgrupą indeksu 2. Wiemy, że H C Sn , zatem H ∩ An C An . Skoro An jest grupą
prostą, to H ∩ An = An lub H ∩ An = {1}. Gdyby zachodziła druga możliwość, to podgrupa
H zawierałaby tylko jedną permutację parzystą i 59 permutacji nieparzystych. Wybierzmy
dwie różne permutacje σ, τ ∈ H \{1}. Zauważmy, że permutacje σ 2 oraz στ są parzyste i leżą
w H, zatem σ 2 = 1 = στ , więc σ = τ , sprzeczność. Musi zachodzić zatem H ∩ An = An ,
czyli An ⊆ H. Równość rzędów obu podgrup gwarantuje, że H = An .
Ćwiczenia do części 6
Ćwiczenie 6.1. Udowodnić, że grupa ilorazowa grupy (C? , ·) przez podgrupę H = {z ∈
C? : |z| = 1} jest izomorficzna z (R, +)
Ćwiczenie 6.2. Udowodnić, że grupa ilorazowa (R, +)/Z jest izomorficzna z S = {z ∈
C : |z| = 1} z działaniem mnożenia.
Ćwiczenie 6.3. Odpowiedzieć na pytanie, czy istnieje epimorfizm grupy permutacji S3
na Z2
Ćwiczenie 6.4. Niech G będzie grupą, C(G) - centrum grupy G. Wykazać, że G/C(G)
jest izomorficzna z Inn(G) czyli grupą automorfizmów wewnętrznych grupy G.
Ćwiczenie 6.5. Wyznaczyć centrum grupy permutacji Sn
Ćwiczenie 6.6. Uzasadnić, że w grupie S4 jest 9 elementów rzędu 2, 8 elementów rzędu
3 i 6 elementów rzędu 4.
Ćwiczenie 6.7. Sprawdzić, że zbiór {(1, 2, . . . , n), (1, 2)} generuje Sn
Ćwiczenie 6.8. Sprawdzić, że w grupie A4 permutacji parzystych 4 elementowych nie ma
podgrupy rzędu 6
Ćwiczenie 6.9. (a) Udowodnić, że jeśli G jest grupą H, K podgrupami G przy czym H
jest normalna, to HK = {hk, h ∈ H, k ∈ K} jest podgrupą G
(b) Przy założeniach z punktu (a) udowodnić, że HK/H ∼
= K/(H ∩ K), (II twierdzenie
o izomorfizmie)
50
Elementy teorii grup
Ćwiczenie 6.10. Udowodnić, że jeśli G jest grupą, K, H C G oraz K ⊆ H, to wtedy
H/K C G/K oraz (G/K)/(H/K) ∼
= G/H (III twierdzenie o izomorfizmie)
Wymagane minimum:
(1) Umiejętność wykorzystywania I twierdzenia o izomorfizmie do wykazywania izomorficzności grup oraz własności istnienia podgrup konkretnego rzędu.
(2) Sprawne operowanie własnościami grup permutacji.
Dodatek A
Aneks - teoria liczb
A.1
Algorytm Euklidesa
Algorytm Euklidesa dowód
[dowód twierdzenia 1.2.3]
Dowód. Dowód przeprowadzimy indukcyjnie względem liczby kroków w algorytmie dzielenia
dla liczb a i b, czyli względem n = N (a, b).
Sprawdzamy najpierw n = 0.
Fakt, że n = 0 oznacza, że liczba |b| dzieli a czyli r(a, b) = |b| jest największym wspólnym
dzielnikiem obu liczb. Oczywiście możemy zapisać NWD(a, b) = |b| = 0 · a + sgn(b)b i mamy
drugą część tezy.
Niech teraz n > 0 oraz załóżmy, że teza zachodzi dla liczb, dla których Algorytm 1.2.2
kończy się po co najwyżej n − 1 krokach.
Pierwszy krok algorytmu prowadzi do równości a = |b|q1 + r1 . Zauważmy, że dalsza część
tego algorytmu dla liczb a i b jest złożona dokładnie z kroków algorytmu dla liczb |b| i r1 .
Wobec tego wiemy, że dla liczb |b| i r1 algorytm kończy się po n−1 krokach i jego efektem jest
nadal liczba r(a, b), skąd z założenia indukcyjnego otrzymujemy, że r(a, b) = NWD(|b|, r1 )
oraz istnieją liczby k1 , l1 całkowite takie, że r(a, b) = k1 |b| + l1 r1 .
Skoro r(a, b) = NWD(|b|, r1 ), to r(a, b)|b oraz r(a, b)|r1 , co w połączeniu z równością
a = |b|q1 + r1 daje że r(a, b)|a - jest to więc wspólny podzielnik a i b. Ponownie, jeśli jakaś
liczba naturalna d > 0 dzieli a i dzieli b, to z tejże samej równości mamy, że dzieli także r1 ,
wobec tego musi być d 6 r(a, b), co kończy dowód (1).
Dla (2) wystarczy wyliczyć: r(a, b) = k1 |b| + l1 (a − |b|q1 ) = l1 a + sgn(b)(k1 − l1 q1 )b.
O historii algorytmu Euklidesa słów kilka
Algorytm Euklidesa to jeden z najstarszych i najbardziej znanych algorytmów; podany został
już ok. 2500 lat temu. Faktycznym autorem algorytmu jest Eudoksos z Knidos 1 zaś Euklides
(1 )Eudoksos: grecki astronom urodzony w 408 roku p.n.e., uczeń Platona, autor między innymi teorii
proporcji, najprawdopodobniej odkrywca algorytmu wyliczania NWD, później nazwanego algorytmem Eu-
51
52
Aneks - teoria liczb
jedynie opisał go w swoim dziele Elementy. Euklidesowe elementy teorii liczb zawarte zostały
w księgach od VII do IX wspomnianego dzieła.
Czytając, trzeba pamiętać o tym, że w języku greckim słowo ”liczba” oznacza wówczas
liczby naturalne większe od 1, (jedynka rozważana jest osobno jako ”jedność” a nie jako ”liczba”), nie jest znana jeszcze koncepcja zera, liczby ujemnej, wymiernej, czy niewymiernej.
Tym niemniej rozważane są stosunki liczb naturalnych jak i zagadnienia proporcji, dzięki
którym wiele własności liczb nie tylko naturalnych możemy z tych koncepcji wyczytać. Trzy
wspomniane księgi Elementów znane są też pod nazwą ”Księgi arytmetyczne”.
Sam algorytm obliczania NWD liczb naturalnych, Euklides przedstawia na początku Księgi VII, w której to księdze pojawia się również własność znana obecnie pod hasłem ”Lemat
Euklidesa”. Dodać należy, że bazą dla omawianego przez nas algorytmu jest wówczas geometria i problem ”szukania wspólnej miary” dwóch odcinków. Danymi do tego algorytmu
są dwie liczby dodatnie a i b takie, że b < a, zaś podany algorytm opisać można w trzech
krokach: 1. jeśli b dzieli a, to przyjmujemy jako wynik b i kończymy; 2. jeśli b < a, to bierzemy a = a − b; 3. przyjmujemy jako nową parę: (a, b). I dalej powtarzamy procedurę. De
facto to krok drugi jest algorytmem dzielenia: odejmujemy b od a aż dostaniemy a mniejsze
od b, inaczej - w dzisiejszym sformułowaniu zapisujemy a = qb + r, gdzie r < b a potem
w miejsce b przyjmujemy r. Tak określony algorytm, jeśli dopuścilibyśmy nie tylko liczby
naturalne oczywiście nie zawsze musi się zakończyć.
W przypadku rozważania liczb naturalnych w efekcie działania algorytmu otrzymujemy
NWD wyjściowych liczb, (jak to udowodniliśmy). Euklides - podobnie jak my - dowodzi najpierw, że w efekcie wykonania algorytmu dostajemy liczbę, która jest wspólnym dzielnikiem
wyjściowych liczb, później zaś wykazuje, że każdy inny wspólny dzielnik tych liczb musi też
być podzielnikiem efektu algorytmu, tym samym musi też być od efektu naszego algorytmu
mniejszy lub równy. Zwłaszcza ta druga własność, niejako produkt uboczny algorytmu Euklidesa jest niezwykle istotna. Prowadzi do wielu ważnych wniosków, w szczególności zaś to
dzięki tej własności mamy możliwość uogólnienia w dalszych rozważaniach pojęcia NWD na
pierścienie, w których w ogólnej sytuacji, nie mając danego porządku nie możemy postawić
tej definicji w dokładnie taki sam sposób jak w pierścieniu liczb całkowitych. Czysto algebraiczna definicja NWD powie nam w przyszłości, iż element d w pierścieniu jest największym
wspólnym dzielnikiem dwóch (lub więcej) elementów a, b, gdy jest ich wspólnym dzielnikiem
oraz jest podzielny przez każdy inny ich wspólny dzielnik. Wspomniana własność bardzo łatwo wynika też z tożsamości Bezouta. Tożsamość tę można także wykorzystać w dowodzie
Lematu Euklidesa, który charakteryzuje liczby pierwsze, mówiącego, że jeśli liczba pierwsza
dzieli iloczyn dwóch liczb, to musi dzielić jedną z nich, (de facto jest to oczywiście również
warunek równoważny na pierwszość liczby p > 1). Euklides dowód swojego lematu opiera na
pewnych własnościach proporcji, z analizą czego zapoznać się można np. w artykule ”Did
Euclid Need the Euclidean Algorithm to Prove Unique Factorization” Davida Pengelleya i
Freda Richmana, (dostępny w internecie).
Aby algorytm zastosować nie tylko do liczb naturalnych wystarczy zauważyć, że dzielenie
z resztą to tak naprawdę wyłączanie części całkowitej i odwracanie tego co nam pozostało,
aby znów było co wyłączyć. Można więc algorytm ten zastosować wszędzie tam gdzie ma
sens takie wyłączenie całości. Wtedy oczywiście może się zdarzyć iż będzie on trwał w nieklidesa.
A.2. O identyczności Bezouta słów kilka.
53
skończoność. Ciekawym zastosowaniem algorytmu Euklidesa są ułamki łańcuchowe.
A.2
O identyczności Bezouta słów kilka.
Identycznością Bezouta często nazywany jest sam wniosek 1.2.5 (1). Jak się zdaje przypisanie tej identyczności wyłącznie Bezoutowi nie jest do końca uprawnione, gdyż wersja tego
twierdzenia dla dwóch liczb pojawia się już w 1612 roku w komentarzach do łacińskiego tłumaczenia Arytmetyki Diofantosa, 2 zredagowanego przez innego matematyka francuskiego
Bachet de Méziriac 3 . W komentarzach tych Bachet zapisuje identyczność Bezouta i podaje
jej algorytmiczny dowód.
Identyczność ta pojawia się także w drugiej edycji jego książki
”Problèmes plaisants et délectables” wydanej w roku 1624. Związanie
nazwy twierdzenia z nazwiskiem Bezouta bierze swój początek z faktu,
iż właśnie Etienne Bezout 4 jako pierwszy sformułował owo twierdzenie w języku algebry, a
konkretniej dla przypadku pierścienia wielomianów nad ciałem. Zaznaczmy też na razie, że
twierdzenie powyższe nie mówi o własności specyficznej dla liczb całkowitych. Udowodnimy
dalej jego uogólnienie jakie zachodzi w pierścieniu ideałów głównych, (ideałów generowanych przez jeden element - por. III). Wspomnieć wypada też, że istnieją tzw. pierścienie
Bezouta, których znakiem charakterystycznym jest fakt, że wszystkie ich ideały skończenie
generowane są ideałami głównymi, co jest własnością dość dokładnie uogólniającą powyższe
twierdzenie na przypadek pierścieni. Tak naprawdę jednak można powiedzieć, że najbardziej
naturalną strukturą, na którą warto uogólniać własność B-B jest właśnie pierścień ideałów
głównych - pierścienie Bezouta powstały dość sztucznie na potrzeby rozważania konkretnie
tej własności.
Dowód wniosku 1.2.6
Dowód. Niech c =NWW(a, b). Zauważmy najpierw, że każda wielokrotność liczb a i b musi
być podzielna przez c. Istotnie, jeśli c̃ jest wspólną wielokrotnością liczb a i b to wydzielając
z resztą c̃ przez c otrzymamy, że istnieje para (q, r) taka, że c̃ = cq + r i 0 6 r < c.
Jednocześnie zarówno c jak i c̃ są podzielne przez a i przez b więc również r jest wspólną
wielokrotnością tych liczb, co stoi w sprzeczności z minimalnością c.
Wobec tego istnieje d ∈ Z takie, że ab = cd. Wykażemy, że d =NWD(a, b). Niech c = aa1
dla pewnego a1 ∈ Z. Wtedy ab = aa1 d skąd b = a1 d, czyli d|b. Analogicznie otrzymujemy,
że d|a jest to więc ich wspólny dzielnik.
˜ b = d˜b̃. Wtedy
Niech teraz d˜ > 0 będzie wspólnym dzielnikiem liczb a i b, czyli a = dã,
c̃ := ãd˜b̃ jest wspólną wielokrotnością liczb a i b, więc c̃ = cf dla pewnego f ∈ Z. Wówcza
˜ skąd d|d,
˜ więc jest mniejsze lub równe od d. Tym samym d jest największym
cd = ab = cf d,
wspólnym dzielnikiem wyjściowych liczb.
(2 )Diophantus z Alexandrii: matematyk grecki (ok. 200-284), znany jako ”ojciec algebry”
(3 )Claude Gaspard Bachet de Méziriac: matematyk francuski, (1581-1638) to na marginesie jego tłumaczenia Arytmetyki Diofantosa Fermat skreślił swoje słynne Wielkie Twierdzenie Fermata
(4 )Etienne Bezout: matematyk francuski, (1730-1783), głównie kojarzony z metodami rozwiązywania
równań algebraicznych
54
Aneks - teoria liczb
A.3
O równania diofantycznych
Ogólnie równania diofantyczne to równania o postaci wielomianowej, (wielomianowa zależność względem zmiennych), dla których poszukujemy wymiernych lub całkowitych rozwiązań.
Jak sama nazwa wskazuje wiele spośród problemów obecnie ukrytych pod nazwą ”równania
diofantyczne” bierze swoje źródło z wymienionego już dzieła ”Arithmetica” Diophantusa.
Jednak część z tych zagadnień była już dobrze znana wcześniej. Warto też zauważyć, że
kilka słynnych problemów teorii liczb, długo pozostających nierozwiązanymi, jak choćby najbardziej znane Wielkie Twierdzenie Fermata to problemy formułowane w języku równań
diofantycznych.
Niewiele wiadomo o życiu samego Diophantusa, historycy w przybliżeniu określają datę
jego urodzin w Aleksandrii na około 200 n.e. a jego śmierci na 284. Najbardziej znanym jego
dziełem jest wspomniana ”Arithmetica” zawierająca 13 ksiąg, (przetrwało z nich zaledwie
6) w tym 130 problemów w których podaje się rozwiązania równań tzw. oznaczonych, (z jednoznacznym rozwiązaniem) jak i nieoznaczonych. Równania liniowe nie należały jednak do
najbardziej interesujących samego Diofantosa, zaś pierwszym, który podał ogólne rozwiązanie liniowego równania diofantycznego w takiej postaci, w jakiej go przed chwilą omówiliśmy
był Brahmagupta. 5
Sam Diofantos zdobył sławę także dzięki drugiemu swojemu dziełu ”On polygonal numbers” zaś zaproponowane przez niego metody rozwiązywania problemów miały ogromny wpływ
na dalszy rozwój tak teorii liczb jak i algebry, choć on sam nie stosował nazbyt wyszukanych
zapisów algebraicznych. Równanie, które rozważaliśmy wyżej, czyli liniowe równanie diofantyczne dwóch zmiennych jako problem datuje się jeszcze sprzed czasów samego Diofantosa,
podobnie zresztą jak np. równanie stopnia 2 postaci x2 + y 2 = z 2 - oba te problemy były
znane już Babilończykom. Rozwiązania drugiego z nich noszą nazwę trójek pitagorejskich,
dzięki swojej interpretacji w języku długości boków trójkąta prostokątnego.
A.4
O zasadniczym twierdzeniu arytmetyki
Można powiedzieć, że już Euklides był bliski sformułowaniu zasadniczego twierdzenia arytmetyki mimo, iż nie dysponował pojęciem rozkładu jako takiego. Gdy jednak połączyć Lemat
Euklidesa i drugą własność z księgi VII Elementów: każda liczba złożona jest podzielna przez
pewną liczbę pierwszą, to możemy w zasadzie stwierdzić, iż na podstawie tych dwóch własności można sformułować i udowodnić zasadnicze twierdzenie arytmetyki. Część dotycząca
istnienia rozkładu została już wypowiedziana i udowodniona przez matematyka perskiego
Kamala al-Din al Farisi 6 . Nie stwierdza on co prawda jednoznaczności, ale używa rozkładu
na liczby pierwsze do wyszukiwania wszystkich podzielników danej liczby i na podstawie jego
rozumowań można również uzyskać dowód jednoznaczności rozkładu. Dalszymi badaczami
podzielników danej liczby byli kolejno wspomniany wcześniej Jean Prestet, Euler, (1770) i
Legendre,7 (1798). Żaden z nich nie udowodnił jednoznaczności choć dość blisko był ten
ostatni podając kanoniczy rozkład na liczby pierwsze, dzieląc daną liczbę kolejno przez 2
(5 )Brahmagupta: indyjski matematyk i astronom, 598-670, znany głównie z wierszowanego podręcznika
Brahmasphutasiddhanta, w którym pojawia się m.in.współczesny symbol zera oraz liczby ujemne
(6 )Kamal al-Din Abu’l-Hasan Muhammad Al-Farisi (ok. 1267-1319/20) - matematyk i fizyk perski
(7 )Adrien-Marie Legendre: matematyk francuski, (1752-1833)
A.5. O chińskim twierdzeniu o resztach
55
tylekroć ile to możliwe, potem przez 3, 5 itd. W 1801 roku Gauss w Disquisitiones Arithmetica w Article 16 formułuje i dowodzi jednoznaczności rozkładu, (mówi też o istnieniu, nie
dowodzi go jednak uznając to za fakt prosty). Gauss stwierdza tam mniej więcej tyle: ”Jest
jasnym na podstawie elementarnych rozważań, że każda liczba złożona może zostać rozłożona na czynniki pierwsze, ale zakłada się milcząco i na ogół bez dowodu, że taki rozkład
nie może zostać przeprowadzony na różne sposoby”. Słowem pierwszy pełny dowód jednoznaczności rozkładu przypisać można Gaussowi. W dalszej części wykładu przyjrzymy się
uogólnieniu pojęcia jednoznaczności rozkładu na sytuację algebraiczną. W tej wersji jeszcze
niejednokrotnie spotkamy się z Gaussem, od którego biorą swą nazwę pierścienie, w których
elementy można przedstawiać jednoznacznie, (w odpowiednim sensie - z dokładnością do
porządku i mnożenia przez element odwracalny) jako iloczyny elementów nierozkładalnych,
które w sytuacji algebraicznej tworzą odpowiedniki liczb pierwszych.
A.5
O chińskim twierdzeniu o resztach
J ako genezę chińskiego twierdzenia o resztach uważa się następujący problem, który napotkać można w podręczniku arytmetyki napisanym przez chińskiego matematyka Sunzi (Sun
Tsu) (1257 ??- można się tu spotkać z dość rozbieżnymi datami): Mamy zbiór pewnych
ustalonych rzeczy, których liczba nie jest znana. Gdy ich liczbę podzielimy przez 3 dostaniemy resztę 2 (ustawiamy te rzeczy trójkami - na końcu zostaje nam dwójka), gdy dzielimy
przez 5 zostaje nam 3, gdy dzielimy je przez 7 zostaje nam 2. Ile jest tych rzeczy ?.
Odpowiedź kryje się podobno w następujących wersetach:
Oystein Ore w ”Number theory and its history” wspomina o innej zagadce pochodzącej
od Brahmagupta:
Stara kobieta podąża na targ z koszem jajek. W drodze zdarza się wypadek i koń następuje na kosz, niszcząc jajka. Jeździec oferuje się zapłacić za szkody i pyta kobietę ile jajek
miała. Niestety kobieta nie pamięta dokładnie ilości. Kiedy jednak wyjmowała je po dwa
na raz to pozostawało jedno jajko. Tak samo zdarzało się, gdy wyjmowała po trzy, cztery,
pięć i sześć. Gdy jednak wyjmowała po siedem nie zostało na końcu nic. Jaką najmniejszą
liczbę jajek mogła mieć w koszyku ?
Ogólnie na takie mniej lub bardziej interesujące zagadki odpowiada udowodnione przez
nas wyżej TCR. Twierdzenie to wykorzystywali m.in. chińscy generałowie przy zliczaniu
liczby wojsk chińskiej armii. W Europie TCR stało się szczególnie znane dzięki artykułowi
”Jotting on the science of Chinese arithmetic” autorstwa Alexandra Wylie’a z 1853 roku.
Warto dodać, że istnieje wiele różnych uogólnień TCR, (wspomnieć można by chociaż o
zastosowaniach w problemach interpolacyjnych wersji wielomianowej zaproponowanej przez
Legendre’a) - o wersji ideałowej opowiemy przy okazji teorii pierścieni.
A.6 Małe twierdzenie Fermata i Twierdzenie
Eulera-Fermata, historia, dowody i zastosowania
56
Aneks - teoria liczb
Małe Twierdzenie Fermata, (w skrócie dalej MTF) zostało sformuło- Rysunek
A.1:
wane przez samego Pierre’a de Fermat w liście datowanym na 18 paź- Pierre de Fermat.
dziernika 1640 roku, którego adresatem był jego przyjaciel i powiernik
Frénicle de Bessy. Postawienie problemu brzmiało wówczas następująco:
Liczba pierwsza p dzieli różnicę ap−1 − 1, gdy a jest liczbą względnie
pierwszą z p.
Fermat, (jak to miał w zwyczaju) nie umieścił dowodu, a jedynie notkę:
” ...przesłałbym Ci dowód tej własności, gdyby nie fakt, że byłby on zapewne zbyt długi
by go tu umieścić ”.
Pierwszy dowód przypisuje się Eulerowi, ale trzeba pamiętać, że chodzi o pierwszą opublikowaną wersję dowodu. Rzeczywiście bowiem to do Eulera należy pierwsza taka publikacja, która pojawiła się w jego pracy z 1736 roku zatytułowanej: ”Theorematum Quorundam
ad Numeros Primos Spectantium Demonstratio”, (o tym dowodzie szczegółowo można poczytać dalej: DE ). Jednak pozostawiony przez Leibniza 8 praktycznie taki sam dowód w
jego nieopublikowanym manuskrypcie, pochodzi ze znacznie wcześniejszego okresu, sprzed
1683 roku.
Skąd nazwa ”Małe Twierdzenie Fermata” ? Nie jest do końca jasne kto pierwszy tak
nazwał omawiane twierdzenie. Prawdopodobnie najwcześniejsze znane źródło, w którym
pojawia się taka nazwa pochodzi z 1913 roku i jest nim opublikowana w Zahlentheorie przez
Kurta Hensela9 praca w której czytamy: ( interpretacja Twierdzenia Fermata w języku teorii
grup patrz G ):
” Jest też takie fundamentalne twierdzenie zachodzące dla każdej grupy skończonej zwyczajowo zwane Małym Twierdzenie Fermata, gdyż to Fermat właśnie był pierwszym, który
wykazał jego szczególny przypadek. ”
Kiedy jednak D.H.Lehmer publikuje swoją pracę pt. ”On the convers of Fermat’s theorem” w 1936 roku nie używa nazwy Małe Twierdzenie Fermata, nie była to więc jeszcze
wówczas nazwa powszechnie stosowana, choć pojawiła się też wcześniej w podręczniku teorii
liczb Landaua z roku 1927.
Omawiając twierdzenie Fermata nie sposób nie wspomnieć o tym, że podobne hipotezy
stawiane były przez akademików chińskich, (czasami nazywane są one właśnie ”hipotezami
chińskimi”) ok. 2500 lat temu. Przypuszczali oni, że liczba p jest pierwsza wtedy i tylko wtedy, gdy 2p ≡ 2(mod p). Jak obecnie wiadomo tylko wynikanie w jedną stronę jest prawdziwe,
a więc takie jakie poznajemy dzięki twierdzeniu Fermata. Jako przykład fałszywości odwrotnej implikacji mamy: 341 = 11 · 31 - liczbę, która spełnia kongruencję 2341 ≡ 2(mod 341)
ale nie jest pierwsza. Jest to jednocześnie najmniejsza liczba pseudopierwsza Fermata przy
bazie równej 2, (czyli właśnie taka, która spełnia założenia MTF dla a = 2) która nie jest
pierwsza. Fakt, iż takie liczby pojawiają się stosunkowo rzadko ma duże praktyczne znaczenie, jest wykorzystywany np. w konstrukcji klucza publicznego do algorytmu szyfrującego
RSA.
Przykłady:
(1) 3120 ≡ 1(mod 121) choć 121 = 112 , 3670 ≡ 1(mod 671) ale 671 = 11 · 61 itd.
(8 )Gottfried Wilhelm Leibniz, filozof i matematyk niemiecki, 1646-1716
(9 )Kurt Hensel, matematyk ur. w Prusach Wschodnich, 1861-1941
A.6. Małe twierdzenie Fermata i Twierdzenie Eulera-Fermata, historia,
dowody i zastosowania
57
O odwróceniach i uogólnieniach Małego Twierdzenia Fermata i Twierdzenia
Fermata-Eulera
Łatwo jednak odwrócić Małe Twierdzenie Fermata następująco:
Twierdzenie 1 Jeżeli dla każdej liczby całkowitej a niepodzielnej przez liczbę p > 1
zachodzi: ap−1 ≡ 1(mod p), to p jest liczbą pierwszą.
Dowód Gdyby p > 1 nie była pierwsza, to p = mn, dla pewnych m, n dodatnich,
mniejszych od p. Oczywiście liczba m nie jest więc podzielna przez p. Jednocześnie nie może
dla niej zachodzić: mp−1 ≡ 1(mod p) bo gdyby tak było to mielibyśmy mp−1 ≡ 1(mod m),
co jest niemożliwe.
Liczby spełniające kongruencję an−1 ≡ 1(mod p) przy a i n względnie pierwszych nazywa
się liczbami pseudopierwszymi, (nazwę tę wprowadził w swojej pracy S.Sispanov, dowodząc
jednocześnie pewne warunki równoważne na pseudopierwszość związane z postacią rozkładu
danej liczby na liczby pierwsze 10 )
Jeśli mowa o formach odwróceniach MTF warto wspomnieć o Twierdzeniu Lehmera.
Mówi ono, że:
Twierdzenie Jeśli liczby a, m są względnie pierwsze, am−1 ≡ 1(mod m) oraz dla żadnej
liczby 0 < k < m − 1 nie zachodzi kongruencja ae ≡ 1(mod m). Wtedy m jest liczbą
pierwszą.
Poznaliśmy już jedno, bodaj najbardziej znane uogólnienie MTF, czyli Twierdzenie Eulera. Dość prostym uogólnieniem jest wykorzystywana w kluczu RSA własność w następującej,
oczywistej postaci:
Twierdzenie - wersja MTF Jeśli p jest liczbą pierwszą, zaś k, l to dodatnie liczby
takie, że k ≡ l(mod p − 1) to dla dowolnego a ∈ N: am ≡ an (mod p).
Wspominaliśmy wcześniej o tym, że na MTF można patrzeć jak na twierdzenie z teorii
grup. Warto pamiętać o tym, że twierdzenie to można także wyrazić w języku ciał skończonych i wtedy przyjrzeć się jego uogólnieniu. Otóż bezpośrednia wypowiedź MTF w języku
ciał brzmi bardzo prosto: Jeśli mamy K - ciało o p elementach, gdzie p jest liczbą pierwszą,
to każdy element tego ciała: a spełnia własność: ap = a. Własność ta jest absolutnie oczywista też dzięki znanemu z grup Twierdzeniu Lagrange’a, gdyż grupa multiplikatywna (K ? , ·)
ma p − 1 elementów, co oznacza, że ap−1 = 1 w ciele K, skąd nasza własność. Patrząc w ten
sposób można tę własność uogólnić dla dowolnego ciała skończonego q-elementowego, (jak
udowodnimy omawiając teorię ciał, co zresztą jest prostym efektem faktu, że każde ciało
jest przestrzenią wektorową nad swoim podciałem) q musi być postaci pn ) i otrzymamy, że
dla dowolnego takiego ciała i jego elementu a zachodzi aq = a.
Własność tę można też traktować jak uogólnienie Małego Twierdzenia Fermata.
Z kolei ładnym i ciekawym uogólnieniem Twierdzenia Eulera-Fermata jest twierdzenie,
którego dokładne sforumułowanie i dowód można prześledzić na stronie:
http://xxx.lanl.gov/ftp/math/papers/0610/0610607.pdf . Samo twierdzenie, które pracuje
bez założenia o względnej pierwszości odpowiednich liczb brzmi następująco:
(10 )S.Sispánov 1941, ”Sobre los numeros pseudo-primos”, Boletin Matetmatico 14, 1941, 99-106
58
Aneks - teoria liczb
Twierdzenie - uogólnienie Twierdzenia Eulera Dla zadanych a, m 6= 0 (obie liczby
całkowite) zachodzi aϕ(ms )+s ≡ as (mods), gdzie liczby s i ms obliczane są wg pewnego
ustalonego algorytmu wyliczającego przedstawienia tych liczb za pomocą ich wspólnych
dzielników, (por. cytowany plik).
W przypadku gdy NWD(a, m) = 1 otrzymujemy s = 0 i ms = m i jest to po prostu
Twierdzenie Eulera-Fermata.
Popularne zastosowania MTF, funkcji Eulera i Twierdzenia Eulera-Fermata
1. Kongruencje liniowe MTF można zastosować w rozwiązywaniu liniowych równań
diofantycznych o ile moduł kongruencji jest liczbą pierwszą.
Rozważmy równanie postaci (?) ax ≡ b(mod p), gdzie a, b ∈ N? zaś p - liczba pierwsza taka, że NWD(a, b) = 1. Wtedy rozwiązania kongruencji (?) to liczby postaci x ≡
ap−2 b(mod p).
Dowód: Zgodnie z MTF mamy, że ap−2 a = ap−1 ≡ 1(modp) czyli x jest elementem odwrotnym do a modulo p. Wobec tego stosując znów MTF mamy: ax ≡ a(a−1 b) = (aap−2 )b =
ap−1 b ≡ b(mod p).
Przykład Rozwiązać równanie: 7x ≡ 13(mod 29).
Rozwiązanie: Na podstawie MTF mamy 728 ≡ 1(mod 29) wobec tego x ≡ 727 · 13 ≡
27(mod 29). Oczywiście równanie można też rozwiązać znajdując przedstawienie Bezouta
dla liczb 7 i 29 i mnożąc odpowiedni współczynnik przez 13.
Dodatek B
Przykłady zadań
B.1
Przykłady z rozwiązaniami do części I
Przykłady rozwiązane na 1 wykładzie:
1 Znaleźć NWD i NWW dla liczb 720, 546 oraz ich przedstawienie Bezouta.
Rozwiązanie:
Najpierw wyliczymy NWD(720, 546) oraz przedstawienie w postaci Bezouta.
Wypiszmy, dla przejrzystości kolejne kroki w tabeli:
720
546
720
1
0
546
0
1
Wiemy teraz, że 720 = 1 · 546 + 174, mnożymy więc drugi wiersz przez 1 i odejmujemy
od pierwszego dostając:
546
174
720
0
1
546
1
−1
Jak widać dostajemy przedstawienie reszty: 174 = 1·720+(−1)·546 w postaci kombinacji
wyjściowych liczb. Dalej powtarzamy procedurę zgodnie z algorytmem Euklidesa i wiemy,
że 546 = 3 · 174 + 24. Ponownie więc mnożymy drugi wiersz ostatniej tabeli przez 3 i
odejmujemy od pierwszego.
174
24
720
1
−3
546
−1
4
skąd 24 = (−13) · 720 + 4 · 546. Kontynuujemy biorąc pod uwagę, że 174 = 7 · 24 + 6 i
otrzymamy:
24
6
720
−3
22
546
4
−29
59
60
Przykłady zadań
Jak widać teraz już po wydzieleniu 24 przez 6 jako resztę otrzymamy zero, wobec tego
NWD(720, 546) = 6 i otrzymaliśmy też: 6 = 22 · 720 + (−29) · 546.
Teraz, by wyliczyć NWW(720, 546) skorzystamy z własności iż NWW to iloczyn tych
= 120 · 546 = 65520.
dwóch liczb podzielony przez NWD, czyli NWW(720, 546) = 720·546
6
2. Rozstrzygnąć, które z poniższych równań diofantycznych posiada rozwiązanie i w przypadku istnienia znaleźć przynajmniej jedno rozwiązanie.
(a) 720x + 546y = 12,
(b) 720x + 546y = 14.
Rozwiązanie: Z poprzedniego zadania wiemy, że NWD(720, 546) = 6. Ponieważ 6 nie
dzieli 14 więc drugie z równań nie ma rozwiązania całkowitego, (lewa strona jest podzielna
przez 6, zaś prawa nie).
Z poprzedniego zadania wiemy też, że (?) 6 = 22·720+(−29)·546. By znaleźć rozwiązanie
pierwszego z równań, (które istnieje gdyż 6 dzieli 12) zauważamy, że 12 = 2 · 6. Wobec tego
mnożąc (?) przez 2 z obu stron dostajemy: 12 = (2 · 22) · 720 + (2 · (−29)) · 546, czyli x = 44
i y = −58 to przykładowe rozwiązanie równania (a). Ogólna postać rozwiązania równania
(a) to: x = 44 + 546t, y = −58 − 720t, gdzie t ∈ Z.
3. Rozstrzygnąć, czy zadane równanie kongruencyjne ma rozwiązanie. W
takim przypadku znaleźć przynajmniej jedno.
(a) 720x ≡ 14(mod 546),
(b) 720x ≡ 12(mod 546).
Rozwiązanie: Rozważmy pierwsze z równań i podzielmy całość kongruencji przez 2.
Nasze równanie będzie równoważne równaniu: 360x ≡ 7(mod 273). Zauważmy, że 3|360 oraz
3|273, ale 3 - 7, skąd nasza kongruencja nie posiada rozwiązania.
Przekształćmy teraz drugą z kongruencji dzieląc tym razem przez 6. Otrzymamy: 120x ≡
2(mod 91). Zauważmy, że dalej 120 i 2 dzielą się przez 2 i do tego NWD(2, 91) = 1 czyli możemy obie strony kongruencji podzielić przez 2 otrzymując tym razem równoważnie:
60x ≡ 1(mod 91). Ponieważ NWD(60, 91) = 1 to oczywiście nasza kongruencja ma rozwiązanie. Możemy je znaleźć na różne sposoby, wykorzystajmy dla treningu rozwiązywanie
równań diofantycznych. Przekształcając naszą kongruencję chcemy by 91|60x − 1 czyli by
istniało y ∈ Z takie, że 60x + 91y = 1. Szukamy więc przedstawienia Bezouta dla liczb 60 i
91.
91
60
91
1
0
60
0
1
Wiemy teraz, że 91 = 1 · 60 + 31, mnożymy więc drugi wiersz przez 1 i odejmujemy od
pierwszego dostając:
60
31
91
0
1
60
1
−1
Jak widać dostajemy przedstawienie reszty: 31 = 1 · 91 + (−1) · 60 w postaci kombinacji
wyjściowych liczb. Dalej powtarzamy procedurę zgodnie z algorytmem Euklidesa i wiemy, że
B.1. Przykłady z rozwiązaniami do części I
61
60 = 1 · 31 + 29. Ponownie więc mnożymy drugi wiersz ostatniej tabeli przez 1 i odejmujemy
od pierwszego.
31
29
91
1
−1
60
−1
2
Kontynuujemy biorąc pod uwagę, że 31 = 1 · 29 + 2 i otrzymamy:
29
2
91
−1
2
60
2
−3
Kontynuujemy biorąc pod uwagę, że 29 = 2 · 14 + 1 i otrzymamy:
2
1
91
2
−29
60
−3
44
W ten sposób wiemy, że 1 = 91 · (−29) + 60 · 44, w takim razie x = 44 jest rozwiązaniem
naszej kongruencji.
4. Sprowadzić poniższy układ do układu spełniającego TCR. Rozwiązać zadany układ.

 x ≡ 4(mod 21),
x ≡ 3(mod 10),

x ≡ 7(mod 12)
Rozwiązanie: Najpierw sprowadźmy naszukład do równoważnego spełniającego TCR.
x ≡ 4(mod 7),
Pierwsze równanie jest równoważne układowi:
. Drugie równanie jest rówx
≡
1(mod
3)
x ≡ 1(mod 2),
x ≡ 1(mod 3),
noważne układowi:
zaś trzecie równanie układowi:
.
x ≡ 3(mod 5)
x ≡ 3(mod 4)
Możemy wobec tego wykreślić równanie x ≡ 1(mod 2) (będzie ono spełnione gdy spełnione
będzie równanie: x ≡ 3(mod 4)). Otrzymujemy więc równoważny układ:

x ≡ 4(mod 7),



x ≡ 3(mod 4),
x ≡ 1(mod 3),



x ≡ 3(mod 5).
Jest to jak widać układ spełniający założenia TCR, posiada więc rozwiązanie. Wszystkie
rozwiązania przystają do siebie modulo 7 · 4 · 3 · 5 = 420.
Rozwiążmy teraz wyjściowy układ. Możemy to zrobić na kilka sposobów - pokażemy
jeden z nich.
Pierwsze równanie jest równoważne temu, że x = 4+21t dla pewnego t ∈ Z. Wstawiamy
to do drugiego by dostać: 4 + 21t ≡ 3(mod 10), skąd 21t ≡ −1(mod 10) czyli t ≡ 9(mod 10),
skąd t = 9 + 10s dla pewnego s ∈ Z, skąd x = 4 + 21t = 4 + 21(9 + 10s) = 193 + 210s.
Wstawiamy teraz x do trzeciego równania i mamy: 193 + 210s ≡ 7(mod 12), skąd 1 + 6s ≡
7(mod 12) czyli 6s ≡ 6(mod 12) co jest równoważne kongruencji s ≡ 1(mod 2) czyli
62
Przykłady zadań
s = 1 + 2k dla pewnego k ∈ Z. Wracając do wzoru na x dostajemy: x = 193 + 210s =
193 + 210(1 + 2k) = 403 + 420k - ogólna postać rozwiązania naszego układu.
5. Stosując twierdzenie Eulera znaleźć 765 (mod 12).
Rozwiązanie: Zauważmy, że NWD(7, 12) = 1, możemy więc stosować twierdzenie Eulera. Policzmy ϕ(12) = ϕ(3) · ϕ(4) = 2 · 2 = 4, więc z twierdzenia Eulera wiemy, że
74 (mod 12) = 1. Podnosząc obie strony do potęgi 16 dostaniemy 764 (mod 12) = 1, skąd
765 (mod 12) = 7.
B.2
Przykładowy zestaw zadań na 1 sprawdzian
Poniżej znajdą Państwo, opracowany na podstawie sprawdzianu zeszłorocznego przykładowy zestaw zadań jakiego można spodziewać się na pierwszym sprawdzianie 21 listopada.
1. Poniższy układ kongruencji sprowadzić do układu równoważnego, spełniającego założenia TCR oraz podać ogólną postać jego rozwiązania:

 x ≡ 4(mod 10)
x ≡ 3(mod 7) .

x ≡ 2(mod 12)
2. Podać ogólną postać rozwiązania w liczbach całkowitych równania diofantycznego
46x − 28y = 6.
3. Dla każdego z poniższych stwierdzeń ocenić, czy jest to prawda (P) czy fałsz (F) dla
dowolnych liczb a, b, c, d ∈ Z? :
(a) Jeśli a|b i a|c, to a|(3b − c).
(b) Jeśli d|a i d|b, to d|NWD(a, b).
(c) Dla dowolnej liczby całkowitej q zachodzi NWD(13 − 7q, 7) = 1.
(d) Dla dowolnego a ∈ Z równanie 4x − 14y = a ma rozwiązanie w Z.
4. Dla każdego z poniższych stwierdzeń ocenić, czy jest to prawda (P) czy fałsz (F):
(a) Zbiór macierzy kwadratowych o współczynnikach rzeczywistych tworzy grupę z działaniem mnożenia macierzy.
(b) Każda grupa abelowa jest grupą cykliczną.
(c) Zbiór permutacji n-elementowych Sn z działaniem składania permutacji jest grupą
abelową wyłącznie dla n 6 2.
(d) Zbiór (Z?n , ·n ) jest grupą wtedy i tylko wtedy, gdy n jest liczbą pierwszą.
5. Dla każdego z poniższych stwierdzeń ocenić, czy jest to prawda (P) czy fałsz (F):
(a) Każdy endomorfizm grupy (Z, +) jest automorfizmem.
(b) Grupa (Q? , ·)) jest nieskończona.
(c) Grupa Hom(R, C) jest skończona.
(d) Grupa Hom(Z9 , Z2 ) jest nietrywialna.
B.2. Przykładowy zestaw zadań na 1 sprawdzian
63
6. Rozważmy grupę G = {fa,b : R −→ R : fa,b (x) = ax + b, a ∈ R? , b ∈ R} z działaniem
składania. Sprawdzić, czy H = {fa,b ∈ G : a = 1} jest jej podgrupą.
a b
k
7. Niech G =
: b ∈ R, a = 2 . Udowodnić, że mnożenie macierzy jest dzia0 1
łaniem na G oraz sprawdzić, które aksjomaty grupy spełnia para (G, ?).
8. Niech G będzie grupą. Dowieść, że jeśli dla każdego x ∈ G zachodzi x2 = 1, to G jest
abelowa.