FUNKCJE KL. II 1) Poniżej podano przykłady przyporządkowań. Funkcją nie jest przyporządkowanie: A. x y -2 1 -1 1 0 1 1 1 B. Każdej liczbie rzeczywistej przyporządkowujemy liczbę do niej przeciwną. 2 1 C. D. a b c y 1 x 3 0 Funkcją nazywamy takie przyporządkowanie, w którym każdemu elementowi ze zbioru X przyporządkujemy dokładnie jeden element ze zbioru Y A. Rysujemy diagram, z którego łatwiej jest stwierdzić, czy jest to funkcja. X Y -2 -1 0 1 2 Jest to funkcja (patrzymy tylko na pierwszy zbiór X, 1 gdy od każdego elementu zbioru X „wychodzi” strzałka i to tylko jedna) B. Wybieramy kilka liczb rzeczywistych i wpisujemy je do diagramu w zbiorze X. Każdej liczbie przyporządkowujemy liczbę przeciwną do danej ( 2, -2) Zbiór liczb rzeczywistych – wszystkie liczby jakie znasz 1 1 1 {…, -15,3; -12 ; - 15 ; -1,04; -1, , 0, ; 1; 6 3 2 X 5 2 ; 2 ; 4,8; 5…} 7 Y 1 2 2 1 0,3 0 2 1 2 1 0,3 Nie jest to funkcja (0 nic nie przyporządkowaliśmy) 1 4 1 1 4 1 3,6 3,6 C. jest to funkcja ( każdemu elementowi ze zbioru pierwszego przyporządkowano tylko jeden element ze zbioru drugiego) D. y Nie jest to funkcja (każda prosta równoległa do osi y może x mieć z wykresem funkcji najwyżej jeden punkt wspólny) 2) Określ dziedzinę funkcji: a) f(x) = 2 5 x b) g ( x) 5 x 1 Dziedzina funkcji to zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, dla których można obliczyć wartość funkcji. Pod pierwiastkiem kwadratowym wyrażenie 2 – 5x musi być większe lub równe 0 a) 2 – 5x 0 / - 2 przenosimy liczbę 2 ze zmienionym znakiem na prawą stronę nierówności czyli – 2 2- 5x -2 0 – 2 - 5x – 2 / : (-5) dzielę przez liczbę – 5 czyli przez liczbę przy x. Zawsze zmieniam znak nierówności na przeciwny, gdy dzielę przez liczbę ujemną. x 2 5 2 5 0 1 2 D f = ( - , > 5 Gdy występuje ułamek, wyrażenie w mianowniku x – 1 nie może przyjmować wartości 0 czyli x – 1 b) musi być różne od 0 x – 1 0 / +1 przenoszę liczbę – 1 na prawą stronę ze zmienionym znakiem czyli + 1 x–1+1 0+1 x 1 D f = R – {1} 3) Sporządź tabelkę funkcji f (x ) x 1 dla argumentów 2, 1, 0, 1, 2 i wyznacz jej zbiór wartości. 2 Obliczamy wartości funkcji podstawiając w miejsce x kolejne liczby argumentów -2, -1, 0, 1, 2. f(- 2) = (-2 -1) 2 = (- 3) 2 = 9 f(- 1) = (-1 -1) 2 = (- 2) 2 = 4 f(0) = (0 -1) 2 = (- 1) 2 = 1 f(1) = (1 -1) 2 = 0 2 = 0 f(2) = (2 -1) 2 = 1 2 = 1 x f(x) = (x-1) 2 -2 9 -1 4 0 1 1 0 2 1 Dziedzina Zbiór wartości ZW f = {0, 1, 4, 9} 4) Narysuj wykres funkcji f(x) = x dla: xC a) x (-1, 3> b) a) C = {… -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…} Obliczamy wartości funkcji podstawiając w miejsce x kolejne liczby argumentów -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3. x -3 3 f(x) = x -2 2 -1 1 0 0 1 1 2 2 3 3 f(- 3) = 3 = 3 Wartość bezwzględna liczby ujemnej i dodatniej jest liczbą f(- 2) = 2 = 2 dodatnią. f(- 1) = 1 = 1 Wartość bezwzględna zera równa się zero. f(0) = 0 = 0 f(1) = 1 = 1 f(2) = 2 = 2 f( 3) = 3 = 3 y 3 2 1 0 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 b) x (-1, 3> x f(x) = x -1 1 f(- 1) = 1 = 1 0 0 1 1 2 2 3 3 y f(0) = 0 = 0 f(1) = 1 = 1 f(2) = 2 = 2 f( 3) = 3 = 3 1 1 x 5) Funkcja f przyporządkowuje każdej liczbie naturalnej n należącej do zbioru {3, 4, 5, 6, 7, 8} największy wspólny dzielnik liczb n i 10. a) Sporządź tabelkę wartości tej funkcji f b) Podaj zbiór wartości funkcji f. Szukamy największych wspólnych dzielników liczb 3 i 10, 4 i 10, 5 i 10, 6 i 10, 7 i 10, 8 i 10. Dzielnikami liczby 3 są 1 i 3. Zapisujemy krócej D 3 = {1, 3} Dzielnikami liczby 10 są 1, 2, 5, 10. Zapisujemy krócej D 10 = {1, 2, 5, 10} Największy wspólny dzielnik czyli NWD (3, 10) = 1 NWD (3, 10) = 1 NWD (4, 10) = 2 D 4 = {1, 2, 4} D 10 = {1, 2, 5, 10} NWD (5, 10) = 5 D 5 = {1, 5} D 10 = {1, 2, 5, 10} NWD (6, 10) = 2 D 6 = {1, 2, 3, 6} D 10 = {1, 2, 5, 10} NWD (7, 10) = 1 D 7 = {1, 7} D 10 = {1, 2, 5, 10} NWD (8, 10) = 2 D 8 = {1, 2, 4, 8} D 10 = {1, 2, 5, 10} x -2 -1 0 1 2 y 1 1 1 1 1 ZW f = {1, 2, 5} 6) Na rysunku przedstawiono wykres funkcji f. Korzystając z wykresu, odpowiedz: a) Jaka jest dziedzina funkcji f ? b) Jaki jest zbiór wartości funkcji f ? c) Jakie są miejsca zerowe funkcji f ? d) Dla jakich argumentów funkcja f przyjmuje wartości dodatnie ? e) Podaj najmniejszą i największą wartość funkcji (o ile istnieje). y 1 1 x a) D f = <-6, 6) Dziedzinę funkcji odczytujemy na osi x b) c) Zw f = <- 3, 3> f(x) = 0 dla x = -5, x = -1, x = 5 Zbiór wartości odczytujemy na osi y Miejsce zerowe funkcji to argument czyli x, w którym wykres przecina oś x d) wartość najmniejsza y = - 3 dla x = -6 wartość największa – nie istnieje