kasprzak,optyka,dyfrakcja - W11 - PPT - contradiction86

kasprzak,optyka,dyfrakcja.doc
(24322 KB) Pobierz
DYFRAKCJA
 Podstawowym pojęciem optyki geometrycznej jest promień światła, który rozchodzi się wzdłuż linii
prostych (w ośrodkach jednorodnych). Promień jako „nieskończenie wąska wiązka światła” jest pojęciem
intuicyjnym i wygodnym w tłumaczeniu wielu zjawisk z dziedziny optyki - w tym takich, które formalnie
wymagają opisu falowego. „Promień” może mieć wtedy sens kierunku rozchodzenia się energii światła; w
ośrodkach izotropowych jest on też prostopadły do powierzchni fali. Licząc fazę fali „wzdłuż” promienia
możemy nawet opisać zjawiska typowo falowe, jak interferencja.
 Wydaje się, że zmniejszając „średnicę” naszego promienia (np. przepuszczając światło przez bardzo mały
otworek) spowoduje większą adekwatność opisu promieniowego. Ale światło jednak jest także falą i
okazuje się, że dla otworków „bardzo małych” (jak małych?) zaobserwujemy zjawisko rozszerzenia
promienia! To zjawisko nazywamy ugięciem fali na przesłonie albo dyfrakcją.
 Ścisła teoria dyfrakcji wymaga posługiwania się równaniami Maxwella. Skorzystamy jednak dla
uproszczenia z zasady Hughensa-Fresnela i poznanego już mechanizmu interferencyjnego dodawania fal.
ZASADA HUGHENSA-FRESNELA
 Przypomnienie:
ZASADA HUYG[H]ENSA – każdy punkt ośrodka, do którego dociera fala, staje się źródłem nowej
fali kulistej.
(Christian Huyg[h]ens, XVIII w)
(zasada Huyg[h]ensa-Fresnela): Nowe czoło fali odtwarza się w wyniku nakładania się fal
cząstkowych pochodzących z sąsiadujących ze sobą punktów ośrodka.
Fala kulista:
CAŁKA DYFRAKCYJNA
 Wypadkowa fala w dowolnym punkcie
leżącym w płaszczyźnie
, jest wynikiem interferencji
fal składowych:
(sumowanie po obszarze przesłony).
 Uogólnieniem będzie całka dyfrakcyjna Fresnela-Kirchhoffa:
Czynnik kierunkowy
uwzględnia rozkład kierunkowy promieniowania.
DYFRAKCJA NA POJEDYNCZEJ SZCZELINIE
 Rozważania zaczniemy od prostego przypadku: dyfrakcji ulega fala płaska, a wynik obserwujemy w
nieskończoności. Jest to tzw. dyfrakcja Fraunhofera (por. interferencja dalekiego pola).
 Dzielimy naszą szczelinę o szerokości
na
nieskończenie małych odcinków o długości
.
Dodajemy (koherentnie!) przyczynki pochodzące od każdej fali składowej. Ponieważ obserwacja zachodzi
w nieskończoności, traktujemy fale składowe jako płaskie (dalekie pole), o takiej samej fazie początkowej
(płaska fala padająca), dla uproszczenia równej zeru.
DYFRAKCJA FRAUNHOFERA
 Znajdziemy sumę interferencyjną:
gdzie
oznacza drogę (optyczną) przebytą przez pierwszą, skrajną falę. Każda kolejna fala przebywa
drogę dłuższą o wielkość:
Każda kolejna fala ma również fazę różną od sąsiedniej o wielkość:
 Wypadkową falę możemy znaleźć korzystając z wzorów na (nieskończone...) szeregi funkcji
trygonometrycznych albo stosując metodę wykresu wskazowego.
DYFRAKCJA FRAUNHOFERA – c.d.
 Obliczona amplituda fali wypadkowej:
 Obliczone natężenie światła:
DYFRAKCJA FRAUNHOFERA – c.d.
 Jak widać, światło rozchodzi się za szczeliną nie tylko wzdłuż osi OZ, ale także ugina się na boki – lepiej
widać to w biegunowym układzie współrzędnych:
 Zamiast wiązki równoległej otrzymujemy wiązkę rozbieżną – jej rozwartość kątowa może być określona
jako kierunek, pod którym widać (a właściwie... nie widać!) pierwsze minimum dyfrakcyjne:
Dla niewielkich kątów obserwacji (dalekie pole!) maksima i minima dyfrakcyjne widziane są pod kątami:
DYFRAKCJA FRAUNHOFERA – c.d.
 Maksimum natężenia zaobserwujemy na wprost szczeliny, pod zerowym kątem (granicą funkcji sinc w
punkcie 0 jest wartość 1). Natężenie światła w kolejnych maksimach szybko maleje:
 Do tej pory zakładaliśmy, że szczelina była jednowymiarowa. Jeżeli rozpatrzyć istniejące realnie element
– szczelinę prostokątną, to rozkład natężenia za nią opisuje iloczyn funkcji „sink”:
DYFRAKCJA FRAUNHOFERA – c.d.
 W przypadku otworu kołowego powinniśmy zastosować opis, uwzględniający symetrię obiektu – a więc
w szczególności biegunowy układ współrzędnych. Otrzymany rozkład natężenia w obrazie dyfrakcyjnym
będzie teraz równy:
gdzie
jest promieniem otworu a
oznacza tzw. funkcję Bessela pierwszego rodzaju. Taki obraz
dyfrakcyjny nazywamy krążkiem Airy’ego:
DYFRAKCJA FRESNELA
 Założymy teraz, że przybliżenie dalekiego pola (Fraunhofera) nas nie satysfakcjonuje (oczywiście, ze
względu na geometrię układu i otrzymywane wyniki, a nie ze względów estetycznych albo moralnych!) i
zdecydujemy się uwzględnić skończona odległość źródła światła od ekranu i ekranu od miejsca obserwacji.
W tym przypadku musimy rozpatrzyć dyfrakcję (i interferencję) fal kulistych a model, który opiszemy,
nazywa się dyfrakcją Fresnela.
Otwór dyfrakcyjny dzielimy na tzw. strefy Fresnela (tu: pierścienie) – ograniczeniem stref są okręgi o tak
dobranych promieniach, żeby drogi optyczne fal przechodzących przez skraje stref różniły się między sobą
o wielokrotność połówek długości fal.
DYFRAKCJA FRESNELA – c.d.
 Warunek stref Fresnela:
doprowadzi nas do zależności na drogę optyczną
-tej strefy wyrażoną przez drogę środka otworu:
 Z warunków geometrycznych mamy:
i podobnie na
- przybliżenie, które zastosowaliśmy, jest przybliżeniem paraksjalnym.
 Dyfrakcja Fresnela jest więc również przybliżeniem – wprawdzie uwzględniamy kulistość fal (czyli ich
pochodzenie ze źródeł punktowych), ale stosujemy w obliczeniach przybliżenie paraksjalne.
DYFRAKCJA FRESNELA – c.d.
 Obliczając ostatecznie różnicę dróg optycznych między promieniami wychodzącymi z kolejnych stref
Fresnela, otrzymamy:
i, oznaczając:
(analogia do wzoru soczewkowego widoczna?), możemy obliczyć promienie stref Fresnela jako:
 Można pokazać, że powierzchnie wszystkich stref Fresnela są jednakowe i wynoszą:
(oczywiście, ma to sens fizyczny: energia fali świetlnej rozkłada się równomiernie na tak zdefiniowane
strefy!).
DYFRAKCJA FRESNELA – c.d.
 Obliczymy natężenie światła , docierającego przez otwór uginający do punktu
(na osi!), sumując
cząstkowe fale z poszczególnych stref Fresnela. Przyjmiemy upraszczające założenia:
-
fale z całej powierzchni poszczególnej strefy będą reprezentowane przez falę przechodzącą przez
środek strefy;
-
amplitudy fal składowych są praktycznie jednakowe z powodu jednakowej powierzchni stref;
-
drogi optyczne, przebywane przez fale przechodzące przez kolejne strefy, różnią się o
różnią się o
).
 Amplitudy fal z kolejnych stref będą więc równe:
(fazy
DYFRAKCJA FRESNELA – c.d.
 Dla tych upraszczających założeń, obliczone natężenie fali ugiętej na osi układu będzie:
-
równe zeru, jeśli liczba stref jest parzysta (m=2n), bo wtedy:
(czyli na osi układu powstanie ciemny punkt);
-
większe od zera, dla nieparzystej liczby stref (m=2n+1):
(czyli na osi układu mamy jasny punkt).
DYFRAKCJA FRESNELA – c.d.
 Oczywiście, założenie o jednakowej amplitudzie fali we wszystkich strefach i o paraksjalności obliczeń
jest często nieuzasadnione. Obliczenia staną się wtedy bardziej skomplikowane. Wyliczenie natężenia
światła w punkcie obrazu dyfrakcyjnego leżącym poza osią układu jest również trudniejsze.
W takim wypadku ogólny wzór na natężenie światła w obrazie dyfrakcyjnym będzie miał postać tzw. całek
Fresnela:
gdzie
jest pewną znormalizowaną zmienną, opisującą położenie punktu, będącego źródłem
cząstkowej fali kulistej, w otworze.
DYFRAKCJA FRESNELA – c.d.
 Całki Fresnela nie są funkcjami elementarnymi – są stablicowane (bądź wyliczane numerycznie), a ich
wykres nazywa się spiralą Cornu.
DYFRAKCJA NA WIELU OTWORACH
 Rozpatrzmy raz jeszcze doświadczenie Younga ale załóżmy teraz, że szczeliny mają skończony wymiar
– szerokość
.
 Gdyby otwory były nieskończenie wąskie, obraz interferencyjny byłby dany znanym już wzorem:
 Każda szczelina ma skończona szerokość, więc fala ugięta na każdej szczelinie daje obraz dyfrakcyjny:
(przyjmujemy, że odległość obserwacji jest duża, więc
)
DYFRAKCJA NA WIELU OTWORACH
 Wypadkowe natężenie światła na ekranie będzie iloczynem dwóch czynników:
-
obwiedni dyfrakcyjnej
-
prążków interferencyjnych
;
.
SIATKA DYFRAKCYJNA
 Układ wielu równoległych, równoodległych szczelin, zwany siatką dyfrakcyjną, omawiany był już przy
okazji rozważań o interferencji wielowiązkowej. Uwzględniając skończony wymiar
pojedynczej
szczeliny (
, gdzie
dostać dla siatki o
jest stałą siatki, czyli odległością między środkami szczelin), możemy
szczelinach formułę:
(
)
PŁYTKA STREFOWA FRESNELA
 Przykładem przesłony dyfrakcyjnej o wielu otworach ale o symetrii kołowej jest tzw. płytka strefowa
Fresnela....
Plik z chomika:
contradiction86
Inne pliki z tego folderu:


,programowanie liniowe, zadania.pdf (126 KB)
 ,technologie sieciowe I, pytania i odpowiedzi.pdf (533 KB)
 bryja, fizyka ciała stałego II, efekt holla, Poziomy Landaua.pdf (158 KB)
fras,systemy wbudowane L, ARM 7 – obsługa wyświetlacza LCD.docx (369 KB)

fras,systemy wbudowane L, sprawozdanie ARM 7 obsługa przetwornika AC.docx (370
KB)
Inne foldery tego chomika:


Zgłoś jeśli naruszono regulamin





Strona główna
Aktualności
Kontakt
Dział Pomocy
Opinie


Regulamin serwisu
Polityka prywatności
Copyright © 2012 Chomikuj.pl
 biochemia II
chemia fizyczna laboratorium
chemia produktów naturalnych
 Dokumenty
 elementy bioinformatyki