00511 Mechanika nieba D - part 1 2008 - Prawo ciążenia

1
00511 Mechanika nieba D – part 1
TEORIA
Dane osobowe właściciela arkusza
00511
Mechanika nieba D
Część 1
Rozwój pojęć kosmologicznych.
Elementarne zjawiska na sferze niebieskiej.
Prawa: Keplera i ciąŜenia powszechnego.
Równość masy grawitacyjnej i bezwładnej.
Instrukcja dla zdającego
1. Proszę sprawdzić, czy arkusz teoretyczny zawiera 10
stron. Ewentualny brak naleŜy zgłosić.
2. Do arkusza moŜe być dołączona karta wzorów i stałych fizycznych. Jeśli jest, naleŜy ją dołączyć do oddawanej pracy.
3. Proszę uwaŜnie i ze zrozumieniem przeczytać zawartość arkusza.
4. Proszę precyzyjnie wykonywać polecenia zawarte w
arkuszu: rozwiązać przykładowe zadania, wyprowadzić wzory, gdy jest takie polecenie.
5. Proszę analizować wszelkie wykresy i rysunki pod
kątem ich zrozumienia.
6. W trakcie obliczeń moŜna korzystać z kalkulatora.
7. Wszelkie fragmenty trudniejsze proszę zaznaczyć w
celu ich późniejszego przedyskutowania.
8. Uzupełniaj wiadomości zawarte w arkuszu o informacje zawarte w Internecie i dostępnej ci literaturze.
9. Znak * dotyczy wiadomości wykraczających poza
ramy programu „maturalnego”.
śyczymy powodzenia!
(Wpisuje zdający przed rozpoczęciem pracy)
PESEL ZDAJĄCEGO
Aktualizacja
Maj
ROK 2008
2
00511 Mechanika nieba D – part 1
TEORIA
Temat: 56*
Rozwój pojęć kosmologicznych
od staroŜytności do czasów Mikołaja Kopernika.
1. Astronomia naleŜy do najstarszych nauk przyrodniczych. Powstała wraz z formowaniem
się społeczeństw i początkowo związana była z takimi potrzebami Ŝycia, jak rachuba czasu
oraz orientacja na lądzie i morzu.
Według Talesa z Miletu Ŝyjącego na przełomie VII i VI wieku p.n.e., Ziemia miała przypominać spłaszczony dysk, pływający po niezmierzonym oceanie. WyobraŜano sobie, Ŝe
płaską Ziemię obiegają KsięŜyc, Słońce i planety, a wokół nich obraca się sfera gwiazd
stałych.
Inny pogląd na kształt Ziemi głosił ok. 530 lat p.n.e. Pitagoras i jego uczniowie. Według
nich Ziemia była kulą otoczoną ośmioma przezroczystymi, koncentrycznymi sferami, na
których znajdowały się KsięŜyc, Słońce i planety. U podstaw poglądów pitagorejczyków
leŜało przekonanie, Ŝe kształt kuli jest jednym z najdoskonalszych kształtów spotykanych
w przyrodzie.
Pogląd, Ŝe Ziemia jest kulą ugruntował Arystoteles (384 - 322 p.n.e.). Kulistość Ziemi
tłumaczył m.in. na podstawie cienia Ziemi widocznego w czasie zaćmień KsięŜyca, wskazywał na zmiany w połoŜeniach gwiazd obserwowane przez podróŜników udających się z
północy na południe. Sądził on, Ŝe kulistą Ziemię otacza 55 współśrodkowych przezroczystych sfer, z których ostatnia jest sferą gwiazd stałych.
Pierwsze myśli naukowe o budowie Wszechświata wypowiedzieli filozofowie greccy
(Leukipp (ok. 550 - 447 p.n.e.) i Demokryt (ok. 460 - 371 p.n.e.). UwaŜali oni, Ŝe
Wszechświat zajmuje nieskończoną przestrzeń zawierającą nieskończoną liczbę niepodzielnych cząstek, czyli atomów, które poruszają się we wszystkich kierunkach. Ziemia,
podobnie jak inne ciała niebieskie, byłaby w ujęciu filozofów, przypadkowym skupieniem
atomów. Według poglądów tych atomistów świat nie ma Ŝadnego środka, wskutek tego
równieŜ Ziemia nie moŜe zajmować w nim stanowiska centralnego.
Inny grecki uczony Arystarch z wyspy Samos (220 - 150 p.n.e.) przyjmował, Ŝe obserwowany ruch Słońca jest wynikiem ruchu obrotowego Ziemi wokół własnej osi oraz ruchu
obiegowego wokół Słońca. Poglądy Arystarcha, stanowiące podstawę późniejszej teorii
Kopernika, nie zyskały jednak uznania i popadły w zapomnienie na blisko dwa tysiące lat.
2. Upłynęły jednak tysiąclecia, zanim myśl o ruchach Ziemi została powszechnie przyjęta. W
staroŜytności, z nielicznymi wyjątkami, nie wątpiono, Ŝe nieruchoma Ziemia zajmuje środek świata i stanowi centrum ruchu wszystkich ciał niebieskich. Na załoŜeniu tym opierały
się teorie budowy świata tworzone w staroŜytności. Pierwsza taka teoria naukowa została
podana w IV wieku p.n.e. przez Eudoksosa w jego teorii sfer homocentrycznych. Zgodnie
z tą teorią kaŜda planeta (a wśród nich Słońce i KsięŜyc) miała leŜeć na zewnętrznej powierzchni jakiejś sfery, do kaŜdej zaś planety naleŜało tyle sfer, na ile jednostajnych ruchów naleŜałoby rozłoŜyć obserwowany niejednostajny ruch planet. Teoria sfer homocentrycznych została następnie zastąpiona przez teorię kół mimośrodkowych i epicyklów.
Ostateczną postać teorii kół mimośrodkowych i epicyklów nadał w II wieku n.e. aleksandryjski astronom Klaudiusz Ptolemeusz. Teoria ta była kanonem astronomii przez 1400
lat, aŜ do czasów Mikołaja Kopernika.
Zgodnie z geocentryczną teorią budowy świata, opracowaną przez Ptolemeusza, dokoła
Ziemi biegnie siedem planet w następującej kolejności: KsięŜyc, Merkury, Wenus, Słońce,
Mars, Jowisz i Saturn, przy czym KsięŜyc i Słońce biegną ruchem jednostajnym dokoła
3
00511 Mechanika nieba D – part 1
TEORIA
Ziemi bezpośrednio po kołach, których środki leŜą jednak nieco poza Ziemią, czyli są to
koła mimośrodkowe. Natomiast, aby wytłumaczyć ruch planet górnych i dolnych, w
szczególności zakreślanie przez nie pętli, Ptolemeusz załoŜył, Ŝe po kole mimośrodkowym
(inaczej deferencie) biegnie ruchem jednostajnym nie planeta, lecz środek innego, mniejszego koła, zwanego epicyklem, a dopiero po epicyklu biegnie planeta równieŜ ruchem
jednostajnym. Przez kombinację ruchów środka epicyklu po deferencie i planety po epicyklu, dając odpowiednie nachylenie płaszczyznom tych kół, moŜna wyjaśnić widome ruchy planet, szczególnie ruch prosty i wsteczny względem sfery gwiazd stałych, która miała obracać się dokoła Ziemi ze wschodu na zachód w okresie doby gwiazdowej i przekazująca ten ruch sferom planetarnym. Obrazem tego ruchu miał być ruch sfery niebieskiej
w ciągu dnia.
3. Omówimy teraz kopernikowską teorię heliocentryczną budowy świata. ZałoŜenia Kopernika moŜna sprowadzić do trzech stwierdzeń:
⇒ planety biegną ruchem jednostajnym po kołach dokoła Słońca,
⇒ Ziemia jest jedną z planet i równieŜ obiega Słońce,
⇒ Ziemia obraca się dokoła własnej osi.
Według teorii Kopernika wszystkie planety obiegają Słońce, w tym samym kierunku z
prędkościami malejącymi wraz ze wzrostem odległości od Słońca w następującej kolejności: Merkury, Wenus, Ziemia, Mars, Jowisz i Saturn. Występowanie okresu rocznego w
ruchach planet dolnych i górnych było w teorii Ptolemeusza czymś nie dającym się wytłumaczyć, jak gdyby przypadkiem. Natomiast w teorii Kopernika był to konieczny skutek
ruchu Ziemi dokoła Słońca w okresie rocznym.
Swoje prace opublikował Kopernik w 1543 roku w dziele „De Revolutionibus” (O obrotach). Teoria Kopernika zawierała wiele uproszczeń: ruch planet po okręgach, układ planetarny otacza sfera gwiazd stałych; jednak stała się podstawą nowoŜytnych poglądów na
budowę Wszechświata, zyskała wielu zwolenników, wśród których byli m.in.
⇒ Galileusz (1564 - 1642), twórca nowoczesnej fizyki, jako pierwszy skierował w 1609
roku lunetę na niebo i zaobserwował fazy Wenus i odkrył cztery księŜyce Jowisza
przypominające miniaturowy układ planetarny,
⇒ Johannes Kepler (1571 - 1630) mający do dyspozycji bogaty materiał obserwacyjny
zebrany przez Tychona Brahe (1546 - 1601) sformułował prawa ruchu planet.
4. W roku 1921 Edwin Hubble dokonał fundamentalnego odkrycia, Ŝe niezaleŜnie od kierunku obserwacji widzimy wszędzie odległe galaktyki szybko oddalające się od nas. Innymi
słowy, Wszechświat rozszerza się; padła idea statycznego i niezmiennego Wszechświata.
Oznacza to, Ŝe w dawniejszych czasach ciała niebieskie znajdowały się blisko siebie (bliŜej niŜ teraz). Istotnie, wygląda na to, Ŝe jakieś 10 czy 20 miliardów lat temu wszystkie
obiekty istniejące we Wszechświecie skupione były w jednym punkcie, a zatem gęstość
Wszechświata była wtedy nieskończona. To odkrycie wprowadziło wreszcie zagadnienie
początku Wszechświata do królestwa nauki. Prace Hubble’a zapoczątkowały burzliwy
rozwój kosmologii.
4
00511 Mechanika nieba D – part 1
TEORIA
Słowniczek:
Kosmologia - nauka o Wszechświecie jako całości.
A to ciekawe:
A)
„Podanie” głosi, Ŝe za sprzyjanie teorii kopernikańskiej budowy świata, został spalony na
stosie w 1600 roku Giordano Bruno. Są tacy, którzy uwaŜają, Ŝe karę tę wymierzono jednak
za pewne rzeczywiste przewinienia.
B)
Gdy porzucono system geocentryczny Arystarcha z Samos i Ptolemeusza na rzecz systemu
heliocentrycznego Kopernika, człowiek XVI wieku, znalazłszy się nagle na peryferiach, poczuł
się przeraŜony i zagroŜony. Syn BoŜy nie mógł przecieŜ zostać zesłany na jakąś drugorzędną
planetę. Kościół zaniepokoił się i zapałał gniewem: Mikołaj Kopernik i Johann Kepler ledwie
zdołali ujść z Ŝyciem, ale Galileo Galilei zginął 22 czerwca 1633 roku na stosie z woli inkwizycji rzymskiej. Jednak wygnanie ludzkości na obrzeŜa systemu słonecznego, choć poniŜające
i zatrwaŜające, nic nie zmieniło w porządku świata. Zegar niebieski trwał nie zmieniony, co
dawało pewną pociechę. Ludzkość zaczęła wirować wraz ze swoją planetą, lecz ruchy gwiazd
nie ustały w swych regularnych cyklach, dowodząc ciągłości rządów jakiegoś niebieskiego
władcy.
Temat: 57*
Elementarne zjawiska na sferze niebieskiej.
1. Względny ruch Słońca obserwowany z Ziemi:
⇒ wschód w godzinach porannych, górowanie w ok. godziny 12,00,
⇒ w lecie Słońce góruje wysoko, zimą - niŜej,
⇒ najdłuŜsze dni są pod koniec czerwca, najkrótsze - grudnia,
⇒ zachód w godzinach wieczornych.
2. Względny ruch KsięŜyca obserwowany z Ziemi.
⇒ przesuwa się na tle gwiazd z prędkością kątową ok. 130 na dobę,
⇒ miesiąc gwiazdowy wynosi około 27 dni i 7 godzin (okres czasu, w którym KsięŜyc
obiegnie Ziemię i wróci do tego samego miejsca wśród gwiazd),
⇒ zmienia swój wygląd, co 29,5 dnia:
a) po okresie niewidoczności na zachodnim niebie tuŜ po zachodzie Słońca ma postać
wąskiego sierpa, który stopniowo rośnie i gdy KsięŜyc jest oddalony od Słońca około
900 na niebie, widoczny jest w postaci połowy okręgu (pierwsza kwadra),
b) w miarę oddalania się KsięŜyca od Słońca widzimy KsięŜyc w postaci większej od
połowy kręgu, gdy jego odległość wyniesie 1800 widzimy go w postaci pełnego
okręgu (pełnia),
c) po pełni KsięŜyc zbliŜa się znów do Słońca, widzialna część oświetlonej powierzchni maleje, w odległości 900 znów widzimy połowę kręgu (ostatnia kwadra),
d) przy dalszym zbliŜaniu się do Słońca od strony zachodniej znika w jego promieniach
w postaci wąskiego sierpa (nów).
⇒ sierp KsięŜyca widoczny bądź między nowiem i pierwszą kwadrą bądź ranem między
ostatnią kwadrą i nowiem, jest zawsze zwrócony wypukłością ku Słońcu,
5
00511 Mechanika nieba D – part 1
TEORIA
⇒ obrót KsięŜyca wokół własnej osi jest równy okresowi jego obiegu dokoła Ziemi, jest
on obiektem ciemnym odbijającym światło słoneczne
3. Gwiazdozbiory.
Gwiazdozbiory, nazywane równieŜ konstelacjami, są obszarami nieba o umownie wyznaczonych granicach, na podstawie charakterystycznych ugrupowań najjaśniejszych gwiazd.
Dziś obowiązuje podział nieba na 88 gwiazdozbiorów, m.in. mamy gwiazdozbiory: Orion,
Wielki Pies, Wolarz, Lutnia, Łabędź, Orzeł, Perseusz, Andromeda, Kasjopeja. Są one róŜnie widoczne o róŜnych porach roku:
zima - szczególnie widać gwiazdozbiory Oriona, Bliźniąt i Wielkiego Psa, z najjaśniejszą gwiazdą nieba, Syriuszem,
wiosna - najlepiej widoczne są Lew i Wolarz,
lato - dominuje Letni Trójkąt, który tworzą gwiazdozbiory Lutni, Łabędzia i Orła,
jesień - szczególnie łatwo dostrzec gwiazdozbiory Perseusza, Andromedy, a takŜe Kasjopei.
4. Typowe obiekty astronomiczne stanowią:
⇒ planety, typ obiektów astronomicznych o średnicach większych od ok. 1000 km obiegających gwiazdę, widocznych dzięki zdolności odbijania jej promieniowania. Wokół
planet krąŜą księŜyce,
⇒ Galaktyka, Słońce wraz z 200 miliardami gwiazd,
⇒ gromady, czyli ugrupowania gwiazd,
⇒ mgławice, tzn. olbrzymie obłoki pyłowo - gazowe (część z nich jest widoczna, gdyŜ
oświetlają je gorące gwiazdy),
⇒ megagalaktyka - cała dostępna obserwacjom część Wszechświata,
⇒ gwiazdy, czyli kule gazowe o masach nie przekraczających masę kilkudziesięciu mas
Słońca. Świecą przynajmniej przez część swojej ewolucji, w wyniku reakcji termojądrowych (przede wszystkim przemiany wodoru w hel) zachodzących w ich wnętrzu.
Stanowią najliczniejszą grupę ciał niebieskich widocznych na niebie nocnym. Zdają się
tworzyć niezmienne ugrupowania i dlatego nazywamy je stałymi. Liczba gwiazd dostępnych do obserwacji wzrasta w miarę stosowania odpowiednio wielkich obiektywów. Człowiek o przeciętnym wzroku moŜe widzieć jednocześnie od 2000 do 2500
gwiazd, przez lornetkę do kilkudziesięciu tysięcy, przez teleskop - do kilku milionów.
WyróŜniamy typy gwiazd: magnetyczne, okołobiegunowe, podwójne, spadające (inaczej: meteoryty), stałe, zaćmieniowe, zmienne.
5. Ostatnie dziesięciolecia znacznie rozszerzyły naszą wiedzę o Układzie Słonecznym, do
czego przyczyniły się:
⇒ w latach 1969 - 1972 sześciokrotne lądowanie na KsięŜycu amerykańskich statków kosmicznych z załogą ludzką,
⇒ międzyplanetarne sondy kosmiczne lądujące na powierzchni Wenus, Marsa i zbliŜające
się do Merkurego, Jowisza, Saturna i Urana,
6
00511 Mechanika nieba D – part 1
TEORIA
⇒ badania komety Halley’a dokonane w 1986 roku za pomocą automatycznych stacji
międzyplanetarnych z serii m.in. Wega i Giotto,
⇒ obserwacje i badania kolejnych, zbliŜających się do nas komet.
Temat: 58
Prawa Keplera.
1. Tycho Brahe na skutek utraty pomocy finansowej ze strony duńskiego króla, opuścił w 1597
roku wyspę Haveen zabierając ze sobą waŜniejsze instrumenty i zebrany przez siebie materiał obserwacyjny. Udał się do Niemiec, a w 1599 roku osiadł w Pradze. W ostatnich dwóch latach swego
Ŝycia zyskał ucznia i pomocnika w osobie Jana Keplera (1571-1630).Tycho Brahe powierzył swojemu uczniowi opracowanie swoich obserwacji, głównie w celu sprawdzenia nowych tablic planetarnych. Kepler zajął się tym zagadnieniem, wykorzystał jednak bogaty materiał obserwacyjny zebrany przez Tychona Brahe przede wszystkim w celu wykrycia nowych praw astronomicznych,
praw ruchu planet.
2. Kepler zajął się głównie Marsem, a wkrótce zorientował się, Ŝe orbita tej planety nie da się przedstawić jako koło. Zdecydował się zerwać z tradycyjnym załoŜeniem, Ŝe planety mogą poruszać się
tylko po kołach i po wielu próbach stwierdził, Ŝe spośród znanych krzywych najbardziej zbliŜona
do obserwowanego kształtu orbity Marsa jest elipsa. Poza tym Kepler stwierdził, Ŝe Mars porusza
się szybciej na orbicie, gdy jest bliŜej Słońca, a wolniej, gdy jest dalej. Odkrycia te sformułował w
1609 roku w postaci dwóch następujących praw:
I prawo Keplera:
Orbita kaŜdej planety jest elipsą ze Słońcem w jednym z ognisk.
II prawo Keplera:
Promień wodzący planety zakreśla równe pola w równych odstępach czasu.
NaleŜy zaznaczyć, Ŝe elipsy, po których biegną dokoła Słońca planety niewiele róŜni się od
kół.
II prawo Keplera ilustruje rys. 1 przedstawiający w przesadnym spłaszczeniu orbitę eliptyczną planety ze Słońcem S w jednym z ognisk. Zgodnie z tym prawem pola ASB, CDS i ESF w róŜnych
miejscach orbity, zakreślone przez promienie wodzące w równych odstępach czasu, są sobie równe. A więc blisko peryhelium, gdzie promienie wodzące są najkrótsze (SA, SB), planeta zakreśla
większy łuk AB niŜ EF zakreślony w tym samym odstępie czasu blisko aphelium, gdzie promienie
wodzące (SE, SF) są najdłuŜsze.
D
E
Aphelium
B
S
F
Rys. 1
C
A
Peryhelium
7
00511 Mechanika nieba D – part 1
TEORIA
3. Kepler był przekonany, Ŝe ruchy planet są powiązane wspólną im wszystkim zaleŜnością. Po wielu
latach poszukiwań (1619 rok) wykrył tę zaleŜność, którą wypowiedział jako III prawo ruchu planet:
III prawo Keplera:
Drugie potęgi okresów obiegu planet dokoła Słońca są wprost
proporcjonalne do trzecich potęg ich średnich odległości od Słońca.
Oznaczamy okresy dwóch planet przez T1 i T2 , a połowy wielkich osi ich orbit, czyli średnie odległości przez R1 i R2 .
III prawo Keplera piszemy wtedy w postaci :
T12 R13
=
T22 R23
co moŜna wyrazić równieŜ :
T2
Dla kaŜdej planety stosunek 3 = const. (jest stały)
R
III prawo Keplera daje moŜność obliczenia względnych rozmiarów orbit planetarnych, np. w odniesieniu do orbity ziemskiej. Niech T2 oznacza rok gwiazdowy, a R2 - połowę wielkiej osi orbity
ziemskiej.
Przyjmijmy za jednostkę czasu T2 = 1, a za jednostkę długości R2 = 1.
Wówczas mamy :
2
R1 = T1 3 .
Daje to moŜność obliczenia względnych rozmiarów orbit wszystkich planet z ich okresów gwiazdowych w odniesieniu do orbity Ziemi, której odległość od Słońca przyjmujemy za jednostkę.
Zadanie 1
Udowodnij, Ŝe przyspieszenie dośrodkowe dwóch planet poruszających
się po torach kołowych są odwrotnie proporcjonalne do kwadratów ich odległości od Słońca.
A to ciekawe: Zanim jeszcze Newton zaproponował swoje prawo powszechnego ciąŜenia, Johannes Kepler stwierdził, Ŝe ruch planet stosuje się do trzech prostych praw. Prawa
Keplera wzmocniły hipotezę Kopernika, Ŝe planety krąŜą wokół Słońca, a nie wokół Ziemi.
W 1600 roku było herezją religijną powiedzieć, Ŝe planety krąŜą wokół Słońca.
Istotnie, w 1600 roku Giordano Bruno, głośny zwolennik układu heliocentrycznego
Kopernika został osadzony przez Inkwizycję i spalony na stosie. Nawet wielki Galileusz został uwięziony, postawiony przed sąd Inkwizycji i zmuszony do publicznego odŜegnania się od swoich poglądów, mimo, Ŝe podobno papieŜ był jego dobrym przyjacielem.
Dogmatem owych czasów, gdy uwaŜano naukę Ptolemeusza i Arystotelesa za
święte, było, Ŝe planety poruszają się wokół Ziemi po skomplikowanych torach,
które wynikają z superpozycji rozmaitych ruchów po okręgach. Na przykład do
opisu ruchu Marsa trzeba było około tuzina okręgów o róŜnych wielkościach.
Ambicją Keplera było udowodnić, Ŝe Mars i Ziemia muszą obracać się wokół
Słońca. Poszukiwał on nieskomplikowanej geometrycznie orbity zgodnej z obszernym zbiorem pomiarów pozycji Marsa.
Fakt, Ŝe Newton mógł wyprowadzić wszystkie trzy prawa Keplera ze swoich
trzech zasad dynamiki był uwaŜany za ostateczne potwierdzenie dynamiki newtonowskiej.
8
00511 Mechanika nieba D – part 1
TEORIA
Temat: 59
Prawo ciąŜenia powszechnego.
1. Korzystając z trzech zasad dynamiki, Newton wyprowadził słynne prawo ciąŜenia powszechnego na podstawie wykrytych na drodze empirycznej praw Keplera. Przede
wszystkim z faktu, Ŝe planety krąŜą dokoła Słońca po liniach krzywoliniowych wynika, Ŝe
działa na nie siła (dlaczego ?). JeŜeli punkt porusza się pod działaniem siły centralnej, to
tor jego ruchu jest krzywą płaską, a prędkość polowa w tym ruchu jest stała. Zatem ze
spełnienia dla ruchu planet względem Słońca II prawa Keplera wynika, Ŝe działająca na
planetę siła jest centralna i skierowana ku Słońcu, a więc siła jest przyciągająca. Wreszcie
z zadania 1 (temat: 66), a co za tym idzie, z III prawa Keplera znajdujemy, Ŝe siła ta jest
odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości planety od Słońca.
2. Prawo ciąŜenia powszechnego wyprowadzone z ogólnych zasad ruchu i stwierdzonych
empirycznie praw Keplera, Newton genialnie uogólnił formułując je następująco:
m ⋅m
(1) F = G ⋅ 1 2 2 , czyli
r
kaŜde dwie cząstki materialne we Wszechświecie przyciągają się wzajemnie siłami wprost proporcjonalnymi do iloczynu mas obu cząstek
i odwrotnie proporcjonalnymi do kwadratu odległości między nimi.
Występująca we wzorze stała G nazywa się stałą grawitacji. Jej wartość wynosi
N ⋅ m2
(2) G = 6,67 ⋅ 10 −11
kg 2
3. Siły przyciągania działają przede wszystkim między wszystkimi bez wyjątku ciałami, zarówno takimi jak Słońce i planety, jak i między najdrobniejszymi pyłkami; jednak w ostatnim przypadku są tak małe, Ŝe nie moŜna ich zmierzyć ani dostrzec ich działania: dwa ciała o masach po 1 kg przyciągają się z odległości 1 m siłą równą liczbowo stałej grawitacji:
F = 6,67 ⋅ 10 −11 N .
4. Prawo ciąŜenia powszechnego ma doniosłe znaczenie dla rozwoju nie tylko astronomii,
lecz i fizyki, filozoficznie zaś, jako pierwsze poznane uniwersalne prawo fizyczne obejmujące zjawiska na Ziemi i we Wszechświecie przyczyniło się do poszerzenia horyzontów
poznawczych człowieka.
5. *Dla sprawdzenia, czy przyspieszenie ruchu KsięŜyca dokoła Ziemi moŜna wytłumaczyć
jako jego spadanie ku Ziemi, Newton porównał przyspieszenie siły cięŜkości na Ziemi z
przyspieszeniem orbitalnym KsięŜyca w jego ruchu dokoła Ziemi.
W tego rodzaju rachunkach, dla uproszczenia rozwaŜań naleŜy załoŜyć, Ŝe zarówno Ziemia, jak i KsięŜyc są kulami uformowanymi z jednorodnych warstw współśrodkowych i
wskutek tego przyciągają się tak, jak gdyby cała ich masa była skupiona w środkach tych
kul. Oznaczmy masę Ziemi przez M, masę KsięŜyca przez m, masę spadającego ciała na
Ziemi przez m1.
W przypadku ciała spadającego na Ziemi siła przyciągająca wynosi
M ⋅ m1
(3) F = G ⋅
= m1 ⋅ g , gdzie R − promień Ziemi .
R2
W przypadku KsięŜyca analogiczna siła jest równa
9
00511 Mechanika nieba D – part 1
TEORIA
M ⋅m
= m1 ⋅ ak , gdzie D − odleg ł ość Ziemi od KsięŜyca .
D2
W pierwszym przypadku przyspieszenie g siły cięŜkości na powierzchni Ziemi wynosi
G⋅ M
,
(5) g =
R2
w drugim zaś, przyspieszenie ak w ruchu KsięŜyca wynosi
G⋅ M
(6) ak =
D2
Stosunek obu tych przyspieszeń jest
a
R2
(7) k = 2
g D
Odległość KsięŜyca wynosi około 60 promieni ziemskich. Podstawiając we wzorze (7)
cm
wartości liczbowe: D = 60 R i g = 981 2 , otrzymamy wartość ak
s
981 cm
cm
(8) ak =
= 0,27 2
2
3600 s
s
Obliczając ak jako przyspieszenie dośrodkowe w ruchu kołowym ze wzoru
v 2 4π 2 ⋅ D 2 4π 2 ⋅ D
(9) ak =
= 2
=
D
T ⋅D
T2
Wstawiamy wartości liczbowe
4 ⋅ 3,14 2 ⋅ 60 R
cm
= 0,27 2 ,
(10) ak =
2
(27,4 doby )
s
co jest całkowicie zgodne z wynikiem otrzymanym we wzorze (8).
(4) F1 = G ⋅
Temat: 60*
Równość masy grawitacyjnej i bezwładnej.
1. Dotychczas mówiąc o masie ciała, nie rozróŜnialiśmy dokładnie dwóch rodzajów mas.
Jednak, gdy przypatrzymy się uwaŜniej moŜemy podzielić ją na dwa rodzaje. Mówiliśmy
często o masie ciała w związku z siłą przyciągania tego ciała przez Ziemię. Ustaliliśmy
wówczas, Ŝe masy ciał będziemy porównywać, porównując siły grawitacji, jakimi Ziemia
działa na ciała. Bowiem między siłami grawitacji i masami ciał zachodzi prosta proporcjonalność określona wzorem:
Mm
(1) F = G 2 (prawo ciąŜenia powszechnego)
r
Zatem masy M = m = 1[kg] przyciągają się z odległości 1 m siłami o wartości
F = 6,67 ⋅ 10 −11 [N] . Tak zdefiniowana masa ma nazwę masy grawitacyjnej.
To masa grawitacyjna decyduje jak silnie ciało będzie grawitacyjnie przyciągane przez inne ciało. Gdyby to samo ciało przenieść na KsięŜyc, byłoby one przyciągane tam innymi
siłami grawitacyjnymi niŜ na Ziemi, ale byłyby one równieŜ wprost proporcjonalne do mas
grawitacyjnych.
2. Masa bezwładna jest związana z własnością ciał zwaną bezwładnością. Ciała mają róŜne
bezwładności, jeśli pod działaniem jednakowych sił (natura sił nie jest istotna) uzyskują
10
00511 Mechanika nieba D – part 1
TEORIA
róŜne co do wartości przyspieszenia. Ciało uzyskujące w opisanym przypadku mniejsze
przyspieszenie ma większą bezwładność, a więc takŜe większą masę bezwładną. Masę
bezwładną moŜemy określić posługując się II zasadą dynamiki:
F
F = ma , czyli m =
a
3. *Fizycy długi czas mięli wątpliwości, czy masa występująca w II zasadzie dynamiki i masa występująca w prawie ciąŜenia powszechnego dla tego samego ciała tę samą wartość.
Wszystkie przeprowadzone doświadczenia wykazały, Ŝe masa grawitacyjna i masa
bezwładna, to te same masy.
F
(3) a =
Z godnie z II zasadą dynamiki
mb
Gdy siła F jest siłą grawitacji, to mamy :
Fg
(4) g =
, bowiem dla F = Fg , mamy a = g.
mb
Wstawiamy do wzoru (4) równanie Fg = mgg
mg g
(5) g =
, czyli mb = mg .
mb
4. *Równość masy grawitacyjnej i bezwładnej stwierdził doświadczalnie w 1901 roku węgierski fizyk Rolad Eotvos, w 1964 roku w bardziej dokładnym eksperymencie - R. Dicke
z Uniwersytetu Princeton w USA.
Wyniki tych uczonych silnie sugerują, Ŝe dla wszystkich substancji masa grawitacyjna jest
dokładnie równa masie bezwładnej. To właśnie stwierdzenie nazywa się zasadą równowaŜności.
Jest to podstawowe prawo przyrody opierające się na wynikach doświadczeń, podobnie
jak inne prawa.
Konsekwencją zasady równowaŜności jest to, Ŝe w Ŝaden sposób nie moŜna rozróŜnić
przyspieszenia laboratorium od przyspieszenia grawitacyjnego. Gdybyśmy umieścili ciało
w windzie poruszającej się z przyspieszeniem, Ŝadne doświadczenia wykonane w tej windzie nie mogłoby wykazać, czy winda porusza się z przyspieszeniem, czy teŜ winda spoczywa, a jakieś nowe źródło grawitacji „zostało włączone”. Zasada równowaŜności jest
punktem wyjścia ogólnej teorii względności Einsteina.