Dwójkowy system liczbowy Dodawanie liczb

Systemy liczbowe
opracowanie: Agata Idczak
System liczbowy


to inaczej zbiór reguł do jednolitego
zapisywania i nazywania liczb.
dla każdego systemu liczbowego istnieje
zbiór znaków, za pomocą których tworzy się
liczby. Znaki te zwane cyframi można
zestawiać ze sobą na różne sposoby
otrzymując nieskończoną liczbę kombinacji.
Dziesiętny system liczbowy
zwany
też
systemem
decymalnym
lub
arabskim to pozycyjny system liczbowy, w
którym podstawą pozycji są kolejne potęgi
liczby 10. Do zapisu liczb potrzebne jest więc
10 cyfr: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Dziesiętny system liczbowy


Jak w każdym pozycyjnym systemie liczbowym,
liczby zapisuje się tu jako ciąg cyfr, z których
każda jest mnożnikiem kolejnej potęgi liczby
stanowiącej podstawę systemu. Część całkowitą i
ułamkową oddziela separator dziesiętny
Pozycyjny, dziesiętny system liczbowy jest obecnie
na świecie podstawowym systemem stosowanym
niemal we wszystkich krajach.
Dwójkowy system liczbowy

(inaczej
binarny)
to
pozycyjny
system
liczbowy, w którym podstawą pozycji są
kolejne potęgi liczby 2. Do zapisu liczb
potrzebne są więc tylko dwa znaki: 0 i 1.

powszechnie używany w informatyce.
Dwójkowy system liczbowy
System binarny to system, dzięki któremu powstały maszyny
cyfrowe w tym i komputery. Komputer składa się z części
elektronicznych, gdzie wymiana informacji polega na
odpowiednim przesyłaniu sygnałów. Podstawą elektroniki jest
prąd elektryczny, który w układach elektronicznych albo
płynie albo nie. Komputer rozpoznaje sygnały i interpretuje
płynący prąd jako "1", a jego brak jako "0". Operując
odpowiednim ustawieniem, kiedy ma płynąc prąd, a kiedy nie
ustawia różne wartości zer i jedynek. Procesor konwertuje je
na liczby i w ten sposób powstają czytelne dla nas obrazy,
teksty, dźwięk itp
Dwójkowy system liczbowy
liczba
zapisana
w
dziesiętnym
systemie
liczbowym jako 10, w systemie dwójkowym
przybiera postać 1010, gdyż:
1x23 + 0x22 + 1x21 + 0x20 = 8+2 = 10
Dwójkowy system liczbowy
Obliczanie wartości binarnej liczby zapisanej
w systemie dziesiętnym
zamiana 3010 na liczbę w systemie dwójkowym:
30 ÷ 2 = 15 reszty 0
15 ÷ 2 = 7 reszty 1
7 ÷ 2 = 3 reszty 1
3 ÷ 2 = 1 reszty 1
1 ÷ 2 = 0 reszty 1
Aby obliczyć wartość dwójkową liczby przepisujemy
od końca reszty, które nam wyszły.
Tak więc 3010 = 111102
Dwójkowy system liczbowy
Konwersji (zamiany) liczby w systemie dziesiętnym
na system dwójkowy można dokonać poprzez
wielokrotne dzielenie przez 2 i spisywanie reszt z
dzielenia. Podczas dzielenia można otrzymać reszty 0
albo 1. Przy ilorazie równym zero należy spisać
ostatnią resztę i odczytać ciąg utworzony z reszt
zaczynając od ostatniej, kończąc na pierwszej.
Utworzony w ten sposób ciąg jest reprezentacją
binarną liczby dziesiętnej
Dwójkowy system liczbowy
Obliczanie wartości dziesiętnej liczby
zapisanej w systemie dwójkowym
111102 =11110=
1x24 + 1x23 + 1x22 + 1x21 + 0x20 =
1 x 16 + 1 x 8 + 1 x 4 + 1 x 2 + 0 x 1 =
16 + 8 + 4 + 2 = 30
Dwójkowy system liczbowy
127 ÷ 2 = 63 reszty 1
63 ÷ 2 = 31 reszty 1
31 ÷ 2 = 15 reszty 1
15 ÷ 2 = 7 reszty 1
7 ÷ 2 = 3 reszty 1
3 ÷ 2 = 1 reszty 1
1 ÷ 2 = 0 reszty 1
12710 = (1111111)2
19 ÷ 2 = 9 reszty 1
9 ÷ 2 = 4 reszty 1
4 ÷ 2 = 2 reszty 0
2 ÷ 2 = 1 reszty 0
1 ÷ 2 = 0 reszty 1
1910 = (10011)2
Dwójkowy system liczbowy
Dodawanie liczb
Do wykonywania dodawania niezbędna jest
znajomość tabliczki dodawania, czyli wyników
sumowania każdej cyfry z każdą inną. W systemie
dwójkowym mamy tylko dwie cyfry 0 i 1, zatem
tabliczka dodawania jest prosta i składa się tylko z
czterech pozycji:
0+0=0
0+1=1
1+0=1
1 + 1 = 10
Dwójkowy system liczbowy
Mnożenie liczb
Mnożenie liczb w układzie dwójkowym jest
szczególnie proste, gdyż cała tabliczka mnożenia
przedstawia się następująco:
0∙0=0
0∙1=0
1∙0=0
1∙1=1
Dwójkowy system liczbowy
Odejmowanie można zastąpić dodawaniem,
jeżeli utworzy się dopełnienie odejmowanej
liczby.
Dzielenie w układzie
wielokrotne odejmowanie
dwójkowym
to
Ósemkowy system liczbowy
System ósemkowy, zwany też oktogonalnym.
Podstawą tego systemu jest liczba 8 i posiada on
osiem cyfr: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
Liczba 8 to trzecia potęga dwójki. Każdym trzem
cyfrom
systemu
binarnego
(dwójkowego)
odpowiada jedna cyfra systemu ósemkowego.
System ten więc jest również wykorzystywany w
informatyce.
Ósemkowy system liczbowy
Jak w każdym pozycyjnym systemie liczbowym,
liczby zapisuje się tu jako ciągi cyfr, z których każda
jest mnożnikiem kolejnej potęgi liczby będącej
podstawą systemu, np. liczba zapisana w
dziesiętnym systemie liczbowym jako 100, w
ósemkowym przybiera postać 144, gdyż:
2
1
0
• 1×8 + 4×8 + 4×8 = 64 + 32 + 4 = 100.
Ósemkowy system liczbowy
Przykład zamiany liczby z systemu
dziesiętnego na system ósemkowy
100:8 = 12 reszty = 4
12:8 =1 reszty = 4
1:8= 0 reszty = 1
Teraz czytamy od dołu: 144 w systemie
oktalnym to 100 w systemie dziesiętnym.
Szesnastkowy system liczbowy

system różny od tego, którego używamy na
co dzień. Różni się o tyle, że bazuje na
liczbie 16, a więc potrzebuje 16 znaków za
pomocą, których można zapisać dowolną
liczbę. Szesnastkowy system liczbowy jest
właściwy komputerom, ponieważ pozwala na
zapis większych liczb w mniejszych
przestrzeniach pamięci.
Szesnastkowy system liczbowy

W systemie
16 cyfr:
szesnastkowym
wyróżniamy
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F

Często system szesnastkowy jest określany
nazwą Hex od słowa stworzonego przez
firmę IBM hexadecimal.
Szesnastkowy system liczbowy


Jak w każdym pozycyjnym systemie liczbowym,
liczby zapisuje się tu jako ciągi znaków, z których
każdy jest mnożnikiem kolejnej potęgi liczby
stanowiącej podstawę systemu, np. liczba zapisana
w dziesiętnym systemie liczbowym jako 1000, w
hex przybiera postać 3E8, gdyż:
3×162 + 14×161 + 8×160 =
= 768 + 224 + 8 = 1000.
Szesnastkowy system liczbowy
Hex jest powszechnie używany w informatyce,
ponieważ wartość pojedynczego bajtu można
opisać
używając
tylko
dwóch
cyfr
szesnastkowych. W ten sposób można kolejne
bajty łatwo przedstawić w postaci ciągu liczb
hex. Jednocześnie zapis 4 bitów można łatwo
przełożyć na jedną cyfrę hex.
Szesnastkowy system liczbowy
Dla przykładu:


216 = 65.536dec = 1.0000hex

224 = 16.777.216dec = 100.0000hex

232 = 4.294.967.296dec = 1.0000.0000hex

216-1 = 65.535dec = FFFFhex

224-1 = 16.777.215dec = FF.FFFFhex

232-1 = 4.294.967.295dec = FFFF.FFFFhex
FFFFhex, FF.FFFFhex i FFFF.FFFFhex są krótsze i
łatwiejsze do zapamiętania.
Dziesiętny system liczbowy
Konwersji (zamiany) liczby w systemie
dziesiętnym na system heksadecymalny
można dokonać poprzez wielokrotne dzielenie
przez 16 i spisywanie reszt z dzielenia. Przy
ilorazie równym zero należy spisać ostatnią
resztę i odczytać ciąg utworzony z reszt
zaczynając od ostatniej, kończąc na
pierwszej. Utworzony w ten sposób ciąg jest
reprezentacją szesnastkową liczby dziesiętnej.