Przykłady zadań do standardów.

Przykłady zadań do standardów.
1. Wykorzystanie i tworzenie informacji.
1. Oblicz wartośd wyrażenia: log 5  log 8  2 log 2.
Odp.: 1
2. Wyrażenie
8

1
3
 
2
0,25
1
5
5
: 32
zapisz w postaci 2 p , gdzie p jest liczbą całkowitą.
Odp.: 2 7
2
, gdzie m jest liczbą naturalną nieparzystą, można przedstawid w
m
m 1
2 1 1
postaci sumy ułamków o licznikach 1 w postaci sumy:
,
  , gdzie p 
2
m p r
mm  1
.
r
2
2
1 1
Przedstaw w takiej postaci ułamek .
Odp.: np.: 
3
2 6
3. Każdy ułamek postaci
4. Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia a 2  b 2  (a  b)(a  b) , oblicz 41 39 .
Odp.: 1599
5. Dany jest wielomian W x   3x 3  2 x 2  5x  1 . Oblicz
W  1  3W 0
W
 2
.
Odp.:

2 3 2
7
6. Znajdź miejsca zerowe funkcji f określonej wzorem f x   x3  2 x 2  x  2 .
Odp.: -1, 1 i 2
7. Ile wyrazów ciągu a n  określonego wzorem an  2n  1  1 należy do przedziału
 2,8 ?
Odp. 4
0
0
0
sin 60  cos 30  0,25tg 45
8. Oblicz wartośd wyrażenia
.
3  sin 3 45 0  tg 2 60 0
Odp.: 2
9. Środkiem odcinka KL, gdzie L   1,2 , jest punkt S   2,0 . Podaj współrzędne
punktu K.
Odp.: K   3,2
10. Napisz równanie okręgu o środku S   1,3 i promieniu r  2 .
Odp.: x  1   y  3  2
2
2

2. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.
1. W romb wpisano okrąg, którego promieo ma długośd 4 cm. Wiedząc, że sinus kąta
ostrego rombu jest równy
4
, oblicz długośd boku i długośd przekątnych tego rombu.
5
Odp.: 10 cm, 4√5 cm, 8√5 cm
2. W trapezie ramiona mają długośd 10 cm i 17 cm. Długośd odcinka łączącego środki
ramion trapezu jest równa 27,5 cm, a długośd odcinka łączącego środki przekątnych
wynosi 10,5 cm. Oblicz:
a. długości podstaw trapezu
b. długości wysokości tego trapezu.
Odp.: 38 cm, 17 cm, 8 cm
3. Korzystając z wykresów funkcji
i
. Rozwiąż nierównośd
.
Odp. :
4. Funkcja
dana jest wzorem
a) Narysuj wykres funkcji
.
b) Odczytaj z wykresu rozwiązanie nierówności
Odp.: ad a)
Odp.
5. Rozwiąż równanie
x
 1.
4x  1
Odp.: x 
6. Oblicz wartośd wyrażenia
log 2 27
.
log 2 18  1
Odp.: 1,5
7. Rozwiąż nierównośd:
.
Odp.:
1
.
5
8. Na rysunku jest przedstawiony wykres funkcji .






Podaj dziedzinę funkcji .
Podaj wszystkie miejsca zerowe funkcji .
Odczytaj wartośd funkcji dla argumentu
.
Podaj zbiór wartości funkcji .
Podaj maksymalny przedział o długości 3, w którym funkcja jest rosnąca.
Zapisz w postaci sumy przedziałów zbiór wszystkich argumentów, dla których
funkcja przyjmuje wartości ujemne.
Odp.: Dziedzina:
,
Miejsca zerowe:
.
.
Zbiór wartości:
Przedział
.
.
Zbiór
.
5
1
3
9. Zdarzenia A i B są zdarzeniami przestrzeni Ω oraz P( A  B)  , P( A)  , P( B' )  .
8
2
4
Oblicz P( A  B).
1
Odp.: P( A  B)  .
8
3. Modelowanie matematyczne
1. Samochód poruszał się przez 4 godziny z średnią prędkością 50km/h. Podaj wzór
funkcji f opisującej zależnośd między drogą s, którą przebywa samochód, a czasem t,
w którym ją pokonuje.
Odp.: f(x)=50t, 0≤t≤4
2. Na rysunku poniżej pokazano zasadę utworzenia ciągu z patyczków
;
;
Napisz wzór tego ciągu.
Odp.: an=5n
3.Liczbę 12 przedstaw w postaci sumy dwóch takich składników, że suma ich kwadratów
jest równa 74.
Odp.: 7 i 5
4.Pole wielokąta przedstawionego na poniższym rysunku jest równe 100.
Napisz wzór wyrażający zależnośd między długością y w zależności od długości odcinka x .
Odp.: y 
5. Miejsca zerowe funkcji kwadratowej
100
200
50
, y
, y .
x
x
x
są równe -1 i 5. Wykres tej funkcji przecina oś OY w
punkcie (0, 10). Oblicz największą wartośd, jaką przyjmuje funkcja
Odp.: f max  18.
4.Użycia i tworzenia strategii
1. W pubie „ Maturka” spotkało się 10 osób, których średnia wieku wynosi 19 lat. Po dwóch
godzinach doszły jeszcze dwie osoby, jedna starsza o 2 lata od drugiej i średnia wieku
uczestników spotkania wynosiła wtedy 20 lat. Oblicz, ile lat miała każda z osób spóźnionych
na spotkanie.
Odp.: 24 i 26 lat.
2.Dane są liczby:
Przyjmij, że dane liczby są odpowiednio pierwszym, drugim i
trzecim wyrazem ciągu geometrycznego
Wyznacz sumę sześciu początkowych
wyrazów tego ciągu.
Odp.:
3. Wazon ma kształt graniastosłupa trójkątnego o wymiarach podanych na rysunku. Drogi
Czytelniku! , który z przedstawionych na rysunku kwiatów jest dłuższy?
4. Podstawa trójkąta równoramiennego ma długośd równą 12 cm. W trójkąt ten wpisano
kwadrat o boku długości 9 cm w taki sposób, że dwa wierzchołki kwadratu należą do
podstawy, pozostałe dwa do ramion trójkąta. Oblicz pole trójkąta.
Odp.: P = 216 cm2.
5. Punkty A=(1,2), B=(-1,-1), C=(5,2) są wierzchołkami trójkąta. Napisz równanie prostej
zawierającej wysokośd tego trójkąta poprowadzonej z wierzchołka A.
Odp.: 2x+y-4=0.
6. Wiedząc, że kąt α jest kątem ostrym, oblicz wartośd wyrażenia;
15
4 cos   tg
, gdy cos   .
17
sin   tg
Odp.:
191
.
64
7. Między liczby 1 i 49 wstaw siedem takich liczb, by łącznie z danymi tworzyły ciąg
arytmetyczny (an).
Odp.: 7,13,19,25,31,37,43.
8. W kwadrat ABCD o boku 4 wpisano pięd kwadratów, jak na rysunku poniżej.
Oblicz pole P i obwód L figury wyróżnionej kolorem.
Odp.:
P  6,
L  16  12 2
5. Rozumowanie i argumentacja.
1. Punkty D i E dzielą bok BC trójkąta ABC na trzy równe części (zobacz rysunek). Wykaż, że
pole trójkąta ADE jest trzy razy mniejsze od pola trójkąta ABC.
2. Uzasadnij, że punkty przecięcia dwusiecznych kątów wewnętrznych prostokąta
są
wierzchołkami kwadratu.
3.Wykaż, że liczba
4.Dane są punkty
prostopadłe.
jest liczbą wymierną.
. Uzasadnij, że proste
i
są
5.Długości boków trójkąta tworzą ciąg arytmetyczny. Wykaż, że jeżeli obwód trójkąta jest
równy 12 cm, to co najmniej jeden z boków ma długośd 4 cm.
6.W równoległoboku ABCD przez wierzchołek D kąta rozwartego poprowadzono prostą,
która przecięła bok AB w punkcie E takim, że |  DEB| = |  DBC|. Wykaż, że trójkąty
DBC i BED są podobne.
7. Wykaż, że środki boków rombu są wierzchołkami prostokąta.
8. Uzasadnij, że koło o środku
trójkącie o wierzchołkach
i promieniu
jest w całości zawarte w
.
9. Wielomian W określony jest wzorem W(x)=ax5+7x3+x, gdzie a≠0. Wykaż, że W(-1)+W(1)=0.
Zadania wybrane z:
E. Świda, E. Karczub, M. Karczub, Matematyka Próbne arkusze maturalne, poziom podstawowy,
Oficyna Edukacyjna Krzysztof Pazdro, Warszawa 2009
K. Gałązka, M. Borowska, Obowiązkowa matura z matematyki zakres podstawowy, Wydawnictwo
Pedagogiczne OPERON, Gdynia 2009
E. Świda, E. Karczub, M. Karczub, Matematyka-Materiały pomocnicze dla nauczycieli liceów i
techników, kl.2, Oficyna Edukacyjna Krzysztof Pazdro, Warszawa 2009
Praca zbiorowa pod redakcją A. Cewe i H. Nahorskiej, Matura z matematyki od koku 2010,
Wydawnictwo podkowa, Gdaosk 2009
http://www.zadania.info/