Szymon Draga Ściśle wypukłe przenormowania przestrzeni Banacha

Instytut Matematyki
Uniwersytetu Śląskiego w Katowicach
Szymon Draga
nr albumu 250213
Ściśle wypukłe przenormowania
przestrzeni Banacha
praca magisterska
promotor
dr Tomasz Kochanek
Katowice 2013
Słowa kluczowe: przestrzenie Banacha, normy ściśle wypukłe.
Oświadczenie autora pracy
Świadomy odpowiedzialności prawnej oświadczam, że niniejsza praca została napisana przeze mnie samodzielnie i nie zawiera treści uzyskanych w sposób niezgodny
z obowiązującymi przepisami.
Oświadczam również, że przestawiona praca nie była wcześniej przedmiotem
procedur związanych z uzyskaniem tytułu zawodowego w wyższej uczelni.
Oświadczam ponadto, że niniejsza wersja pracy jest identyczna z załączoną wersją elektroniczną.
Data
Podpis autora pracy
1
Spis treści
Wstęp
3
1 Podstawowe klasy norm
1.1 Definicje . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Interpretacje geometryczne . . . . . . .
1.3 Uwagi dotyczące przestrzeni Hilberta .
1.4 Uwagi dotyczące przestrzeni skończenie
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
i nieskończenie wymiarowych
2 Możliwe przenormowania
2.1 Metoda transferu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Twierdzenie Rainwatera o normie Daya . . . . . . . .
2.3 Wnioski dla przestrzeni WCG . . . . . . . . . . . . .
2.4 Ogólne rezultaty dotyczące pewnych klas przestrzeni
2.5 Przenormowania jednostajnie wypukłe . . . . . . . .
4
4
5
6
7
.
.
.
.
.
11
11
13
18
19
24
.
.
.
.
26
26
28
30
33
4 Problem przenormowania dla przestrzeni C(K)
4.1 Przykłady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Problem otwarty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
35
38
Literatura
39
3 Twierdzenia o niemożności przenormowania
3.1 Twierdzenie Daya . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Twierdzenie Lindenstraussa . . . . . . . . .
3.3 Twierdzenie Bourgaina . . . . . . . . . . . .
3.4 Twierdzenie Tokareva . . . . . . . . . . . . .
2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Wstęp
Tematyka niniejszej pracy dotyczy geometrii przestrzeni Banacha, a dokładniej –
badania poszczególnych przestrzeni pod kątem istnienia równoważnej normy, która jest w pewien sposób wypukła. Poszukujemy zatem przenormowań przestrzeni
Banacha lub dowodzimy, że takowe nie istnieją.
W pierwszym rozdziale definiujemy podstawowe pojęcia, omawiamy związki między nimi oraz ich interpretacje geometryczne. Zauważamy też, że normy w przestrzeniach Hilberta odznaczają się wysoką regularnością oraz że w przestrzeniach
skończenie wymiarowych pojęcia wypukłości normy pokrywają się. Większość prezentowanych tutaj faktów jest swego rodzaju folklorem, poza przykładem 1.9, który
trudno znaleźć w literaturze.
W drugim rozdziale zajmujemy się możliwymi przenormowaniami. Używając
metody transferu, pokazujemy, że przestrzenie ośrodkowe oraz przestrzeń `∞ dopuszczają ściśle wypukłe przenormowanie. W dalszej części wprowadzamy normę
Daya, pokazujemy, że jest ona lokalnie jednostajnie wypukła, a następnie wyciągamy
wnioski dla przestrzeni WCG. Dowodzimy także kilku twierdzeń dotyczących szerszych klas przestrzeni oraz charakteryzujemy przestrzenie dopuszczające UR przenormowanie. Rezultaty z pierwszych dwóch paragrafów pochodzą głównie z książki
Diestela [8]. Wyniki z kolejnych dwóch paragrafów zostały w dużej mierze oparte
o nowocześniejsze lub trudniejsze twierdzenia, pochodzące między innymi z [2], [25].
Twierdzenie 2.22, które nie pojawia się w żadnej z cytowanych pozycji, należy do
autora. W ostatnim paragrafie powołujemy się na prace [9], [11], [24].
W trzecim rozdziale omawiamy niemożność (w określony sposób wypukłego)
przenormowania pewnych przestrzeni Banacha. Dowodzimy mianowicie twierdzenia
Daya, które mówi, że przestrzeń `∞ (I) nie dopuszcza równoważnej normy ściśle
wypukłej dla nieprzeliczalnego zbioru indeksów I, oraz twierdzenia Lindenstraussa
o braku wLUR przenormowania przestrzeni `∞ . Przytaczamy również twierdzenie
Bourgaina z dowodem i przywołujemy ogólne twierdzenie Tokareva. Ta część pracy
także oparta jest na wspomnianej książce Diestela oraz artykułach [5], [23].
W ostatnim rozdziale częściowo udzielamy odpowiedzi na pytanie, które przestrzenie C(K) dopuszczają równoważną normę ściśle/lokalnie jednostajnie wypukłą.
Jak wiadomo, problem ten w pełnej ogólności jest otwarty. Cytujemy tutaj twierdzenia z różnych prac oraz książek, na przykład [6], [10], [15].
Do ulepszenia niniejszej pracy niewątpliwie przyczyniły się wykłady Profesora
Karola Barona [4] oraz Doktora Tomasza Kochanka [16], za które jestem im bardzo
wdzięczny.
3
1
Podstawowe klasy norm
Ustalmy przestrzeń Banacha (X, k·k) nad ciałem K ∈ {R, C}. Przez SX oznaczać
będziemy sferę jednostkową, czyli zbiór {x ∈ X : kxk = 1} . Podobnie, przez BX
oznaczać będziemy domkniętą kulę jednostkową {x ∈ X : kxk ¬ 1}.
1.1
Definicje
Podstawowe pojęcia związane z geometrią przestrzeni Banacha wprowadzimy
w poniższej definicji.
Definicja 1.1. Niech x, y będą dowolnymi elementami zbioru SX , zaś (xn )n∈N ,
(yn )n∈N dowolnymi ciągami jego elementów. (We wszystkich podanych niżej warunkach obiekty te występują pod kwantyfikatorem ogólnym.) Normę k·k nazywamy:
• ściśle wypukłą, w skrócie SC (od ang. strictly convex ), jeżeli
x + y 2
= 1 =⇒ x = y;
• słabo lokalnie jednostajnie wypukłą, w skrócie wLUR (od ang. weakly locally
uniformly rotund ), jeżeli
xn
lim n→∞
słabo
+ x = 1 =⇒ xn −−−−→ x;
2
• lokalnie jednostajnie wypukłą, w skrócie LUR (od ang. locally uniformly rotund ), jeżeli
xn + x = 1 =⇒ lim kxn − xk = 0;
lim
n→∞
n→∞ 2 • jednostajnie wypukłą, w skrócie UR (od ang. uniformly rotund ), jeżeli
xn
lim n→∞ + yn = 1 =⇒ n→∞
lim kxn − yn k = 0.
2 Będziemy mówić, że przestrzeń X można przenormować w sposób ściśle wypukły
(wLUR/LUR/UR) lub że ma ściśle wypukłe (wLUR/LUR/UR) przenormowanie, jeżeli
w przestrzeni tej istnieje norma równoważna normie k·k, która jest ściśle wypukła
(wLUR/LUR/UR).
Uwaga 1.2. Wprowadzone definicje wypukłości normy nie zależą od ciała, nad którym rozważamy daną przestrzeń Banacha.
Dowód. Możemy ograniczyć się do słabo lokalnie jednostajnej wypukłości normy.
(Definicje pozostałych rodzajów wypukłości w żaden sposób nie zależą od ciała, nad
którym rozważamy przestrzeń X.)
Załóżmy zatem, że X jest przestrzenią zespoloną i przez XR oznaczmy przestrzeń
X traktowaną jak przestrzeń rzeczywista. Pokażemy, że słaba zbieżność w przestrzeni X jest równoważna słabej zbieżności w przestrzeni XR .
4
Ustalmy ciąg (xn )n∈N punktów przestrzeni X i załóżmy, że jest on słabo zbieżny
do zera w przestrzeni X. Jeżeli x∗0 ∈ XR∗ , to funkcjonał x∗ : X → C dany wzorem
x∗ (x) = x∗0 (x) − ix∗0 (ix) dla x ∈ X
jest C-liniowy i ciągły. Zatem limn→∞ x∗ (xn ) = 0, skąd limn→∞ x∗0 (xn ) = 0.
W celu udowodnienia implikacji odwrotnej załóżmy, że ciąg (xn )n∈N jest słabo
zbieżny do zera w przestrzeni XR . Wówczas, jeżeli x∗ ∈ X ∗ , to re x∗ , im x∗ ∈ XR∗ .
Zatem
lim x∗ (xn ) = lim re x∗ (xn ) + i lim im x∗ (xn ) = 0.
n→∞
n→∞
n→∞
Na mocy powyższej uwagi możemy zawsze bez straty ogólności zakładać, że
rozważana przestrzeń Banacha jest przestrzenią rzeczywistą.
Uwaga 1.3. Zachodzą następujące implikacje:
UR =⇒ LUR =⇒ wLUR =⇒ SC.
(1.1)
Dowód. Pierwsze dwie implikacje są oczywiste, trzecia wynika z jedyności słabej
granicy.
W późniejszej części niniejszej pracy przedyskutujemy, w miarę szczegółowo,
możliwość odwracania implikacji (1.1).
1.2
Interpretacje geometryczne
W dalszym ciągu bardzo użyteczne będzie następujące spostrzeżenie.
Uwaga 1.4. Załóżmy, że x, y ∈ X są takimi punktami, że kx + yk = kxk + kyk.
Wówczas dla dowolnych liczb nieujemnych α, β zachodzi równość
kαx + βyk = α kxk + β kyk .
Dowód. Ustalmy α, β ∈ [0, ∞) i bez straty ogólności załóżmy, że α ­ β. Wówczas
kαx + βyk = kα(x + y) − (α − β)yk ­ α kx + yk − (α − β) kyk =
= α(kxk + kyk) − (α − β) kyk = α kxk + β kyk .
Nierówność w drugą stronę wynika bezpośrednio z nierówności trójkąta.
Wniosek 1.5. Jeżeli x, y ∈ SX oraz kx + yk = 2, to odcinek łączący punkty x i y
jest zawarty w sferze jednostkowej.
Powyższy wniosek stanowi interpretację geometryczną ścisłej wypukłości normy:
mianowicie, norma k·k jest ściśle wypukła wtedy i tylko wtedy, gdy sfera jednostkowa
nie zawiera niezdegenerowanych odcinków.
Uwaga 1.6. Norma k·k jest jednostajnie wypukła wtedy i tylko wtedy, gdy
∀ε>0∃δ>0∀x,y∈S
X
kx − yk ­ ε =⇒
5
x + y 2
¬1−δ .
(1.2)
Dowód. Załóżmy, że k·k jest normą jednostajnie wypukłą. Ustalmy ε > 0 i, dla
dowodu nie wprost, przypuśćmy, że
∀n∈N∃x ,y ∈S
n
n
kxn − yn k ­ ε i
X
Wówczas
xn
xn
1
+ yn .
>1−
2
n
+ yn = 1,
2 ale lim inf n→∞ kxn − yn k ­ ε; sprzeczność.
W celu dowodu implikacji odwrotnej załóżmy, że zachodzi warunek (1.2). Ustalmy ε > 0 oraz ciągi (xn )n∈N i (yn )n∈N elementów zbioru SX , dla których
lim n→∞ xn + yn = 1.
lim n→∞
2 Na mocy warunku (1.2)
∃δ>0∀x,y∈S
X
kx − yk ­ ε =⇒
x + y 2
¬1−δ .
Niech N będzie taką liczbą naturalną, że 12 (xn + yn ) > 1 − δ dla wszelkich n ­ N .
Wtedy kxn − yn k < ε dla n ­ N , co oznacza jednostajną wypukłość normy k·k.
Powyższa uwaga stanowi interpretację geometryczną jednostajnej wypukłości:
mianowicie, norma k·k jest jednostajnie wypukła wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje
niezdegenerowany pierścień {x ∈ X : r ¬ kxk ¬ 1} o tej własności, że jeśli środek
odcinka łączącego dwa punkty sfery jednostkowej należy do tego pierścienia, to
punkty te leżą dostatecznie blisko.
Zwróćmy uwagę na pewną zależność między normą ściśle wypukłą, a jednostajnie
wypukłą. W przypadku normy ściśle wypukłej, środek odcinka łączącego dwa różne
punkty sfery jednostkowej leży wewnątrz kuli jednostkowej, zaś w przypadku normy
jednostajnie wypukłej leży wewnątrz tej kuli, ale odpowiednio „głęboko”.
1.3
Uwagi dotyczące przestrzeni Hilberta
Uwaga 1.7. Jeżeli X jest przestrzenią Hilberta, to norma k·k jest jednostajnie wypukła.
Dowód. Możemy założyć, że X jest przestrzenią rzeczywistą. Ustalmy ciągi (xn )n∈N
i (yn )n∈N elementów zbioru SX spełniające warunek
xn
lim n→∞ + yn = 1.
2 Z równości
kxn + yn k2 = (xn |xn ) + 2(xn |yn ) + (yn |yn ) = 2 + 2(xn |yn ) dla n ∈ N
wynika, że limn→∞ (xn |yn ) = 1. Zatem
lim kxn − yn k2 = lim ((xn |xn ) − 2(xn |yn ) + (yn |yn )) = 0.
n→∞
n→∞
6
W tym miejscu dostrzegamy motywację przenormowań przestrzeni Banacha:
chcemy odpowiedzieć na pytanie, jak bardzo można zwiększyć regularność normy
w danej przestrzeni Banacha, zachowując topologię, aby była ona jak najbliższa
regularności normy w przestrzeni Hilberta. Innymi klasycznymi przykładami norm
jednostajnie wypukłych są normy w przestrzeniach Lp dla p ∈ (1, ∞) (zob. [8, §3.1]
lub [14]).
1.4
Uwagi dotyczące przestrzeni skończenie i nieskończenie
wymiarowych
Uwaga 1.8. Jeżeli X jest przestrzenią skończenie wymiarową, to SC =⇒ UR.
Dowód. Załóżmy, że X 6= {0} jest przestrzenią skończenie wymiarową oraz że norma
k·k jest ściśle wypukła. Ustalmy ε ∈ (0, 2). Ze zwartości sfery jednostkowej wynika
zwartość zbioru
K = {(u, w) ∈ SX × SX : ku − wk ­ ε}.
Oczywiście K 6= ∅. Przyjmijmy
δ=
u + w
1 − max 2
: (u, w) ∈ K > 0.
Wówczas, jeżeli x, y ∈ SX i kx − yk ­ ε, to
x + y 2
¬ 1 − δ.
Z powyższej uwagi oraz uwagi 1.3 wynika, że w przestrzeniach skończenie wymiarowych wprowadzone pojęcia wypukłości normy pokrywają się. Innymi słowy,
w przestrzeniach skończenie wymiarowych odwraca się każda z implikacji (1.1).
Następujący przykład pokazuje, że w przestrzeniach nieskończenie wymiarowych
zdefiniowane pojęcia są różne.
Przykład 1.9. W przestrzeni c0 norma[1]
|||x||| = kxk∞
v
u∞
uX
+t
2−n |x(n)|2
n=1
jest wLUR, ale nie jest LUR.
Zanim przejdziemy do dowodu, sformułujemy i udowodnimy dwa lematy.
Lemat 1.10. Załóżmy, że (xn )n∈N jest ciągiem elementów przestrzeni c0 punktowo
zbieżnym do pewnego elementu αx, gdzie α ∈ [0, ∞), x ∈ c0 \ {0}. Jeżeli
lim (kxn + xk∞ − kxn k∞ ) = kxk∞
n→∞
oraz istnieje granica lim kxn k∞ , to lim kxn k∞ = α kxk∞ .
n→∞
[1]
n→∞
k·kp oznacza standardową normę w przestrzeni Lp dla p ∈ [1, ∞].
7
Dowód. Pokażemy, że z każdego podciągu ciągu (kxn k∞ )n∈N można wyjąć podciąg
zbieżny do α kxk∞ . W tym celu ustalmy dowolny podciąg ciągu (kxn k∞ )n∈N , który
dla uproszczenia zapisu oznaczać będziemy dalej przez (kxn k∞ )n∈N .
Niech
K = {k ∈ N : |x(k)| = kxk∞ };
z przyjętych założeń wynika, że jest to niepusty zbiór skończony. Dalej, jeśli n ∈ N
i k ∈ N \ K, to
|(xn + x)(k)| − kxn k∞ ¬ |xn (k)| + |x(k)| − kxn k∞ ¬ |x(k)| ¬
¬ max{|x(l)| : l ∈ N \ K} < kxk∞ .
Oznacza to, że istnieje taki indeks k0 ∈ K, że |(xn + x)(k0 )| = kxn + xk∞ dla
nieskończenie wielu n ∈ N. Niech (nl )l∈N będzie takim ściśle rosnącym ciągiem liczb
naturalnych, że
|(xnl + x)(k0 )| = kxnl + xk∞ dla l ∈ N.
Przechodząc w powyższej równości z l do nieskończoności, uzyskujemy
(1 + α)|x(k0 )| = lim kxnl + xk∞ = lim kxnl k∞ + kxk∞ ,
l→∞
l→∞
co kończy dowód.
Lemat 1.11. Załóżmy, że (xn )n∈N jest ograniczonym ciągiem elementów przestrzeni c0 . Jeżeli ciąg ten jest zbieżny punktowo do pewnego elementu x ∈ c0 , to jest on
zbieżny słabo do tego punktu.
Dowód. Ustalmy funkcjonał x∗ ∈ c∗0 . Niech M ∈ [0, ∞) będzie taką stałą, że
kxn − xk∞ ¬ M
dla n ∈ N,
∗
∗
zaś (an )n∈N takim ciągiem z przestrzeni `1 , że x∗ = ∞
n=1 an en , gdzie en oznaczają
P
∗
funkcjonały współrzędnościowe. Oznaczmy x∗N = N
k=1 ak ek dla N ∈ N. Wówczas
dla wszelkich n, N ∈ N mamy
P
|x∗ (xn − x)| ¬ |(x∗ − x∗N )(xn − x)| + |x∗N (xn − x)| ¬
¬M
N
X
kx∗ − x∗N k + ak (xn (k) − x(k)) .
k=1
Przechodząc w powyższej nierówności z n do nieskończoności, uzyskujemy
lim sup |x∗ (xn − x)| ¬ M kx∗ − x∗N k ,
n→∞
skąd, po przejściu z N do nieskończoności, otrzymujemy tezę.
Dowód tezy z przykładu 1.9. Możemy założyć, że c0 jest przestrzenią rzeczywistą.
Z nierówności
kxk∞ ¬ |||x||| ¬ 2 kxk∞ dla x ∈ c0
8
wynika, że (c0 , |||·|||) jest przestrzenią Banacha.
Aby pokazać, że norma |||·||| jest wLUR, ustalmy ciąg (xn )n∈N punktów sfery
jednostkowej przestrzeni (c0 , |||·|||), punkt x z tej sfery i załóżmy, że
xn + x = 1.
lim n→∞
2 Pokażemy, i to zakończy tę część dowodu, że z każdego podciągu ciągu (xn )n∈N można wyjąć podciąg słabo zbieżny do punktu x. W tym celu ustalmy dowolny podciąg
ciągu (xn )n∈N , który dla uproszczenia oznaczać będziemy dalej przez (xn )n∈N .
Oznaczmy
k
yn = 2− 2 xn (k)
k∈N
dla n ∈ N
oraz
k
y = 2− 2 x(k)
k∈N
.
Z równości
xn
1 − + x |||xn ||| + |||x||| xn + x =
=
− 2 2
2 kxn k∞ + kxk∞ − kxn + xk∞ kyn k2 + kyk2 − kyn + yk2
=
+
2
2
wynikają istnienie i równości następujących granic:
lim (kxn k∞ + kxk∞ − kxn + xk∞ ) = 0
(1.3)
lim (kyn k2 + kyk2 − kyn + yk2 ) = 0.
(1.4)
n→∞
oraz
n→∞
Ograniczając się ewentualnie do kolejnego podciągu ciągu (xn )n∈N (nadal oznaczanego przez (xn )n∈N ), możemy założyć istnienie granic limn→∞ kxn k∞ i limn→∞ kyn k2 .
Przekształcając równość (1.4), otrzymujemy
lim (kyn k22 + 2(yn |y) + kyk22 ),
lim (kyn k2 + kyk2 )2 = n→∞
lim kyn + yk22 = n→∞
n→∞
skąd
lim (yn |y) = lim kyn k2 · kyk2 = α kyk22 ,
n→∞
n→∞
gdzie α = limn→∞ kyn k2 / kyk2 . Zatem
lim kyn − αyk22 = lim kyn k22 − 2α(yn |y) + α2 kyk22 =
n→∞
n→∞
2
= α kyk22 − 2α2 kyk22 + α2 kyk22 = 0,
czyli ciąg (yn )n∈N jest zbieżny (w przestrzeni `2 ) do punktu αy. W szczególności,
ciąg (yn )n∈N jest punktowo zbieżny do αy, a zatem ciąg (xn )n∈N jest punktowo
zbieżny do αx. Na mocy ciągłości normy, limn→∞ kyn k2 = α kyk2 , zaś na mocy
równości (1.3) i lematu 1.10, limn→∞ kxn k∞ = α kxk∞ . Zatem
1 = lim |||xn ||| = lim kxn k∞ + lim kyn k2 = α kxk∞ + α kyk2 = α |||x||| = α.
n→∞
n→∞
n→∞
9
Słaba zbieżność ciągu (xn )n∈N do punktu x wynika z lematu 1.11.
Aby pokazać, że norma |||·||| nie jest LUR, przyjmijmy
xn = 2 −
q
1
2 + 2−(n+2) , 0, . . . , 0, , 0, . . .
| {z } 2
!
∈ c0
dla n ∈ N
n−1
oraz
x= 2−
√
2, 0, 0, . . . ∈ c0 .
Wówczas, jak łatwo sprawdzić, |||xn ||| = 1 = |||x||| dla n ∈ N oraz
xn
lim
n→∞ Jednak
+ x = 1.
2 1
lim
|||x
n − x||| = .
n→∞
2
Z przykładu tego wynika, że na ogół nie odwraca się implikacja LUR =⇒ wLUR.
Dalej, w paragrafie 2.4, udowodnimy znacznie ogólniejszy wynik oraz pokażemy, że
nie odwracają się także pozostałe implikacje.
10
2
Możliwe przenormowania
2.1
Metoda transferu
Ustalmy przestrzeń Banacha X. Poniższe twierdzenie stanowi podstawowe narzędzie służące do uzyskiwania pozytywnych odpowiedzi na pytanie dotyczące możności ściśle wypukłego przenormowania danej przestrzeni.
Twierdzenie 2.1 (Klee, 1953). Załóżmy, że Y jest przestrzenią Banacha, w której
norma jest ściśle wypukła. Jeżeli istnieje różnowartościowy, ciągły operator liniowy
T : X → Y , to przestrzeń X można przenormować w sposób ściśle wypukły.
Dowód. Niech T : X → Y będzie operatorem, o którym mowa w założeniu. Łatwo
zauważyć, że funkcjonał |||·||| : X → [0, ∞) dany wzorem
|||x||| = kxk + kT xk
dla x ∈ X
jest równoważną normą w przestrzeni X. Pokażemy, że norma ta jest ściśle wypukła. W tym celu ustalmy
dowolne punkty x, y sfery jednostkowej przestrzeni
dwa
x+y (X, |||·|||) i załóżmy, że 2 = 1. Wówczas
kx + yk + kT (x + y)k = |||x + y||| = |||x||| + |||y||| = kxk + kT xk + kyk + kT yk ,
skąd kT x + T yk = kT xk + kT yk . Korzystając z uwagi 1.4, otrzymujemy
Tx
kT xk
+
2
Ty kT yk =
kT xk
kT yk
+
= 1,
2 kT xk 2 kT yk
co na mocy ścisłej wypukłości normy w przestrzeni Y oznacza, że
Tx
Ty
=
.
kT xk
kT yk
Uwzględniając różnowartościowość operatora T oraz równość |||x||| = |||y|||, uzyskujemy x = y.
Z twierdzenia tego wyprowadzimy dwa ważne wnioski.
Wniosek 2.2. Przestrzeń `∞ można przenormować w sposób ściśle wypukły.
Dowód. Ponieważ
v
u ∞ 2
u X xn t
n=1
n
¬
v
u∞
uX
t
1
kxk
2
n=1 n
π
= √ kxk
6
!
dla x ∈ `∞ ,
(2.1)
możemy zdefiniować operator T : `∞ → `2 wzorem
xn
Tx =
n
dla x ∈ `∞ .
n∈N
Łatwo zauważyć, że operator ten jest różnowartościowy, liniowy, a na mocy (2.1)
także ciągły. Na mocy twierdzenia 2.1 oraz ścisłej wypukłości normy w przestrzeni
(Hilberta) `2 uzyskujemy więc tezę.
11
Zanim podamy drugi wniosek, udowodnimy pewien klasyczny lemat.
Lemat 2.3. Jeżeli X jest ośrodkową przestrzenią Banacha, to istnieje izometryczne
zanurzenie T : X → `∞ .
Dowód. Możemy założyć, że X 6= {0}. Niech {xn : n ∈ N} będzie gęstym podzbiorem przestrzeni X, zaś x∗n (dla n ∈ N) – takimi ciągłymi funkcjonałami liniowymi,
istniejącymi na mocy twierdzenia Hahna–Banacha, że kx∗n k = 1 oraz x∗n xn = kxn k
dla każdego n ∈ N. Ponieważ
|x∗n x| ¬ kx∗n k · kxk = kxk
dla x ∈ X,
(2.2)
możemy zdefiniować operator T : X → `∞ wzorem
T x = (x∗n x)n∈N
dla x ∈ X.
Łatwo zauważyć, że operator ten jest liniowy. Pokażemy, że T jest izometrią. W tym
celu ustalmy x ∈ X. Nierówność
kT xk = sup{|x∗n x| : n ∈ N} ¬ kxk
wynika z nierówności (2.2). Dla dowodu równości weźmy dowolną liczbę ε > 0.
Wówczas, na mocy gęstości zbioru {xn : n ∈ N}, istnieje taka liczba naturalna m,
że kxm − xk < 2ε . Zatem
|x∗m x| = |x∗m xm + x∗m (x − xm )| ­ |x∗m xm | − |x∗m (x − xm )| ­ kxm k − kx − xm k >
ε
ε
> kxm k − ­ kxk − kxm − xk − > kxk − ε,
2
2
skąd kT xk = kxk.
Wniosek 2.4. Każdą ośrodkową przestrzeń Banacha można przenormować w sposób
ściśle wypukły.
Dowód. Załóżmy, że X jest przestrzenią ośrodkową. Na mocy poprzedniego lematu
istnieje różnowartościowy, ciągły operator liniowy T : X → `∞ . Biorąc pod uwagę
wniosek 2.2, możemy założyć, że norma w przestrzeni `∞ jest ściśle wypukła. Teza
wynika z twierdzenia 2.1.
Alternatywnie powyższy wniosek możemy wyprowadzić z twierdzenia Banacha–
–Mazura (zob. [1, tw. 1.4.3]), które mówi, że każda ośrodkowa przestrzeń Banacha
zanurza się izometrycznie w przestrzeń C([0, 1]). Wówczas jednak musimy przestrzeń
tę rozpatrywać z równoważną normą ściśle wypukłą, na przykład
|||f ||| = kf k∞ + kf k2
12
dla f ∈ C([0, 1]).
2.2
Twierdzenie Rainwatera o normie Daya
Ustalmy nieskończony zbiór I oraz ciało K ∈ {R, C}. Przestrzeń c0 (I) definiujemy jako
o
n
c0 (I) = x : I → K ∀ε>0 card {i ∈ I : |x(i)| ­ ε} < ℵ0 .
Przestrzeń ta wyposażona w standardową normę supremum
kxk = sup{|x(i)| : i ∈ I} dla x ∈ c0 (I)
n
P
jest przestrzenią Banacha. Podobnie, `2 (I) = x : I → K strzeń ta z normą
X
kxk`2 (I) =
|x(i)|2 dla x ∈ `2 (I)
(2.3)
o
2
i∈I |x(i)| < ∞ ; prze-
i∈I
również jest przestrzenią Banacha.
Różnowartościowy ciąg (in )n∈N elementów zbioru I nazwiemy uporządkowaniem
nośnika punktu x ∈ c0 (I), jeśli |x(i1 )| ­ |x(i2 )| ­ . . . oraz x(i) = 0 dla każdego
i ∈ I \ {in : n ∈ N}. Określmy (nieliniowy) operator S : c0 (I) → `2 (I) wzorem
(Sx)(i) =

2−n x(i
0
n ),
gdy i = in dla pewnego n ∈ N,
w pozostałych przypadkach,
dla x ∈ c0 (I),
gdzie (in )n∈N jest uporządkowaniem nośnika punktu x. Dalej, zdefiniujmy funkcjonał
k·kD : c0 (I) → [0, ∞) wzorem
kxkD = kSxk`2 (I)
dla x ∈ c0 (I).
Jak zobaczymy poniżej, funkcjonał k·kD jest lokalnie jednostajnie wypukłą normą
równoważną standardowej normie (2.3) w przestrzeni c0 (I); normę tę nazywamy
normą Daya. Jednak zanim przejdziemy do dowodu, udowodnimy parę lematów.
Rysunek 1: Trójwymiarowa sfera
jednostkowa w normie Daya
13
Lemat 2.5. Załóżmy, że (sn )n∈N oraz (tn )n∈N są nierosnącymi ciągami nieujemnych
liczb rzeczywistych, zaś σ jest permutacją zbioru liczb naturalnych. Wówczas, jeżeli
P∞
n=1 sn tn < ∞, to
∞
X
∞
X
sn tn −
∞
X
sn tσ(n) =
n=1
n=1
w szczególności
P∞
(sn − sn+1 )(t1 + . . . + tn − tσ(1) − . . . − tσ(n) );
n=1
sn tσ(n) ¬
n=1
P∞
n=1
sn t n .
Dowód. Załóżmy, że ∞
n=1 sn tn < ∞ oraz ustalmy N ∈ N. Niech τ będzie dowolną
taką permutację zbioru liczb naturalnych, że σ({1, . . . , N }) = τ ({1, . . . , N }) oraz
τ (1) ¬ . . . ¬ τ (N ). Na mocy monotoniczności ciągów (sn )n∈N oraz (tn )n∈N mamy
P
0¬
N
X
sn tn −
n=1
N
X
= sN +1
=
N
X
n=1
N
X
(sn − sn+1 )(t1 + . . . + tn − tσ(1) − . . . − tσ(n) ) =
n=1
tn −
n=1
¬
sn tσ(n) −
n=1
N
X
N
X
N
X
tσ(n) = sN +1
n=1
N
X
sn tn −
N
X
sn tτ (n) ¬
N
X
!
tτ (n) =
n=1
N
X
sn tn −
N
X
sN +1 (tn − tτ (n) ) ¬
n=1
N
X
sτ (n) tτ (n) =
n=1
n=1
n=1
n=1
N
X
tn −
n=1
sn (tn − tτ (n) ) =
sn tn −
N
X
!
sσ(n) tσ(n) .
n=1
n=1
Przechodząc w powyższych nierównościach z N do nieskończoności oraz uwzględP
niając bezwarunkową zbieżność szeregu ∞
n=1 sn tn , uzyskujemy tezę.
Lemat 2.6. Załóżmy, że ciąg (in )n∈N jest uporządkowaniem nośnika punktu
x ∈ c0 (I). Wówczas dla dowolnego różnowartościowego ciągu (jn )n∈N elementów
zbioru I zachodzą następujące warunki:
(i)
P∞
n=1
4−n |x(jn )|2 ¬
P∞
n=1
4−n |x(in )|2 ;
(ii) jeżeli m ∈ N, to
−m
4
−(m+1)
−4
2
2
|x(im )| − |x(im+1 )|
¬
∞
X
−n
4
2
|x(in )| −
∞
X
4−n |x(jn )|2
n=1
n=1
lub {i1 , . . . , im } = {j1 , . . . , jm }.
Dowód. Niech (jn )n∈N będzie dowolnym różnowartościowym ciągiem elementów
zbioru I. Oznaczmy A = {in : n ∈ N}. Wówczas, korzystając z lematu 2.5, uzyskujemy
∞
X
−n
4
2
|x(jn )| =
n=1
X
−n
4
2
|x(jn )| ¬
jn ∈A
X
jn ∈A
co dowodzi (i).
14
−n
4
2
|x(in )| ¬
∞
X
n=1
4−n |x(in )|2 ,
Aby udowodnić (ii), ustalmy m ∈ N i załóżmy, że {i1 , . . . , im } =
6 {j1 , . . . , jm }.
Niech σ będzie permutacją zbioru liczb naturalnych określoną wzorem



m + 1
σ(n) =



Wówczas
∞
X
dla n = m,
dla n = m + 1,
dla n ∈ N \ {m, m + 1}.
m
n
4−n |x(jn )|2 ¬
n=1
∞
X
4−n |x(iσ(n) )|2 .
n=1
Zatem, korzystając ponownie z lematu 2.5, uzyskujemy
4−m −4−(m+1)
|x(im )|2 − |x(im+1 )|2 =

= 4−m − 4−(m+1) 
m
X
|x(ip )|2 −
p=1
¬
=
∞
X
n=1
∞
X

4−n − 4−(n+1) 
m
X
−n
4
2
|x(in )| −
|x(iσ(p) )|2  ¬
p=1
n
X
n
X
|x(ip )|2 −
p=1
∞
X

−n
4
|x(iσ(p) )|2  =
p=1
2
|x(iσ(n) )| ¬
∞
X
−n
4
2
|x(in )| −
∞
X
4−n |x(jn )|2 ,
n=1
n=1
n=1
n=1

co kończy dowód.
Twierdzenie 2.7 (Day, 1955). Funkcja k·kD : c0 (I) → [0, ∞) jest normą równoważną normie (2.3).
Dowód. Najpierw pokażemy, że k·kD jest normą. Warunki kxkD = 0 =⇒ x = 0
oraz kαxkD = |α| · kxkD dla x ∈ c0 (I), α ∈ K wynikają bezpośrednio z określenia funkcji k·kD . Wystarczy zatem sprawdzić nierówność trójkąta.
W tym celu ustalmy x, y ∈ c0 (I). Niech (in )n∈N , (jn )n∈N i (kn )n∈N będą uporządkowaniami nośników odpowiednio punktów x, y i x + y. Z nierówności trójkąta dla
normy w przestrzeni `2 oraz tezy (i) lematu 2.6 otrzymujemy
kx + ykD =
∞
X
!1
−n
4
2
2
|(x + y)(kn )|
¬
n=1
¬
∞
X
!1
−n
4
|x(kn )|
+
n=1
¬
∞
X
!1
∞
X
2
2
−n
4
2
2
|y(kn )|
¬
n=1
!1
4−n |x(in )|2
∞
X
2
+
n=1
!1
4−n |y(jn )|2
2
= kxkD + kykD .
n=1
Równoważność normy k·kD z normą (2.3) wynika z nierówności
1
kxk ¬ kxkD ¬
2
∞
X
!1
−n
4
kxk
2
n=1
15
2
1
= √ kxk
3
dla x ∈ c0 (I).
Twierdzenie 2.8 (Rainwater[2] , 1969). Norma Daya w przestrzeni c0 (I) jest lokalnie jednostajnie wypukła.
Dowód. Ustalmy ciąg (xn )n∈N punktów
i punkt
x ze sfery jednostkowej przestrzeni
1
(c0 (I), k·kD ), dla których limn→∞ 2 (xn + x) = 1. Niech (im )m∈N , (i(n)
m )m∈N oraz
D
(n)
(jm
)m∈N (dla n ∈ N) będą uporządkowaniami nośników odpowiednio punktów x,
xn oraz xn + x.
Korzystając z tożsamości równoległoboku dla modułu oraz tezy (i) lematu 2.6,
otrzymujemy nierówność
∞
X
2
(n)
(n)
) − x(jm
) =
4−m xn (jm
m=1
=
¬
∞
X
m=1
∞
X
2
2
2 (n)
(n)
(n)
)
) − (xn + x)(jm
) + 2 x(jm
4−m 2 xn (jm
−m
4
2
2 xn (i(n)
m )
2
+ 2 |x(im )|
− (xn
+
(n) 2
x)(jm
)
¬
=
m=1
= 2 kxn k2D + 2 kxk2D − kxn + xk2D ,
prawdziwą dla wszelkich n ∈ N, z której wynika, że
(n)
(n)
lim xn (jm
) − x(jm
) = 0 dla m ∈ N.
n→∞
(2.4)
Dla dowodu nie wprost przypuśćmy, że ciąg (kxn − xkD )n∈N nie jest zbieżny do
zera. Wówczas, korzystając z równoważności normy Daya ze standardową normą
supremum oraz ewentualnie ograniczając się do podciągu ciągu (xn )n∈N (oznaczanego w dalszym ciągu przez (xn )n∈N ), możemy założyć, że dla pewnej liczby ε > 0
zachodzi warunek
kxn − xk ­ ε dla n ∈ N.
Niech M będzie największą liczbą naturalną o tej własności, że |x(iM )| ­
Wtedy
ε
|x(iM +1 )| < ¬ |x(iM )|.
4
Połóżmy
δ = 2 4−M − 4−(M +1) |x(iM )|2 − |x(iM +1 )|2 > 0.
ε
.
4
Niech N1 będzie taką liczbą naturalną, że
2 kxn k2D + 2 kxk2D − kxn + xk2D < δ
[2]
dla n ­ N1 .
Nazwisko Rainwater jest fikcyjne; pod takim pseudonimem publikowali różni matematycy.
Praca, z której pochodzi dowodzone twierdzenie, jest pracą zbiorową.
16
Wówczas, jeżeli n ­ N1 , to
∞
X
∞
X
4−m 2 |x(im )|2 −
m=1
¬
=
m=1
∞
X
m=1
∞
X
2
(n)
) =
4−m 2 x(jm
∞
X
2 (n)
)
4−m 2 |x(im )|2 − 2 x(jm
¬
m=1
−m
4
2
2 |x(im )|
(n) 2
)
− 2 x(jm
+ (xn
2
−
(n) 2
)
x)(jm
=
2 (n) (n) )
) + 2 |x(im )|2 − (xn + x)(jm
4−m 2 xn (jm
=
m=1
= 2 kxn k2D + 2 kxk2D − kxn + xk2D < δ,
co na mocy tezy (ii) lematu 2.6 oznacza, że
(n)
(n)
{i1 , . . . , iM } = {j1 , . . . , jM } dla n ­ N1 .
Ograniczając się ewentualnie do kolejnego podciągu ciągu (xn )n∈N (oznaczanego
w dalszym ciągu przez (xn )n∈N ), stwierdzamy, że istnieją takie elementy j1 , . . . , jM
(n)
= jm dla n ∈ N i m = 1, . . . , M . Na mocy (2.4)
zbioru I, że jm
lim xn (jm ) = x(jm ) dla m = 1, . . . , M,
n→∞
zaś z równości {i1 , . . . , iM } = {j1 , . . . , jM } wynika, że
lim xn (im ) = x(im ) dla m = 1, . . . , M.
n→∞
Niech N2 > M będzie taką liczbą naturalną, że

|(x
n
− x)(im )| < ε
− x(im )2 | <
|xn (im )2
dla m = 1, . . . , M ; n ­ N2 ,
ε2
4M +2
zaś (kn )n∈N takim ciągiem elementów zbioru I, że
|(xn − x)(kn )| = kxn − xk
dla n ∈ N.
Ustalmy liczbę naturalną n0 ­ N2 . Jeśliby kn0 ∈ {i1 , . . . , iM }, to mielibyśmy
kxn0 − xk = |(xn0 − x)(kn0 )| < ε, co jest niemożliwe. Wobec tego kn0 ∈
/ {i1 , . . . , iM }.
Z tezy (i) lematu 2.6 wynika, że
M
X
|xn0 (im )|2 |xn0 (kn0 )|2
+
¬ kxn0 k2D ,
m
M
+1
4
4
m=1
(2.5)
zaś na mocy nierówności |x(im )| < 4ε , prawdziwej dla m > M , mamy
kxk2D =
∞
X
M
∞
X
X
|x(im )|2
|x(im )|2
|x(im )|2
=
+
¬
4m
4m
4m
m=1
m=1
m=M +1
∞
M
X
X
|x(im )|2
ε2
|x(im )|2
ε2
¬
+
=
+
.
m+2
4m
4m
3 · 4M +2
m=1
m=1
m=M +1 4
M
X
17
(2.6)
Łącząc (2.5) i (2.6), uzyskujemy
M
M
X
X
|xn0 (kn0 )|2
|xn0 (im )|2
|xn0 (im )|2
2
2
¬
kx
k
−
=
kxk
−
¬
n0 D
D
4M +1
4m
4m
m=1
m=1
¬
M
X
ε2
2ε2
ε2
|x(im )|2 − |xn0 (im )|2
+
¬
<
.
4m
3 · 4M +2
3 · 4M +2
4M +2
m=1
Zatem
kxn0 − xk = |(xn0 − x)(kn0 )| ¬ |xn0 (kn0 )| + |x(kn0 )| <
ε ε
+ < ε;
2 4
sprzeczność.
2.3
Wnioski dla przestrzeni WCG
Z twierdzeń 2.1 i 2.8 wynika, że jeśli dla pewnej przestrzeni Banacha X istnieją
zbiór I oraz różnowartościowy, ciągły operator liniowy T : X → c0 (I), to przestrzeń X ma ściśle wypukłe przenormowanie. W paragrafie tym opiszemy pewną
klasę takich przestrzeni.
Definicja 2.9. Przestrzeń Banacha X nazywamy WCG (od ang. weakly compactly
generated ), jeżeli istnieje taki słabo zwarty zbiór K ⊂ X, że cl lin K = X.
Uwaga 2.10. (i) Każda ośrodkowa przestrzeń Banacha jest WCG.
(ii) Każda przestrzeń refleksywna jest WCG.
Dowód. (i): Załóżmy, że X 6= {0} jest ośrodkową przestrzenią Banacha. Wówczas
ośrodkowa jest także sfera jednostkowa SX ; niech xn , n ∈ N, będą takimi punktami
zbioru SX , że cl {xn : n ∈ N} = SX . Weźmy
K=
1
xn : n ∈ N ∪ {0}.
n
Jak łatwo zauważyć, zbiór K jest zwarty, a więc tym bardziej słabo zwarty. Ponadto
cl lin K ⊃ lin SX = X.
(ii): Jeśli X jest przestrzenią refleksywną, to kula jednostkowa BX jest zbiorem
słabo zwartym; oczywiście, cl lin BX = X.
Z powyższej uwagi wynika, że pojęcie przestrzeni WCG jest uogólnieniem pojęć
przestrzeni ośrodkowej i refleksywnej. Klasa przestrzeni WCG jest jednak istotnie
szersza: na przykład, jeśli I jest zbiorem nieprzeliczalnym, to przestrzeń c0 (I) jest
WCG, ale nie jest ośrodkowa ani refleksywna (zob. [10, §13.1] lub [16, przykład 8.5]).
Przestrzenie c0 (I) są w pewnym sensie uniwersalne dla przestrzeni WCG, co wynika
z następującego twierdzenia, które przytaczamy bez dowodu; można go znaleźć w [2].
18
Twierdzenie 2.11 (Amir, Lindenstrauss, 1968). Jeżeli X jest przestrzenią WCG,
to istnieją zbiór I oraz różnowartościowy, ciągły operator liniowy T : X → c0 (I).
Z wcześniejszego rozumowania oraz twierdzenia Amira–Lindenstraussa natychmiast wynika następujący wniosek.
Wniosek 2.12. Każda przestrzeń WCG ma ściśle wypukłe przenormowanie.
Stąd oraz z punktu (ii) uwagi 2.10 wynika, że każda przestrzeń refleksywna ma
ściśle wypukłe przenormowanie. W analogiczny sposób można stąd wywnioskować
prawdziwość wniosku 2.4, jednak użyty tu zaawansowany aparat matematyczny nie
jest potrzebny do dowodu tego faktu. Uzasadnia to umieszczenie alternatywnego,
bardziej elementarnego dowodu w paragrafie 2.1.
2.4
Ogólne rezultaty dotyczące pewnych klas przestrzeni
Wróćmy do problemu odwracania implikacji (1.1). Z wcześniejszego wniosku 2.2
wynika, że w przestrzeni `∞ istnieje norma ściśle wypukła, zaś z twierdzenia Lindenstraussa, które udowodnimy w następnym rozdziale, wynika, że norma ta nie
jest wLUR. Oznacza to, że na ogół nie odwraca się implikacja wLUR =⇒ SC. Aby
zobaczyć, że nie odwraca się także implikacja UR =⇒ LUR, pokażemy, że norma
Daya nie jest jednostajnie wypukła. Tak samo jak paragrafie 2.2 niech I będzie
zbiorem nieskończonym.
Uwaga 2.13. Norma Daya w przestrzeni c0 (I) nie jest jednostajnie wypukła.
Dowód. Bez straty ogólności możemy założyć, że zbiór I jest przeliczalny i utożsamić
go ze zbiorem N. Oznaczmy
αn =
1, . . . , 1, 0, . . . | {z }
D
=
n
Niech
xn =
1 − 4−n
3
!1
1
1
, . . . , , 0, . . .
αn
αn
|
{z
n
2
dla n ∈ N.
}
oraz yn = xn+1 dla n ∈ N. Wówczas kxn kD = 1 = kyn kD dla n ∈ N oraz
kxn + yn kD =
1
1
1
1
1
,
+
,...,
+
, 0, . . .
αn αn+1
αn αn+1 αn+1
|
=
1
1
+
αn αn+1
{z
n
}
2 X
n
4−(n+1)
4−m + 2
αn+1
m=1
!1
2
−−
−−→ 2.
n→∞
Jednocześnie
√
1
1
3
kxn − yn kD ­ kxn − yn k =
­
2
2αn+1
2
19
=
D
dla n ∈ N.
Kończy to elementarne uzasadnienie, że nie odwraca się żadna z implikacji (1.1).
Niżej pokażemy, że implikacje te nie odwracają się w pewnym bardzo silnym sensie.
Jednak dowody te będą mniej elementarne i, aby je przeprowadzić, wprowadzimy
kilka pojęć. Do końca tego paragrafu niech (X, k·k) oznacza nieskończenie wymiarową przestrzeń Banacha.
Definicja 2.14. Powiemy, że ciąg (en , e∗n )n∈N elementów przestrzeni X × X ∗ jest
bazą Markushevicha (krótko M -bazą) przestrzeni X, jeżeli spełnia on warunki:
(i) przestrzeń lin{en : n ∈ N} jest gęsta w przestrzeni X;
(ii) przestrzeń lin{e∗n : n ∈ N} jest ∗-słabo gęsta w przestrzeni X ∗ ;
(iii) e∗m (en ) = δm,n dla wszelkich m, n ∈ N.
Definicja 2.15. Powiemy, że M -baza (en , e∗n )n∈N przestrzeni X jest ograniczona,
jeżeli
sup{ke∗n k·ken k : n ∈ N} < ∞.
Definicja 2.16. Powiemy, że M -baza (en , e∗n )n∈N przestrzeni X jest zwężająca (ang.
shrinking), jeżeli przestrzeń lin{e∗n : n ∈ N} jest gęsta w przestrzeni X ∗ .
Użyteczne będzie następujace twierdzenie, które przytoczymy tutaj bez dowodu;
można go znaleźć w [21].
Twierdzenie 2.17 (Pełczyński, 1976). Każda ośrodkowa i nieskończenie wymiarowa przestrzeń Banacha posiada ograniczoną M -bazę. Ponadto, jeżeli przestrzeń X ∗
jest ośrodkowa, to istnieje M -baza przestrzeni X, która jest jednocześnie ograniczona
i zwężająca.
Przydatna dla nas będzie również pewna prosta charakteryzacja (słabo) lokalnie
jednostajnej wypukłości normy.
Lemat 2.18. Norma k·k jest (słabo) lokalnie jednostajnie wypukła wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych ciągu (xn )n∈N punktów przestrzeni X i punktu x ∈ X \ {0}
warunki limn→∞ kxn k = kxk oraz limn→∞ kxn + xk = 2 kxk implikują (słabą) zbieżność ciągu (xn )n∈N do punktu x.
Dowód. Załóżmy, że norma k·k jest (słabo) lokalnie jednostajnie wypukła oraz ustalmy ciąg (xn )n∈N punktów przestrzeni X i punkt x ∈ X \ {0} spełniające warunki
limn→∞ kxn k = kxk i limn→∞ kxn + xk = 2 kxk. Bez straty ogólności możemy założyć, że xn 6= 0 dla n ∈ N. Wtedy
x
n
kxn k
a zatem ciąg
!
x xn
x
x
x +
=
+
−
−
­
kxk kxn k kxn k
kxn k kxk kxn + xk x
x ­
− −
−−−−→ 2,
kxn k
kxn k kxk n→∞
xn
kxn k n∈N
jest (słabo) zbieżny do punktu
20
x
.
kxk
W przypadku własności wLUR, dla każdego x∗ ∈ X ∗ zachodzi równość
lim x∗ xn = lim kxn k x∗
n→∞
n→∞
xn
x
= kxk x∗
= x∗ x.
kxn k
kxk
Zaś w przypadku własności LUR mamy
kxn − xk =
¬
x
n
kxk · kxk
x
n
kxk · kxk
x ¬
−
kxk x
xn x n
+ kxk · −−−−→ 0.
−
−
kxn k
kxn k kxk n→∞
Implikacja odwrotna jest oczywista.
Następne twierdzenie mówi, że implikacja wLUR =⇒ SC nie odwraca się w bardzo silnym sensie (zob. [25]).
Twierdzenie 2.19 (Yost, 1981). W każdej ośrodkowej i nieskończenie wymiarowej przestrzeni Banacha istnieje równoważna norma ściśle wypukła, która nie jest
wLUR.
Dowód. Załóżmy, że przestrzeń X jest ośrodkowa. Niech (en , e∗n )n∈N będzie ograniczoną M -bazą przestrzeni X. Bez straty ogólności możemy założyć, że ken k = 1 dla
n ∈ N. Zdefiniujmy funkcjonał |||·||| : X → [0, ∞) wzorem
∞
X
|||x||| =
!1
−n
4
|e∗n x|2
(
)
1
1
+ max
kxk , |e∗1 x| + sup |e∗n x|
2
2
n­2
2
n=1
dla x ∈ X.
Łatwo zauważyć, że |||·||| jest normą w przestrzeni X. Ponadto z ograniczoności
M -bazy (en , e∗n )n∈N wynika, że norma ta jest równoważna normie k·k.
Aby pokazać, że norma |||·||| jest ściśle wypukła,
ustalmy punkty x, y sfery jed
x+y nostkowej przestrzeni (X, |||·|||) i załóżmy, że 2 = 1. Łatwo zauważyć, że wówczas
!1
!1
!1
∞
X
n=1
4−n |e∗n (x + y)|2
2
=
∞
X
4−n |e∗n x|2
2
+
n=1
∞
X
4−n |e∗n y|2
2
.
n=1
Oznacza to, że istnieje taka liczba α ∈ K, że
e∗n y = αe∗n x dla n ∈ N.
Ponieważ przestrzeń lin{e∗n : n ∈ N} jest ∗-słabo gęsta, rodzina {e∗n : n ∈ N} oddziela
punkty przestrzeni X. Zatem y = αx. Wystarczy zauważyć, że α = 1.
Aby stwierdzić, że norma |||·||| nie jest wLUR, skorzystamy z lematu 2.18. Zauważmy, że |||e1 ||| = 1 = limn→∞ |||en ||| oraz limn→∞ |||e1 + en ||| = 2. Jednakże
limn→∞ e∗1 en = 0 oraz e∗1 e1 = 1, czyli ciąg (en )n∈N nie jest słabo zbieżny do e1 .
Definicja 2.20. Mówimy, że przestrzeń Banacha ma własność Schura, jeżeli każdy
słabo zbieżny ciąg jej elementów jest zbieżny.
21
Oczywiście to, że przestrzeń Banacha ma własność Schura nie oznacza, że topologia (pochodząca od normy) jest równa słabej topologii tej przestrzeni; ma to
miejsce jedynie w przestrzeniach skończenie wymiarowych, które wszystkie z tego
powodu mają własność Schura. Przykładem nieskończenie wymiarowej przestrzeni
z własnością Schura jest przestrzeń `1 (zob. [16, tw. 2.9]).
Z przytoczonego faktu wynika, że każda norma wLUR w przestrzeni `1 jest LUR.
W konsekwencji twierdzenie dla implikacji LUR =⇒ wLUR analogiczne do twierdzenia Yosta byłoby fałszywe. Implikacja ta jednak również nie odwraca się w dość
silnym sensie.
Lemat 2.21. Załóżmy, że (xn )n∈N jest ograniczonym ciągiem elementów przestrzeni X, zaś {x∗γ : γ ∈ Γ} dowolną rodziną funkcjonałów z przestrzeni X ∗ . Jeżeli przestrzeń lin{x∗γ : γ ∈ Γ} jest gęsta w przestrzeni X ∗ oraz
lim x∗γ (xn ) = 0 dla każdego γ ∈ Γ,
n→∞
to ciąg (xn )n∈N jest słabo zbieżny do zera.
Dowód. Oczywiście, jeżeli x∗ ∈ lin{x∗γ : γ ∈ Γ}, to limn→∞ x∗ (xn ) = 0.
Niech M ∈ [0, ∞) będzie taką stałą, że kxn k ¬ M dla każdego n ∈ N. Ustalmy
funkcjonał x∗ ∈ X ∗ . Dalej, niech (x∗n )n∈N będzie ciągiem elementów przestrzeni
lin{x∗γ : γ ∈ Γ} zbieżnym do x∗ . Wówczas, jeżeli m, n ∈ N, to
|x∗ (xn )| ¬ |(x∗ − x∗m )(xn )| + |x∗m (xn )| ¬ M kx∗ − x∗m k + |x∗m (xn )|.
Przechodząc w powyższej nierówności najpierw z n, a później z m do nieskończoności, otrzymujemy
lim sup |x∗ (xn )| = 0,
n→∞
co oznacza słabą zbieżność ciągu (xn )n∈N .
Twierdzenie 2.22. Jeżeli przestrzeń X ∗ jest ośrodkowa, to w przestrzeni X istnieje
równoważna norma wLUR, która nie jest LUR.
Dowód. Załóżmy, że przestrzeń X ∗ jest ośrodkowa. Niech (en , e∗n )n∈N będzie ograniczoną i zwężającą M -bazą przestrzeni X. Bez straty ogólności możemy założyć, że
ken k = 1 dla każdego n ∈ N. Zdefiniujmy funkcjonał k·k0 : X → [0, ∞) wzorem
(
)
1
kxk0 = max
kxk , sup |e∗n (x)|
2
n∈N
dla x ∈ X.
Łatwo zauważyć, że funkcjonał ten jest normą w przestrzeni X. Ponadto, z ograniczoności M -bazy (en , e∗n )n∈N wynika, że norma ta jest równoważna normie k·k.
Zdefiniujmy funkcjonał |||·||| : X → [0, ∞) wzorem
|||x||| =
kxk20
+
∞
X
!1
−n
4
|e∗n (x)|2
n=1
22
2
dla x ∈ X.
Łatwo zauważyć, że |||·||| jest równoważną normą w przestrzeni X. Pokażemy, że jest
ona wLUR, ale nie jest LUR.
Dla dowodu pierwszej części ustalmy wektory
i x ze sfery jednostkowej
xn , n ∈ N,
przestrzeni (X, |||·|||) oraz załóżmy, że limn→∞ 12 (xn + x) = 1. Oznaczmy
yn = kxn k0 , 2−1 e∗1 (xn ), 2−2 e∗2 (xn ), . . .
dla n ∈ N
oraz
y = kxk0 , 2−1 e∗1 (x), 2−2 e∗2 (x), . . . .
Mamy
2
kyn + yk2 = (kxn k0 + kxk0 ) +
!1
∞
X
−m
4
|e∗m (xn
2
+ x)|
2
­
m=1
­ kxn +
xk20
+
∞
X
!1
−m
4
|e∗m (xn
2
+ x)|
2
= |||xn + x||| −−−−→ 2,
m=1
n→∞
skąd na mocy lokalnie jednostajnej wypukłości normy w przestrzeni (Hilberta) `2 ,
limn→∞ kyn − yk2 = 0. W szczególności,
lim e∗ (xn )
n→∞ m
= e∗m (x) dla m ∈ N.
Z lematu 2.21 oraz własności zwężania M -bazy (en , e∗n )n∈N otrzymujemy słabą zbieżność ciągu (xn )n∈N do punktu x.
Aby pokazać, że norma |||·||| nie jest LUR, rozważmy ciąg (e1 + en )n∈N oraz
punkt e1 . Jak łatwo sprawdzić,
1√
5 = |||e1 |||
lim |||e1 + en ||| =
n→∞
2
oraz
√
lim |||2e1 + en ||| = 5.
n→∞
Jednak |||en ||| ­ 1 dla n ∈ N.
Wniosek 2.23. Jeżeli przestrzeń X ma własność Schura, to przestrzeń X ∗ nie jest
ośrodkowa.
Warto odnotować, że powyższy fakt jest znany w znacznie silniejszej formie,
która mówi, że każda nieskończenie wymiarowa przestrzeń Banacha z własnością
Schura zawiera podprzestrzeń izomorficzną z przestrzenią `1 (a zatem przestrzeń do
niej sprzężona zawiera nieprzeliczalny zbiór dyskretny złożony z przedłużeń Hahna–
–Banacha funkcjonałów odpowiadających elementom 1A ∈ `∞ , gdzie A jest dowolnym podzbiorem zbioru N)[3] . Dowód tego faktu opiera się jednak na bardzo mocnym
[3]
Mogłoby się wydawać, że przestrzeń sprzężona do przestrzeni zawierającej izomorficzną kopię
przestrzeni `1 zawiera izomorficzną kopię przestrzeni `∞ , jednak nie jest to prawdą. Z twierdzenia
Banacha–Mazura wynika, że przestrzeń `1 zanurza się (izometrycznie) w przestrzeń C([0, 1]), zaś
jej dual nie zawiera podprzestrzeni izomorficznej z przestrzenią `∞ . Gdyby tak było, to podprzestrzeń ta byłaby komplementarna (zob. [16, problem 1.7]), co z kolei oznaczałoby, że zawiera ona
podprzestrzeń komplementarną izomorficzną z przestrzenią `1 (zob. [17, tw. 3 i tw. 1]). To zaś jest
niemożliwe (zob. [16, tw. 3.2]).
23
twierdzeniu Rosenthala, tzw. Rosenthal’s `1 -Theorem (zob. [1, tw. 10.2.1]), którego
dowód angażuje teorię Ramseya i które mówi, że jeżeli (xn )n∈N jest ograniczonym
ciągiem elementów nieskończenie wymiarowej przestrzeni Banacha, to zawiera on
słaby podciąg Cauchy’ego[4] lub podciąg (xnk )k∈N , który jest równoważny bazie kanonicznej (ek )k∈N przestrzeni `1 (tj. istnieje taki izomorfizm przestrzeni Banacha
T : cl lin{xnk : k ∈ N} → `1 , że T xnk = ek dla każdego k ∈ N). Naszkicujemy krótko
ten dowód.
Inny dowód wniosku 2.23 (szkic). Załóżmy, że przestrzeń X ma własność Schura.
Ponieważ zbiór BX nie jest zwarty, istnieje taki ciąg (xn )n∈N jego elementów, że dla
pewnego ε > 0 spełniony jest warunek
kxm − xn k ­ ε dla m, n ∈ N; m 6= n.
Dla dowodu nie wprost przypuśćmy, że pewien podciąg ciągu (xn )n∈N (nadal
oznaczany przez (xn )n∈N ) jest słabym ciągiem Cauchy’ego. Wówczas ciąg (yn )n∈N
dany wzorem yn = x2n − x2n−1 dla n ∈ N słabo zbiega do zera. Na mocy własności
Schura ciąg (yn )n∈N zbiega do zera (w normie), co jest niemożliwe. Z twierdzenia
Rosenthala wynika więc teza.
2.5
Przenormowania jednostajnie wypukłe
Implikacja UR =⇒ LUR także nie odwraca się w silnym sensie – z poniższych
dwóch twierdzeń bezpośrednio wynika, że w każdej przestrzeni WCG, która nie jest
refleksywna istnieje równoważna norma, która jest LUR, ale nie jest UR. Twierdzenia
te przytaczamy tutaj bez dowodów; można je znaleźć odpowiednio w [8, §2.4] oraz
[10, §13.4] lub [24].
Twierdzenie 2.24 (Pettis, 1939). Każda przestrzeń Banacha, która ma UR przenormowanie jest refleksywna.
Twierdzenie 2.25 (Troyanski, 1971). Każda przestrzeń WCG ma LUR przenormowanie.
Znana jest także dokładna charakteryzacja przestrzeni, które dopuszczają równoważną normę jednostajnie wypukłą (zob. [9] lub [10, tw. 9.14]); przywołamy ją
bez dowodu.
Definicja 2.26. Powiemy, że przestrzeń Banacha X jest skończenie reprezentowalna (ang. finitely representable) w przestrzeni Banacha Y , jeżeli dla każdych ε > 0
i skończenie wymiarowej podprzestrzeni F przestrzeni X istnieje taki różnowartościowy operator liniowy T : F → Y , że kT k·kT −1 k < 1 + ε.
[4]
Ciąg (xn )n∈N elementów przestrzeni Banacha nazywamy słabym ciągiem Cauchy’ego, jeżeli
jest on ciągiem Cauchy’ego w słabej topologii tej przestrzeni; równoważnie, dla każdego ciągłego
funkcjonału liniowego x∗ istnieje granica limn→∞ x∗ xn .
24
Definicja 2.27. Powiemy, że przestrzeń Banacha X jest superrefleksywna, jeżeli
każda przestrzeń Banacha, która jest skończenie reprezentowalna w przestrzeni X
jest refleksywna.
Oczywiście każda przestrzeń superrefleksywna jest refleksywna, jednak nie na
odwrót. Świadczy o tym przykład przestrzeni
X=
M
∞
`n1
n=1
∞
Y
= x = (xn )n∈N ∈
`2
`n1
kxk2 :=
X
∞
n=1
2
kxn k
1
2
<∞
n=1
wyposażonej w normę k·k2 , gdzie `n1 oznacza n-wymiarową przestrzeń z `1 -normą.
Naśladując dowód zupełności przestrzeni `2 , można wykazać, że X jest przestrzenią
Banacha, zaś wzorując się na dowodzie refleksywności przestrzeni `2 i wykorzystując refleksywność (skończenie wymiarowych) przestrzeni `n1 (dla n ∈ N), pokazujemy
refleksywność przestrzeni X (rutynowy dowód pomijamy). Przestrzeń ta nie jest jednak superrefleksywna, jako że (nierefleksywna) przestrzeń `1 jest w niej skończenie
reprezentowalna (wynika to z równoważności warunków (v) i (vi) w [16, tw. 12.3]).
Innym, znacznie prostszym w uzasadnieniu, lecz nieośrodkowym przykładem
przestrzeni refleksywnej, która nie jest superrefleksywna jest przestrzeń
Y =
M
α<c
= x = (xα )α<c ∈
Eα
`2 (c)
Y
α<c
Eα kxk02
:=
X
kxα k
2
1
2
<∞
α<c
wyposażona w normę k·k02 , gdzie (Eα )α<c jest (pozaskończonym) ciągiem wszystkich
skończenie wymiarowych podprzestrzeni przestrzeni `1 . Refleksywność przestrzeni Y
można wytłumaczyć w podobny sposób jak refleksywność przestrzeni X, natomiast
skończona reprezentowalność przestrzeni `1 w tej przestrzeni jest oczywista.
Twierdzenie 2.28 (Enflo, 1972). Przestrzeń Banacha ma UR przenormowanie wtedy i tylko wtedy, gdy jest superrefleksywna.
Przytoczona charakteryzacja sugeruje, że przestrzenie mające UR przenormowanie powinny być w pewien sposób regularne czy symetryczne. Nie ma to jednak
miejsca, co widać z twierdzenia 2.30 (dowód można znaleźć w pracy [11]).
Definicja 2.29. Nieskończenie wymiarową przestrzeń Banacha nazywamy dziedzicznie nierozkładalną, w skrócie HI (od ang. hereditarily indecomposable), jeżeli nie istnieje jej domknięta podprzestrzeń Y , którą da się przedstawić w postaci
Y = Y1 ⊕ Y2 , gdzie Y1 i Y2 są nieskończenie wymiarowymi, domkniętymi podprzestrzeniami przestrzeni Y .
Odnotujmy, że pierwszą przestrzeń HI skonstruowali Gowers i Maurey (zob. [12]),
rozwiązując w ten sposób negatywnie problem istnienia bezwarunkowego ciągu bazowego w dowolnej nieskończenie wymiarowej przestrzeni Banacha. Skonstruowana
przez nich przestrzeń jest co prawda refleksywna, jednak norma w niej nie jest jednostajnie wypukła. Wykorzystując idee zawarte w pracy Gowersa i Maureya, Ferenczi
zmodyfikował ich konstrukcję, dowodząc następującego twierdzenia.
Twierdzenie 2.30 (Ferenczi, 1997). Istnieje dziedzicznie nierozkładalna przestrzeń
Banacha, w której norma jest jednostajnie wypukła.
25
3
3.1
Twierdzenia o niemożności przenormowania
Twierdzenie Daya
Ustalmy niepusty zbiór I oraz ciało K ∈ {R, C}. Przestrzeń `∞ (I) definiujemy
jako
o
n
`∞ (I) = x : I → K x jest funkcją ograniczoną .
Podobnie jak c0 (I), przestrzeń ta wyposażona w normę supremum
kxk = sup{|x(i)| : i ∈ I} dla x ∈ `∞ (I)
(3.1)
jest przestrzenią Banacha. Rozważać będziemy też (domkniętą) podprzestrzeń `c∞ (I)
wyżej zdefiniowanej przestrzeni złożoną z funkcji, które przyjmują niezerowe wartości jedynie na przeliczalnym zbiorze indeksów:
`c∞ (I) = {x ∈ `∞ (I) : card {i ∈ I : x(i) 6= 0} ¬ ℵ0 }.
Prawdopodobnie pierwszym udowodnionym twierdzeniem o niemożności ściśle
wypukłego przenormowania pewnej przestrzeni Banacha było następujące twierdzenie Daya[5] .
Twierdzenie 3.1 (Day, 1955). Jeżeli I jest zbiorem nieprzeliczalnym, to przestrzeń
`c∞ (I) nie ma ściśle wypukłego przenormowania.
Dowód. Dla każdego x ∈ S`c∞ (I) zdefiniujmy zbiór
Fx = {y ∈ S`c∞ (I) : y(i) = x(i), o ile x(i) 6= 0}.
Niech |||·||| będzie dowolną normą w przestrzeni `c∞ (I) równoważną normie (3.1); bez
straty ogólności możemy założyć, że kxk ¬ |||x||| dla wszelkich x ∈ `c∞ (I). Pokażemy,
że norma |||·||| nie jest ściśle wypukła.
Oznaczmy Mx = sup{|||y||| : y ∈ Fx } i mx = inf{|||y||| : y ∈ Fx } dla x ∈ S`c∞ (I) .
Pokażemy, że dla dowolnego x ∈ S`c∞ (I) zachodzi nierówność 2 |||x||| ¬ Mx + mx .
W tym celu zauważmy, że jeżeli y ∈ Fx , to
1 ­ k2x − yk ­ 2 kxk − kyk = 1
oraz (2x − y)(i) = 2x(i) − x(i) = x(i), o ile x(i) 6= 0, skąd 2x − y ∈ Fx . Ustalmy
ε > 0 i tak dobierzmy y ∈ Fx , aby |||y||| ¬ mx + ε. Z wcześniejszego spotrzeżenia
wnosimy, że |||2x − y||| ¬ Mx . Zatem
2 |||x||| ¬ |||2x − y||| + |||y||| ¬ Mx + mx + ε.
Przechodząc z ε do zera, uzyskujemy 2 |||x||| ¬ Mx + mx .
[5]
Oryginalnie Day udowodnił twierdzenie, które jest wnioskiem 3.2, jednak dowód polegał w istocie na pokazaniu, że podprzestrzeń `c∞ (I) nie dopuszcza równoważnej normy ściśle wypukłej.
26
Niech M = sup{|||y||| : y ∈ S`c∞ (I) }. Skonstruujemy indukcyjnie ciąg (xn )n∈N
punktów zbioru S`c∞ (I) spełniający warunki
xn+1 ∈ Fxn oraz Mxn − mxn ¬
M −1
2n
dla n ∈ N.
3M +1
4
¬ |||x1 |||. Wówczas
Mx1 − mx1 ¬ 2Mx1 − 2 |||x1 ||| ¬ 2M −
M −1
3M + 1
=
.
2
2
Dobierzmy x1 ∈ S`c∞ (I) w taki sposób, aby
(3.2)
Załóżmy, że dla pewnej liczby naturalnej n zdefiniowaliśmy już ciąg (xi )ni=1 spełniający żądane warunki. Dobierzmy xn+1 ∈ Fxn w taki sposób, aby
3Mxn + |||xn |||
¬ |||xn+1 ||| .
4
Wówczas
Mxn+1 − mxn+1 ¬ 2Mxn+1 − 2 |||xn+1 ||| ¬ 2Mxn −
¬
3Mxn + |||xn |||
Mxn − |||xn |||
=
¬
2
2
Mxn − mxn
M −1
¬ n+1 ,
2
2
co kończy konstrukcję indukcyjną.
Ponieważ xn+1 ∈ Fxn , Fxn+1 ⊂ Fxn , co oznacza, że Mxn+1 ¬ Mxn i mxn ¬ mxn+1
dla n ∈ N. Z monotoniczności ciągów (Mxn )n∈N i (mxn )n∈N oraz (3.2) wynika, że są
one zbieżne do wspólnej granicy, powiedzmy s. Z warunku (3.2) wynika także, że
możemy zdefiniować wektor x ∈ S`c∞ (I) wzorem
x(i) =

x
0
n (i),
gdy xn (i) 6= 0 dla pewnego n ∈ N,
w pozostałych przypadkach.
Łatwo zauważyć, że z ∈ Fx wtedy i tylko wtedy, gdy z ∈ ∞
n=1 Fxn . Stąd dla każdego
z ∈ Fx mamy
mxn ¬ |||z||| ¬ Mxn dla n ∈ N,
T
a w konsekwencji |||z||| = s. Ponieważ zbiór Fx zawiera niezdegenerowany odcinek,
odcinek taki zawiera również sfera jednostkowa przestrzeni (`c∞ (I), |||·|||).
Bezpośrednio z twierdzenia Daya wynika następujący wniosek.
Wniosek 3.2. Jeżeli I jest zbiorem nieprzeliczalnym, to przestrzeń `∞ (I) nie ma
ściśle wypukłego przenormowania.
27
3.2
Twierdzenie Lindenstraussa
Kolejnym twierdzeniem, które wykażemy, jest twierdzenie Lindenstraussa, którego dowód w dużej mierze został oparty na ideach zawartych w dowodzie twierdzenia
Daya (zob. [8, §4.5, s. 123]).
Twierdzenie 3.3 (Lindenstrauss, 1972). Przestrzeń `∞ nie ma wLUR przenormowania.
Dowód. Niech |||·||| będzie dowolną normą w przestrzeni `∞ równoważną standardowej normie supremum k·k∞ . Bez straty ogólności możemy założyć, że kxk∞ ¬ |||x|||
dla wszelkich x ∈ `∞ . Pokażemy, że norma |||·||| nie jest wLUR.
Niech
Z = {x ∈ `∞ : x(i) = 0 dla nieskończenie wielu i ∈ N}
oraz
s = sup{|||x||| : x ∈ Z i kxk∞ = 1}.
Skonstruujemy indukcyjnie pewne ciągi (xn )n∈N elementów zbioru Z, (Fn )n∈N podzbiorów zbioru Z, (Ln )n∈N podzbiorów zbioru liczb naturalnych, (mn )n∈N i (Mn )n∈N
liczb rzeczywistych oraz (in )n∈N liczb naturalnych; jednym z istotnych założeń indukcyjnych jest
s−1
dla n ∈ N.
(3.3)
Mn − mn ¬ n
2
Weźmy x1 ∈ Z tak, aby kx1 k∞ = 1 oraz
3s + 1
¬ |||x1 ||| .
4
Niech L1 będzie takim nieskończonym podzbiorem zbioru {i ∈ N : x1 (i) = 0}, że
zbiór {i ∈ N : x1 (i) = 0} \ L1 również jest nieskończony. Wybierzmy dowolnie
i1 ∈ {i ∈ N : x1 (i) = 0} \ L1 i połóżmy
n
F1 = x ∈ `∞ : |x(i1 )| = 1 = kxk∞ , x(i) = x1 (i) dla i ∈ {j ∈ N : x1 (j) 6= 0} ∪ L1 ,
o
a zbiór {j ∈ N : x1 (j) = 0 = x(j)} \ L1 jest nieskończony .
Dalej, niech m1 = inf{|||x||| : x ∈ F1 } i M1 = sup{|||x||| ∈ F1 }. Zauważmy, że jeżeli
x ∈ F1 , to
1 ­ k2x1 − xk∞ ­ 2 kx1 k∞ − kxk∞ = 1
oraz |2x1 (i1 ) − x(i1 )| = |x(i1 )| = 1, skąd 2x1 − x ∈ F1 . Ustalmy ε > 0 i tak
dobierzmy y ∈ F1 , aby |||y||| ¬ m1 + ε. Z wcześniejszego spotrzeżenia wnosimy, że
|||2x1 − y||| ¬ M1 . Stąd
2 |||x1 ||| ¬ |||2x1 − y||| + |||y||| ¬ M1 + m1 + ε.
Przechodząc z ε do zera, uzyskujemy 2 |||x1 ||| ¬ M1 + m1 . Zatem
M1 − m1 ¬ 2M1 − 2 |||x1 ||| ¬ 2s −
28
3s + 1
s−1
=
.
2
2
Załóżmy, że dla pewnej liczby n ∈ N, skonstruowaliśmy już ciągi (xj )nj=1 , (Fj )nj=1 ,
(Lj )nj=1 , (mj )nj=1 , (Mj )nj=1 i (ij )nj=1 . Weźmy xn+1 ∈ Fn tak, aby
3Mn + mn
¬ |||xn+1 ||| .
4
Niech Ln+1 będzie takim nieskończonym podzbiorem zbioru
n
o
i ∈ N : xj (i) = 0 dla j ∈ {1, . . . , n + 1} \
n
[
Lj ,
j=1
że zbiór
n
o
i ∈ N : xj (i) = 0 dla j ∈ {1, . . . , n + 1} \
n+1
[
Lj
(3.4)
j=1
również jest nieskończony. Wybierzmy dowolnie in+1 ze zbioru (3.4) i połóżmy
n
Fn+1 = x ∈ `∞ : |x(in+1 )| = 1 = kxk∞ , x(i) = xn+1 (i) dla i ∈ {k ∈ N : xj (k) 6= 0
dla pewnego j ∈ {1, . . . , n + 1}} ∪
n+1
[
Lj , a zbiór
j=1
{i ∈ N : xj (i) = 0 = x(i) dla j ∈ {1, . . . , n + 1}} \
n+1
[
Lj
j=1
o
jest nieskończony .
Dalej, niech mn+1 = inf{|||x||| : x ∈ Fn+1 } i Mn+1 = sup{|||x||| ∈ Fn+1 }. Rozumując
jak wyżej, stwierdzamy, że 2 |||xn+1 ||| ¬ Mn+1 + mn+1 . W konsekwencji, korzystając
z (3.3), otrzymujemy
Mn+1 − mn+1 ¬ 2Mn+1 − 2 |||xn+1 ||| ¬ 2Mn −
Mn − mn
s−1
3Mn + mn
=
¬ n+1 .
2
2
2
Kończy to konstrukcję indukcyjną.
Niech x∞ będzie wektorem zdefiniowanym jako
x∞ (i) =

x
0
n (i),
gdy i ∈ {j ∈ N : xn (j) 6= 0} ∪ Ln dla pewnego n ∈ N,
w pozostałych przypadkach.
Z określenia zbiorów Fn wynika, że wektor ten jest poprawnie zdefiniowany. Łatwo
T
też zauważyć, że x∞ ∈ ∞
n=1 Fn .
Na mocy monotoniczności ciągów (mn )n∈N i (Mn )n∈N oraz (3.3) istnieją granice
limn→∞ mn i limn→∞ Mn oraz są równe, powiedzmy η. Z nierówności
mn ¬ |||xn+1 ||| ¬ Mn
dla n ∈ N
wynika, że |||x∞ ||| = η = limn→∞ |||xn |||; w szczególności η > 0. Dalej, ponieważ
1
(xn + x∞ ) ∈ Fn+1 , limn→∞ |||xn + x∞ ||| = 2η.
2
29
Zdefiniujmy funkcjonał x∗ : `∞ → K wzorem
x(in )
x∗ x = LIM ∞
x (in )
!
,
n∈N
gdzie LIM oznacza granicę Banacha[6] . Łatwo zauważyć, że funkcjonał x∗ jest liniowy, a na mocy nierówności
|x∗ x| ¬
kLIMk· x(in )
x∞ (in )
!
n∈N
= kLIMk·k(x(in ))n∈N k ¬ kLIMk·kxk ,
prawdziwej dla każdego x ∈ `∞ , także ciągły. Ponieważ xm (in ) = 0 dla m ¬ n, dla
każdej liczby naturalnej m zachodzi równość
xm (in )
x xm = LIM ∞
x (in )
!
∗
n∈N
xm (in )
= LIM ∞
x (in )
!∞
= 0.
n=m
Ponadto x∗ x∞ = LIM(1)n∈N = 1, co w połączeniu z lematem 2.18 dowodzi, że
norma |||·||| nie jest wLUR.
3.3
Twierdzenie Bourgaina
W paragrafie tym wszystkie przestrzenie Banacha traktujemy jak przestrzenie
nad ciałem R. Aby udowodnić twierdzenie Bourgaina (zob. [5]), będzie nam potrzebna następująca charakteryzacja ścisłej wypukłości normy.
Lemat 3.4. Załóżmy, że (X, k·k) jest przestrzenią Banacha. Wówczas norma k·k
jest ściśle wypukła wtedy i tylko wtedy, gdy każdy niezerowy ciągły funkcjonał liniowy
określony na przestrzeni X przyjmuje swoją normę w co najwyżej jednym punkcie
sfery jednostkowej.
Dowód. Załóżmy, że k·k jest normą ściśle wypukłą. Dla dowodu nie wprost przypuśćmy, że
∃x∗∈X ∗\{0}∃x,y∈SX (x 6= y i x∗(x) = kx∗k = x∗(y)) .
Wówczas
x + y 2
­
1 ∗ x+y
x
kx∗ k
2
=
x∗ (x) + x∗ (y)
= 1;
2 kx∗ k
sprzeczność.
[6]
Funkcjonał liniowy LIM : `∞ → K nazywamy granicą Banacha, jeżeli spełnia on warunki:
(i) LIM (x) ­ 0, o ile x(n) ­ 0 dla każdego n ∈ N;
(ii) LIM (x(1), x(2), . . .) = LIM(x(2), x(3), . . .) dla każdego x ∈ `∞ ;
(iii) LIM (1, 1, . . .) = 1.
Korzystając z twierdzenia Hahna–Banacha, można udowodnić, że granica Banacha istnieje (zob.
np. [7, tw. 7.1]); ponadto każdy taki funkcjonał jest ciągły.
30
Zamiast implikacji odwrotnej udowodnimy jej kontrapozycję. W tym celu załóżmy, że
x + y ∃x,y∈SX x 6= y i 2 = 1 .
Zdefiniujmy funkcjonał x∗0 : lin{x, y} → R wzorem
x∗0 (αx + βy) = α + β
dla α, β ∈ R.
Łatwo zauważyć, że x∗0 jest ciągłym funkcjonałem liniowym oraz kx∗0 k ­ 1. Pokażemy, że kx∗0 k = 1. W tym celu ustalmy α, β ∈ R. Wobec liniowości x∗0 wystarczy
rozważyć dwa przypadki: jeśli α, β ­ 0, to
|x∗0 (αx + βy)| = |α + β| = α + β = α kxk + β kyk = kαx + βyk ;
jeśli zaś α < 0, a β ­ 0, to
|x∗0 (αx + βy)| = |α + β| = α kx + yk − (α − β) kyk =
= kα(x + y)k − k(α − β)yk ¬ kα(x + y) − (α − β)yk = kαx + βyk .
Na mocy twierdzenia Hahna–Banacha istnieje taki funkcjonał x∗ ∈ X ∗ , że kx∗ k = 1
oraz x∗ lin{x, y} = x∗0 . Wystarczy zauważyć, że funkcjonał ten osiąga swoją normę
w punktach x i y.
Lemat 3.5. Załóżmy, że x∗ ∈ `∗∞ , L jest nieskończonym podzbiorem zbioru liczb
naturalnych, zaś ε liczbą dodatnią. Wówczas istnieje taki nieskończony podzbiór M
zbioru L, że |x∗ x| < ε dla x ∈ B`∞ spełniających xn = 0 dla n ∈ N \ M .
Dowód. Bez straty ogólności załóżmy, że kx∗ k = 1. Niech p będzie taką liczbą naturalną, że p > 1ε , zaś M1 , . . . , Mp parami rozłącznymi, nieskończonymi podzbiorami
zbioru L.
Przypuśćmy nie wprost, że żaden spośród zbiorów M1 , . . . , Mp nie ma żądanej własności. Wówczas istnieją takie punkty x(1) , . . . , x(p) ∈ B`∞ , że xn(i) = 0 dla
n ∈ N \ Mi oraz x∗ x(i) ­ ε dla każdego i ∈ {1, . . . , p}. Połóżmy x = x(1) + . . . + x(p) .
Wówczas kxk ¬ 1 oraz x∗ x > 1; sprzeczność.
Twierdzenie 3.6 (Bourgain, 1980). Przestrzeń `∞ /c0 nie ma ściśle wypukłego przenormowania.
Dowód. Niech |||·||| będzie dowolną normą w przestrzeni `∞ /c0 równoważną standardowej normie. Oznaczmy Y = (`∞ /c0 , |||·|||). Dalej, niech π : `∞ → Y będzie
odwzorowaniem kanonicznym.
Ustalmy ciąg (εn )n∈N liczb dodatnich zbieżny do zera. Skonstruujemy indukcyjnie pewne ciągi (Fn )n∈N podzbiorów przestrzeni `∞ , (sn )n∈N liczb rzeczywistych,
(x(n) )n∈N punktów przestrzeni `∞ , (yn∗ )n∈N funkcjonałów z przestrzeni Y ∗ i (Ln )n∈N
nieskończonych podzbiorów zbioru N.
Weźmy F1 = {x ∈ `∞ : kxk ¬ 1} (na mocy twierdzenia Banacha–Alaoglu jest
to zbiór ∗-słabo zwarty) oraz
s1 = sup {|||π(x)||| : x ∈ F1 } .
31
Dobierzmy x(1) ∈ F1 i y1∗ ∈ Y ∗ tak, aby |||π(x(1) )||| > s1 − ε1 , |||y1∗ ||| = 1 oraz
y1∗ π(x(1) ) > s1 − ε1 .
Ponieważ π ∗ (y1∗ ) ∈ `∗∞ , na mocy lematu 3.5 istnieje taki nieskończony podzbiór L1
zbioru liczb naturalnych, że |y1∗ π(x)| < ε1 dla x ∈ B`∞ spełniających xp = 0 dla
p ∈ N \ L1 .
Załóżmy, że dla pewnej liczby n ∈ N, skonstruowaliśmy już ciągi (Fi )ni=1 , (si )ni=1 ,
(i) n
(x )i=1 , (yi∗ )ni=1 i (Li )ni=1 . Weźmy Fn+1 = {x ∈ Fn : xp = x(n)
p dla p ∈ N \ Ln } (zauważmy, że jest to ∗-słabo domknięty podzbiór zbioru Fn ) oraz
sn+1 = sup {|||π(x)||| : x ∈ Fn+1 } .
∗
∈ Y ∗ w taki sposób, aby |||π(x(n+1) )||| > sn+1 −εn+1 ,
Dobierzmy x(n+1) ∈ Fn+1 i yn+1
∗
|||yn+1 ||| = 1 oraz
∗
yn+1
π(x(n+1) ) > sn+1 − εn+1 .
∗
) ∈ `∗∞ , na mocy lematu 3.5 istnieje taki nieskończony podzbiór
Ponieważ π ∗ (yn+1
∗
π(x)| < εn+1 dla x ∈ B`∞ spełniających xp = 0 dla
Ln+1 zbioru Ln , że |yn+1
p ∈ N \ Ln+1 . Kończy to konstrukcję indukcyjną.
Zauważmy, że jeżeli x ∈ Fn+1 dla pewnego n ∈ N, to kx − x(n) k ¬ 2 oraz
(n)
∗
)| < 2εn , a w konsekwencji
xp − x(n)
p = 0 dla p ∈ N \ Ln . Oznacza to, że |yn π(x − x
yn∗ π(x) > yn∗ π(x(n) ) − 2εn > sn − 3εn .
Dalej, widzimy, że (Fn )n∈N jest zstępującym ciągiem niepustych, ∗-słabo zwarT
∗
tych podzbiorów przestrzeni `∞ . Niech x∞ ∈ ∞
n=1 Fn oraz niech y będzie ∗-słabym
punktem skupienia ciągu (yn∗ )n∈N .
T
Oznaczmy S = ∞
n=1 π(Fn ) oraz s = limn→∞ sn (granica ta istnieje, ponieważ
ciąg (sn )n∈N jest malejący). Ustalmy y ∈ S. Pokażemy, że |||y||| = s. Z definicji liczby
sn wynika, że |||y||| ¬ sn dla dowolnego n ∈ N. Dalej, jeżeli n ∈ N, to y ∈ π(Fn+1 ),
a w konsekwencji
sn ­ |||y||| ­ yn∗ y > sn − 3εn ,
skąd otrzymujemy |||y||| = s. Ponadto, skoro y ∗ jest ∗-słabym punktem skupienia
ciągu (yn∗ )n∈N , pewien podciąg ciągu (yn∗ y)n∈N jest zbieżny do y ∗ y; w szczególności
y ∗ y = s = |||y|||.
Niech L = {n1 , n2 , . . .}, gdzie n1 ∈ L1 , n2 ∈ L2 \ {n1 }, . . . Zauważmy, że zbiór
L\Ln jest skończony dla każdego n ∈ N. Ponieważ zbiór L jest nieskończony, istnieje
xe ∈ B`∞ o tej własności, że
xep = x∞
p
dla p ∈ N \ L
(3.5)
oraz π(xe) 6= π(x∞ ). Pokażemy, że π(xe) ∈ S. W tym celu ustalmy n ∈ N. Zdefiniujmy
wektor x0 ∈ `∞ w następujący sposób:

x
e
p
x0p =  ∞
xp
dla p ∈ Ln ,
dla p ∈ N \ Ln .
32
Oczywiście, kx0 k ¬ 1 oraz jeśli j ∈ {1, . . . , n − 1}, to
(j)
x0p = x∞
p = xp
dla p ∈ N \ Lj
i przez oczywistą indukcję uzyskujemy x0 ∈ Fn . Ale zbiór L \ Ln jest skończony,
więc π(xe) = π(x0 ) ∈ π(Fn ). Zatem π(xe) ∈ S.
Powyższe rozumowanie pokazuje, że do zbioru S należą co najmniej dwa różne
punkty: π(x∞ ) i π(xe). Wobec tego s > 0, a w konsekwencji |||y ∗ ||| = 1. Jednocześnie
∗
y π
∞
x
s
∗
∗
= |||y ||| = y π
xe
s
,
co w połączeniu z lematem 3.4 dowodzi, że norma |||·||| nie jest ściśle wypukła.
Z twierdzeń 2.1 oraz 3.6 otrzymujemy bardzo ciekawy, nietrywialny wniosek.
Wniosek 3.7. Nie istnieje różnowartościowy, ciągły operator liniowy z przestrzeni
`∞ /c0 w przestrzeń `∞ .
Odmienny dowód tego faktu, o charakterze bardziej kombinatorycznym, można znaleźć w [16, wniosek 1.6].
3.4
Twierdzenie Tokareva
W paragrafie tym podamy pewne uogólnienie twierdzeń Daya i Bourgaina udowodnione przez Tokareva (zob. [23]).
Definicja 3.8. Przestrzeń Banacha X nazywamy przestrzenią Grothendiecka, jeżeli
każdy ∗-słabo zbieżny ciąg punktów przestrzeni X ∗ jest słabo zbieżny.
Podobnie jak w przypadku własności Schura – to, że przestrzeń Banacha X jest
przestrzenią Grothendiecka nie oznacza, że ∗-słaba topologia przestrzeni X ∗ równa
jest jej słabej topologii; ma to miejsce dokładnie w klasie przestrzeni refleksywnych,
które wszystkie są tym samym przestrzeniami Grothendiecka. Pierwszy nietrywialny przykład takiej przestrzeni podał sam Grothendieck w pracy [13] (zob. także [16,
tw. 6.3]); udowodnił on, że jeżeli K jest ekstremalnie niespójną, zwartą przestrzenią
Hausdorffa, to przestrzeń C(K) jest przestrzenią Grothendiecka. W szczególności,
przestrzeń C(βI) funkcji ciągłych określonych na uzwarceniu Čecha–Stone’a niepustego zbioru I z topologią dyskretną jest przestrzenią Grothendiecka. Zatem przestrzeń `∞ (I), jako przestrzeń izometrycznie izomorficzna z przestrzenią C(βI), także
jest przestrzenią Grothendiecka.
Twierdzenie 3.9 (Tokarev, 1986). Załóżmy, że X jest przestrzenią Grothendiecka, Y dowolną przestrzenią Banacha, a T : X → Y ciągłym operatorem liniowym.
Jeżeli przestrzeń T (X) zawiera podprzestrzeń izomorficzną z przestrzenią c0 (I) dla
pewnego nieprzeliczalnego zbioru I, to przestrzeń Y nie ma ściśle wypukłego przenormowania.
33
Aby otrzymać stąd twierdzenie Daya (dokładniej: wniosek 3.2), należy przyjąć
X = Y = `∞ (I), zaś za T wziąć identyczność. W celu uzyskania twierdzenia Bourgaina, połóżmy X = `∞ , Y = `∞ /c0 , zaś za T weźmy odwzorowanie kanoniczne.
Założenia twierdzenia Tokareva są tu spełnione, co wynika z poniższego lematu, który został użyty przez Rosenthala (zob. [22]) w celu wykazania, że przestrzeń `∞ /c0
nie jest injektywna.
Lemat 3.10. Przestrzeń `∞ /c0 zawiera podprzestrzeń (izometrycznie) izomorficzną
z przestrzenią c0 (c).
Dowód. Niech {Nα : α < c} będzie prawie rozłączną (tzn. Nα ∩ Nβ jest zbiorem
skończonym dla α 6= β) rodziną nieskończonych podzbiorów zbioru N[7] . Twierdzimy, że Y = cl lin {π(1Nα ) : α < c}, gdzie π : `∞ → `∞ /c0 oznacza odwzorowanie
kanoniczne, jest izomorficzną kopią przestrzeni c0 (c).
Określmy operator liniowy T0 : lin {eα : α < c} → Y (gdzie eα = 1{α} ∈ c0 (c))
tak, aby T0 (eα ) = π(1Nα ) dla każdego α < c. Pokażemy, że T0 jest izometrią. Ustalmy zatem N ∈ N i załóżmy, że c1 , . . . , cN ∈ K oraz α1 , . . . , αN są różnymi liczbami
porządkowymi mniejszymi od c. Wówczas, korzystając z prawie rozłączności rodziny
{Nα : α < c}, otrzymujemy
T0
N
X
n=1
!
cn eαn =
N
X
cn π 1Nαn n=1
= max |cn | =
1¬n¬N
N
X
cn eαn .
n=1
Ponieważ lin {eα : α < c} jest gęstą podprzestrzenią przestrzeni c0 (c), operator
T0 ma (jedyne) rozszerzenie do ciągłego operatora liniowego T : c0 (c) → Y . Rozszerzenie to jest izomorfizmem przestrzeni Banacha (a także izometrią).
Na zakończenie tego rozdziału wróćmy kolejny raz do implikacji (1.1). Wykazaliśmy, że nie każda przestrzeń Banacha ma ściśle wypukłe przenormowanie.
Z twierdzenia Lindenstraussa oraz wniosku 2.2 wynika, że przestrzeń `∞ dopuszcza
równoważną normę SC, jednak nie dopuszcza równoważnej normy wLUR. Jak powiedzieliśmy pod koniec poprzedniego paragrafu, każdą przestrzeń WCG, która nie
jest refleksywna, można przenormować w sposób LUR, ale nie UR. Okazuje się, że
podobny efekt nie ma miejsca w przypadku implikacji LUR =⇒ wLUR; można
bowiem udowodnić, że każda przestrzeń, która ma wLUR przenormowanie ma także
LUR przenormowanie (zob. [20]).
[7]
Istnienie takiej rodziny można wykazać na wiele sposobów. Możemy np. utożsamić zbiór N ze
(α)
zbiorem liczb wymiernych i dla dowolnej liczby rzeczywistej α przyjąć Nα = qn : n ∈ N , gdzie
(α)
qn n∈N jest dowolnym ciągiem liczb wymiernych zbieżnym do α.
34
4
Problem przenormowania dla przestrzeni C(K)
W rozdziale tym przez C(K) rozumieć będziemy przestrzeń Banacha funkcji
ciągłych określonych na zwartej przestrzeni Hausdorffa K.
4.1
Przykłady
Podamy teraz kilka przykładów przestrzeni K, dla których potrafimy udzielić
odpowiedzi na pytanie dotyczące możności SC/LUR przenormowania.
Definicja 4.1. Przestrzeń topologiczną nazywamy przestrzenią Eberleina, jeżeli jest
ona homeomorficzna ze słabo zwartym podzbiorem pewnej przestrzeni Banacha.
Uwaga 4.2. (i) Każda zwarta przestrzeń metryzowalna jest przestrzenią Eberleina.
(ii) Domknięta kula jednostkowa w dowolnej przestrzeni refleksywnej jest przestrzenią Eberleina.
Dowód. (i): Załóżmy, że K 6= ∅ jest przestrzenią metryzowalną. Wówczas przestrzeń C(K) jest ośrodkowa (zob. [1, tw. 4.1.3]); niech {fn : n ∈ N} będzie gęstym
podzbiorem zbioru SC(K) . Zdefiniujmy funkcję ϕ : K → c0 wzorem
ϕ(x) =
1
fn (x)
n
dla x ∈ K.
n∈N
Pokażemy, że ϕ jest homeomorfizmem na swój obraz; będzie to oznaczać, że zbiór K
jest homeomorficzny ze zwartym, a więc tym bardziej słabo zwartym, podzbiorem
przestrzeni c0 .
Zauważmy, że funkcja ϕ jest różnowartościowa. Istotnie, jeżeli x i y są różnymi
elementami zbioru K, to na mocy lematu Urysohna istnieje taka funkja f ∈ SC(K) ,
że f (x) = 0 i f (y) = 1. Wobec gęstości zbioru {fn : n ∈ N} istnieje taka liczba
n0 ∈ N, że fn0 (x) 6= fn0 (y), skąd ϕ(x) 6= ϕ(y). Aby zakończyć dowód wystarczy pokazać, że funkcja ϕ jest ciągła (różnowartościowa funkcja ciągła określona za zbiorze
zwartym i przyjmująca wartości w przestrzeni Hausdorffa jest homeomorfizmem na
swój obraz).
W tym celu ustalmy ciąg (xm )m∈N punktów zbioru K, zbieżny do pewnego
x0 ∈ K, i ε > 0. Niech N będzie taką liczbą naturalną, że N2 < ε. Wobec ciągłości
funkcji fn (dla n ∈ N) istnieje taka liczba naturalna M , że |fn (xm ) − fn (x0 )| < ε
dla wszelkich m ­ M oraz n = 1, . . . , N . Wówczas dla m ­ M mamy

ε
|fn (xm ) − fn (x0 )| ¬ 
a zatem
kϕ(xm ) − ϕ(x0 )k = max
n∈N
dla n = 1, . . . , N,
2 dla n > N,
1
|fn (xm ) − fn (x0 )| ¬ ε,
n
co kończy dowód.
(ii): Kula ta jest zbiorem słabo zwartym.
35
Następujące twierdzenie, którego dowód pomijamy, pochodzi z pracy [2] i podaje
ścisły związek między przestrzeniami Eberleina a przestrzeniami funkcji ciągłych,
które są na nich określone; jego dowód można znaleźć także w [10, s. 620].
Twierdzenie 4.3 (Amir, Lindenstrauss, 1968). Przestrzeń K jest przestrzenią
Eberleina wtedy i tylko wtedy, gdy przestrzeń C(K) jest przestrzenią WCG.
Definicja 4.4. Powiemy, że własność A jest 3SP (od ang. three-space property),
jeżeli dla dowolnych przestrzeni Banacha X, Y , Z zachodzi implikacja: jeżeli przestrzenie X i Z mają własność A oraz istnieje ciąg dokładny[8]
0 −→ X −→ Y −→ Z −→ 0,
to przestrzeń Y również ma własność A.
Wiadomo (zob. [6, tw. 5.10.g]), że istnienie LUR przenormowania jest 3SP; fakt
ten wykorzystamy w przykładzie 4.5.
Wzorując się na [18], opiszemy teraz pewną interesującą przestrzeń topologiczną.
Rozważmy zbiór [0, 1] × [0, 1] z porządkiem leksykograficznym, tzn.
(x1 , y1 ) ¬ (x2 , y2 ) ⇐⇒ (x1 < x2 lub (x1 = x2 i y1 ¬ y2 ))
dla (x1 , y1 ), (x2 , y2 ) ∈ [0, 1] × [0, 1] i wyposażmy zbiór ten w topologię porządkową.
Otrzymujemy w ten sposób (niemetryzowalną) zwartą przestrzeń Hausdorffa. Zbiór
D = [0, 1] × {0, 1} z topologią dziedziczoną z wyżej opisanej przestrzeni również jest
(niemetryzowalną) zwartą przestrzenią Hausdorffa; przestrzeń tę nazywamy podwójną strzałką. Można wykazać (zob. [10, tw. 14.39]), że istnieje ciąg dokładny
0 −→ C([0, 1]) −→ C(D) −→ c0 (c) −→ 0.
Ponadto zarówno przestrzeń C([0, 1]) (jako ośrodkowa a zatem WCG), jak i przestrzeń c0 (c) (na mocy twierdzenia Rainwatera) mają LUR przenormowanie.
Po tym krótkim wstępie przejdziemy do zapowiedzianych przykładów.
Przykład 4.5. Oto kilka pozytywnych odpowiedzi na pytanie dotyczące możności
lokalnie jednostajnie wypukłego przenormowania przestrzeni C(K):
• Jeżeli przestrzeń K jest metryzowalna, to przestrzeń C(K) jest ośrodkowa,
zatem na mocy wniosku 2.4 ma ściśle wypukłe przenormowanie. Ponadto,
jako przestrzeń WCG, ma ona nawet LUR przenormowanie.
• Jeżeli K jest przestrzenią Eberleina, to przestrzeń C(K), jako przestrzeń
WCG, ma LUR przenormowanie.
• Jeżeli α jest liczbą porządkową, to przestrzeń C([0, α]) ma lokalnie jednostajnie
wypukłe przenormowanie (zob. [15]).
[8]
Mówimy, że przestrzenie Banacha X1 , X2 , X3 tworzą ciąg dokładny 0 → X1 → X2 → X3 → 0,
jeżeli istnieją takie ciągłe operatory liniowe ϕ : X1 → X2 i ψ : X2 → X3 , że ker ψ = ϕ(X1 ), przy
czym ϕ jest injekcją, a ψ surjekcją.
36
• Z wcześniejszych rozważań wynika, że przestrzeń C(D) można przenormować
w sposób lokalnie jednostajnie wypukły.
Warto zaznaczyć, że powyższe przykłady są wnikliwe w tym sensie, że każdy
(kolejny) z nich wnosi coś nowego. Istotnie, przestrzenie Eberleina lub [0, α] mogą być niemetryzowalne, gdyż mogą one być dowolnie dużej mocy (w przypadku
przestrzeni Eberleina wystarczy wziąć domknięta kulę jednostkową w przestrzeni
(Hilberta) `2 (κ) dla dowolnie dużej liczby kardynalnej κ). Przestrzeń [0, ω1 ] nie jest
przestrzenią Eberleina (zob. [10, uwaga na s. 583]), zaś podwójna strzałka nie może
być homeomorficzna z przestrzenią [0, α] dla żadnej liczby porządkowej α, ponieważ
ma ona tylko dwa punkty izolowane. Pozostaje uzasadnić, że D nie jest przestrzenią
Eberleina.
Jedną z tez cytowanego wcześniej twierdzenia [10, tw. 14.39] jest fakt, iż przestrzeń C(D) nie jest słabą przestrzenią Lindelöfa. Natomiast z twierdzenia Preissa–
–Talagranda (zob. [10, tw. 14.31]), które mówi, że każda przestrzeń WCG jest słabą
przestrzenią Lindelöfa, wynika, że C(D) nie jest przestrzenią WCG. To w połączeniu
z twierdzeniem 4.3 oznacza, że podwójna strzałka nie jest przestrzenią Eberleina.
Przykład 4.6. Następujący rezultat jest o tyle ciekawy, że w jednym przypadku daje
odpowiedź pozytywną, a w drugim negatywną:
• Jeżeli K = βN, gdzie βN oznacza uzwarcenie Čecha–Stone’a zbioru liczb naturalnych z topologią dyskretną, to przestrzeń C(K), jako przestrzeń izometrycznie izomorficzna z przestrzenią `∞ , ma ściśle wypukłe przenormowanie
na mocy wniosku 2.2. Nie ma ona natomiast LUR przenormowania, co widać
z twierdzenia Lindenstraussa.
Przykład 4.7. Oto dwie negatywne odpowiedzi na pytanie dotyczące możności ściśle
wypukłego przenormowania przestrzeni C(K):
• Jeżeli K = βI, gdzie βI oznacza uzwarcenie Čecha–Stone’a nieprzeliczalnego
zbioru I z topologią dyskretną, to przestrzeń C(K), jako przestrzeń izometrycznie izomorficzna z przestrzenią `∞ (I), nie ma ściśle wypukłego przenormowania na mocy twierdzenia Daya.
• Jeżeli K = βN \ N, gdzie βN \ N oznacza narost uzwarcenia Čecha–Stone’a
zbioru liczb naturalnych z topologią dyskretną, to przestrzeń C(K), jako przestrzeń izometrycznie izomorficzna z przestrzenią `∞ /c0 (zob. [3, s. 81]), nie ma
ściśle wypukłego przenormowania na mocy twierdzenia Bourgaina.
37
4.2
Problem otwarty
Na zakończenie niniejszej pracy warto zaznaczyć, że wciąż otwarte jest następujące pytanie (zob. [19, §6.2]):
Jakie własności topologiczne powinna mieć przestrzeń K, aby przestrzeń
C(K) można było przenormować w sposób ściśle/lokalnie jednostajnie
wypukły?
Jednak, o czym świadczą powyższe przykłady, w wielu konkretnych przypadkach
odpowiedź na pytanie dotyczące istnienia równoważnej normy w określony sposób
wypukłej w przestrzeni C(K) jest znana. Mając na uwadze te przykłady, widzimy, że trudno odpowiedzieć na pytanie, które cechy przestrzeni K są istotne: nie
można wprost stwierdzić, w jaki sposób moc czy spójność przestrzeni K decydują
o regularności normy w przestrzeni C(K).
38
Literatura
[1] F. Albiac, N. J. Kalton, Topics in Banach Space Theory, Springer 2006.
[2] D. Amir, J. Lindenstrauss, The structure of weakly compact sets in Banach
spaces, Ann. of Math. 88 (1968), 35–46.
[3] W. Arveson, A Short Course on Spectral Theory, Springer 2002.
[4] K. Baron, Przestrzenie liniowo-topologiczne I, II, wykład monograficzny, notatki
własne.
[5] J. Bourgain, `∞ /c0 has no equivalent strictly convex norm, Proc. Amer. Math.
Soc. 78 (1980), 225–226.
[6] J. M. F. Castillo, M. González, Three-space Problems in Banach Space Theory,
Springer 1997.
[7] J. B. Conway, A Course in Functional Analysis, Springer 1990.
[8] J. Diestel, Geometry of Banach Spaces—Selected Topics, Springer–Verlag 1975.
[9] P. Enflo, Banach spaces which can be given an equivalent uniformly convex norm,
Israel J. Math. 13 (1972), 281–288.
[10] M. Fabian, P. Habala, P. Hájek, V. Montesinos, V. Zizler, Banach Space Theory,
Springer 2011.
[11] V. Ferenczi, A uniformly convex hereditarily indecomposable Banach space, Israel J. Math. 102 (1997), 199–225.
[12] W. T. Gowers, B. Maurey, The unconditional basic sequence problem, J. Amer.
Math. Soc. 6 (1993), 851–874.
[13] A. Grothendieck, Sur les applications linéaires faiblement compactes d’espaces
du type C(K), Canadian J. Math. 5 (1953), 129–173.
[14] O. Hanner, On the uniform convexity of Lp and `p , Ark. Mat. 3 (1956), 239–244.
[15] R. Haydon, Trees in renorming theory, Proc. London Math. Soc. 78 (1999),
541–584.
[16] T. Kochanek, Combinatorics in Banach space theory I, http://www.math.
us.edu.pl/tkochanek/teaching.html, wykład monograficzny [dostęp: 2 czerwca 2013 r.].
[17] J. Lindenstrauss, H. P. Rosenthal, The Lp spaces, Israel J. Math. 7 (1969),
325––349.
39
[18] D. Ma, The lexicographic order and the double arrow space, http://dantopology.wordpress.com/2009/10/07/the-lexicographic-order-and-the-double-arrow-space/ [dostęp: 3 czerwca 2013 r.].
[19] A. Moltó, J. Orihuela, S. Troyanski, M. Valdivia, A Nonlinear Transfer Technique for Renorming, Springer 2009.
[20] A. Moltó, J. Orihuela, S. Troyanski, M. Valdivia, On weakly locally uniformly
rotund Banach spaces, J. Funct. Anal. 163 (1999), 252–271.
[21] A. Pełczyński, All separable Banach spaces admit for every ε > 0 fundamental
total and bounded by 1 + ε biorthogonal sequences, Studia Math. 55 (1976),
295–304.
[22] H. P. Rosenthal, On relatively disjoint families of measures, with some applications to Banach space theory, Studia Math. 37 (1970), 13–36.
[23] E. V. Tokarev, Grothendieck Banach lattices, Sib. Math. Zh. 27 (1986),
186–192.
[24] S. Troyanski, On locally uniformly convex and differentiable norms in certain
non-separable Banach spaces, Studia Math. 37 (1971), 173–180.
[25] D. Yost, M-ideals, the strong 2-ball property and some renorming theorems,
Proc. Amer. Math. Soc. 81 (1981), 299–303.
40