Zad.8 W 26-elementowej próbie prostej, złożonej z drzew losowo

Lista nr 8
RPSM, II rok ZIF
Estymacja punktowa i przedziałowa
Zad.1 Cecha ma rozkład wykładniczy o wartości przeciętnej m. Zbadać zgodność, nieobciążoność i efektywność średniej
arytmetycznej, określonej na podstawie n-elementowej próby prostej pochodzącej ze zbiorowości o powyższym
rozkładzie, jako estymatora m.
Zad.2 Sprawdzić, czy średnia arytmetyczna, utworzona na podstawie próby prostej wylosowanej z rozkładu Poissona o
parametrze , jest estymatorem zgodnym i najefektywniejszym wartości przeciętnej w tym rozkładzie.
Zad.3 Metodą momentów znaleźć estymator parametru a i b w populacji jednostajnej na odcinku [a-b,2a+b+1]. Czy
estymator parametru a jest nieobciążony i zgodny?
Zad.4 Zmienna losowa X ma rozkład Poissona o nieznanym parametrze  . Oszacować  metodą największej
wiarogodności. Jaki rozkład ma otrzymany estymator?
Zad.5 Korzystając z metody największej wiarogodności pokazać, że w rozkładzie N(m,) estymatorem największej
wiarygodności, wyznaczonym na podstawie n-elementowej próby prostej, pobranej z tej zbiorowości, dla parametru m
jest X , a dla parametru 2 jest wariancja z próby S2.
Zad.6 Ilość udanych połączeń z internetem ma rozkład dwumianowy B(n, ). Przyjęto, że szansa na jednorazowe
połączenie, czyli parametr , ma następujący rozkład a priori:

P( = )
0,3
0,3
0,4
0,5
0,5
0,2
Przeprowadzono próbę, w której na pięć prób nastąpiły dwa udane połączenia. Znaleźć estymator bayesowski
parametru .
Zad.7 W grupie 3600 losowo wybranych pasażerów warszawskiego metra 1584 osoby stwierdziły, że metro jest dla nich
jedynym środkiem dojazdu do pracy.
a) Zbudować przedział ufności dla nieznanej frakcji osób, dla których metro jest jedynym środkiem dojazdu do
pracy wśród ogółu pasażerów. Przyjąć współczynnik ufności na poziomie 0,95.
b) Określić względny i maksymalny błąd szacunku.
c) Ocenić, jak zmieni się precyzja oszacowania, jeśli liczebność próby zmniejszymy do 900 osób, przy pozostałych
parametrach nie zmienionych.
Zad.8 W 26-elementowej próbie prostej, złożonej z drzew losowo wybranych z lasu, otrzymano: x  37,3 cm oraz
s 2  13,5 cm 2 . Zakładamy, że rozkład średnicy drzew jest normalny. Przyjmując współczynnik ufności 0,95, wyznaczyć
przedział ufności dla przeciętnej średnicy drzew w lesie.
Zad.9 Wiadomo, że odchylenie standardowe  błędu przyrządu pomiarowego wynosi 0,5 mm. Zakładamy, że rozkład
błędów pomiarów jest rozkładem normalnym. Przeprowadzono n=10 pomiarów, których wyniki zapisane są w tabelce:
Nr pomiaru k
1
2
3
4 5
6
7
8
9
10
Wynik pomiaru xk w mm 7 7,5 8,5 8 6 7,5 6,5 5,5 7,5 6
Znaleźć wartości liczbowe krańców przedziału ufności dla wartości przeciętnej  w mm przyjmując poziom ufności:
a) 1-=0,99; b) 1-=0,98; c) 1-=0,96.
Zad.10 Czas produkcji wyrobu jest normalny. Czas produkcji wyrobu 6 losowo wybranych sztuk kształtował się
następująco (w s): 5,1; 4,9; 4,8; 5,3; 4,9, 5. Przyjmując współczynnik ufności na poziomie 0,98, oszacować wariancję
czasu produkcji ogółu wytwarzanych wyrobów.
Zad.11 Miesięczne wydatki na książki i gazety studentów pewnej uczelni można uznać za cechę o rozkładzie
N (20 zl ,  ) . Na podstawie 8-elementowej próby losowej otrzymano wariancję s 22  19,36 (zł)2. Wyznaczyć przedział
ufności dla odchylenia standardowego tych wydatków, na poziomie ufności (1   )  0,9 .
Zad.12 Wyznaczyć minimalną liczebność próby do oszacowania średniego wzrostu uczniów w klasach piątych szkół
podstawowych, jeżeli w próbie wstępnej liczącej 10 uczniów, otrzymano następujące wyniki (w cm): 125, 150, 145, 130,
155, 140, 160, 125, 155, 135. Zakładamy dopuszczalny błąd szacunku 4 cm, przy współczynniku ufności 0,98. Ponadto
zakładamy, że wzrost uczniów klas piątych szkół podstawowych ma rozkład normalny.
Zad.13 Na podstawie wyników 10 – elementowej próby pracowników spółki oszacowano przedziałowo wariancję
pożyczek udzielonych z kasy zapomogowej. Oszacowany przedział ma postać: ( 5910,5; 30075,2 ) PLN. Jaki poziom
współczynnika ufności przyjęto przy estymacji, jeśli dodatkowo wiadomo, że odchylenie standardowe pożyczonych kwot
w zbadanej próbie wynosiło 100 PLN oraz cecha ma rozkład normalny?
Zad.14 Dane dotyczące stażu pracy w zakładzie A dla losowo wybranych pracowników z tego zakładu są następujące:
Staż w latach
0 - 6 6 – 12 12 - 18 18 - 24
Liczba pracowników
10
30
40
20
a) Wyznaczyć przedział ufności dla procentu pracowników, którzy pracują nie dłużej niż 12 lat w tym zakładzie, na
poziomie ufności 0,96.
b) Jaka powinna być minimalna liczebność próby, niezbędna do oszacowania procentu pracowników, którzy pracują nie
dłużej niż 12 lat w tym zakładzie na poziomie ufności 0,96 z maksymalnym błędem szacunku nie przekraczającym
2%?
c) Wyznaczyć przedział ufności dla przeciętnego stażu pracy pracowników tego zakładu, jeśli poziom ufności wynosi
0,9.
d) Zakładając, że staż pracy pracowników w zakładzie A ma rozkład normalny, wyznaczyć przedział ufności dla
wariancji stażu pracy pracowników na poziomie ufności 0,95.
Zadania dodatkowe:
Zad.1 Na podstawie czterech niezależnych obserwacji X1, X2, X3, X4 pochodzących z rozkładu wykładniczego o wartości
przeciętnej m., wyznaczono cztery estymatory parametru m, mianowicie: Q1=X1, Q2=(X1+X4)/2, Q3=(X1+X2+X3+X4)/4 i
Q4=(2X1+3X2+X3+4X4)/10.
a) Sprawdzić nieobciążoność tych estymatorów.
b) Który z tych estymatorów cechuje najmniejszy względny średni błąd szacunku?
Zad.2 Bazując na 2n-elementowej próbie z populacji o średniej m i wariancji  2 oszacowano wartość oczekiwaną
używając dwóch estymatorów:
X1 
1 2n
 Xi,
2n i 1
X2 
1 n
 Xi.
n i 1
Który z użytych estymatorów jest lepszy i dlaczego?
Zad.3 Niech X 1 , X 2 ,, X n będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie normalnym. Dobrać
stałą k tak, aby estymator W 2  k
n 1
(X
i 1
i 1
 X i ) 2 był nieobciążonym estymatorem wariancji  2 .
Zad.4 Niech X 1 , X 2 ,, X n będzie próbą z rozkładu normalnego N (  ,  ),   R,   0. Sprawdź, czy estymatory
S2 
1 n
( X i  X ) 2 oraz

n i 1
S12 
1 n
( X i  X ) 2 są nieobciążonymi estymatorami wariancji  2 . Który z

n  1 i 1
estymatorów jest lepszy i dlaczego?
Zad.5 Niech X 1 , X 2 ,, X n będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie wykładniczym z parametrem .
Metodą największej wiarogodności wyznaczyć estymator .
Zad.6 Metodą największej wiarogodności w oparciu o n elementową próbę prostą
parametru  rozkładu o gęstości
X1,...,Xn wyznaczyć estymator
1
f ( x) 
 ln x  2  2
1
e 2
.
x 2
Zad.7 Metodą największej wiarogodności w oparciu o n elementową próbę prostą
parametru  2 rozkładu normalnego N (1,  ) .
X1,...,Xn wyznaczyć estymator
Zad.8 Dla n-elementowej próby prostej metodą momentów wyznaczyć estymator parametru p i q w rozkładzie
dwumianowym.
Zad.9 Niech X1, X2,..., Xn będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie normalnym N(0,).
a) Metodą momentów (w oparciu o drugi moment) wyznaczyć estymator 2.
b) Wyznaczyć estymator  używając a) i relacji    2 .
Zad.10 Na podstawie niezależnych obserwacji X1,...,Xn pochodzących z rozkładu wykładniczego o wartości przeciętnej
 , wyznaczono estymator parametru  2 postaci ̂2 
 
1 n 2
 X i . Wiedząc, że E X 4  244 sprawdzić
2n i 1
nieobciążoność i zgodność tego estymatora.
Zad.11 Bazując na 2n-elementowej próbie z populacji o rozkładzie normalnym o średniej  i wariancji  2 oszacowano
wartość oczekiwaną używając dwóch estymatorów:
ˆ 1 
1 2n
 Xi,
2n i 1
ˆ 2 
1 2 n 1
 Xi.
2n  1 i 1
Zbadać nieobciążoność i zgodność estymatorów. Który z użytych estymatorów jest lepszy i dlaczego? Sprawdzić czy
lepszy z estymatorów jest najefektywniejszym estymatorem parametru  .
Zad.12 Zmienna losowa X ma rozkład wykładniczy z parametrem 3  .
a) Na podstawie n elementowej próby wyznaczyć metodą momentów w oparciu o drugi moment estymator
parametru  2 .
1
b) Wyznaczyć estymator parametru  korzystając z zależności   2 .
c) Wiedząc, że czas bezawaryjnej pracy pięciu wybranych maszyn pewnego typu wyniósł (w dniach): 2, 5, 11, 4, 8,
znaleźć ocenę wartości przeciętnej czasu bezawaryjnej pracy maszyny.
Zad.13 Rozkład cechy X w populacji jest normalny N (  ,  ) . Pobrano próbę prostą X1,...,Xn. Wiedząc, że


E  X     3 4 wykazać, że S 22 
4
1 n
2
  X i    jest najefektywniejszym estymatorem wariancji tego rozkładu.
n i 1
Zad.14 Zmienna losowa ma rozkład wykładniczy o wartości oczekiwanej równej 2 , dla a>0. Na podstawie n
a
elementowej próby prostej wyznaczyć estymator największej wiarygodności dla wartości oczekiwanej.
Zad.15 Zmienna losowa ma rozkład wykładniczy o wartości oczekiwanej równej 3a dla a>0. Na podstawie n
elementowej próby prostej wyznaczyć estymator największej wiarygodności dla wartości oczekiwanej.
Zad.16 Zmienna losowa ma rozkład wykładniczy o wartości oczekiwanej równej 2 , dla a>0. Na podstawie n
a
elementowej próby prostej wyznaczyć estymator największej wiarygodności parametru a.
Zad.17 Niech X 1 , X 2 ,, X n będzie próbą z rozkładu dwumianowego B(N, p), gdzie N jest znane. Zbadać wszystkie
własności estymatora
X
parametru p.
N
Zad.18 Metodą największej wiarogodności w oparciu o n elementową próbę prostą X1,...,Xn wyznaczyć estymator
parametru p rozkładu geometrycznego. Stosując zależność q = 1-p, wyznaczyć estymator parametru q.
Zad.19 Zmienna losowa X ma rozkład normalny N(m, ). Na podstawie n-elementowej próby prostej wyznaczyć metodą
momentów estymatory parametrów m i 2. Zbadać zgodność i nieobciążoność estymatorów. Wyznaczyć estymator
parametru .
Zad.20 Na podstawie n-elementowej próby prostej pochodzącej z rozkładu jednostajnego na odcinku [c, c+d] wyznaczyć
estymatory parametrów c oraz d.
Zad.21 Zmienne losowe X 1 i X 2 są niezależne i każda z nich ma rozkład Poissona z parametrem  . Pokazać, że
 X1  X 2 
2
jest estymatorem dostatecznym parametru  .
Zad.22 Pokazać, że średnia arytmetyczna z próby losowej o liczebności n pobranej z populacji, w której zmienna X ma
rozkład N   ,   , gdzie  jest znane, jest estymatorem dostatecznym parametru  .
Zad.23 Ilość przychodzących klientów do banku ma rozkład dwumianowych B(n, ). Przyjęto, że szansa na to, że w
ciągu 1 minuty przybędzie klient, czyli parametr  , ma następujący rozkład a priori:
0.11
0.12
0.13

0.3
0.5
0.2
P( = )
Przeprowadzono próbę, w której podczas 22 minut przyszło 5 osób. Znaleźć estymator bayesowski parametru .
Zad.24 W losowo wybranej próbie 100 studentów SGH 40 osób mieszkało na stałe w Warszawie. Przyjmując
współczynnik ufności na poziomie 0,90:
a) oszacować przedziałowo udział studentów mieszkających na stałe poza Warszawą wśród ogółu studentów,
b) określić o ile osób należy zwiększyć powyższą próbę, aby dwukrotnie wzrosła precyzja oszacowania.
Zad.25 W grupie 900 losowo wybranych pracowników przedsiębiorstwa średnia liczba dni nieobecności w pracy w
1994r. wynosiła 35, a odchylenie standardowe – 3 dni.
a) Przyjmując współczynnik ufności na poziomie 0,90, oszacować średnią absencję w pracy wśród ogółu
pracowników.
b) Określić i zinterpretować przeciętny i maksymalny błąd szacunku.
c) Określić, w jakim kierunku i o ile zmieni się względna precyzja oszacowania, jeśli – przy innych warunkach nie
zmienionych – liczebność próby zmniejszymy do 225 osób.
Zad.26 W firmie „Telimena” zbadano 500 płaszczy spośród nowo wyprodukowanych partii i otrzymano następujący
rozkład liczby usterek:
Liczba usterek
0
1
2
3
4
5
Liczba płaszczy
90
160
100
80
50
20
a) Wyznaczyć na poziomie ufności 0,95 przedział ufności dla przeciętnej liczby usterek w płaszczach produkowanych w
badanej firmie.
b) Wyznaczyć przedział ufności dla odchylenia standardowego błędów na poziomie ufności 0,98, zakładając rozkład
normalny.
Zad.27 Rozkład wagi tabliczki czekolady jest normalny. Na podstawie losowej próby 120 tabliczek czekolady otrzymano
średnią wagę równą 95g oraz odchylenie standardowe 10g. Przyjmując współczynnik ufności na poziomie 0,90,
oszacować przedziałowo odchylenie standardowe w rozkładzie wagi wszystkich tabliczek czekolady.
Zad.28 W celu wyznaczenia dokładności wskazań przyrządu pomiarowego dokonano 5 niezależnych pomiarów. Wyniki
tych pomiarów podane są w tabelce:
1
2
3
4
5
Nr pomiaru k
10,15
10,20
10,04
10,14
10,22
Wynik pomiaru xk w cm
Wyznaczyć wartości liczbowe krańców przedziału ufności dla wariancji, zakładając, że rozkład wyników pomiarów jest
rozkładem normalnym i przyjmując prawdopodobieństwo ufności 1-=0,98.
Zad.29 W wyniku badania stanu zdrowia 1000 losowo wybranych dzieci zamieszkałych w Warszawie u 250 stwierdzono
wady wzroku. Jak liczna powinna być próba, aby przy współczynniku ufności 0,95 oszacować odsetek ogółu dzieci z
wadami wzroku w Warszawie, jeśli nie chcemy pomylić się o więcej niż 4%?