Wykład 6

Wykład 6
Gęstość stanów elektronowych w niskowymiarowych strukturach
Oprócz widma energetycznego układu elektronów, ważną charakterystyką systemy
jest gęstość stanów energetycznych
Funkcja gęstości stanów elektronowych
g (E ).
pomnożona przez interwał dE , czyli g ( E )dE równa się liczbie stanów elektronowych o
energiach leżących w przedziale ( E , E  dE ).
Funkcja gęstości stanów układów trójwymiarowych
Przypomnijmy najpierw, jaką postać ma funkcja gęstości stanów dla struktur
trójwymiarowych.
Oznaczmy przez EC energię elektronu odpowiadającą dnu pasma przewodnictwa.
Oczywiście to jest minimalna energia, którą ma elektron. Energię elektronów wyżej dna
pasma przewodnictwa określa wzór
E  EC 
p2
.
2m
(6.1)
Tu p - wartość bezwzględna pędu elektronu, a m - masa efektywna elektronu.
W celu wyznaczenia funkcji gęstości stanów g (E ) rozważmy warstwę kulistą o

grubości dE , która jest ograniczona dwoma powierzchniami o stałej energii: E ( p )  const i

E ( p )  dE  const (rys.6.1).
Objętość takiej warstwy wynosi
dVp  d (4πp3 / 3)  4πp2dp .
(6.2)
Zgodnie z podstawami fizyki ciała stałego,
liczba stanów elektronowych w elemencie
Rys.6.1. Rzut obszaru warstwy sferycznej o
grubości dE na płaszczyznę p x , p y
dn  2
objętości dV p w krysztale o jednostkowej
objętości, wynosi
dVp
h
3
Ze wzoru (6.1) wynika, że
56

8π 2
p dp .
h3
(6.3)
p  2m E  EC  .
(6.4)
Skąd
1
2m
dp 
dE .
2 E  EC
(6.5)
Biorąc pod uwagę wzory (6.4) i (6.5), ze
wzoru (6.3) otrzymujemy
g ( E )dE  dn 
Rys.6.2. Zależności gęstości stanów
elektronowych od energii w przypadku
trójwymiarowego układu
 2m 
 4π  2 
 h 
8π 2
p dp 
h3
3/ 2
.
(6.6)
E  EC  dE
Dalej dla uproszczenia zapisu będziemy zakładać, że energia elektronu jest liczona od dna
pasma przewodnictwa ( EC  0 ). A zatem dla funkcji gęstości stanów elektronowych
ostatecznie znajdujemy
 2m 
dn
g(E ) 
 4π  2 
dE
 h 
3/ 2
1  2m 
E  2  2 
2π   
3/ 2
E .
(6.7)
Otrzymaliśmy, więc wzór na funkcję g (E ) , która określa jak są rozłożone wzdłuż osi energii
stany, które mogą być obsadzony przez elektrony w przypadku układu trójwymiarowego.
Funkcja gęstości stanów układów dwuwymiarowych
W przypadku układu dwuwymiarowego (cienkiej błony o grubości Lz ) energia ruchu
elektronu jest skwantowaną w kierunku z prostopadłym do płaszczyzny xy , w której ruch
elektronu jest swobodny, a całkowitą energię układu określa wzór
p 2y
p x2
p2
E  En 


E

.
n
2m 2m
2m
(6.8)
Tu En są poziomy energetyczne ruchu elektronu wzdłuż osi z , a p2  px2  p 2y - pęd
elektronu w płaszczyźnie układu dwuwymiarowego.
Ze wzoru (6.8) wynika, że minimalna energia, którą mogą mieć elektrony wynosi
E  E1 . A zatem, gdy E  E1 gęstość stanów elektronowych musi być równa zeru ( g ( E )  0 ,
gdy E  E1 ). Rozważmy zakres zmiany energii elektronu E1  E  E2 . Takie energii mogą
mieć tylko elektrony podpasma pierwszego poziomu E1 , których pęd spełnia nierówność:
57
p  2m ( E  E2 ) . W celu wyznaczenia funkcji gęstości stanów g (E ) rozważmy pierścień
kołowy o grubości dE , która jest ograniczona dwoma powierzchniami o stałej energii:


E ( p )  const i E ( p )  dE  const (rys.6.1). Pole powierzchni takiego pierścienia wynosi
dS p  d (πp 2 )  2πpdp .
(6.9)
W płaszczyźnie ( p x , p y ) na jeden stan elektronowy przypada pole powierzchni
ds  h 2 /( Lx Ly ) , gdzie L x i L y - rozmiary błony w płaszczyźnie ( x, y ), a zatem liczba
stanów elektronowych w pierścieniu o polu powierzchni (6.9), przypadająca na jednostkową
objętość błony wynosi
dn  2
dS p
V  ds

4π
4πm  p 2 
m


pdp

d

dE .
Lz h 2
Lz h 2  2m  Lz π2
(6.10)
gdzie V  Lx Ly LZ - objętość błony. Mnożnik 2 w (6.10) uwzględnia dwie możliwe orientacje
spinu elektronu.
Ze wzoru (6.10) wynika, że w przypadku układu dwuwymiarowego funkcja gęstości
stanów elektronowych g (E ) ma postać
g(E ) 
dn
m

dE Lz π 2
E1  E  E2  .
(6.11)
Przy energiach elektronów większych od E2 , elektrony mogą znajdować się nie tylko
w pierwszym podpasmie, ale również w podpasmach wyższych. Każde podpasmo będzie
dawało dodatkowy wkład w funkcję gęstości stanów g (E ) . Wkład ten będzie określony
wzorem (6.11). A zatem, kiedy energia elektronu E będzie przekraczała dno En podpasma,
funkcja gęstości stanów elektronowych g (E ) będzie skokowo zmieniała się o m / Lz π 2
(rys.6.3). Używając funkcji skoku jednostkowego (funkcji Heaviside’a)
0, dla
1, dla
 (x )  
x  0,
x  0,
(6.12)
funkcję gęstości stanów g (E ) w układzie dwuwymiarowym możemy zapisać dla dowolnej
energii E w postaci
g(E ) 
m
 E  En  .
Lz π 2 n
58
(6.13)
g ( E ) / m / Lz π2 
Ponieważ En ~ Lz2 (patrz wzór (1.2)), gdzie
Lz - grubość błony, to przy zwiększeniu
grubości Lz struktury szerokość „stopni”
En 1  En  ~ 1/ L2z
będzie zmniejszać się i w
granice Lz   funkcja gęstości stanów
Rys.6.3. Rozkłady gęstości stanów w układzie (6.13) przyjmie kształt funkcji
trójwymiarowym (przerywana linia) i
stanów struktury trójwymiarowej.
dwuwymiarowym (funkcja schodkowa)
gęstości
Funkcje gęstości stanów układów jedno- i zerowymiarowych
W przypadku układu jednowymiarowego (drutu kwantowego) energia ruchu elektronu
jest skwantowaną w dwóch kierunkach z i y prostopadłym do kierunku x , w którym ruch
elektronu jest swobodny, a całkowitą energię układu określa wzór
E  En1n 2
p x2

,
2m
n1 , n2  1,2, .
(6.14)
Tu
En1n 2 
 2π 2 n12  2π 2 n22

2m L2y 2m L2z
(6.15)
- energia skwantowanego ruchu elektronu w kierunku osi z i y ; Ly , Lz - są szerokości barier
potencjalnych ograniczających ruch elektronu w kierunku osi y i z .
Ze wzoru (6.14) wynika, że minimalna energia, którą mogą mieć elektrony wynosi
E  E11 . A zatem, gdy E  E11 gęstość stanów elektronowych musi być równa zeru
( g ( E )  0 , gdy E  E11 ). Rozważmy zakres zmiany energii elektronu od E11 do kolejnego po
energii poziomu kwantowego En1n 2 . Takie energii mogą mieć tylko elektrony podpasma
pierwszego
poziomu
E11 ,
których
pęd
spełnia
nierówność:
 2m ( E  E11 )  p x  2m ( E  E11 ) . W celu wyznaczenia funkcji gęstości stanów g (E )
rozważmy na zależności E ( p x ) interwał energii dE (rys.6.4a). Jak widać z rys.6.4a
interwałowi dE odpowiadają dwa odcinka (z lewej i prawej strony) o długości dp x .
W przypadku układu jednowymiarowego, na osi p x na jeden stan elektronowy
przypada odcinek o długości dlx  h / Lx , gdzie L x - rozmiary drutu w kierunku osi x , a
59
zatem liczba stanów elektronowych na dwóch odcinkach drutu o długości dp x , przypadająca
na jednostkową objętość drutu wynosi
dn  2
2dpx
4
2m

dpx 
V  dlx Ly Lz h
πLy Lz
1
dE .
E  E11
(6.16)
gdzie V  Lx Ly LZ - objętość drutu. Mnożnik 2 w (6.16) uwzględnia dwie możliwe orientacje
spinu elektronu.
Ze wzoru (6.16) wynika, że w przypadku układu jednowymiarowego funkcja gęstości
stanów elektronowych g (E ) ma postać
g(E ) 
dn
2m

dE πLy Lz
1
E  E11
a
E1  E  .
(6.17)
b
Rys.6.4. (a) -zależności E ( p x ) ; (b) wykres funkcji gęstości stanów elektronowych dla
jednowymiarowej struktury (drutu kwantowego)
Przy energiach elektronów większych od E11 , elektrony mogą znajdować się nie tylko
w pierwszej podpasmie, ale również w podpasmach wyższych. Każde podpasmo będzie
dawało dodatkowy wkład w funkcję gęstości stanów g (E ) . Wkład ten będzie określony
wzorem
2m
πLy Lz
1
.
E  En1n1
(6.18)
Sumując wkłady w g (E ) wszystkich podpasm i używając funkcji skoku jednostkowego
(6.12), ostatecznie otrzymujemy
60
g(E ) 
2m
πLy Lz

 E  En n
n1 , n 2
1 2
E  En1n2
.
(6.19)
Wykres funkcji (6.19) jest przedstawiony na rys.6.4b. Z tego wykresu widać, że funkcja
rozkładu stanów elektronowych g (E ) ma osobliwości, gdy energia elektronu przechodzi
przez dna podpasm (6.14). W rzeczywistych strukturach te osobliwości nie występują
wskutek tego, że rozmaite defekty struktury krystalicznej oraz dynamiczne procesy wpływają
na kształt funkcji g (E ) , powodując rozmycie osobliwości funkcji g (E ) .
W przypadku zerowymiarowego układu (kropki kwantowej) ruch elektronu jest
ograniczony w trzech kierunkach, a całkowitą energię układu określa wzór
En1n 2 n3 
 2π 2 n12  2π 2 n22  2π 2 n32


,
2ml y2
2mlz2
2ml x2
n1 , n2 , n3  1,2, .
(6.20)
gdzie l y , l z , l x - są szerokości barier potencjalnych w kierunku osi y, z i x .
Liczba stanów, odpowiadających określonemu zbiorowi liczb kwantowych n1 , n2 , n3 w
jednostce objętości wynosi
t
2
.
Lx Ly Lz
(6.21)
Ze wzoru (6.21) wynika, że jeżeli, na przykład Ly  Lz  Lx  L , to następuję zwyrodnienie
(degeneracja) poziomów o określonych wartościach liczb kwantowych n1 , n2 , n3 . Istotnie,
wtedy, na przykład poziomy E121, E112, E211 będą mieli taką samą energię. Oznaczając przez g
- stopień zwyrodnienia poziomu o określonej energii, dla całkowitej liczby stanów
elektronowych w jednostce objętości, mających taką samą energię możemy zapisać
N tg .
(6.22)
Na rys.6.5 jest przedstawiony rozkład stanów
elektronowych
kropki
kwantowej
w
przypadku, kiedy Ly  Lz  Lx  L . Z tego
rysunku widać, że ten rozkład stanów jest
zbiorem dyskretnych linii odpowiadających
Rys.6.5. Rozkład stanów elektronowych
kropki kwantowej w przypadku, kiedy
Ly  Lz  Lx  L
poziomom energetycznym zerowymiarowego
układu.
61
W postaci matematycznej rozkład stanów elektronowych zerowymiarowego układu
możemy zapisać korzystając z właściwości delta - funkcji Diraca
, dla
δ (x )  
 0, dla
x0
x0
.
(6.23)
Wtedy funkcja rozkładu gęstości stanów ma postać sumy
g(E ) 
 δE  E
n1n 2 n3
.
(6.24)
n1 , n 2 , n3
Funkcja gęstości stanów supersieci
W przypadku supersieci można również wyliczyć funkcję rozkładu gęstości stanów.
Opuszczając wyprowadzenie tej funkcji przedstawmy ostateczny wynik
 m 
1 1
E  En 
,
 2  n   arcsin
2 π
n 
g ( E )   π 
m

n,

π 2
Na
rys.6.6
jest
przedstawiony
En  n  E  En  n ;
(6.25)
En  n  E  En 1  n 1.
wykres
zależności gęstości stanów supersieci od
energii elektronu. Z tego wykresu widać, że w
obszarze
g ( E )  const ,
zabronionych
a
wewnątrz
minipasm
minipasm
dozwolonych funkcja gęstości stanów g (E )
powoli rośnie i na granice minipasma ma
nieskończoną pochodną.
Rys.6.6. Rozkład stanów elektronowych
supersieci. 2i - szerokość i - tego
dozwolonego minipasma
Koncentracja elektronów w układach niskowymiarowych
Gęstość stanów g (E ) określa ilość stanów elektronowych przypadających na
przedział energii ( E , E  dE ) w jednostce objętości (powierzchni, długości). Z drugiej strony
prawdopodobieństwo obsadzenia poziomu o energii E określa funkcja rozkładu FermiegoDiraca. A zatem koncentracja elektronów w układzie wynosi

n   g ( E ) f ( E )dE .
0
62
(6.26)
W przypadku układu trójwymiarowego funkcję gęstości stanów opisuje wzór (6.7). Po
podstawieniu (6.7) do (6.26) otrzymujemy
1  2m 
n  2  2 
2π   
3/ 2 
E
 1  exp E  μ / kT  dE
.
(6.27)
0
Wprowadzając bezwymiarowe wielkości
E / kT  ε,
dE  dε / kT,
μ / kT  η ,
(6.28)
ε
2
N C  F1 / 2 (η) ,
π
(6.29)
przepiszmy wzór (6.27)
1  2mkT 

n  2 
2π   2 
3/ 2 
 1  exp( ε  η) dε 
0
gdzie przez N C i F1 / 2 (η) oznaczyliśmy
1  2mkT 

N C  
4  π 2 
3/ 2
,
(6.30)

ε
dε .
1  exp( ε  η)
0
F1 / 2 (η)  
(6.31)
Wielkość N C nosi nazwę efektywnej gęstości stanów, a F1 / 2 (η) nazywa się całką Fermiego
rzędu 1/2.
Całkę Fermiego nie da się, niestety, wyrazić przez elementarne funkcje. Jednak
zależność F1 / 2 (η) i n(η) można opisać, dla różnych zakresów zmiany η , w bardzo dobrym
przybliżeniu przez proste funkcje. W zakresie zmian η :    η  1
π
exp( η) .
2
F1 / 2 (η) 
(6.32)
Skąd
1  2mkT 

n  N C exp η   
4  π 2 
3/ 2
exp(
μ
).
kT
(6.33)
To przybliżenie odpowiada klasycznej statystyce Boltzmanna, kiedy gaz elektronowy jest
niezwyrodniały (parametr zwyrodnienia η  μ / kT  1 ). Ze wzoru (6.33) dla potencjału
chemicznego (poziomu Fermiego) znajdujemy
63
  π2 3 / 2 
 n 
  kT ln 4   n .
μ  kT ln 
N
2m kT 
 C
 

(6.34)
W zakresie zmian η :  1  η  5
F1 / 2 (η) 
2 π
.
1  4 exp( η)
Skąd
n  4NC
1
.
1  4 exp(  E F / kT )
(6.35)
W zakresie zmian η : 5  η  
F1 / 2 (η) 
2 3/ 2
η .
3
A zatem
2
1  2m 
n(η)  N C η3 / 2  2  2 
3
3π   
3/ 2
μ3 / 2 ;
(6.36)
Skąd dla poziomu Fermiego EF  μ otrzymujemy wzór
EF  μ 
2/3
2

3π 2  n  .

2m
(6.37)
Wzór (6.37) odpowiada bardzo niskim temperaturom, kiedy gaz elektronowy jest silnie
zdegenerowany i prawie nie ma wzbudzonych powyżej poziomu Fermiego elektronów.
W przypadku układu dwuwymiarowego funkcję gęstości stanów określa wzór (6.13).
Po podstawieniu (6.13) do (6.26) znajdujemy

n
m
dE
 E  En 

2 
π n 0
1  exp E  μ  / kT 

m
1
.
 2   dE
π n E n 1  exp E  μ  / kT 
(6.38)
Tu założyliśmy, że Lz  1 .
Wprowadzając nową zmienną x  expμ  E  / kT  , dE  kTdx / x , ze wzoru (6.38)
otrzymujemy
mkT
n

π 2 n
exp[( E F  E n ) / kT ]

0
dx
mkT

 μ  En  

ln 1  exp 
 .
2 
x  1 π n 
 kT 
64
(6.39)
W zwykłych warunkach doświadczalnych obsadzenie podpasm En z n  1 jest znikomo małe
i wystarczy w (6.39) uwzględnić tylko pierwszy człon
n
mkT 
 μ  E1 
ln 1  exp 
 .
2
π
 kT 

(6.40)
Rozwiązując (6.40) dostajemy wzór na zależność położenia poziomu Fermiego (potencjału
chemicznego) od koncentracji n elektronów
  π 2  
EF  μ  E1  kT ln exp   n   1 .
  m kT  
(6.41)
Gdy E1  EF  kT elektrony podlegają statystyce klasycznej Boltzmanna. Mówimy, że gaz
elektronowy jest silnie zdegenerowany. Wtedy ze wzoru (6.41) otrzymujemy
  π 2  
EF  E1
 ln exp   n   1  1 .
kT
  m kT  
(6.42)
A to jest możliwe, kiedy
n 
mkT
.
π 2
(6.43)
Z uwzględnieniem (6.43) ze wzoru (6.41) znajdujemy
  π 2  
 π 2 
EF  E1  kT ln exp   n   1  kT ln   n  .
 m kT 
  m kT  
(6.44)
Skąd otrzymujemy wzór, który jest odpowiednikiem wzoru (6.33), opisującego przypadek
układu trójwymiarowego
n
mkT
 E  E1 
exp  F
.
2
π
 kT 
(6.45)
W przypadku silnej degeneracji gazu elektronowego EF  E1  kT drugi składnik w
(6.40) jest znacznie większy od jedynki i dla koncentracji elektronów otrzymujemy wzór
odpowiednik wzoru (6.36), opisującego przypadek układu trójwymiarowego
n
m
EF  E1  .
π 2
Skąd dla energii Fermiego mamy
65
(6.46)
EF  E1 
π 2
n.
m
(6.47)
A zatem w układzie dwuwymiarowym poziom Fermiego liniowo zależy od koncentracji n
elektronów. W trójwymiarowym układzie ze wzoru (6.37) wynika, że EF ~ n 2 / 3 .
W przypadku układu dwuwymiarowego warunek silnej degeneracji n  mkT / π 2 ,
wskutek mniejszej gęstości stanów niż w układzie trójwymiarowym, jest łatwiejszy do
zrealizowania nawet w temperaturach pokojowych. W przypadku układu trójwymiarowego

realizacja warunku silnej degeneracji n  mkT / π2

3/ 2
wymaga znacznych koncentracji
nośników oraz niskich temperatur.
Zadania do Wykładu 6
6.1. Ze wzoru (6.13) wynika, że funkcja gęstości stanów elektronowych g (E ) skokowo
zmienia się o m / Lz π 2 , kiedy energia elektronu E będzie przekraczała dno En kolejnego
podpasma.
Zakładając,
że
En  2 / 2m π / Lz  n2
2
udowodnić, że zależność funkcji gęstości
stanów od grubości błony Lz ma charakter
funkcji oscylującej, przedstawionej na rys.6.7.
Tu
W1 
Rys.6.7 Zależność funkcji gęstości stanów od
grubości błony Lz
π
2m E
- grubość błony, dla której dno najniższego podpasma pokrywa się z energią E .
Zwróćmy uwagę, że właśnie z oscylacjami funkcji gęstości stanów g ( Lz ) są związane
oscylacje termodynamicznych i kinetycznych charakterystyk błony przy zmianie jej grubości.
6.2. Wzór (6.7) otrzymaliśmy zakładając, że izoenergetyczne powierzchni są kulami.
Udowodnić, że w przypadku izoenergetycznych powierzchni o kształcie elipsoidy
2
 2  k x2 k y k z2 
E


,
2  mx my mz 
(6.48)
funkcja rozkładu gęstości stanów ma postać
g(E ) 
66
2mx my mz
π 2 3
E .
(6.49)
Wskazówka: w nowych zmiennych ( k x  mx k x/ ; k y  my k y/ ; k z  mz k z/ ) izoenergetyczna
powierzchnia staje się kulą.
6.3. Udowodnić, że w przypadku izoenergetycznej powierzchni (6.48) efektywną gęstość
stanów N C określa wzór
mx my mz  2kT 3 / 2
NC 
 ,

4 3
 π 
6.4. Wykazać, że w
(6.50)
przypadku silnie zdegenerowanego
gazu elektronowego
i
izoenergetycznej powierzchni (6.48) poziom Fermiego określa wzór
EF  μ 
2
2m m m

x

y

3π  n
2
 1/ 3
z
2/3
.
(6.51)
6.5. W układzie dwuwymiarowym izoenergetyczne powierzchni opisuje wzór
p 2y
px2
E  En     .
2mx 2my
(6.52)
Udowodnić, że gęstość stanów elektronowych opisuje funkcja
g(E ) 
mx my
π 2
 E  E  .
n
(6.53)
n
6.6. Wykazać, że w przypadku silnie zdegenerowanego gazu elektronowego układu
dwuwymiarowego poziom Fermiego jest związany z koncentracją elektronów n wzorem
E F  E1 
π 2
mx my
n.
(6.54)
6.7. Wyprowadzić wzór (6.16).
6.8. Udowodnić, że w przypadku gazu elektronowego niezwyrodniałego koncentrację
elektronów drutu kwantowego opisuje wzór
n
2mkT
 E  E11 
exp  F
 .
2
π
 kT 
(6.55)
6.9. Udowodnić, że w przypadku gazu elektronowego zwyrodniałego poziom Fermiego drutu
kwantowego określa wzór
EF  E11 
67
π 22 2
n .
8m
(6.56)