Rachunek prawdopodobieństwa II. Zadania

Leszek Słomiński
Rachunek prawdopodobieństwa II.
Zadania
Materiały dydaktyczne dla studentów matematyki przygotowane w ramach projektu
„IKS - Inwestycja w Kierunki Strategiczne na Wydziale Matematyki i Informatyki UMK"
Wydział Matematyki i Informatyki
Uniwersytet Mikołaja Kopernika
Toruń 2011
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Spis treści
Wstęp
5
1. Zmienne losowe i wektory losowe
7
1.1. Przykładowe zadania z rozwiązaniami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2. Zadania dodatkowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2. Warunkowa wartość oczekiwana i rozkłady warunkowe
15
2.1. Przykładowe zadania z rozwiązaniami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2. Zadania dodatkowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3. Ciągi niezależnych zmiennych losowych
21
3.1. Przykładowe zadania z rozwiązaniami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2. Zadania dodatkowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4. Zbieżność według rozkładu zmiennych losowych
27
4.1. Przykładowe zadania z rozwiązaniami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.2. Zadania dodatkowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Bibliografia
35
3
Wstęp
Materiały Rachunek prawdopodobieństwa II. Zadania zawierają kompletne rozwiązania
zadań ze skryptu Rachunek prawdopodobieństwa II. Ponadto znaleźć w nich można szereg
dodatkowych zadań przeznaczonych do samodzielnego rozwiązania.
Podobnie jak w skrypcie stosujemy następujace standardowe oznaczenia: N oznacza
zbiór liczb naturalnych, R zbiór liczb rzeczywistych, Rd d-krotny produkt liczb rzeczywistych, a AT oznacza macierz transponowaną do macierzy A.
5
Rozdział 1.
Zmienne losowe i wektory losowe
1.1. Przykładowe zadania z rozwiązaniami
Zad. 1.1. Niech X będzie zmienną losową o rozkładzie absolutnie ciągłym z gęstością
p(x). Jaki rozkład ma zmienna losowa Y = cX + d dla c, d ∈ R, c 6= 0.
Rozwiązanie. Wystarczy zastosować twierdzenie 1.5 dla funkcji f (x) = cx + d. W
tym przypadku f −1 (y) = (y − d)/c i stąd gęstość rozkładu Y jest postaci
g(y) = p(f −1 (y))|(f −1 )0 (y)| = p(
y−d 1
) ,
c |c|
y ∈ R.
Zad. 1.2. Pokazać, że jeżeli X jest zmienną losową o rozkładzie normalnym N (0, 1), to
Y = X 2 ma rozkład o gęstości
g(y) = √
1
y
exp(− )1(0,∞) (y),
2
2πy
y ∈ R+ .
Rozwiązanie, W tym przypadku nie możemy skorzystać z twierdzenia 1.5. Zauważmy, że dla y 6 0 mamy FY (y) =. Z kolei dla y > 0
√
√
√
√
√
FY (y) = P (X 2 6 y) = P (− y ≤ X ≤ y) = Φ( y) − Φ(− y) = 2Φ( y) − 1,
Ry
1 2
gdzie Φ(y) = −∞ √12π e− 2 x dx jest dystrybuantą standardowego rozkładu normalnego. W konsekwencji
1
1
y
√
g(y) = FY0 (y) = √ Φ0 ( y) = √
exp(− ),
y
2
2πy
y > 0.
Zad. 1.3. Podaj przykład zmiennych losowych nieskorelowamych, ale zależnych.
Rozwiązanie. Weźmy Ω = {ω1 , ω2 , ω3 , ω4 } z prawdopodobieństwem klasycznym
P ({ωi }) = 1/4. Niech


−1 ω = ω1 ,
X= 1
ω = ω2 ,


0
w przeciwnym razie,
7
8
Rozdział 1. Zmienne losowe i wektory losowe
oraz


−1 ω = ω3 ,
Y = 1
ω = ω4 ,


0
w przeciwnym razie.
Ponieważ 0 = EXY = EX = EY , więc X, Y są nieskorelowane. Z drugiej strony
P (X = 0, Y = 0) = 0 6=
1
1 1
= · = P (X = 0)P (Y = 0),
4
2 2
co pociąga, iż X, Y nie są niezależne.
Zad. 1.4. Niech X1 , ..., Xn będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie
dwupunktowym takim, że dla ustalonego p ∈ (0, 1)
P (Xi = 1) = p, P (Xi = 0) = 1 − p, i = 1, ..., n.
P
Zmienna losowa Sn = ni=1 Xi ma rozkład Bernoullego z parametrami n oraz p tzn.
n k
P (Sn = k) =
p (1 − p)n−k , k = 0, 1, ..., n.
k
Rozwiązanie. Zauważmy, że korzystając z niezależności ciągu X1 , ..., Xn dla każdego
k = 0, 1, ..., n
[
P (Sn = k) = P (
{Xi1 = 1, ..., Xik = 1, Xj1 = 0, ..., Xjn−k = 0})
16i1 <...<ik 6n
=
X
P (Xi1 = 1, ..., Xik = 1, Xj1 = 0, ..., Xjn−k = 0)
16i1 <...<ik 6n
=
X
P (Xi1 = 1)...P (Xik = 1)P (Xj1 = 0)...P (Xjn−k = 0)
16i1 <...<ik 6n
=
X
pk (1 − p)n−k
16i1 <...<ik 6n
gdzie {j1 , ..., jn−k } = {1, ..., n} \ {i1 , ..., ik }. Ostateczna konkluzja wynika z faktu, że
liczba składników w ostatniej sumie
jest równa liczbie podzbiorów k elementowych
n
zbioru n elementowego, a więc k .
Zad. 1.5. Rozkład łączny zmiennych losowych X, Y dany jest wzorem
c
P ((X, Y ) = (m, n)) = m+1 n , m, n ∈ N ∪ {0}
3
2
dla pewnego c > 0. (a) Wyznacz c. Znajdź rozkłady brzegowe X i Y . Czy są to
zmienne losowe niezależne? Czy są one nieskorelowane? (b)Wyznacz P (X = Y ),
wartość oczekiwaną i macierz kowariancji wektora (X, Y )T . (c) Wyznacz rozkład
zmiennej Z = X + Y .
Rozwiązanie. Ad. (a) Zauważmy, że
∞ X
∞
X
m=0 n=0
c
3m+1 2n
= c
∞
X
m=0
= c·2·
1
3m+1
∞
X
1
2n
n=0
1
= c,
2
Rozdział 1. Zmienne losowe i wektory losowe
9
co implikuje, iż c = 1. Ponadto dla każdego m ∈ N ∪ {0}
P (X = m) =
∞
X
n=0
1
=
2 1 m
·( )
3 3
=
1 1 n
·( ) ,
2 2
3m+1 2n
oraz dla każdego n ∈ N ∪ {0}
P (Y = n) =
∞
X
m=0
1
3m+1 2n
a więc X, Y mają przesunięte rozkłady geometryczne odpowiednio z parametrami
2
i 12 . Ponadto są one niezależne, gdyż dla wszystkich m, n ∈ N ∪ {0}
3
P (X = m, Y = n) =
1
3m+1 2n
=
1
3m+1
·
1
= P (X = m)P (Y = n)
2n
i jako niezależne są też oczywiście nieskorelowane.
Ad. (b) Korzystając z wiadomości dotyczących przesuniętego rozkładu geometrycznego
z części teoretycznej
1
E(X, Y )T = (EX, EY )T = ( , 1)T
2
oraz korzystając z nieskorelowania X, Y
Cov((X, Y )T )12 = Cov((X, Y )T )21 = 0.
Wykorzystując ponownie część teoretyczną
Cov((X, Y )T )11 = D2 (X) =
3
4
Ponadto
P (X = Y ) =
i Cov((X, Y )T )22 = D2 (Y ) = 2.
∞
X
m=0
1
3m+1 2m
2
= .
5
Ad. (c) Zmienna losowa Z przyjmuje wartości w zbiorze N ∪ {0}. Dla każdego k ∈
N ∪ {0}
P (Z = k) = P (X + Y = k) = P (
k
[
{X = i, Y = k − i})
i=0
=
k
X
P (X = i, Y = k − i) =
i=0
=
k
X
P (X = i)P (Y = k − i)
i=0
1 − ( 23 )k+1
.
2k
Zad. 1.6. Przedmiot można zaliczyć do pierwszego gatunku z prawdopodobieństwem p1 ,
do drugiego gatunku z prawdopodobieństwem p2 lub uznać za wadliwy z prawdopodobieństwem p3 = 1 − p1 − p2 . Przetestowano n przedmiotów. Wyznaczyć rozkład
10
Rozdział 1. Zmienne losowe i wektory losowe
prawdopodobieństwa różnych liczb przedmiotów pierwszego i drugiego gatunku, ich
wartości oczekiwane i kowariancję.
Rozwiązanie. Niech zmienna losowa X opisuje ilość przedmiotów pierwszego gatunku,
a Y ilość przedmiotów drugiego gatunku. Z treści zadania wynika, że
n n − k k l n−k
P ((X, Y ) = (k, l)) =
p1 p2 p3 ,
k
l
dla wszystkich k = 0, 1, ..., n oraz l = 0, 1, ..., n − k, gdzie p3 = 1 − p1 − p2 . Można
zauważyć, że dla wszystkich k = 0, ..., n
n−k X
n n − k k l n−k
n k
P (X = k) =
p1 p2 p3 =
p1 (1 − p1 )n−k ,
k
l
k
l=0
a więc X ma rozkład Bernoullego z parametrami n i p1 . Stąd EX = np1 . Podobnie
pokazujemy, że dla wszystkich l = 1, ..., n
n k
P (Y = l) =
p (1 − p2 )n−l ,
l 2
co pociąga, iż Y ma rozkład Bernoullego z parametrami n i p2 i implikuje, że EY =
np2 . Aby wyznaczeć kowariancję cov(X, Y ) musimy jeszcze wyliczyć EXY . W tym
celu zauważmy, że
EXY =
n X
n−k
X
k=0 l=0
n n − k k l n−k
kl
p1 p2 p3 = p1 p2 n(n − 1).
k
l
W konsekwencji
cov(X, Y ) = EXY − EXEY = p1 p2 n(n − 1) − np1 np2 = −np1 p2 .
X, Y są przykładem ujemnie skorelowanych zależnych zmiennych losowych.
Zad. 1.7. Dana jest funkcja
(
cxy
p(x, y) =
0
1 6 x 6 2, 2 6 y 6 4
w przeciwnym razie.
Wyznacz stała c tak, aby funkcja ta była gęstością rozkładu. Wyznacz w tym przypadku gęstości rozkładów brzegowych.
Rozwiązanie. Ponieważ
Z Z
Z 2 Z
cxy1[1,2] (x)1[2,4] (y)dxdy =
(
R
1
R
4
cxydy)dx = 9c,
2
a więc c = 91 . Wtedy
Z
p1 (x) =
R
1
2
xy1[1,2] (x)1[2,4] (y)dy = x1[1,2] (x)
9
3
Rozdział 1. Zmienne losowe i wektory losowe
oraz
Z
p2 (y) =
R
11
1
1
xy1[1,2] (x)1[2,4] (y)dx = y1[2,4] (y)
9
6
są gęstościami rozkładów brzegowych. Ponieważ p(x, y) = p1 (x)p2 (y) dla wszystkich
x, y ∈ R, więc rozważany rozkład jest produktem rozkładów brzegowych.
Zad. 1.8. Wektor (X, Y )T ma rozkład o gęstości
5
p(x, y) = 1(0,2x] (y)1(0,∞) (x)e−x−2y .
2
Znajdź gęstości brzegowe zmiennych X i Y oraz sprawdź, czy zmienne te są niezależne.
Rozwiązanie. Wystarczy zauważyć, że
Z
5
5
1(0,2x] (y)1(0,∞) (x)e−x−2y dy = (e−x − e−5x )1(0,∞) (x)
pX (x) =
4
R 2
oraz, że
Z
pY (y) =
R
5
5 3
1(0,2x] (y)1(0,∞) (x)e−x−2y dx = e− 2 y 1(0,∞) (y).
2
2
Ponieważ pX (x)pY (y) 6= p(x, y), więc X, Y nie są niezależnymi zmiennymi losowymi.
Zad. 1.9. Zmienne losowe X1 i X2 są niezależne i mają rozkłady absolutnie ciągłe o
gestościach odpowiednio równych p1 (x1 ), p2 (x2 ). Wyznacz gęstość zmiennej losowej
Z = aX1 + bX2 .
Rozwiązanie. Wykorzystamy twierdzenie 1.7 z części teoretycznej. Niech X̄ =
(X1 , X2 )T . Ponieważ X1 , X2 są niezależne X̄ ma rozkład absolutnie ciągły o gęstości
p(x1 , x2 ) = p1 (x1 )p2 (x2 ). Definiujemy odwzorowanie T : R2 → R2 , gdzie ȳ = T (x̄)
jest postaci y1 = ax1 + bx2 , y2 = x1 . Oczywiście T jest dyfeomorfizmem zbiorów
2
otwartych. T −1 = H jest postaci x1 = H1 (y1 , y2 ) = y2 , x2 = H2 (y1 , y2 ) = y1 −ay
.
b
1
Stąd wyznacznik macierzy Jacobiego jest postaci det DH = − b . W konsekwencji
gęstość rozkładu łącznego zmiennych losowych Y1 = aX1 +bX2 , Y2 = X1 jest postaci
g(y1 , y2 ) = p(y2 ,
y1 − ay2
1
y1 − ay2 1
)| − | = p1 (y2 )p2 (
) ,
b
b
b
|b|
a gęstość rozkładu zmiennej losowej Z = Y1 = aX1 + bX2 jest równa
Z
y1 − ay2 1
pZ (y1 ) =
p1 (y2 )p2 (
) dy2 .
b
|b|
R
Zad. 1.10. Niech X1 i X2 będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie
X1
jednostajnym na odcinku (0, 1). Znajdź gęstość zmiennej losowej Z = X
.
2
Rozwiązanie. Wykorzystamy ponownie twierdzenie 1.7 z części teoretycznej. Niech
X̄ = (X1 , X2 )T . Ponieważ X1 , X2 są niezależne X̄ ma rozkład absolutnie ciągły o
gęstości p(x1 , x2 ) = p1 (x1 )p2 (x2 ) = 1(0,1) (x1 )1(0,1) (x2 ). Definiujemy odwzorowanie
T : R2 → R2 , gdzie ȳ = T (x̄) jest postaci y1 = xx21 , y2 = x2 . W tym przypadku
12
Rozdział 1. Zmienne losowe i wektory losowe
T −1 = H jest postaci x1 = H1 (y1 , y2 ) = y1 y2 , x2 = H2 (y1 , y2 ) = y2 . Stąd wyznacznik macierzy Jacobiego jest równy det DH = y2 . Gęstość rozkładu łącznego
X1
, Y2 = X2 jest więc dana wzorem
zmiennych losowych Y1 = X
2
g(y1 , y2 ) = 1(0,1) (y1 y2 )1(0,1) (y2 )|y2 | = 1(0,1) (y1 )1(0,1/y1 ) (y2 )y2 ,
a gęstość rozkładu zmiennej losowej Z = Y1 =
X1
X2
jest dla y1 ∈ (0, 1) równa
Z
pZ (y1 ) =
Z
1(0,1) (y1 )1(0,1/y1 ) (y2 )y2 dy2 =
1
y1
y2 dy2 =
0
R
W konsekwencji pZ (y1 ) =
1
.
2y1 2
1
1 (y ).
2y1 2 (0,1) 1
1.2. Zadania dodatkowe
Zad. 1.11. Rozkład wektora (X, Y )T przedstawia tabelka
Y \X
1
−1
1
0
0, 5 0, 125
0, 375
0
(a) Znajdź rozkłady brzegowe X i Y . Czy zmienna X i Y są niezależne? Czy
są nieskorelowane? (b) Wyznacz P (X = Y ), wartość oczekiwaną i macierz kowariancji wektora (X, Y )T . (c) Podaj dystrybuantę wektora (X, Y )T i rozkład zmiennej
losowej Z = X + Y .
Zad. 1.12. Rozkład wektora (X, Y ) przedstawia tabelka
Y \X
2
4
6
1
2
3
4
0, 125 0, 25
0
0
0, 125
0
0, 125 0, 25
0
0
0, 125 05
(a) Znajdź rozkłady brzegowe X i Y . Czy zmienne losowe X i Y są niezależne? Czy są
nieskorelowane? (b) Wyznacz P (X = Y ), wartość oczekiwaną i macierz kowariancji
wektora (X, Y ). (c) Wyznacz rozkład zmiennej losowej Z = X + Y .
Zad. 1.13. Pokazać, że jeżeli X, Y mają rozkłady Bernoullego z odpowiednio z parametrami n1 , p ∈ (0, 1) i n2 , p ∈ (0, 1) i są niezależne, to X + Y też ma rozkład
Bernoullego z parametrami n1 + n2 , p.
Zad. 1.14. X, Y są niezależnymi zmiennymi losowymi, przy czym X ma rozkład Poissona z parametrem λ, a Y rozkład geometryczny z parametrem p, tzn. P (Y = k) =
(1 − p)k−1 p dla k = 1, 2, . . . . Obliczyć E[X 2 (−1)Y ].
Zad. 1.15. Rzucamy sześciokrotnie rzetelną kostką do gry. Jaka jest wartość oczekiwana
ilości rzutów, w których liczba wyrzuconych oczek jest równa numerowi rzutu ?
Rozdział 1. Zmienne losowe i wektory losowe
13
Zad. 1.16. Niech X1 , ..., Xn będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie wykładniczym z parametrem λ = 1. Znaleźć gęstość rozkładu zmiennych Y1 = maxi≤1≤n Xi ,
Y2 = mini≤1≤n Xi .
Zad. 1.17. Dana jest funkcja
(
p(x, y) =
− y 2 )e−x
1
(x2
8
0
|y| 6 x
w przeciwnym razie
Zbadać, czy tak określona funkcja jest gęstością pewnego wektora losowego (X, Y )T .
Wyznacz gęstości brzegowe.
Zad. 1.18. Funkcja F (x, y) jest określona wzorem:
(
1
x+y >0
F (x, y) =
0
w przeciwnym razie
Zbadać, czy tak określona funkcja może być traktowana jako dystrybuanta pewnego
wektora losowego (X, Y )T .
Zad. 1.19. Funkcja
(
e−y
p(x, y) =
0
0 6 x < ∞, x 6 y < ∞
w przeciwnym razie
jest gęstością rozkładu wektora losowego (X, Y ). Wyznacz jego dystrybuantę oraz
gęstości rozkładów brzegowych.
Zad. 1.20. Funkcja
(
p(x, y) =
√1
2 xy
0
0<x6y61
w przeciwnym razie
jest gęstością rozkładu wektora losowego (X, Y )T . Wyznacz jego dystrybuantę oraz
gęstości rozkładów brzegowych.
Zad. 1.21. Funkcja
(
0, 5 sin(x + y) 0 6 x 6 1/2π, 0 6 y 6 1/2π
p(x, y) =
0
w przeciwnym razie
określa rozkład wektora losowego (X, Y )T . Wyznacz jego dystrybuantę, wartość
oczekiwaną oraz macierz kowariancji.
Zad. 1.22. Podaj przykład dwóch wektorów losowych o różnych rozkładach łącznych,
które maja te same rozkłady brzegowe.
Zad. 1.23. Zmienne losowe X i Y są niezależne i mają rozkład normalny N (0, 1). Czy
zmienne losowe 2X + Y i X + 2Y są niezależne?
14
Rozdział 1. Zmienne losowe i wektory losowe
Zad. 1.24. Zmienne losowe X i Y są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie
jednostajnym na odcinku (0, 1). Oblicz wartość oczekiwaną zmiennej losowej
Z = exp |X − Y |.
Zad. 1.25. Zmienne losowe X i Y są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie
jednostajnym na odcinku (0, 2). Oblicz P (X 6 Y 2 ).
Zad. 1.26. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że pierwiastki równania
x2 + 2P x + Q = 0
są rzeczywiste, przy założeniu, że P i Q są niezależnymi zmiennymi losowymi o
rozkładach jednostajnych, odpowiednio, na odcinkach (−a, a) i (−b, b).
Zad. 1.27. Rozkład wektora (X, Y )T przedstawia tabelka
Y \X
1
−1
1
0
0, 5 0, 125
0, 375
0
Wyznacz rozkład wektora losowego (X − Y, X + 2Y )T .
Zad. 1.28. Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach, odpowiednio, geometrycznym z parametrem 1/2 i jednostajnym na odcinku [0, 2). Znajdź
rozkład zmiennej Z = [X + Y ].
Zad. 1.29. Niech X1 , X2 będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie
wykładniczym z parametrem λ. Wyznacz gęstość rozkładu wektora losowego
Ȳ = T (X̄) = (X1 − X2 , X2 )T .
Rozdział 2.
Warunkowa wartość oczekiwana i
rozkłady warunkowe
2.1. Przykładowe zadania z rozwiązaniami
Zad. 2.1. Niech X = 1A będzie zmienną losową na (Ω, F, P ), niech też B ∈ F. Oznaczmy
G = σ(B). Wyznacz E(X|G).
Rozwiązanie. σ-algebra G jest generowana przez rozbicie B, B c . W konsekwencji
E(X|G) = E(1A |B)1B + E(1A |B c )1B c = P (A|B)1B + P (A|B c )1cB .
Zad. 2.2. Niech rozkład wektora (X, Y ) będzie dany tabelką:
X\Y
-1
1
0
1
2
1/4 1/4 0
0 1/4 1/4
Jaka jest E(X|Y )?.
Rozwiązanie. Ponieważ Y przyjmuje tylko dwie wartości możemy skorzystać z
definicji warunkowej wartości oczekiwanej gdy σ-algebra generowana jest przez rozbicie. W naszym przypadku składa się ono z dwóch zbiorów {Y = −1} i {Y = 1}.
Dlatego
E(X|Y ) = E(X|Y = −1)1{Y =−1} + E(X|Y = 1)1{Y =1}
Z
Z
1
1
=
X dP 1{Y =−1} +
X dP 1{Y =1}
P (Y = −1) {Y =−1}
P (Y = 1) {Y =1}
1
1
1
1
= 2(0 · + 1 · + 2 · 0)1{Y =−1} + 2(0 · + 1 · 0 + 2 · )1{Y =1}
4
4
4
4
1
=
1{Y =−1} + 1{Y =1} .
2
Zad. 2.3. Niech {Xn } będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o tym samym
rozkładzie, a N niech będzie zmienną losową o wartościach w N ∪ {0} niezależną od
{Xn }. Niech też
SN = X1 + X2 + ... + XN .
15
16
Rozdział 2. Warunkowa wartość oczekiwana i rozkłady warunkowe
Pokazać, że jeżeli EX12 < +∞ oraz EN 2 < +∞, to
D2 (SN |N ) = N D2 (X1 ).
Rozwiązanie. W przykładzie 2.1 pokazaliśmy, że E(SN |N ) = N E(X1 ). Korzystając bezpośrednio z definicji warunkowej wartości oczekiwanej w przypadku σ-algebry
generowanej przez rozbicie i wykorzystując fakt, iż wariancja sumy niezależnych zmiennych losowych równa się sumie ich wariancji
D2 (SN |N ) = E((SN − E(SN |N ))2 |N ) =
∞
X
E((SN − E(X1 )N )2 |N = i)1{N =i}
i=0
=
∞
X
2
E((Si − E(X1 )i) |N = i)1{N =i} =
∞
X
i=0
=
∞
X
E(Si − E(X1 )i)2 1{N =i}
i=0
D2 (Si )1{N =i} =
i=0
2
∞
X
iD2 (X1 )1{N =i}
i=0
= D (X1 )N.
Zad. 2.4. Niech zmienna losowa Y ma rozkład Poissona z parametrem λ > 0, a PX|Y =n ,
n ∈ N∪{0} mają rozkłady Bernoullego dla n prób ze stałym prawdopodobieństwem
sukcesu p ∈ (0, 1). Wyliczyć rozkład zmiennej losowej X oraz E(X|Y ).
Rozwiązanie. Zauważmy, że dla każdego k ∈ N ∪ {0}
P (X = k) =
∞
X
P (X = k|Y = n)P (Y = n)
n=k
∞ X
n k
λn
=
p (1 − p)n−k e−λ
n!
k
n=k
∞
(λp)k −λ X [λ(1 − p)]n−k
=
e
k!
(n − k)!
n=k
=
(λp)k −λ λ(1−p) (λp)k −λp
e e
=
e .
k!
k!
Stąd X ma rozkład Poissona z parametrem pλ. Ponadto
E(X|Y ) =
∞
X
E(X|Y = n)1{Y =n} =
n=0
∞
X
np1{Y =n} = n Y,
n=0
gdzie skorzystaliśmy z faktu, że wartość oczekiwana zmiennej losowej o rozkładzie
Bernoullego z parametrami n i p ∈ (0, 1) wynosi np (patrz Przykład 1.2).
Zad. 2.5. Niech X1 , ..., Xn będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie
dwupunktowym takim, że dla ustalonego p ∈ (0, 1)
P (Xi = 1) = p,
P (Xi = 0) = 1 − p,
i = 1, ..., n.
Rozdział 2. Warunkowa wartość oczekiwana i rozkłady warunkowe
Niech też Sn =
Pn
i=1
17
Xi k. Pokazać, że
E(X1 |Sn = k) =
k
,
n
k = 0, 1, ..., n.
Rozwiązanie. Z poprzednich rozważań wiemy, że Sn ma rozkład Bernoullego z
parametrami n, p. Dlatego
E(X1 |Sn = k) = 1 · P (X1 = 1|Sn = k) + 0 · P (X1 = 0|Sn = k)
P (X1 = 1, Sn = k)
=
P (Sn = k)
P (X1 = 1)P (X2 + ... + Xn = k − 1)
=
P (Sn = k)
n−1 k−1
p k−1 p (1 − p)n−1−(k−1)
=
n k
p (1 − p)n−k
k
k
=
,
n
gdzie wykorzystaliśmy fakt, że X2 + ... + Xn ma rozkład Bernoullego z parametrami
n − 1 i p.
Zad. 2.6. Wektor (X, Y )T ma rozkład absolutnie ciągły z gęstością
p(x, y) = (x2 + 2y 2 )1(0,1) (x)1(0,1) (y).
Wyznacz gęstość warunkową fX|Y (x|y) oraz E(X|Y ).
Rozwiązanie. Zauważmy najpierw, że Y ma rozkład absolutnie ciągły o gęstości
Z
pY (y) =
(x2 + 2y 2 )1(0,1) (x)1(0,1) (y)dx
ZR1
1
=
(x2 + 2y 2 )1(0,1) (y)dx = ( + 2y 2 )1(0,1) (y).
3
0
Stąd dla y ∈ (0, 1)
pX|Y (x|y) =
(x2 + 2y 2 )1(0,1) (x)
p(x, y)
=
.
1
2
PY (y)
+
2y
3
W konsekwencji dla y ∈ (0, 1)
Z
E(X|Y = y) =
Z
xpX|Y (x|y)dx =
x
0
R
1
x2 + 2y 2
dx =
1
+ 2y 2
3
co pociąga, iż
E(X|Y ) =
1
4
1
3
+ 2Y 2
.
+ 2Y 2
1
4
1
3
+ 2y 2
,
+ 2y 2
18
Rozdział 2. Warunkowa wartość oczekiwana i rozkłady warunkowe
Zad. 2.7. Niech gęstości rozkładu zmiennej losowej X i rozkładu warunkowego będą
postaci pX (x) = 1(0,1) (x), pY |X (y|x) = x1 1(0,x) (y) dla x ∈ (0, 1). Wyliczyć: (a)
E(Y |X), (b) E(X|Y ).
Rozwiązanie. Ad. (a) Ponieważ dla x ∈ (0, 1)
Z
E(Y |X = x) =
Z
ypY |X (y|x)dy =
0
R
więc E(Y |X) =
x
1
x
y dy = ,
x
2
X
.
2
Ad.(b) Zauważmy, że w tym przypadku gęstość rozkładu łącznego jest postaci
1
1(0,x) (y)1(0,1) (x).
x
p(x, y) = pY |X (y|x)pX (x) =
Stąd dla y ∈ (0, 1)
1
Z
Z
p(x, y)dx =
pY (y) =
R
y
1
dx = − ln y
x
oraz
pX|Y (x|y) =
1
1
1(0,x) (y)1(0,1) (x)
1(y,1) (x)1(0,1) (y)
p(x, y)
= x
= x
.
pY (y)
− ln y
− ln y
W konsekwencji dla y ∈ (0, 1)
Z
Z
R
co pociąga, iż E(X|Y ) =
1
x
xpX|Y (x|y)dx =
E(X|Y = y) =
y
1 1
y−1
dx =
,
x − ln y
ln y
Y −1
.
ln Y
Zad. 2.8. Niech X, Y będą niezależnymi całkowalnymi zmiennymi losowymi o tym samym
rozkładzie. Uzasadnić, że
E(X|X + Y ) = E(Y |X + Y ) =
X +Y
.
2
Rozwiązanie. Niech z ∈ R. Korzystając z symetrii
E(X|X + Y = z) = E(Y |X + Y = z).
Ponadto
E(X|X + Y = z) + E(Y |X + Y = z) = E(X + Y |X + Y = z) = z,
co pociąga, iż E(X|X + Y = z) = E(Y |X + Y = z) = z2 . Teza wynika z dowolności
z ∈ R.
Rozdział 2. Warunkowa wartość oczekiwana i rozkłady warunkowe
19
2.2. Zadania dodatkowe
Zad. 2.9. Rozkład wektora (X, Y )T przedstawia tabelka
Y \X
0
2
1
0, 2
0, 1
3
0, 3
4
Wyznacz rozkład zmiennej X pod warunkiem Y oraz E(X|Y ).
Zad. 2.10. Wektor (X, Y )T ma rozkład o gęstości p(x, y) = (x + y)1(0,1) (x)1(0,1) (y).
Znajdź: (a) gęstości zmiennych X i Y i sprawdź, czy są niezależne, (b) rozkłady
warunkowe PX|Y =1/2 , PY |X=1/4 oraz gęstości warunkowe pX|Y (x|y), pY |X (y|x), (c)
warunkowe wartości oczekiwane E(X|Y ), E(X 2 |Y ).
Zad. 2.11. Rzucamy trzy razy symetryczna monetą, niech X oznacza liczbę reszek. Znajdź warunkową wartość oczekiwaną zmiennej X pod warunkiem, że wyrzucono co
najwyżej 1 orła.
Zad. 2.12. Rzucamy dwiema kostkami do gry. Niech U oznacza minimum, a V maximum
otrzymanych liczb. Wyznacz P (U 6 3|V = 4) oraz E(U |V ).
Zad. 2.13. Rzucamy 10 razy symetryczną monetą. Niech X oznacza liczbę orłów, a Y
liczbę orłów w pierwszych 4 rzutach. Wyznacz E(X|Y ).
Zad. 2.14. Niech X < Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi, f, g : R → R funkcjami borelowskimi takimi, że f (X), g(Y ) są całkowalne. Uzasadnić, że
E(f (X)g(Y )|X) = f (X)Eg(Y ).
Zad. 2.15. Gęstość rozkładu wektora (X, Y )T dana jest wzorem
1
p(x, y) = 1(0,2) (x)1(0,2) (x − y).
4
Wyznacz py|x (y|x), P (|Y | < 1|X = 1) i E(Y |X).
Zad. 2.16. Rozkład wektora losowego (X, Y )T ma gęstość
p(x, y) = 4xye−(x
2 +y 2 )
1(0,∞) (x) 1(0,∞) (y).
Wyznacz pX|Y (x|y) i pY |X (y|x).
Zad. 2.17. Wektor (X1 , X2 )T ma rozkład o gęstości
24(1 − x2 )x1 gdy 0 < x1 6 x2 < 1,
p(x1 , x2 ) =
0
w przeciwnym wypadku,
Znajdź: (a) prawdopodobieństwo warunkowe P (X1 6 31 |X2 = 23 ), oraz gęstość
warunkową pX1 |X2 (x1 |x2 ), (b) warunkowe wartości oczekiwane E(X1 |X2 ), E(X1 X2 |X2 ).
20
Rozdział 2. Warunkowa wartość oczekiwana i rozkłady warunkowe
Zad. 2.18. Wektor (X1 , X2 )T ma rozkład absolutnie ciągły o gęstości
p(x1 , x2 ) = 6x1 x2 (2 − x1 − x2 )1(0,1) (x1 )1(0,1) (x2 ).
Znajdź: (a) gęstość warunkową pX1 |X2 (x1 |x2 ), (b) warunkową wartość oczekiwaną
E(X12 X2 |X2 ).
Zad. 2.19. Wektor (X1 , X2 )T ma rozkład o gęstości
c(x2 − x1 )x1 gdy 0 < x1 6 x2 < 1,
p(x1 , x2 ) =
0
w przeciwnym wypadku,
Znajdź: (a) wartość c, gęstość warunkową pX1 |X2 (x1 |x2 ), (b) warunkowe wartości
oczekiwane E(X12 |X2 ), E(X12 X2 |X2 ).
Zad. 2.20. Wektor (X1 , X2 )T ma rozkład o gęstości
3
gdy x1 > x22 > 1,
x21 x22
p(x1 , x2 ) =
0
w przeciwnym wypadku,
Znajdź: (a) gęstość warunkową pX1 |X2 (x1 |x2 ) oraz prawdopodobieństwo
warunkowe
√
P (X1 6 9|X2 = 2), (b) warunkową wartość oczekiwaną E( X1 sin X2 |X2 ).
Zad. 2.21. Niech zmienne losowe U i V mają gęstość łączną
p(u, v) = e−v ,
0 < u < v < ∞.
Wyznacz pU |V (u|v), pV |U (v|u) oraz E(U |V ).
Zad. 2.22. Niech X, Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie
jednostajnym na (0, 1). Znaleźć rozkład warunkowy U = min(X, Y ) względem V =
max(X, Y ).
Rozdział 3.
Ciągi niezależnych zmiennych losowych
3.1. Przykładowe zadania z rozwiązaniami
Zad. 3.1. Niech Xn będzie zmienną losową o rozkładzie
P (Xn = 0) = e−n ,
P (Xn = 1) = 1 − 3e−n ,
P (Xn = 2) = 2e−n ,
n > 2.
Zbadaj zbieżność ciągu {Xn } wg prawdopodobieństwa i P -prawie wszędzie.
Rozwiązanie. Przewidujemy, że możliwą granicą jest zmienna losowa X = 1.
Ponieważ
(
0
jeżeli > 1
P (|Xn − 1| > ) =
−n
3e
jeżeli 0 < < 1,
P
→ 1. W celu uzasadnienia
więc P (|Xn − 1| > ) → 0 i bezpośrednio z definicji Xn −
zbieżności P -p.w. zauważmy najpierw, że dla każdego > 0
(
∞
X
0
jeżeli > 1
P (|Xn − 1| > ) =
P∞ −n
3 n=2 e
jeżeli 0 < < 1,
n=2
jest szeregiem zbieżnym, co pociąga w szególności, iż
lim
∞
X
k→∞
P (|Xn − 1| > ) = 0.
n=k
W konsekwencji dla każdego > 0
P (sup |Xn − 1| > ) = P (
n>k
∞
[
{|Xn − 1| > }) 6
n=k
∞
X
P (|Xn − 1| > ) → 0,
n=k
co jest jednym z równoważnych warunków zbieżności Xn → 1 P -p.w.
Zad. 3.2. Niech X1 , X2 , ... będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o tym samym
rozkładzie jednostajnym na (0, 1). Uzasadnić, że ciąg
Yn = min(X1 , X2 , ..., Xn ),
21
n∈N
22
Rozdział 3. Ciągi niezależnych zmiennych losowych
jest zbieżny według prawdopodobieństwa do 0.
Rozwiązanie. Niech > 0. Wykorzystując niezależność ciągu zmiennych losowych
mamy
P (Yn > ) = P (X1 > , ..., Xn > ) = P (X1 > ) · ... · P (Xn > )
= [max(0, 1 − )]n → 0.
Zad. 3.3. Udowodnij nierówność Czebyszewa mówiącą, że dla dowolnej zmiennej losowej
Y o skończonej wariancji i dowolnego > 0 zachodzi oszacowanie
P (|Y − EY | > ) 6 D2 (Y )2 .
Rozwiązanie. Wystarczy zauważyć, że
2 P (|Y − EY | > ) 6 E1{|Y −EY |>} (Y − EY )2 6 E(YE Y )2 = D2 (Y ).
Zad. 3.4. Udowodnij lemat Borela-Cantellego, który mówi, że dla dowolnego ciągu zdarzeń A1 , A2 , ... na (Ω, F, P )
∞
X
P (An ) < +∞
⇒
P (lim sup An ) = 0.
n→∞
n=1
T
S∞
Rozwiązanie. Ponieważ A = lim supn→∞ An = ∞
n=1
k=n Ak , więc dla każdego
n∈N
∞
∞
[
X
P (A) 6 P (
Ak ) 6
P (Ak ).
k=n
k=n
P∞
Ponieważ k=n P (Ak ) → 0 przy n → ∞ jako reszta zbieżnego szeregu liczbowego,
więc P (A) = 0.
Zad. 3.5. Niech {Xn }, {Yn } będą ciągami niezależnych zmiennych losowych takich, że
dla każdego n ∈ N zmienna losowa Xn ma rozkład jednostajny na przedziale (0, n1 ),
a Yn ma rozkład
P wykładniczy
P∞ z parametrem
P∞ Xn Y1.n Zbadaj zbieżność prawie wszędzie
Xn
szeregów (a) ∞
,
Y
(b)
przy dodatkowym założeniu wzan=1 n
n=1 n
n=1
n
jemnej niezależności ciągów {Xn } i {Yn }.
P
Xn
Rozwiązanie. Ad. (a) Szereg ∞
n=1 n jest zbieżny P -p.w.. Wynika to z twierdzenia
o dwóch szeregach i faktu, że
∞
X
∞
∞
Xn X 1 1
1X 1
E
=
=
< +∞
2
n
n
2n
2
n
n=1
n=1
n=1
oraz
∞
X
∞
∞
X 1 1 1
Xn
1 X 1
D ( )=
=
< +∞.
n
n2 12 n2
12 n=1 n4
n=1
n=1
P
Z kolei drugi szereg ∞
n=1 Yn jest rozbieżny. Wynika to z twierdzenia Kołmogorowa
o trzech szeregach. Istotnie, dla każdego c > 0
∞
X
n=1
2
P (|Yn | > c) =
∞
X
n=1
P (Yn > c) =
∞
X
n=1
e−c = +∞.
Rozdział 3. Ciągi niezależnych zmiennych losowych
23
Ad. (b) Z twierdzenia Kołmogorowa o dwóch szeregach wynika, że rozważany szereg
jest zbieżny P -p.w. W tym celu wystarczy zauważyć, że
∞
∞
X
∞
∞
1X 1
Xn Yn X EXn EYn X 1 1
=
=
·
·1=
E
< +∞
n
n
n 2n
2 n=1 n2
n=1
n=1
n=1
oraz
∞
∞
X
Xn Yn 2 X EXn2 EYn2
Xn Yn
) 6
E(
) =
D (
n
n
n2
n=1
n=1
n=1
∞
X
2
∞
∞
X
1
1
1
2X 1
=
·(
+
)·2=
< +∞.
n2 12n2 4n2
3 n=1 n4
n=1
Zad. 3.6. Niech Y1 , Y2 , ... będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o tym samym
rozkładzie dwupunktowym
1
P (Yn = −1) = P (Yn = 1) = ,
2
n ∈ N.
P∞
Szereg P
n=1 an Yn jest zbieżny P -p.w. wtedy i tylko wtedy, gdy jest zbieżny szereg
2
liczbowy ∞
n=1 an .
Rozwiązanie. Załóżmy najpierw zbieżność szeregu liczbowego. Ponieważ EYn = 0,
D2 (Yn )=1, więc
∞
X
Ean Yn = 0 oraz
∞
X
2
D (an Yn ) =
n=1
n=1
∞
X
a2n < +∞
n=1
i zbieżność szeregu zmiennych losowych wynika z twierdzenia o dwóch szeregach.
Z kolei, jeżeli jest zbieżny szereg zmiennych losowych, to wykorzystując twierdzenie
Kołmogorowa o trzech szeregach istnieje c > 0 takie, że
∞
X
P (|an Yn | > c) < +∞.
n=1
Ponieważ |Yn | = 1 oznacza to zbieżność szeregu o składnikach 0 lub 1
∞
X
P (|an | > c),
n=1
która może mieć miejsce tylko w przypadku, gdy istnieje N takie, że dla wszystkich
n > N |an | 6 c. Korzystając ponownie z twierdzenia Kołmogorowa
∞
X
n=N
a2n
=
∞
X
D2 (an Yn ) < +∞,
n=N
co oczywiście zapewnia zbieżnośc całego szeregu.
24
Rozdział 3. Ciągi niezależnych zmiennych losowych
Zad. 3.7. Niech X1 , X2 , ... będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o tym samym
rozkładzie zadanym przez gęstość
3
1(1/2,3/2) (x).
4x2
Wyznacz granicę prawie wszędzie ciągu zmiennych losowych
p(x) =
Yn = (X1 X2 · ... · Xn )1/n ,
n ∈ N.
Rozwiązanie. Oczywiście
ln X1 + ... + ln Xn
, n ∈ N.
n
Zauważmy, że E| ln X1 | < +∞ gdyż ln X1 jest zmienną losową ograniczoną. Ponadto
wykorzystując całkowanie przez części
Z 3/2
Z 3/2
3
3 ln x 3/2
3
E ln X1 =
ln x 2 dx = −
|1/2 +
dx
2
4x
4 x
1/2 4x
1/2
√
3 3 1
= − + ln + 1 = 1 − ln 2 3.
2 2 2
Z mocnego prawa wielkich liczb Kołmogorowa wynika, że
√
ln Yn → 1 − ln 2 3 P -p.w.
ln Yn =
Stąd wnioskujemy, że
Yn → e1−ln 2
√
3
P -p.w.
Zad. 3.8. Pokazać, że
Z
1
Z
lim
n→∞
1
Z
...
0
0
0
1
1
x31 + x32 + ... + x3n
dx1 dx2 ...dxn = .
x1 + x2 + ...xn
2
Rozwiązanie. Niech X1 , X2 , ... będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych
o tym samym rozkładzie jednostajnym na (0, 1). Z mocnego prawa wielkich liczb
Kołmogorowa
X 3 +X 3 +...+X 3
1
n
1
2
X 3 + X23 + ... + Xn3
EX13
1
Yn = 1
= X1 +X2n+...Xn →
= 41 = P -p.w.,
X1 + X2 + ...Xn
EX1
2
2
n
R
1
gdyż EX1 = 21 oraz EX13 = 0 x3 dx = 14 . Z drugiej strony z twierdzenia o zmianie
miary dla wektorów losowych dla każdego n ∈ N
Z 1Z 1 Z 1 3
X 3 + X23 + ... + Xn3
x1 + x32 + ... + x3n
...
dx1 dx2 ...dxn = E 1
= EYn .
x1 + x2 + ...xn
X1 + X2 + ...Xn
0
0
0
Aby zakończyć dowód wystarczy pokazać, że EYn → 21 . W tym celu zastosujemy
twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności zmajoryzowanej. Istotnie, ponieważ Yn → 12
P -p.w. oraz dla każdego n ∈ N
0 < Yn =
więc EYn → 21 .
X13 + X23 + ... + Xn3
< 1,
X1 + X2 + ...Xn
Rozdział 3. Ciągi niezależnych zmiennych losowych
25
3.2. Zadania dodatkowe
Zad. 3.9. Niech Xn będzie zmienną losową o rozkładzie wykładniczym z parametrem
λn = 1/n oraz
Yn = en 1[n2 ,+∞) (Xn ),
n ∈ N.
Zbadaj zbieżność ciągu {Yn } według prawdopodobieństwa i prawie wszędzie.
Zad. 3.10. Niech {Xn } będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o jednakowym
rozkładzie jednostajnym na odcinku (−1, 1). Udowodnij, że szereg
∞
X
sin(2πXn )
n=1
n
jest prawie wszędzie zbieżny.
Zad. P
3.11. Zbadaj zbieżność prawie wszędzie szeregu niezależnych zmiennych losowych
∞
2
n=1 Xn w przypadku, gdy (a) P (Xn = 1/n) = 1/n, P (Xn = 1/n ) = 1 − 1/n (b)
P (Xn = 1) = 1/n, P (Xn = 1/n2 ) = 1 − 1/n.
Zad. 3.12. Niech {Xn } będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o rozkładach
absolutnie ciągłych z gęstościami równymi odpowiednio pn (x) = 2n2 x1(0, 1 ) (x),
n
P
n ∈ N. Zbadaj zbieżność szeregu ∞
n=1 Xn .
Zad. 3.13. Niech X1 , X2 , ... będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie
jednostajnym na odcinku (0, π). Zbadaj zbieżność P -p.w. ciągu
Pn
Xk
.
Yn = Pn k=1
k=1 sin Xk
Zad. 3.14. Niech X1 , X2 , ... będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie
N (1, 4). Znajdź granicę prawie wszędzie ciągu
Yn =
X1 + ... + Xn
.
X12 + ... + Xn2
Zad. 3.15. Niech X1 , X2 , ..., Xn , .. będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o
rozkładach wykładniczych z parametrami
odpowiednio
1, 2, ..., n, .... Zbadaj zbieżność
P
P∞ Xn
prawie wszędzie szeregu (a) ∞
X
(b)
.
n
n=1
n=1 n
Zad. 3.16. Niech X1 , X2 , X3 , . . . będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie jednostajnym na przedziale (− π2 , π2 ). Zbadać zbieżność prawie wszędzie ciągów
Pn
2
√
n
Zn
k=1 (Xk + 1)
√
,
V
=
Yn = P
, Zn = Pn
U
=
nZn .
n
n
n
2
n
k=1 cos Xk
k=1 (Xk + 1)
Zad. 3.17. Niech {Xn }n>2 będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych rozkładzie
1
2
P (Xn = −n4 ) = P (Xn = n4 = 2 ), P (Xn = 0) = 1 − 2 .
n
n
P∞
Udowodnij, że szereg n=1 Xn jest prawie wszędzie zbieżny pomimo, że szereg wariancji Xn jest rozbieżny.
26
Rozdział 3. Ciągi niezależnych zmiennych losowych
Zad. 3.18. Niech X1 , X2 , ... będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o tym samym
rozkładzie
wykładniczym
P
P∞ Xnz parametrem 1. Zbadaj zbieżność prawie wszędzie szeregu
Xn
(a) ∞
(b)
n=1 n2
n=1 n .
Zad. 3.19. Niech {Xn } będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o rozkładach
N (0, 1). Oblicz granicę prawie wszędzie i według prawdopodobieństwa
X12 + ... + Xn2
lim
.
n→∞
n
Zad. 3.20. {Xn } jest ciągiem zmiennych losowych takim, że Xn ma rozkład Poissona z
P
parametrem n, n ∈ N. Pokazać, że Xnn −
→ 1.
Zad. 3.21. Niech {Xn } będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o rozkładach
wykładniczych z parametrem λ = 1. Zbadać zbieżność ciągu
Pn
e−Xk
.
Yn = Pk=1
n
k=1 Xk
Zad. 3.22. Niech {Xn } będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o rozkładach
jednostajnych na przedziale (−1, 1). Zbadać zbieżność ciągu
Pn
(X2k−1 − X2k )2
Yn = k=1Pn
.
k=1 (Xk )
Zad. 3.23. Niech X1 , X2 , X3 , . . . będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o rozkładach
U (− π2 , π2 ). Zbadać zbieżność prawie wszędzie ciągu
Pn
2
k=1 (Xk + 1)
.
Yn = P
n
k=1 cos Xk
Zad. 3.24. Niech {Xn } będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie jednostajnym na (−4, 4). Zbadaj zbieżność prawie wszędzie ciągów zmiennych losowych
X 2 +X 2 +...+Xn2
X 2 +X 2 +...+X 2
}, {Zn = X14 +X24 +...+Xn4 }.
i znajdź ich granice: {Yn = 1 2n
1
2
n
Zad. 3.25. Niech {Xn } będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o rozkładach
jednostajnych na przedziale (0, 1). Zbadać zbieżność ciągu
Yn = (X1 X2 · ... · Xn )1/n .
Rozdział 4.
Zbieżność według rozkładu zmiennych
losowych
4.1. Przykładowe zadania z rozwiązaniami
D
P
P
D
Zad. 4.1. Pokazać, że jeżeli Xn −
→ X, Yn −
→ 0, to (a) Yn Xn −
→ 0, (b) Yn + Xn −
→ X.
Rozwiązanie. Ad. (a) Niech > 0. Musimy pokazać, że
P (|Yn Xn | > ) → 0.
W tym celu zauważmy najpierw, że ciąg rozkładów zmiennych losowych Xn jest
słabo zbieżny, a więc jest jędrny tzn. dla każdego δ > 0 istnieje K > 0 takie, że
supn P (|Xn | > K) 6 δ. Dlatego
P (|Yn Xn | > ) = P (|Yn Xn | > , |Xn | 6 K)P (|Yn Xn | > , |Xn | > K)
6 P (|Yn | > ) + P (|Xn | > K) 6 P (|Yn | > ) + δ
K
K
i w konsekwencji dla każdego δ > 0
lim sup P (|Yn Xn | > ) 6 δ.
n→∞
Stąd limn→∞ P (|Yn Xn | > ) = 0.
Ad. (b) Wykorzystamy charakteryzację zbieżności według rozkładu za pomocą funkcji
charakterystycznych. Ponieważ
ϕXn (t) = EeitXn → ϕX (t),
t∈R
oraz z twierdzenia Lebesgue’a o zbieżności zmajoryzowanej
|ϕYn +Xn (t) − ϕXn (t)| = |Eeit(Yn +Xn ) − EeitXn | = |EeitXn (eitYn − 1)|
6 E|eitXn ||(eitYn − 1)| 6 E|eitYn − 1| → 0,
więc równieź ϕYn +Xn (t) → ϕX (t), t ∈ R.
27
28
Rozdział 4. Zbieżność według rozkładu zmiennych losowych
Zad. 4.2. Niech {an }, {bn } będą ciągami liczbowymi takimi, że an → a, bn → b. Jeżeli
D
D
Xn −
→ X, to an Xn + bn −
→ aX + b.
D
Rozwiązanie. Wiemy z części teoretycznej, że jeżeli Xn −
→ X, to dla dowolnej
D
funkcji ciągłej g : R → R również g(Xn ) −
→ g(X). Biorąc g(x) = ax+b otrzymujemy
D
stąd, że aXn + b −
→ aX + b. Zauważmy, że
an Xn + bn = Yn + aXn + b,
gdzie Yn = (an −a)Xn +bn −b, n ∈ N. Korzystając z części (a) poprzedniego zadania
P
D
otrzymujemy, że Yn −
→ 0. Stosując potem część (b) wnioskujemy, że an Xn + bn −
→
aX + b
Zad. 4.3. Zbadać zbieżność według rozkładu ciągu X1 , X2 , · · · , gdzie
1
P (Xn = n) = P (Xn = −n) = ,
2
n ∈ N.
Rozwiązanie. Ponieważ dla każdego K > 0 istnieje takie N , że dla wszystkich
n > N P (Xn ∈ (−K, K]) = 0, więc ciąg rozkładów zmiennych losowych X1 , X2 , ...
nie może być jędrny. Ciąg X1 , X2 , ... nie może więc być zbieżny według rozkładu.
Zad. 4.4. Niech X1 , X2 , ... będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o tym samym
rozkładzie jednostajnym na (0, 1). Uzasadnić, że ciąg
Yn = n min(X1 , X2 , ..., Xn ),
n∈N
jest zbieżny według rozkładu do rozkładu wykładniczego z parametrem λ = 1.
Rozwiązanie. Zmienne losowe Yn przyjmują wartości dodatnie, więc można ograniczyć badanie ich dystrybuant dla dodatnich argumentów. Niech a > 0. Niech też
n > a. Zauważmy, że dzięki niezależności
a
a
a
a
P (Yn > a) = P (X1 > , ..., Xn > ) = P (X1 > ) · ... · P (Xn > )
n
n
n
n
a n
−a
= (1 − ) → e ,
n
co pociąga, iż FYn (a) → Fµ (a), a ∈ R gdzie µ jest rozkładem wykładniczym z
parametrem λ = 1.
Zad. 4.5. Niech X1 , X2 , ... będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o tym samym
rozkładzie jednostajnym na (0, 1). Uzasadnić, że ciąg
Yn = max(X1 , X2 , ..., Xn ),
n∈N
jest zbieżny według prawdopodobieństwa do 0.
Rozwiązanie. Niech a > 0. Wtedy
P (Yn 6 a) = P (X1 6 a, ..., Xn 6 a) = P (X1 6 a) · ... · P (Xn 6 a)
= [max(a, 1)]n ,
Rozdział 4. Zbieżność według rozkładu zmiennych losowych
29
co pociąga, iż
(
0
FYn (a) →
1
jeżeli a < 1
w przeciwnym razie.
D
Stąd Yn −
→ 1, a ponieważ zbieżność według rozkładu do stałej jest równoważna
D
zbieżności według prawdopodobieństwa, więc również Yn −
→ 1.
Zad. 4.6. Niech X1 , X2 , ... będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o tym samym
rozkładzie zadanym przez gęstość
3
1(1/2,3/2) (x).
4x2
p(x) =
Wyznacz granicę według rozkładu dla ciągu
Pn
X2 − 3n
Zn = k=1 √ k 4 ,
n
n ∈ N.
Rozwiązanie. Zauważmy, że
EX12
Z
3/2
x2
=
1/2
3
3
dx =
2
4x
4
oraz
D
2
(X12 )
=
EX14
−
(EX12 )2
Z
3/2
=
1/2
x4
3
9
26
9
1
dx
−
=
−
=
.
4x2
16
32 16
4
Korzystając z centralnego twierdzenia granicznego Levy’ego
Pn
3
2
D
k=1 Xk − 4 n
q
−−−→ N (0, 1).
1
n4
W konsekwencji
r
Zn =
1
·
4
Pn
X2 − 3n D
1
q k 4 −−−→ N (0, ).
4
n 14
k=1
Zad. 4.7. Załóżmy, że prawdopodobieństwo urodzenia się chłopca jest stałe i wynosi
0,512. Jak oszacować prawdopodobieństwo, że wśród 104 noworodków będzie o
ponad 200 chłopców więcej niż dziewczynek?
Rozwiązanie. Niech n = 104 , p = 0, 512 oraz niech dla k = 1, 2, ..., n
1, gdy k - ty noworodek jest chłopcem
Xk =
0, gdy k - ty noworodek jest dziewczynką.
Zakładamy, że są to niezależne zmienne losowe o tym samym rozkładzie dwupunktowym. Sn = X1 + · · · + Xn jest liczbą urodzonych chłopców wśród n noworodków,
30
Rozdział 4. Zbieżność według rozkładu zmiennych losowych
a n − Sn liczbą urodzonych dziewczynek. Oczywiście Sn > n − Sn + 200 dokładnie
wtedy, gdy Sn > 5100 oraz
P (Sn > 5100) = 1 − P (Sn ≤ 5100)
= 1−P
' 1−P
S − np
5100 − 51200
p n
≤p
np(1 − p)
104 · 0, 512 · 0, 488
!
Sn − np
p
≤ −0, 4 .
np(1 − p)
!
Na mocy twierdzenia de Moivre’a–Laplace’a ostatnie wyrażenie można oszacować
Rx
y2
przez 1 − Φ(−0, 4), gdzie Φ(x) = −∞ √12π e− 2 dy, x ∈ R jest dystrybuantą standardowego rozkładu normalnego N (0, 1). Stąd otrzymujemy
P (Sn > 5100) ' 1 − Φ(−0, 4) = Φ(0, 4) ' 0, 6554,
gdzie wartość Φ(0, 4) ' 0, 6554 odczytujemy z tablic.
Zad. 4.8. Wektor X̄ =(X1 , X2)T ma rozkład normalny ze średnią ā = (0, 1)T i macierzą
1 12
kowariancji A =
. Wyznacz rozkład wektora Ȳ = (Y1 , Y2 )T , gdzie Y1 =
1
1
2
2X1 + X2 , Y2 = X1 − 2X2 oraz rozkłady jego składowych Y1 , Y2 .
2 1
Rozwiązanie. Niech C będzie macierzą postaci C =
. Wtedy Ȳ = C X̄
1 −2
i jego funkcja charakterystyczna jest dla wszystkich t̄ ∈ R2 równa
T
ϕȲ (t̄) = Eei<t̄,Ȳ > = Eei<t̄,C X̄> = Eei<C t̄,X̄>
1
= exp (i < C T t̄, ā > − < A ◦ C T t̄, C T t̄ >)
2
1
= exp (i < t̄, Cā > − < C ◦ A ◦ C T t̄, t̄ >),
2
gdzie
Cā =
2 1
1 −2
0
1
·
=
1
−2
oraz
T
C ◦A◦C =
2 1
1 −2
1 1/2
2 1
7
−3/2
·
·
=
.
1/2 1
1 −2
−3/2
3
Stąd w szczególności dla t ∈ R
7
ϕY1 (t) = ϕȲ (t, 0) = exp (it − t2 )
2
oraz
7
ϕY2 (t) = ϕȲ (0, t) = exp (−i2t − t2 ),
2
co pociąga, iż Y1 ma rozkład N (1, 7), a Y2 N (−2, 3).
Rozdział 4. Zbieżność według rozkładu zmiennych losowych
Zad. 4.9. Niech
A=
1 c
c 1
31
będzie macierzą kowariancji wektora normalnego (X1 , X2 )T o wartościach oczekiwanych EX1 = EX2 = 0. (a) Podaj funkcję charakterystyczną tego wektora. (b)
Jakie wartości może przyjmować parametr c. (c) Dla jakich c wektor ma rozkład
absolutnie ciągły. (d) Dla jakich c składowe X1 , X2 są niezależnymi zmiennymi
losowymi.
Rozwiązanie. Ad. (a) Funkcja charakterystyczna jest postaci
1
1
ϕX̄ (t̄) = exp (− t21 − t22 − ct1 t2 ),
2
2
t̄ = (t1 , t2 )T .
Ad. (b), (c), (d). Aby macierz była nieujemnie określona musi być c2 6 1. Jeżeli
c2 < 1, to rozkład jest absolutnie ciągły, a gdy c = 0, to składowe X1 , X2 są
niezależne.
4.2. Zadania dodatkowe
Zad. 4.10. X1 , X2 , · · · jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych o rozkładach wykładniczych z parametrem λ = 1. Znaleźć słabą granicę ciągu
Yn = max{1 − eX1 , · · · , 1 − eXn },
n ∈ N.
Zad. 4.11. X1 , X2 , · · · jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych o rozkładach
3
P (Xn = −1) = ,
4
1
P (Xn = 1) = ,
4
n ∈ N.
Znaleźć granicę według rozkładu ciągu zmiennych losowych
Pn
(X 2 − 1)
Yn = k=1√ k
, n ∈ N.
6n
Zad. 4.12. X1 , X2 , · · · jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych o rozkładach
1
P (Xn = 1) = ,
3
2
P (Xn = 2) = ,
3
n ∈ N.
Znaleźć granicę według rozkładu ciągu zmiennych losowych
Pn
2
2
(X2k−1
− X2k
)
Yn = k=1 √
, n ∈ N.
3n
Zad. 4.13. Wyznacz funkcję charakterystyczną zmiennej losowej 2X + Y , jeśli X, Y są
niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach geometrycznych z parametrami 1/2,
1/4.
32
Rozdział 4. Zbieżność według rozkładu zmiennych losowych
Zad. 4.14. X1 , X2 , · · · jest ciągiem zmiennych losowych o rozkładach N (0, 1/n), n ∈ N.
Zbadać ich zbieżność według rozkładu.
Zad. 4.15. {Xn } jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych takich, że Xn ma rozkład
normalny N (0, 2n), n ∈ N . Pokazać, że ciąg zmiennych losowych {Yn }, gdzie
Yn =
X1 + · · · + Xn
,
n
n∈N
jest słabo zbieżny oraz wskazać jego słabą granicę.
Zad. 4.16. Zmienna losowa Xn ma rozkład jednostajny na przedziale (−4 − n1 , 4 + n1 ), a
zmienna losowa Yn ma rozkład dany wzorami
P (Yn = 0) = 1 −
1
,
2n
P (Yn = n) =
1
,
2n
n ∈ N,
przy czym dla każdego n zmienne Xn i Yn są niezależne. Wyznaczyć funkcję charakterystyczną Xn + Yn oraz znaleźć słabą granicę ciągu {Xn + Yn }.
Zad. 4.17. Znajdź granice według rozkładu ciągów zmiennych losowych
X1 + X2 + ... + Xn
√
(a) Yn =
,
(b) {Zn = an + bn Yn }
n
wiedząc, że an = 2 + sin(1/n), bn = −2 cos(1/n), a {Xn } jest ciągiem niezależnych
zmiennych losowych o rozkładzie jednostajnym na (−3, 3).
Zad. 4.18. Niech X1 , X2 , ... będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o gęstości
p(x) = 12 cos(x)1[ −π , π ] (x), x ∈ R. (a) Znajdź granicę wg rozkładu ciągu
2
2
Zn =
X1 + ... + Xn
√
.
n
(b) Wyznacz funkcję charakterystyczną zmiennej losowej Y = sin(X1 ). Podaj rozkład zmiennej losowej Y .
Zad. 4.19. Niech {Xn } będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie jednostajnym na (−4, 4). Zbadaj zbieżność według rozkładu
ciągów zmiennych losowych
√
n(X1 +X2 +...+Xn )
X1 +X√
2 +...+Xn
i znajdź ich granice: {Vn =
}, {Wn = X 2 +X 2 +...+X 2 }.
n
1
2
n
Zad. 4.20. Niech X1 , X2 , X3 , . . . będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o rozkładach
normalnych normalnych takich, że Xn ma rozkład N (0, σn2 ), n ∈ N, gdzie
∞
X
σn2 = σ 2 < ∞.
n=1
P
Czy ciąg Yn = nk=1 Xk jest zbieżny według rozkładu? Znajdź rozkład jego granicy.
Czy Yn jest zbieżny według prawdopodobieństwa i prawie wszędzie?
Rozdział 4. Zbieżność według rozkładu zmiennych losowych
33
Zad. 4.21. Przypuśćmy, że prawdopodobieństwo wyprodukowania wadliwej szklanki przez
automat wynosi 0,003. Korzystając z przybliżenia Poissona oszacować prawdopodobieństwo, że wśród 600 wyprodukowanych szklanek będzie nie więcej niż dwie
wadliwe.
Zad. 4.22. Przypuśćmy, że mamy 104 paczek z ziarnem. W tych paczkach jest 5000 ziaren
znaczonych. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w pewnej ustalonej paczce znajduje
się choćby jedno ziarno znaczone?
Zad. 4.23. Prawdopodobieństwo wykonania wadliwego wyrobu jest równe p = 0, 005.
Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród 10 000 losowo wybranych wyrobów znajduje się: (a) dokładnie 50 wadliwych, (b) nie więcej niż 70 wadliwych?
Zad. 4.24. Wydział Matematyki pragnąłby przyjąć nie więcej niż 120 kandydatów. Zdających jest 250, a szansa zaliczenia testu wynosi 0,4. Jakie jest prawdopodobieństwo,
że Wydział będzie miał kłopot z nadmiarem kandydatów?
Zad. 4.25. Niech Ȳ = (Y1 , Y2 )T będzie wektorem losowym, którego składowe są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie normalnym N (0, 1), a A niech będzie
macierzą postaci
1 0
A=
.
1 2
Jaki jest rozkład wektora X̄ = AȲ + (1, 2)T ? Podaj jego gęstość i funkcję charakterystyczną.
Zad. 4.26. Zmienne losowe X1 , X2 są niezależne i mają rozkłady normalne N (m1 , σ12 ),
N (m2 , σ22 ). Wyznacz funkcje charakterystyczne zmiennych losowych Z1 = b1 X1 +
b2 X2 , Z2 = b1 X1 − b2 X2 oraz wektora Z = (Z1 , Z2 )T . Zidentyfikuj ich rozkłady.
Zad. 4.27. Funkcja charakterystyczna wektora losowego X̄ = (X1 , X2 )T jest postaci
ϕ(X1 ,X2 ) (y1 , y2 ) = exp(iy1 − y12 − y22 + y1 y2 ),
y1 , y2 ∈ R.
Wyznacz (a) EX2 , cov(X1 , X2 ), D2 (X2 ), (b) rozkład wektora Z̄ = (3, 3)T + 4X̄.
Zad. 4.28. Zmienne losowe X1 , X2 są niezależne i mają rozkłady normalne N (0, 1). Wyznacz funkcje charakterystyczne zmiennych losowych Z1 = X1 + X2 , Z2 = X1 − X2
oraz wektora Z = (Z1 , Z2 )T . Zidentyfikuj ich rozkłady. Czy są one absolutnie ciągłe?
Bibliografia
[1] A.A. Borowkow, Rachunek prawdopodobieństwa, PWN 1975.
[2] P. Billingsley, Miara i prawdopodobieństwo, PWN 1986.
[3] W. Feller, Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa, t. I, PWN, Warszawa 1977.
[4] M. Fisz, Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna, PWN, Warszawa
1969.
[5] J. Jakubowski, R. Sztencel, Wstęp do teorii prawdopodobieństwa, SCRIPT, Warszawa
2000.
[6] J. Jakubowski, R. Sztencel, Rachunek prawdopodobieństwa dla (prawie) każdego,
SCRIPT, Warszawa 20002.
[7] A. Kłopotowski, Teoria prawdopodobieństwa, TNOiK, Toruń 1996.
[8] W. Niemiro, Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna, Biblioteka
Szkoły Nauk Ścisłych 1999.
35