3. Rozwinięcia dziesiętne ułamków

O podrczniku
Podrcznik zosta p
podzielonyy na dziewi
d ew rozdzia
rozdziaów tematycznych
tematycznych..
Rozdziay w obrb
bie
podrcznika
ponumerowan
no
w sposób cig
gy
Kady rozdzia
skada si z kilku
lub kilkunastu
tematów
Wane pojcia do
zapamitania
Zadania, które
moesz rozwizywa
z kalkulatorem
1
numer
lekcji
w zeszycie
wicze
T ikon
ik oznaczono doda
d tk
tkowe
zadania, które znajdziesz
jdziesz
i
w elektronicznym i papierowym
zeszycie wicze na stronie internetowej:
Rozwizane
R
przykady
Tematy
rozszerzajce treci
zawarte w podstawie
programowej.
O ich realizacji
decyduje nauczyciel
Reguy
y i twierdzenia,
które trzeba zna
W górnym rogu kadej strony
podrcznika znajduje si jeden
z pasków. Pasek z cyframi
oznacza temat algebraiczny lub
statystyczny, pasek z gurami –
temat geometryczny
Atrakcyjne infogra
ki,
czce ilustracje
z informacjami, zachc
Ci do zainteresowania si
matemattyk
Zada
anie – problem
Zada
anie trudne
Odsyacz
y
do pyty
CD d
doczonej
do podrcznika
Zadania utrwalajce, dziki
którym powtórzysz materia
z danego rozdziau
Sprawd, czy to umiesz –
rozwizujc zadania testowe,
sprawdzisz swoj wiedz
I. Ułamki zwykłe i dziesiętne
1. Działania na ułamkach zwykłych i dziesiętnych
a
b
Iloraz liczb całkowitych a : b możemy zapisać w postaci ułamka . Dzielna a jest
licznikiem ułamka, dzielnik b, różny od zera, jest mianownikiem, a kreska ułamkowa zastępuje znak dzielenia:
a
a : b = , gdzie b = 0
b
Wśród ułamków zwykłych wyróżniamy ułamki utworzone z liczb naturalnych
i dzielimy je na właściwe i niewłaściwe.
Ułamek właściwy to taki, w którym licznik jest mniejszy od mianownika, np.:
3
,
7
5
,
12
4
,
17
0
5
Ułamek niewłaściwy to taki, w którym licznik jest większy od mianownika lub
równy mianownikowi, np.:
8
,
5
19
,
8
21
,
13
7
,
7
5
,
1
10
5
Ułamki niewłaściwe można zapisywać w postaci mieszanej , np.:
8
3
=1
5
5
3
19
=2
8
8
8
21
=1
13
13
Ułamki zwykłe, które mają w mianowniku liczby 10, 100, 1000, ..., nazywamy
ułamkami dziesiętnymi. Można je zapisać w postaci dziesiętnej, np.:
3
= 0,3
10
4
= 0,004
1000
3128
= 31,28
100
Na ułamkach zwykłych i dziesiętnych wykonujemy takie same działania, jak na
liczbach całkowitych: dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie.
Wiadomości w pigułce
Przykład 1
Przypomnijmy sposoby dodawania, odejmowania
i mnożenia ułamków zwykłych.
a)
5
1
10
3
13
+ =
+
=
12 8
24 24 24
1
3
b) 5 − 1
www.wsip.pl
7
4
7
16
7
9
3
=5 −1 =4 −1 =3 =3
12
12
12
12
12
12
4
Aby dodać (odjąć) ułamki zwykłe,
sprowadzamy je do wspólnego
mianownika, dodajemy (odejmujemy) liczniki, mianownik pozostawiamy bez zmian. Jeśli dodajemy
(odejmujemy) liczby mieszane, dodatkowo dodajemy (odejmujemy)
części całkowite tych liczb.
9
1
2
2
5
c) 2 · 4 =
1
5 2211
11
·
=
= 11
51
1
12
Aby pomnożyć liczby mieszane, zamieniamy je na
ułamki niewłaściwe, skracamy i mnożymy licznik
przez licznik, a mianownik przez mianownik.
1
a
Odwrotnością liczby a = 0 jest liczba . Na przykład odwrotnością liczby 4 jest
1
4
3
4
1
jest liczba , czyli 1 .
4
3
3
5
24 12
= .
Odwrotnością liczby 2,4 jest , bo 2,4 =
12
10
5
1 3
1
5
i 1 , 2,4 i
to pary, w których jedna liczba jest odwrotnością drugiej.
4i ,
4 4
3
12
liczba , odwrotnością liczby
Iloczyn liczby a i jej odwrotności
4·
1
jest równy 1 dla a = 0.
a
1
3
1
3 41
·1 =
·
=1
4
3
31
14
1
=1
4
2,4 ·
2
5
24 51
=
·
=1
12 2 10 121
Aby podzielić liczbę przez ułamek zwykły, należy tę liczbę pomnożyć przez
odwrotność ułamka.
Przykład 2
Wykonajmy dzielenie.
2
14 7
14 4
8
: =
·
= =8
1 4
1
71
1
1
1
5 25
5
1
1
=
·
=
b) 2 : 25 = :
2
2 1
2 255
10
3
4
a ) 14 : 1 =
Aby podzielić dwie liczby mieszane,
zamieniamy je na ułamki niewłaściwe
i pierwszy ułamek mnożymy przez
odwrotność drugiego.
1 Wykonaj dodawanie.
3
6
7
7
1
3
b) 6 + 3
6
8
a) 1 + 2
5
3
+
4 12
1 2 3
+ +
2 3 4
8
9
4 +4
2
3
2
5
4+5 +2
2 Wykonaj odejmowanie.
1
3
a ) 10 − 3
6 5
−
7 6
3
1
c) 8 − 2
4
8
b)
10
3
5
2
−1
3
1
−1
7
10 − 7
3
4
4
4
5
2
3
5
8
8
1 5
4 −
3 6
1
5
8 −6
2
7
2 −1
1
4
3. Rozwinięcia dziesiętne ułamków
Przykład 1
Ułamki
9 5
i zamieńmy na ułamki dziesiętne.
20 8
Można to zrobić, rozszerzając odpowiednio ułamki lub dzieląc licznik przez
mianownik (patrz strona 14, Przykład 4).
9
9·5
45
5
5 · 125
625
=
=
= 0,45
=
=
= 0,625
20 20 · 5
100
8
8 · 125 1000
9
5
i mają rozwinięcia dziesiętne skończone.
Ułamki
20 8
Przykład 2
1 5 4
,
nie można zamienić na ułamki dziesiętne.
6 66 35
Ułamków ,
Dzieląc licznik przez mianownik każdego z ułamków, otrzymujemy:
1
= 0,1666…
6
5
= 0,07575…
66
4
= 0,1142857142857…
35
O takich ułamkach mówimy, że mają rozwinięcia dziesiętne nieskończone.
Zauważmy, że w tych rozwinięciach, od pewnego miejsca, powtarza się cyfra lub
grupa cyfr. Tę cyfrę lub grupę cyfr nazywamy okresem rozwinięcia dziesiętnego
nieskończonego .
Okresem rozwinięcia 0,1666... jest cyfra 6. Okres możemy zapisać krócej, biorąc
cyfrę 6 w nawias: (6). Zatem 0,1666... = 0,1(6).
Okresem rozwinięcia 0,07575... jest grupa dwóch cyfr 75. 0,07575... = 0,0(75).
Okresem rozwinięcia 0, 1142857142857... jest grupa sześciu cyfr 142857.
0,1142857142857... = 0,1(142857)
Liczby: 0,1666..., 0,07575..., 0,1142857142857... nazywamy
ułamkami dziesiętnymi okresowymi .
Zapiszmy mianowniki ułamków opisanych w przykładach 1 i 2 w postaci iloczynu
liczb pierwszych.
9
9
=
20 2 · 2 · 5
5
5
=
8
2·2·2
1
1
=
6
2·3
5
5
=
66 2 · 3 · 11
Te ułamki mają rozwinięcie dziesiętne skończone.
4
4
=
35 5 · 7
Te ułamki mają rozwinięcie
dziesiętne nieskończone.
Zauważmy, że ułamek nieskracalny ma rozwinięcie dziesiętne:
• skończone, jeśli jego mianownik można przedstawić w postaci iloczynu liczb
pierwszych, w którym występują tylko liczby 2 lub 5,
• nieskończone, jeśli jego mianownik można przedstawić w postaci iloczynu
liczb pierwszych, w którym występują również liczby różne od 2 i 5.
20
1 Znajdź rozwinięcia dziesiętne ułamków.
2 9
3 13 3 15 121
,
,
,
, ,
,
5 10 20 50 4 8
20
1 8 1 5 9 132 512
,
b) , , , , ,
2 5 8 8 4 20
40
3
17
51
9
11
1200
,
,
,
,
,
c)
50 100 200 500 1000 250
a)
2 Korzystając z kalkulatora, zapisz rozwinięcia dziesiętne liczb:
2 4 8
7
4
7
13
, , ,
,3 ,1 ,3
3 15 27 303 11 33 45
Uzasadnij, że każdy z tych ułamków ma rozwinięcie dziesiętne nieskończone.
3 Ustal, jaki okres ma podane rozwinięcie dziesiętne. Zapisz je krócej, zaznaczając okres w nawiasie.
a ) 0,666...
d) 0,25525252...
b) 6,405405405...
e ) 5,454454454...
4 Znajdź rozwinięcia dziesiętne ułamków:
c ) 32,0838383...
f ) 16,0010101...
1
2
3
4
,
,
,
. Czy dostrzegasz
11 11 11 11
pewną prawidłowość? Podaj bez wykonywania dzielenia rozwinięcia dziesiętne ułamków
6 10
, .
11 11
5 Znajdź okresy rozwinięć dziesiętnych ułamków.
a)
6 5
1
8
71
,
,
,
,
7 37 15 11 110
b)
13 25 35 27 25
,
,
,
,
6 12 11 22 24
6 Z podanych ułamków wypisz te, które mają rozwinięcia dziesiętne nieskończone. Czy musisz wykonywać obliczenia?
4 2 5 3 2
7 1 1
,
, , ,
,
, ,
5 15 8 4 11 25 9 8
7 W wielkopolskim Rogalinie rosną najsławniejsze i największe polskie dęby – pomniki
przyrody: Lech i Rus mają po 19,5 m wysokości oraz największy z nich Czech ma 23 m. Sekwoje to drzewa iglaste rosnące w nadbrzeżnych górach Oregonu i Kalifornii. Sięgają
100 m wysokości.
Korzystając z powyższych informacji, oblicz:
a ) jaki ułamek wysokości sekwoi stanowi wysokość dębu Lech,
b) ile razy dąb Czech jest wyższy od Ciebie.
Wyniki zapisz w postaci rozwinięcia dziesiętnego. Czy w obu przypadkach jest to rozwinięcie skończone?
www.wsip.pl
21
Zadania utrwalające
1 Oblicz.
2
1
a ) 10,6 − 4 + 16
3
15
c)
7,13
2,75 − 1
1
1
1
5
3
:2 −1
b) 6 + 3 −
2
3
2
6
4
1
6,5 + 3 − 0,5
3
d)
1
2
3
3
5
2 Znajdź niewiadomy składnik.
a)
3 2
1
+ +x+1 =4
4 9
4
b) 0,87 + y + 2,13 +
5
=8
7
3 Krawiec zapłacił 587,70 zł za materiały dwóch gatunków: po 21, 60 zł i po
12,50 zł za 1 metr materiału. Ile metrów droższego materiału kupił krawiec,
jeśli miał 9 metrów tańszego?
4 Marysia w ciągu 1,4 godziny przeszła 6,3 km, a Krysia w ciągu 20 minut przeszła 1,6 km. Która z dziewczynek szła szybciej?
5 Trzeba zapakować 630 kg orzechów laskowych w torebki po 25 dag w każdej.
2
Zapakowano już wszystkich orzechów. Ile torebek zostało do zapakowania?
3
3
6 Kucharz zużył do smażenia powideł 1,5 kg cukru, co stanowiło całego za5
pasu cukru, jaki posiadał. Ile kilogramów wynosiły zapasy cukru przed smażeniem powideł?
4
7 Piotr z domu do szkoły ma 1 km. Pokonał już 150 m tej drogi. Jaką część
5
drogi musi jeszcze przebyć, by dotrzeć do szkoły?
8 Klient kupił: 6 jaj po 36 gr za sztukę, 3 kostki masła po 3, 56 zł za kostkę,
35 dag polędwicy po 33,40 zł za 1 kg oraz 0, 6 kg żółtego sera po 23, 90 zł
za 1 kg. Ile reszty otrzymał z 50 zł?
2
2
9 Grecja zajmuje powierzchnię 131 990 km , a Ukraina 603 700 km . Oszacuj,
ile razy powierzchnia Grecji jest mniejsza od powierzchni Ukrainy.
10 Masz 15 zł i chcesz kupić baton za 2,35 zł, wodę mineralną za 1, 95 zł oraz
5 pączków po 1,80 zł za sztukę. Oszacuj, czy ta kwota wystarczy Ci na zakupy.
1
9
kg wody,
kg tłuszczu, 0, 21 kg białka, 0, 31 kg
11 1 kg kakao zawiera:
25
49
cukru oraz inne składniki. Oszacuj masę innych składników w 500 g kakao.
27
12 Dane są ułamki:
15 121 150 10 6 27
,
,
, , ,
. Skróć je i wybierz z nich te, któ12 44 27 28 81 150
re mają rozwinięcia dziesiętne skończone.
13 Które z podanych rozwinięć dziesiętnych nie są rozwinięciami okresowymi?
I. 0,37777...
II. 2,152(52)
III. 0, 252525
IV. 1,111...
V. 0,(6)
VI. 5, 12
VII. 3,33333333
VIII. 7,3434…
IX. 0, 123456789123
14 Oblicz wartość wyrażenia. Wynik podaj z dokładnością do 0, 1.
a ) [14 · (8 − 5,4) − 6,8] : 7,8
b)
8 · (17,8 − 7,9)
4,3 · 12
15 Podaj czwartą, dwunastą i dwudziestą drugą cyfrę po przecinku rozwinięcia
dziesiętnego ułamka.
a ) 0,(8)
b) 3,3(28)
c ) 6, 10291291…
16 Największa z piramid egipskich Piramida Cheopsa ma wysokość 146,59 m, a wieża Eiffla – 300, 5 m wysokości. Oblicz,
jaki ułamek wysokości wieży stanowi wysokość piramidy.
Wynik podaj z dokładnością do 0,01.
17 Śnieżnicki Park Krajobrazowy ma obszar 28, 8 tys. ha. Na obszarze parku jest pięć rezerwatów: Puszcza Śnieżnej Białki –
124,6 ha, Nowa Morawa – 22,1 ha, Jaskinia Niedźwiedzia –
89,9 ha, Śnieżnik Kłodzki – 181,9 ha oraz Wodospad Wilczki
– 3 ha. Jaki ułamek obszaru parku krajobrazowego stanowi
powierzchnia pięciu rezerwatów? Wynik podaj z dokładnością do 0, 01.
18 Wstaw nawiasy tak, aby otrzymać równość.
1
2
1
8
a ) 10 · 21,1 + 8,9 · 3,5 + 1 = 1500
1
3
Gry interaktywne
Zadania sprawdzające
Sprawdź, czy to umiesz
1
3
1 Suma liczb 2 i 3,75 jest równa:
A. 5
1
12
B. 5
4
12
C. 6
1
12
D. 5
4
7
C. 5
1
4
D. 4
1
6
1
6
2 Różnicą liczb 7 i 2,75 jest liczba:
A. 5
28
7
12
B. 4
5
12
2
3
b ) 96 − 6,125 : 4 + 1 = 15
VIII. Graniastosłupy proste
1. Prostopadłościan i sześcian
Prostopadłościan i sześcian są figurami przestrzennymi (bryłami). Na rysunku
przedstawiono przedmioty, które mają kształt prostopadłościanu lub sześcianu .
Poniżej pokazano, w jaki sposób można narysować na płaszczyźnie prostopadłościan.
Długości krawędzi prostopadłościanu, wychodzących
z jednego wierzchołka, nazywamy wymiarami
prostopadłościanu .
Krawędzie AB, BC, CD, DA, EF, FG, GH, HE
to krawędzie podstaw .
Krawędzie AE, BF, CG, DH to krawędzie boczne .
Ściany ABCD i EFGH nazywamy podstawami. Podstawy prostopadłościanu są prostokątami przystającymi i równoległymi.
Prostokąty AEHD, ABFE, CBFG, CGHD nazywamy ścianami bocznymi prostopadłościanu.
Prostopadłościan ma dwie pary przystających i równoległych ścian bocznych.
214
Prostopadłościan, którego wszystkie krawędzie są równe, nazywamy sześcianem . Każda ściana sześcianu jest kwadratem.
Poniżej przedstawiono niektóre * przekroje prostopadłościanu i sześcianu.
1 Podaj kilka przykładów przedmiotów mających kształt prostopadłościanu.
2 Przerysuj tabelkę i uzupełnij ją.
Liczba
Bryła
Wierzchołki
Krawędzie
Ściany
Prostopadłościan
Sześcian
Czy sześcian jest prostopadłościanem?
Czy każdy prostopadłościan jest sześcianem? Odpowiedź uzasadnij.
3 Przepisz zdanie, uzupełniając je.
W prostopadłościanie krawędzie równoległe są …………………, ściany
…………… są przystające, a ściany prostopadłe mają …………… krawędź.
4 Które zdanie jest fałszywe?
I. Prostopadłościan ma dwie podstawy.
II. W sześcianie wszystkie krawędzie są równej długości.
III. W prostopadłościanie każde dwie krawędzie są do siebie prostopadłe.
IV. Prostopadłościan ma osiem wierzchołków.
www.wsip.pl
215
Zudzenia optyczne
i figury niemoliwe
Figury niemoliwe to przedstawione na paszczy
nie figury, które wydaj si
by paskimi ilustracjami pewnych bry przestrzennych. Gdy przyjrzymy si tym
figurom bliej, zauwaymy, e nie jest moliwe skonstruowanie odpowiadajcych
im bry w rzeczywistoci.
Oszukana perspektywa
Schody Penrose’a
Jeeli bdziemy po tych
schodach cay czas schodzi
(albo wchodzi), to bdziemy
wraca wci w to samo
miejsce.
Diabelsskie widły
Narysow
y wanie tych
y wide na kartcce
nie jest problemem. Jednak nigdy
nie uda si ich zbudowa
w rz
rzec
eczy
zywi
wist
sto
oci
ci.
Taki szecian istnieje
tylko na kartce.
Zb
budowani
d
ie taki
kiejj
figury w przestrzeni
nie jest moliwe.
Trójkąt Penrose’a
Trójkt ten jest zoony
z trzech jednakowyych elementów.
Doszukujemy si trzech wymiarów,
mimo e w rzeczywistoci
taka figura nie istnieje.
‡ Zudzenia optyczne
Czasem nasz mózg pata nam figle i w bdny sposób interpretuje
niektóre obrazy. Wtedy to, co widzimy, jest tylko iluzj, a nie
odzwierciedleniem rzeczywistego obrazu.
Złudzenie ściany kawiarni
Czy wiecie, e wszystkie poziome linie
na ilustracji s do siebie równolege?
W ten sposób uoono kafelki na
frontowej cianie pewnej kawiarni
w Bristolu (Anglia).
Efekt spirali
Gdy patrzymy na ilustracj, jestemy
przekonani, e zamieszczono na niej
spiral. W rzeczywistoci jest to zbiór
wspórodkowych kó.
Obracające się walce
Czy jest moliwe zaobserwowanie
ruchu na kartce papieru?
Spójrzcie na ilustracj obok.
I co widzicie?
Znajdź inne przykłady figur niemożliwych i złudzeń optycznych