Wstęp do mechaniki nieba

Technologie kosmiczne
Wst p do mechaniki
nieba
Jan Kindracki
Warszawa, 2003
Prawa Keplera – podstawy mechaniki nieba
1.Prawo orbit – wszystkie planety poruszaj si po orbitach eliptycznych w
którym w jednym z ognisk znajduje si sło ce
P
F1
S
2. Prawo pól – odcinek ł cz cy planet ze Sło cem zakre la w równych
odst pach czasu równe pola.
3. Prawo okresowo ci – kwadrat okresu obiegu ka dej planety jest wprost
proporcjonalny do sze cianu redniej odległo ci planety od Sło ca.
T2
= const
3
a
Charakterystyczne pr dko ci w astronautyce.
1. Pierwsza pr dko kosmiczna (pr dko eliptyczna) – pr dko
mie satelita aby porusza si po orbicie eliptycznej.
jak powinien
G⋅M
VI =
R
2. Druga pr dko kosmiczna (pr dko paraboliczna) – pr dko
mie satelita aby opu ci ziemskie pole grawitacyjne.
jak powinien
G⋅M
VII = 2 ⋅
= 2 ⋅VI
R
3. Trzecia pr dko
układ słoneczny.
kosmiczna– pr dko
jak powinien mie satelita aby opu ci
W przypadku Ziemi pr dko ci te wynosz odpowiednio
VI =7,9km/s VII = 11,2km/s VIII = 16,7km/s*
* - dla przypadku wystrzelenia z Ziemi w kierunku ruchu Ziemi
Zagadnienie dwóch ciał
Czyli problem wyznaczenia ruchu dwóch odosobnionych punktów materialnych
pod działaniem wzajemnego przyci gania Newtonowskiego.
M
m
r1
r2
− G ⋅ M ⋅ m 3 ⋅ r1
F1 =
2
(M + m ) ⋅ r12 ⋅ r1
− G ⋅ m ⋅ M 3 ⋅ r2
F2 =
2
(M + m ) ⋅ r22 ⋅ r2
Poniewa masa M>>m mo na zaniedba sił pochodz c od masy m i wtedy
zale no redukuje si do postaci:
−G⋅M ⋅m⋅r
F=
r2 ⋅r
Uwzgl dniaj c prawo dynamiki Newtona pod postaci .
r− F / m = 0
Po podstawieniu w miejscu siły F obliczonej wcze niej otrzymamy ostateczne
wyra enie na równania ruchu.
G⋅M ⋅r
r− 2
=0
r ⋅r
Teraz pozostało scałkowa dwukrotnie powstałe równanie wektorowe z
odpowiednimi warunkami aby otrzyma kompletne równania ruchu z 6 stałymi
całkowania zwanymi elementami orbity nieperturbowanej (Ω,i,ω,a,e,T)
Rodzaje orbit
Z własno ci geometrycznych krzywych sto kowych danych poni szym
równaniem wynika ze:
p
r=
1 + e cosυ
1.
2.
3.
4.
e=0 to orbita jest kołem, r = a
0<e<1 to orbita jest elips , p = a·(1-e2)
e = 1 to orbita jest parabol a = ∞, p = 2·q gdzie q jest odległo ci
wierzchołka paraboli od jej ogniska
e>1 to orbita jest hiperbol p =a·(e2 – 1)
Rodzaje orbit
kołowe, eliptyczne, paraboliczne, hiperboliczne
Zmiana orbity satelity
• impulsowa zmiana orbity (Hohmann transfer)
V1 =
V1e =
∆V =
µ
V2 =
r1
µ
a
⋅
1+ ε
1− ε
µ
V2e =
2r2
⋅
−1
r1
r1 + r2
µ
r2
µ
a
⋅
1− ε
1+ ε
∆V1 = V1e − V1
∆V2 = V2e − V2
∆Vc = V1 + V2
• ci gła zmiana orbity
Energia całkowita wynosi
Ec = E p + E k
Ec = −
m ⋅ µ m ⋅V
+
r
2
2
Pr dko
V2 =
na orbicie kołowej
µ
r
Ec = −
m⋅µ
2r
Zmiana orbity satelity – typowe warto ci
a(AU)
T (lata)
∆V(km/s)
Merkury
0,847
0,289
5,6
Wenus
0,931
04
3,5
Mars
1,131
0,709
3,6
Jowisz
2,051
2,731
6,3
Saturn
3,137
6,056
7,3
Uran
5,534
15,972
8,0
Neptun
8,253
30,529
8,3
Pluton
10,572
45,208
8,4
Rodzaje układów współrz dnych – krótkie wprowadzenie
• układ ekliptyczny – rodek układu w rodku masy, o x skierowana ku
punktowi redniej równonocny wiosennej, układ u ywany do okre lania
poło e obiektów w układzie słonecznym
Rodzaje układów współrz dnych
• układ równikowy – rodek układu w rodku masy, o x skierowana ku
punktowi redniej równonocny wiosennej, układ u ywany do okre lania
poło e obiektów w układzie słonecznym i nie tylko.
Umiejscowienie orbity w przestrzeni
Póło wielka – a okre la rozmiary orbit, jest to połowa sumy odległo ci perygeum i
apogeum
Mimo ród orbity – e (Eccentricity) – ekscentryczno , mówi nam o kształcie elipsy.
Kiedy E = 0, orbita jest okr giem, kiedy e jest bliskie 1, orbita jest elips , bardzo długa
i płask . Dla orbit satelitów e musi si zawiera w przedziale pomi dzy 0 a 1.
Okre lenie parametrów orbity
K t inklinacji (i) okre la nachylenie płaszczyzny orbity do płaszczyzny odniesieni (ekliptyki
– jest to płaszczyzna wyznaczana przez ziemski równik), płaszczyzna orbity przechodzi przez
rodek Ziemi. K t inklinacji jest k tem pomi dzy płaszczyzn orbity i płaszczyzn równika.
Zawiera si on pomi dzy 0o a 180o. K t ten okre la tak e korytarz szeroko ci geograficznej w
jakim porusza si satelita (i=28o korytarz mie ci si pomi dzy 28o N a 28o S )
Długo w zła wst puj cego - ω (Right Ascension of Ascending Node) (znane równie
jako RAAN, RA of Node). RAAN orbity satelity jest k tem (mierzonym dla rodka Ziemi)
pomi dzy miejscem przekroczenia równika przez Sło ce (punktu odniesienia na nieboskłonie
nazywany jest przez astronomów punktem równonocy wiosennej "vernal equinox”)
i miejscem przekroczenia równika przez orbit satelity (w zły wst puj cy - kiedy satelita
przekracza równik, zmierzaj c z południa na północ i zst puj cy - kiedy satelita przekracza
równik w stron przeciwn , tj. z północy na południe. Tworz on tzw. lini w złów "line of
nodes"). RAAN jest liczb zawieraj c si w zakresie od 0o do 360o.
Długo pericentrum - Ω (Argument of Perigee ) – je li poł czymy perygeum i apogeum
lini to stworzymy tzw. lini apsyd "line-of-apsides” – przechodz c przez rodek Ziemi. K t
pomi dzy lini absyd i lini w złów to jest wła cnie długo pericentrum, zawiera si mi dzy
0o i 360o
Okre lenie parametrów orbity – 2
Anomalia prawdziwa (ν
ν) k t pomi dzy aktualnym poło eniem satelity na orbicie a
perygeum (mierzony w płaszczy nie orbity).
rednia pr dko obiegu – (okres obiegu) (mean motion) satelity o orbitach niskich s
bardzo szybkie, o orbitach wysokich - wolne. Satelity posiadaj ce orbit kołow , maj stał
pr dko . Satelity o orbicie nie b d cej okr giem (tzn. e > 0) poruszaj si szybciej, gdy s
bli ej Ziemi i wolniej gdy si oddal . Okres obiegu definiowany jest jako czas upływaj cy od
jednego perygeum do nast pnego. Typowe warto ci dla satelitów mieszcz si w zakresie od
1 do 16 obr/dzie .
Epoka – ci le okre lony czas (znane równie jako Epoch Time wyra ony jako data
julia ska) dla którego okre la si pozostałe parametry orbity i ich odchyłki .
Ostateczne równania ruchu po orbicie eliptycznej
x = a ⋅ Pxe ⋅ (cos E − e ) + a ⋅ Qxe ⋅ 1 − e 2 ⋅ sin E
y = a ⋅ Pye ⋅ (cos E − e ) + a ⋅ Q ye ⋅ 1 − e 2 ⋅ sin E
z = a ⋅ Pze ⋅ (cos E − e ) + a ⋅ Qze ⋅ 1 − e 2 ⋅ sin E
Gdzie w powy szych zale no ciach Pxe, Pye, Pze, Qxe, Qye, Qze zwane elementami
wektorialnymi odniesionymi do układu współrz dnych ekliptycznych.
Px = cos ω ⋅ cos Ω − sin ω ⋅ sin Ω ⋅ cos i
Qx = − sin ω ⋅ cos Ω − cos ω ⋅ sin Ω ⋅ cos i
Py = cos ω ⋅ sin Ω + sin ω ⋅ cos Ω ⋅ cos i
Q y = − sin ω ⋅ sin Ω + cos ω ⋅ cos Ω ⋅ cos i
Pz = sin ω ⋅ sin i
Qz = cos ω ⋅ sin i
Sposób obliczania współrz dnych satelity.
Najpierw nale y obliczy anomali mimo rodow E wykorzystuj c w tym
celu specjalne funkcje Bessla. Do obliczenia k ta anomalii mimo rodowej
wykorzystamy anomali redni M
2 ⋅π
M=
⋅ (t − T )
P
lub
M=
G ⋅ (M + m )
⋅ (t − T )
3
a
1
1
1
1
1
E = M + sin (M ) ⋅ (e − ⋅ e 3 +
⋅ e 5 ) + sin (2 M ) ⋅ ( e 2 − ⋅ e 4 + ⋅ e 6 )
8
192
2
6
48
Teraz wystarczy obliczy warto ci elementów wektorialnych i podstawi
do równa ruchu napisanych wcze niej (te sposób działa prawidłowo do
e=0.67).
Zakłócenia ruchu po orbicie - perturbacje
Rozwa aj c ruch sztucznego satelity Ziemi aby zagadnienia było pełne, nale y
uwzgl dni wpływy innych sił działaj cych na satelit i zakłócaj cych jego
ruch. Siły te mog pochodzi od hamuj cego wpływu atmosfery ziemskiej,
anizotropii pola grawitacyjnego, wpływu jonosfery i egzosfery czy te
ci nienia promieniowania słonecznego. Wpływ tych ró nych czynników mo e
by bardzo ró ny w zale no ci od wysoko ci orbity.
Bardzo trudnym do oceny elementem jest atmosfera Ziemi, poniewa nie
wystarczy uwzgl dni jedynie wpływu hamuj cego. Jonosfera i egzosfera
zawiera bowiem cz stki naładowane elektrycznie które ładuj te metalowy
korpus satelity. Gdy satelita przecina linie ziemskiego pola grawitacyjnego w
jego korpusie powstaj pr dy indukcyjne o nat eniu rz du kilku mA, a one z
kolei generuj znaczne ciepło – oczywi cie kosztem energii ruchu satelity.
Przy du ych powierzchniach satelity znaczenia nabiera ci nienie
promieniowania słonecznego.
Zakłócenia ruchu po orbicie – strefy oddziaływa
Stref wokół Ziemi mo na podzieli na trzy cz ci w których to czynniki
zakłócaj ce wyst puj z ró nym nat eniem:
1. Strefa zewn trzna – w której praktycznie zakłócenia ruchu satelitów
powodowane s przez du e ciał niebieskie (Sło ce i Ksi yc).
2. Strefa rodkowa – w której wpływy zakłócaj ce spowodowanie anizotropi
pola grawitacyjnego s tego samego rz du co wpływ ciał obcych.
3. Strefa wewn trzna – w której działanie hamuj ce atmosfery jest na tyle
znaczne, e nale y je ju uwzgl dnia .
Najwi ksza trudno polega na tym i nie ma dokładnych granic tych stref lecz
cz ciowo si pokrywaj .
Zakłócenia ruchu po orbicie – zasi g działania
Obserwowane zakłócenia niegrawitacyjne w górnych warstwach atmosfery
zmniejszaj si szybko wraz ze wzrostem odległo ci od Ziemi i praktycznie
mo na je pomin w odległo ci przekraczaj cej 2·Ro od rodka Ziemi, czyli h =
6371km od powierzchni.
Du o dalej si ga wpływ anizotropii pola grawitacyjnego, które zachowuje si
podobnie jak wpływy niegrawitacyjne i malej ze wzrostem odległo ci od
rodka Ziemi. W odległo ci 10·Ro praktycznie nie maj ju znaczenia. Powy ej
tej odległo ci ruchy sztucznego satelity wystarczaj co dokładnie opisuj
równania ró niczkowe klasycznej mechaniki nieba w której wszystkie
przyci gaj ce si ciała mo na traktowa jak punkty materialne.
Zakłócenia ruchu po orbicie – warto ci przy piesze .
ródło
Przy pieszenie (m/s2)
500km
GEO
Opór atmosfery
6⋅10-5A/M
1,8 ⋅10-13A/M
Ci nienie wiatła
4,7 ⋅10-6A/M
4,7 ⋅10-6A/M
Sło ce
5,6 ⋅10-7
3,5 ⋅10-6
Ksi yc
1,2 ⋅10-6
7,3 ⋅10-6
Jowisz
8,5 ⋅10-12
5,2 ⋅10-11
A/M – stosunek powierzchni satelity do jego masy
Rodzaje orbit wokółziemskich
• Low Earth Orbit – niska orbita
• Medium Earth Orbit – rednia orbita
• High Earth Orbit – wysoka orbita
• Orbita Geosynchroniczna
• Orbita geostacjonarna
• Orbita polarna
• Orbita przej ciowa
Orbita typu Low Earth Orbit
• wysoko orbity – 100 ÷ 1500km
• okres obiegu – w przybli eniu 90 minut
• orbita jest u ywana przez ISS, Space Shuttle, satelity pogodowe i
telekomunikacyjne
• zasi g orbity znajduje si poza pasami Van Allena
LEO
Chwilowy widok z orbity h = 500km (zielone kółko)
Orbita typu Medium Earth Orbit
• wysoko orbity – 8000 ÷ 20000km
• satelity s nara one na zwi kszone promieniowanie za strony pasów Van
Allena
• orbita doskonale nadaje si do u ywania przez satelity telekomunikacyjne,
których wystarczy kilka aby zapewni ł czno na całym globie
• umieszczenie satelitów nawigacji satelitarnej typu GPS, GALILEO
MEO
Chwilowy widok z orbity h = 10000km
Orbita typu Geosynchroniczna
• wysoko orbity – 35786km
• okres obiegu – 24h, satelita znajduje si w stałym punkcie na d
powierzchni Ziemi
• orbita jest u ywana satelity komercyjne i wojskowe, satelity programu
DSP (Defense Support Program) oraz przez TDRSS (Tracking and Data
Relay Satellite System)
• satelita z i=0 – nazywa si geostacjonarnym
• wystarcz 3 satelity dla zapewnienia ci głej komunikacji (wyj tek obszary
biegunowe)
GEO
Chwilowy widok z perigeum orbity
Orbita typu High Earth (Elliptical) Orbit
• rozwijana jako alternatywa dla geosynchronicznej orbity, głównie
przez Rosjan
• dogodna dla telekomunikacji głównie z północnymi szeroko ciami
geograficznymi
• apogeum orbity mo na „umie ci ” w interesuj cym nas obszarze
• wystarczy umie ci 3 satelity dla zapewnienia ci głej komunikacji
Molniya
"
$
Chwilowy widok z apogeum orbity
≅
#
≅
!
Orbita synchronizowana słonecznie i polarna
• Synchronizowana słonecznie – „w druj ca” orbita, płaszczyzna orbity obraca
si z prawie takim samym okresem jak okres obrotu Ziemi wokół Sło ca. Satelita
przechodzi przez perigeum w tym samym słonecznym czasie lokalnym. Orbita ta
nadaje si satelity mapuj ce powierzchni planety.
• Orbita polarna – k t inklinacji wynosi 90 stopni, u yteczna dla mapowania
planety lub obserwacji pola walki.
• Orbita typu „escape orbit” – ogólnie orbita typu hiperbolicznego (w odniesieniu
do Ziemi) orbity stosowane dla trajektorii statków mi dzyplanetarnych.
Orbity „normalne” i „wsteczne”
•
•
Orbity o k cie inklinacji 0° ≤ i < 90° nosz nazw „ posigrade orbit”,
obracaj si przeciwne do wskazówek zegara patrz c z bieguna północnego.
W celu uzyskania takiej orbity k t azymutu startu rakiety jest wymagany w
zakresie 0° ÷ 180° .
Orbity o k cie inklinacji z zakresu 90° ÷ 180° nosz nazw „retrograde
orbit”, obracaj si zgodnie z kierunkiem wskazówek zegara patrz c z
bieguna północnego. W celu uzyskania takiej orbity k t azymutu startu
rakiety jest wymagany w zakresie 180° ÷ 360° .
%